Apostila MECÂNICA E RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

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MECÂNICA E 
RESISTÊNCIA DOS 
MATERIAIS
Professor Me. Artur Lemes Moretti 
Professora Me. Natália Cândido Homem
GRADUAÇÃO
Unicesumar
C397 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE MARINGÁ. Núcleo de Educação a 
Distância; MORETTI, Artur Lemes; HOMEM, Natália Cândido. 
 
 Mecânica e resistência dos materiais. Artur Lemes Moretti; 
Natália Cândido Homem. 
 Reimpressão
 Maringá-Pr.: UniCesumar, 2018. 
 203 p.
“Graduação - EaD”.
 
 1. Mecânica. 2. Resistência . 3. Estática 4. EaD. I. Título.
 ISBN 978-85-459-0548-6
DD - 22 ed. 620.1
CIP - NBR 12899 - AACR/2
Ficha catalográfica elaborada pelo bibliotecário 
João Vivaldo de Souza - CRB-8 - 6828
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Arte Capa
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Editoração
Humberto Garcia da Silva 
Ellen Jeane da Silva
Revisão Textual
Talita Dias Tomé 
Danielle Loddi
Ilustração
Bruno Cesar Pardinho 
Marta Kakitani
Viver e trabalhar em uma sociedade global é um 
grande desafio para todos os cidadãos. A busca 
por tecnologia, informação, conhecimento de 
qualidade, novas habilidades para liderança e so-
lução de problemas com eficiência tornou-se uma 
questão de sobrevivência no mundo do trabalho.
Cada um de nós tem uma grande responsabilida-
de: as escolhas que fizermos por nós e pelos nos-
sos farão grande diferença no futuro.
Com essa visão, o Centro Universitário Cesumar 
assume o compromisso de democratizar o conhe-
cimento por meio de alta tecnologia e contribuir 
para o futuro dos brasileiros.
No cumprimento de sua missão – “promover a 
educação de qualidade nas diferentes áreas do 
conhecimento, formando profissionais cidadãos 
que contribuam para o desenvolvimento de uma 
sociedade justa e solidária” –, o Centro Universi-
tário Cesumar busca a integração do ensino-pes-
quisa-extensão com as demandas institucionais 
e sociais; a realização de uma prática acadêmica 
que contribua para o desenvolvimento da consci-
ência social e política e, por fim, a democratização 
do conhecimento acadêmico com a articulação e 
a integração com a sociedade.
Diante disso, o Centro Universitário Cesumar al-
meja ser reconhecido como uma instituição uni-
versitária de referência regional e nacional pela 
qualidade e compromisso do corpo docente; 
aquisição de competências institucionais para 
o desenvolvimento de linhas de pesquisa; con-
solidação da extensão universitária; qualidade 
da oferta dos ensinos presencial e a distância; 
bem-estar e satisfação da comunidade interna; 
qualidade da gestão acadêmica e administrati-
va; compromisso social de inclusão; processos de 
cooperação e parceria com o mundo do trabalho, 
como também pelo compromisso e relaciona-
mento permanente com os egressos, incentivan-
do a educação continuada.
Diretoria Operacional 
de Ensino
Diretoria de 
Planejamento de Ensino
Seja bem-vindo(a), caro(a) acadêmico(a)! Você está 
iniciando um processo de transformação, pois quando 
investimos em nossa formação, seja ela pessoal ou 
profissional, nos transformamos e, consequentemente, 
transformamos também a sociedade na qual estamos 
inseridos. De que forma o fazemos? Criando oportu-
nidades e/ou estabelecendo mudanças capazes de 
alcançar um nível de desenvolvimento compatível com 
os desafios que surgem no mundo contemporâneo. 
O Centro Universitário Cesumar mediante o Núcleo de 
Educação a Distância, o(a) acompanhará durante todo 
este processo, pois conforme Freire (1996): “Os homens 
se educam juntos, na transformação do mundo”.
Os materiais produzidos oferecem linguagem dialógica 
e encontram-se integrados à proposta pedagógica, con-
tribuindo no processo educacional, complementando 
sua formação profissional, desenvolvendo competên-
cias e habilidades, e aplicando conceitos teóricos em 
situação de realidade, de maneira a inseri-lo no mercado 
de trabalho. Ou seja, estes materiais têm como principal 
objetivo “provocar uma aproximação entre você e o 
conteúdo”, desta forma possibilita o desenvolvimento 
da autonomia em busca dos conhecimentos necessá-
rios para a sua formação pessoal e profissional.
Portanto, nossa distância nesse processo de cresci-
mento e construção do conhecimento deve ser apenas 
geográfica. Utilize os diversos recursos pedagógicos 
que o Centro Universitário Cesumar lhe possibilita. Ou 
seja, acesse regularmente o AVA – Ambiente Virtual de 
Aprendizagem, interaja nos fóruns e enquetes, assista 
às aulas ao vivo e participe das discussões. Além dis-
so, lembre-se que existe uma equipe de professores 
e tutores que se encontra disponível para sanar suas 
dúvidas e auxiliá-lo(a) em seu processo de aprendiza-
gem, possibilitando-lhe trilhar com tranquilidade e 
segurança sua trajetória acadêmica.
A
U
TO
R(
ES
)
Professor Me. Artur Lemes Moretti
Possui Graduação em Engenharia Química (2014) e Mestrado em Engenharia 
Química pela Universidade Estadual de Maringá (2016). Atualmente é 
Doutorando em Engenharia Química no Programa de Pós-graduação em 
Engenharia Química da Universidade Estadual de Maringá (2016 - 2019). 
Professora Me. Natália Cândido Homem
Possui Graduação em Engenharia Química pela Universidade do Sul de 
Santa Catarina (2014) e Mestrado em Engenharia Química pela Universidade 
Estadual de Maringá (2016). Atualmente é Doutoranda em Engenharia 
Química no Programa de Pós-graduação em Engenharia Química da 
Universidade Estadual de Maringá (2016 - 2019).
SEJA BEM-VINDO(A)!
Caro(a) aluno(a), seja bem-vindo(a)!
Você provavelmente já ouviu falar do desastre ambiental causado pela ruptura da estru-
tura da barragem do fundão, em Mariana, na região central de Minas Gerais, em novem-
bro de 2015. O rompimento da barragem destruiu o distrito mineiro de Bento Rodrigues 
e vem sendo considerado o maior desastre do gênero da história mundial nos últimos 
100 anos. Se pararmos um segundo para considerar a relevância desse evento, fica clara 
a importância de você, futuro(a) engenheiro(a), compreender o modo como o material 
que compõe uma estrutura pode ser afetado por diferentes fatores. 
A Mecânica e Resistência dos Materiais é um ramo da mecânica que estuda o compor-
tamento de estruturas quando submetidas aos mais diversos tipos de carregamentos. 
Dentre essas estruturas podemos incluir as vigas, barras, eixos e colunas utilizadas na 
construção civil e em equipamentos industriais, bem como tubulações e vasos de pres-
são. Assim, o principal objetivo da Mecânica e Resistência dos Materiais é determinar as 
tensões e deformações que podem ocorrer nessas estruturas e em seus componentes 
devido à ação desses carregamentos. Por causa da sua importância e aplicação, esta 
disciplina é um assunto essencial para os mais diversos campos da engenharia.
Dessa forma, é com satisfação que nós, os professores Artur e Natália, desenvolvemos 
este livro, como parte integrante de um conjunto de materiais voltados ao aprendizado 
de Mecânica e Resistência dos Materiais. O nossoprincipal objetivo foi apresentar os 
conteúdos mais importantes e imprescindíveis desta disciplina, para que você, futuro(a) 
engenheiro(a), possa solidificar e ampliar ainda mais o seu conhecimento teórico neste 
assunto.
Visando simplificar os conteúdos abordados, procuramos expor o conteúdo de uma for-
ma objetiva e clara, sempre aliando os conceitos a exemplos práticos. Ao final de cada 
unidade, você encontrará atividades propostas que ajudarão na melhor fixação e com-
preensão dos conceitos apresentados. Você ainda poderá contar com materiais como 
uma mídia eletrônica, leituras e materiais complementares ao final de cada unidade, e 
diversas referências, selecionados criteriosamente para complementar e enriquecer seu 
aprendizado.
Desejamos que você tenha um excelente aprendizado! Bons estudos!
Artur Lemes Moretti e Natália Cândido Homem
APRESENTAÇÃO
MECÂNICA E RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
SUMÁRIO
09
UNIDADE I
CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE FIGURAS PLANAS, ESTÁTICA E 
CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO
15 Introdução 
16 Propriedades de Áreas Planas - Centroides e momentos de Inércia 
26 Propriedades de Áreas Planas - Teorema do Eixo Paralelo, Produto de 
Inércia, Rotação de Eixos e Eixos Principais 
36 Estática - Fundamentos da Mecânica 
41 Estática - Idealização de Estruturas e Diagramas do Corpo Livre 
46 Estática - Condições de Equilíbrio 
53 Considerações Finais 
59 Referências 
60 Gabarito 
UNIDADE II
TRAÇÃO, COMPRESSÃO E CISALHAMENTO
63 Introdução 
64 Tensões e Deformações 
68 Tensão e deformação de Cisalhamento 
72 Diagrama Tensão-Deformação 
78 Elasticidade, Plasticidade e Fluência 
84 Estruturas Estaticamente Indeterminadas 
SUMÁRIO
10
91 Considerações Finais 
98 Referências 
99 Gabarito 
UNIDADE III
ANÁLISE DE TENSÃO E DEFORMAÇÃO
103 Introdução 
104 Estado Plano de Tensões 
109 Tensões Principais e Tensões de Cisalhamento Máximas 
114 Círculo de Mohr para o Estado Plano de Tensões 
119 Lei de Hooke para o Estado Plano de Tensões 
121 Estado Plano de Deformações 
126 Considerações Finais 
130 Referências 
131 Gabarito 
UNIDADE IV
REAÇÕES VINCULARES E ESFORÇOS INTERNOS
135 Introdução 
136 Reações Vinculares 
141 Condições de Carga 
SUMÁRIO
11
144 Força Cortante e Momento Fletor 
148 Relações Entre Cargas, Forças Cortantes e Momentos Fletores 
152 Diagrama de Força Cortante e Momento Fletor 
159 Considerações Finais 
164 Referências 
165 Gabarito 
UNIDADE V
APLICAÇÕES EM TUBULAÇÕES E VASOS DE PRESSÃO
169 Introdução 
170 Natureza das Tensões 
172 Vasos de Pressão Esféricos e Cilíndricos 
178 Tensões na Superfície Interna 
182 Tensões na Superfície Externa 
189 Carregamentos Combinados 
195 Considerações Finais 
201 Referências 
202 Gabarito 
203 CONCLUSÃO 
U
N
ID
A
D
E I
Professor Me. Artur Lemos Moretti
Professora Me. Natália Cândido Homem
CARACTERÍSTICAS 
GEOMÉTRICAS DE FIGURAS 
PLANAS, ESTÁTICA E 
CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO
Objetivos de Aprendizagem
 ■ Apresentar conceitos básicos e avançados das propriedades das 
áreas planas.
 ■ Revisar conceitos fundamentais da mecânica aplicados em 
resistência dos materiais.
 ■ Definir estratégias para a representação de estruturas.
 ■ Apresentar as equações fundamentais da estática voltadas às 
aplicações em resistência dos materiais.
Plano de Estudo
A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade:
 ■ Propriedades de áreas planas – Centroides e Momentos de Inércia
 ■ Propriedades de áreas planas – Teorema do Eixo Paralelo, Produto de 
Inércia, Rotação de Eixos e Eixos Principais
 ■ Estática – Fundamentos da Mecânica
 ■ Estática – Idealização de estruturas e diagramas do corpo livre
 ■ Estática – Condições de equilíbrio
INTRODUÇÃO
Olá caro(a) aluno(a), seja bem-vindo(a) à Unidade 1!
Um dos pré-requisitos para que possamos compreender inicialmente qualquer 
tipo de estrutura, independentemente de sua complexidade (podemos considerar 
estruturas aqui como vigas, treliças, parafusos, pórticos, qualquer peça de uma 
máquina que atua em uma linha de produção etc.), é entender a forma como ela 
pode ser afetada por tensões, as quais são distribuídas ao longo dos elementos 
que a compõem. Assim, é imprescindível que você, como futuro(a) engenhei-
ro(a), saiba identificar e calcular as propriedades das figuras geométricas desses 
elementos. Por esse motivo, a Unidade I apresentará alguns conceitos básicos de 
matemática, mecânica e estática, aplicados à resistência dos materiais.
Os Tópicos 1 e 2 apresentam uma breve revisão das propriedades de figuras 
geométricas planas. Nesses tópicos, serão discutidos os conceitos e as equações 
necessários para a determinação de propriedades de figuras geométricas como 
os centróides, momentos de inércia e produto de inércia, dentre outros. 
Os Tópicos 3, 4 e 5 apresentam uma revisão de conceitos fundamentais da 
mecânica aplicados em resistência dos materiais. No Tópico 3, alguns concei-
tos sobre forças e leis fundamentais da física, necessários para o entendimento 
do comportamento de estruturas, serão relembrados. A idealização de estrutu-
ras e a construção de diagramas de corpo livre serão apresentadas no Tópico 4, 
como parte fundamental e introdutória ao último tópico, que abordará as equa-
ções fundamentais da estática voltadas às aplicações em resistência dos materiais. 
Todos os conceitos apresentados no decorrer desta unidade são de extrema 
importância, uma vez que muitos deles serão utilizados ao longo das próximas 
unidades.
Lembre-se de reforçar seu conhecimento realizando as atividades de estudo, 
apresentadas ao final da unidade. Bons estudos!
Introdução
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CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE FIGURAS PLANAS, ESTÁTICA E CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
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PROPRIEDADES DE ÁREAS PLANAS - CENTROIDES E 
MOMENTOS DE INÉRCIA
Caro(a) aluno(a), vamos começar este tópico relembrando alguns conceitos 
básicos que nos auxiliarão na compreensão do comportamento de forças que 
podem afetar os materiais. 
ÁREA
A área de uma superfície é uma das principais propriedades das figuras geomé-
tricas e pode ser definida como a medida de espaço delimitada pelo seu contorno. 
Cada figura geométrica possui uma área diferente, de acordo com seu formato. 
A unidade de medida de uma área é o comprimento (L) ao quadrado, ou seja, 
L². Podemos representá-la utilizando o sistema internacional de medidas (SI), 
sendo as unidades mais utilizadas o metro ao quadrado (m²) e o centímetro ao 
quadrado (cm²). 
Calcular a área de figuras planas regulares é relativamente simples, uma vez 
que já existem fórmulas matemáticas prontas para isso. No caso de superfícies 
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planas com contornos complexos, podemos generalizar o conceito de área como 
sendo a soma de elementos infinitesimais de área dA, em um determinado domí-
nio A, disposto nas coordenadas x e y (Figura 1). 
y
dA
x
Figura 1 - Área de uma superfície 
A área (A) dessa superfície pode, então, ser obtida por meio da integral apre-
sentada na Equação 1.
Uma outra propriedade geométrica importante é a posição do centroide de 
uma figura plana.
CENTROIDEDE FIGURAS PLANAS
Sabe-se que todos os corpos estão sujeitos à ação da gravidade, causada pelo 
efeito da força peso. Consequentemente, se uma superfície plana for dividida 
em vários pequenos elementos, essas partículas também sofrerão com a força 
peso (força vertical de cima para baixo). 
O centroide é considerado o centro geométrico de uma figura (GERE; 
GOODNO, 2010). Para figuras geométricas simples, como o quadrado, a posi-
ção do centroide é óbvia (Figura 2). 
AA = ∫
 
 
d (1) 
CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE FIGURAS PLANAS, ESTÁTICA E CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
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y
C
xx
y
Figura 2 – Centroide de um quadrado
No caso de figuras geométricas mais complexas, desde que sejam compostas por 
materiais homogêneos, o centróide coincidirá com o centro de gravidade do 
corpo. Ficou confuso? Podemos explicar de uma maneira mais simples, a par-
tir de um exemplo:
Exemplo 1: imagine uma viga suspensa por meio da aplicação de uma força. 
Caso essa força esteja sendo aplicada em seu centroide, ela permanecerá na 
horizontal, como pode ser observado na Figura 3(a). Já no caso de a força estar 
sendo aplicada em outro ponto (diferente do centroide), essa viga apresentará 
inclinação, porém ainda permanecerá sujeita à ação da gravidade, como pode-
mos ver na Figura 3(b). 
(a)
C
(b)
C
Figura 3 – Centroide de um corpo qualquer
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CÁLCULO DO CENTROIDE DE FIGURAS PLANAS
Neste item vamos aprender dois métodos para calcular o centroide de figuras 
planas. Para isso, começaremos considerando a seguinte figura plana com geo-
metria qualquer (Figura 4): 
y
C
dA
x
x
x
y
y
Figura 4 – Figura plana de geometria qualquer
Pelo método de integração, para obtermos o centroide dessa figura, devemos 
realizar a integração de toda área A, como está demonstrado nas Equações 2 e 3:
As integrais ∫xdA e ∫ydA são conhecidas como primeiro momento ou momento 
estático de área em relação aos eixos x e y, respectivamente, e representam a 
soma dos produtos das áreas diferenciais e de suas coordenadas. As integrais 
∫dA representam a área total A da forma.
x = 
A∫
 
 
d
 dA∫
 
 
x
 (2) 
 
y = 
A∫
 
 
d
 dA∫
 
 
y
 (3) 
CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE FIGURAS PLANAS, ESTÁTICA E CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO
Reprodução proibida. A
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Algumas fi guras com formatos diferenciados podem ser decompostas em 
várias fi guras menores, mais simples, de geometria conhecida. Para essas fi gu-
ras, é possível obter o centroide por meio de um método simplifi cado, conhecido 
como método das áreas compostas, que elimina a necessidade de utilizar inte-
gração. Esse método pode ser utilizado em casos onde a área e a localização 
do centroide sejam conhecidas (GERE e GOODNO, 2010; HIBBELER, 2010; 
TIMOSHENKO e GERE, 1983). 
Para isso, os símbolos de integração são substituídos por símbolos de soma-
tória fi nita e as equações 2 e 3 tomam a seguinte forma: 
Nas equações 4 e 5, e representam as coordenadas dos centroides de x 
e y de cada elemento, respectivamente, e a somatória ΣA representa a soma das 
áreas das partes componentes. 
Para facilitar o entendimento, o cálculo do centroide de uma fi gura por este 
método será demonstrado no Exemplo 2.
A localização de alguns centroides é especifi cada pelas condições de sime-
tria. Nos casos em que a área tem um eixo de simetria, seu centróide locali-
za-se ao longo daquele eixo.
(Russel C.)
x = 
∑
 
 
A
 A∑
 
 
x˜
 (4) 
 
y = 
∑
 
 
A
A∑
 
 
y˜
 (5) 
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21
Exemplo 2: vamos considerar a seção transversal da mesma viga do exemplo 
anterior, com as seguintes medidas: 
7,52cm
20cm
7,52cm
5,08cm
25,4cm
Figura 5 – Viga para cálculo do Centroide
Inicialmente, é importante que você saiba onde posicionar os eixos x e y. Pela 
Figura 6 podemos perceber que o eixo y foi posicionado ao longo do eixo de 
simetria e que posicionamos o eixo x ao longo da base da área. Dessa forma, 
temos que x=0 e, para obter o valor de y, o próximo passo é dividir a figura em 
figuras geométricas menores. Se observarmos com atenção, a viga é formada 
por retângulos (Figura 6). 
C
C
C
y
x
1
3
2
Figura 6 – Viga dividida em 3 retângulos
CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE FIGURAS PLANAS, ESTÁTICA E CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
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A fi gura pode, então, ser dividida em 3 retângulos, e a localização do cen-
troide de cada um deles pode ser calculada individualmente. Para isso, vamos 
construir uma tabela da seguinte maneira:
Tabela 1 – Tabela para o cálculo do centroide
1 0 36,68 150,4 0 5516,67
2 0 20,22 129,0 0 2608,38
3 0 3,76 150,4 0 565,50
Σ - - 429,80 - 8690,56
Fonte: os autores.
Finalmente, aplicamos a Equação 5, para encontrar . 
Substituindo os valores calculados na tabela, temos:
Utilizamos aqui a viga propositalmente, pois, sendo ela uma fi gura de geo-
metria simétrica, é possível comprovar o resultado dos cálculos de forma simples. 
Observe novamente a Figura 6. Imagine que, desta vez, posicionamos o eixo x 
de forma simétrica, da mesma forma que o eixo y. Nesse caso, o centroide loca-
liza-se, então, na interseção dos eixos, coincidindo com a posição que obtivemos 
pelo método das áreas compostas.
O centroide é uma propriedade geométrica importante, pois é necessário 
para o dimensionamento de equipamentos como vigas, correias, polias, engre-
nagens, parafusos, eixos, dentre outros, muito utilizados na vida profi ssional de 
um engenheiro. 
y = 
∑
 
 
A
A∑
 
 
y˜
= A +A +A1 2 3
y A +y A +y A˜1 1 ˜2 2 ˜3 3 (a) 
0, 2 cmy = 429,80 (cm²)
8690,56 (cm )3 = 2 2 (b) 
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23
Repare que ao introduzirmos o cálculo do centroide de figuras planas, men-
cionamos as integrais ∫ xdA e ∫ ydA, e comentamos que elas são conhecidas como 
primeiro momento. Para prosseguirmos, você deve saber que em algumas apli-
cações da resistência dos materiais existe a necessidade de obtermos um segundo 
momento, também conhecido como momento de inércia.
MOMENTO DE INÉRCIA
O momento de inércia nada mais é do que a resistência à rotação de um corpo 
em torno de um eixo. Considere uma figura plana com área A (Figura 7):
y
C
dA
x
x
y
Figura 7 – Figura plana de geometria qualquer
Também conhecido como segundo momento, nesse caso, os elementos de área 
dA são multiplicados pelo quadrado da distância a partir do eixo de referência. 
Dessa forma, os momentos de inércia de uma área plana em relação aos eixos x 
e y são dados pelas Equações 6 e 7.
CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE FIGURAS PLANAS, ESTÁTICA E CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IU N I D A D E24Nessas equações, x e y são as coordenadas do elemento diferencial da área 
dA (GERE e GOODNO, 2010). Para melhor visualizar a aplicação das Equações 
6 e 7 no cálculo do momento de inércia de uma figura, observe o Exemplo 3.
Exemplo 3: considere o retângulo de largura b e altura h (Figura 8 - a). Se os eixos 
forem posicionados em seu centroide e considerarmos um elemento de área diferencial 
dA em formato de uma faixa horizontal estreita, de largura b e altura dy, temos então 
a Figura 8 (b):
y
y
dA
dA
x
xb
10cm
h 16cm
dx
dy
(a) (b)
h
2
h
2
b
2
b
2
-
-
y
y
dA
dA
x
xb
10cm
h 16cm
dx
dy
(a) (b)
h
2
h
2
b
2
b
2
-
-
Figura 8 – Momentos de inércia de um retângulo
Podemos expressar o momento de inércia Ix, em relação ao eixo x, da seguinte 
maneira:
 dA ²bdyIx = ∫
 
 
y2 = ∫
2
h
h/2
y = 12
bh³ (a) 
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Da mesma forma, se considerarmos um elemento de área diferencial dA em 
formato de uma faixa vertical estreita, de altura h e largura dA (Figura 8 - b), 
podemos expressar o momento de inércia Iy em relação ao eixo y, da seguinte 
maneira:
Substituindo os valores de b e h (Figura 8 (a)) nas Equações a e b temos, então:
Perceba que o cálculo dos momentos de inércia dos eixos x e y resultou em 
valores diferentes. Isso ocorre porque o retângulo é uma figura assimétrica. No 
caso de uma figura simétrica, os momentos de inércia dos eixos x e y apresen-
tariam valores idênticos. 
 dA ²hdxIy = ∫
 
 
x2 = ∫
2
b/2
x = 12
hb³ (b) 
CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE FIGURAS PLANAS, ESTÁTICA E CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IU N I D A D E26
PROPRIEDADES DE ÁREAS PLANAS - TEOREMA DO 
EIXO PARALELO, PRODUTO DE INÉRCIA, ROTAÇÃO 
DE EIXOS E EIXOS PRINCIPAIS
TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS 
Se o momento de inércia em relação a um centroide for conhecido, é possível 
determinar o momento da área em torno de um eixo paralelo correspondente 
utilizando o teorema dos eixos paralelos. Considere a Figura 9, em que se 
deseja calcular o momento de inércia da área A em torno do eixo x, paralelo a 
x’, a uma distância d.
x
y
y’
d
xcC
A
dA
Figura 9 – Teorema dos eixos paralelos
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Aplicando-se a definição do momento de inércia para o cálculo desta pro-
priedade em torno do eixo x, temos as seguintes equações: 
Na equação 10, o primeiro termo corresponde ao cálculo do momento de 
inércia em relação ao eixo xc (Ixc). O segundo termo é zero, pois corresponde 
ao cálculo do momento de primeira ordem em torno do centroide (GERE e 
GOODNO, 2010).
O momento de inércia de uma área em relação a qualquer eixo em seu plano 
(Ix) é igual ao momento de inércia em relação a um eixo centroidal (Ixc) mais o 
produto da área e o quadrado da distância entre os dois eixos (d²A).
Como consequência disso, o momento de inércia aumenta conforme se 
aumenta a distância ao eixo centroidal, isso porque, para uma dada direção, o 
momento de inércia em relação ao eixo centroidal é o menor momento de inér-
cia de uma área (GERE; GOODNO, 2010). Em outras palavras, caro(a) aluno(a), 
é mais fácil fazer girar um objeto em torno de um eixo que passa pelo centroide 
do que qualquer outro eixo!
Exemplo 4: para ilustrar o teorema dos eixos paralelos, considere o retângulo da Figura 
10. Sabe-se que o momento em relação ao eixo xc é Ixc = bh³/12 . Qual o momento em 
relação ao eixo x?
Resolução: da Figura 10, notamos que a distância entre os eixos xc e x é , h/2 assim, 
aplicando o teorema dos eixos paralelos: 
Propriedades de Áreas Planas - Eixos
dAIx =∫
 
 
(y )′ + d 2 (8) 
(y dy )dAIx =∫
 
 
2′ + 2 ′+ d2 (9) 
dA d dA AIx =∫
 
 
y2′ + 2 ∫
 
 
y′ + d2 (10) 
dAIx =∫
 
 
(y )′ + d 2 (8) 
(y dy )dAIx =∫
 
 
2′ + 2 ′+ d2 (9) 
dA d dA AIx =∫
 
 
y2′ + 2 ∫
 
 
y′ + d2 (10) 
dAIx =∫
 
 
(y )′ + d 2 (8) 
(y dy )dAIx =∫
 
 
2′ + 2 ′+ d2 (9) 
dA d dA AIx =∫
 
 
y2′ + 2 ∫
 
 
y′ + d2 (10) 
CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE FIGURAS PLANAS, ESTÁTICA E CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO
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IU N I D A D E28
Figura 10 – Teorema dos eixos paralelos em um retângulo
Com o teorema dos eixos paralelos, é possível determinar o momento de inér-
cia de áreas compostas, conforme será demonstrado no Exemplo 5.
Exemplo 5: a Figura 11 mostra a seção transversal de uma viga T. Calcule o momento 
de inércia em torno do eixo x’, centroide da área.
 AIx = Ixc + d
2 (a) 
bhIx = 12
bh3 + ( )2
h 2 (b) 
Ix = 12
bh3 + 4
bh3 (c) 
Ix = 3
bh3 (d) 
 AIx = Ixc + d
2 (a) 
bhIx = 12
bh3 + ( )2
h 2 (b) 
Ix = 12
bh3 + 4
bh3 (c) 
Ix = 3
bh3 (d) 
 AIx = Ixc + d
2 (a) 
bhIx = 12
bh3 + ( )2
h 2 (b) 
Ix = 12
bh3 + 4
bh3 (c) 
Ix = 3
bh3 (d) 
 AIx = Ixc + d
2 (a) 
bhIx = 12
bh3 + ( )2
h 2 (b) 
Ix = 12
bh3 + 4
bh3 (c) 
Ix = 3
bh3 (d) 
x
h
b
xc
yc
h
2
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29
2cm
5cm
10cm
1,5cm
1,5cm
8cm
8 cm
C
x’
4 cm
Figura 11 – Viga em formato de T
Resolução: a área foi separada em dois retângulos, como pode ser observado 
na Figura 11. Como visto anteriormente, o momento de inércia de um retângulo 
em relação ao centroide é dado por I=bh³/12. Aplicando o teorema dos eixos 
paralelos para cada retângulo e somando os resultados:
Propriedades de Áreas Planas - Eixos
dI = ∑
 
 
I + A y2 (a)
b h b h d dI = 112 1
3
1 + 112 2
3
2 + A1
2
y,1 + A1
2
y,2 (b)
×2×10 ×8×3 ] 2×10×(8, 5 ) ×3×(4, 5 , ) ] I = [ 112
3 + 112
3 + [ 5 − 5 2 + 8 4 − 1 5 2 (c) 
 46 cm I = 6
4 (d) 
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O momento de inércia de uma área é, de maneira geral, diferente para cada 
eixo. Determinar os momentos de inércia mínimos e máximos é importante em 
algumas aplicações de projeto mecânico e estrutural (HIBBELER, 2010). Antes 
de determiná-los, entretanto, é necessário definir o produto de inércia.
 PRODUTO DE INÉRCIA 
O produto de inércia de uma área A, mostrada na Figura 12, é definido como: 
 Ixy =∫ xydA (12)
y
C
A
dA
x
x
y
Pela definição, cada elemento de área dA é multiplicado pelo produto 
de suas coordenadas. Dessa forma, o produto de inércia pode ser positivo, 
negativo ou zero, dependendo da localização da área em relação aos eixos 
coordenados. 
É possível notar, pela Figura 13, que se a área se encontra inteira no pri-
meiro quadrante (Q1), o produto de inércia é positivo, pois cada elemento dA 
tem coordenadas x e y positivas, ou seja:
 Ixy,Q1 =∫ xydA > 0 (13)
Figura 12 – Produto de inércia
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Se a área se encontra no segundo quadrante (Q2), o produto de inércia é 
negativo, pois cada elemento tem uma coordenada y positiva e uma coordenada 
x negativa. Aplicando a definição, obtém-se: 
 Ixy,Q2 = ∫(− x)ydA =− ∫ xydA < 0 (14)
Um pensamento semelhante pode ser aplicado para se analisar o terceiro 
quadrante (Q3) (que possui produto de inéricia positivo) e o quarto quadrante 
(Q4) (que possui momento de inércia negativo). Faça este exercício! Aplique a 
Equação 12 quando as coordenadas x e y são as duas negativas (3° quadrante) e 
quando apenas a coordenada y é negativa (4° quadrante). 
Ficou em dúvida quanto ao sinal do produto de inércia? Olhe na Figura 13! 
y
-y
Q2 Q1
Q3 Q4
Ixy < 0
Ixy > 0
Ixy > 0
Ixy < 0
x
-x x
y
Figura 13 – Sinal do produto de inércia, de acordo com o quadrante em que a área está localizada
Definido o produto de inércia, é possível apresentar uma forma de se obter 
os momentos de inércia mínimos e máximos.
Propriedades de Áreas Planas - Eixos
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ROTAÇÃO DE EIXOS E EIXOS PRINCIPAIS 
Observe a Figura 14. Nela uma área arbitrária A é apresentada junto com dois 
sistemas de eixos coordenados. As coordenadas do elemento de área dA para 
o primeiro é (x,y). Os momentos de inércia e o produto de inércia em relação 
a esses eixos são: 
dA
y
y
x
x
y’
y’
x’
x’
Figura 14 – Elemento de área dA em eixos coordenados xy e x’y’
Os eixos x’ e y’ possuem a mesma origem que os eixos xy, entretanto encon-
tram-se rotacionados em um ângulo θ no sentido anti-horário. Neste sistema, 
as coordenadas do elemento dA é x’ e y’ e os momentos de inércia e o produto 
de inércia em relação a esses eixos são: 
dAIx =∫
 
 
y2 (15) 
dAIy =∫
 
 
x2 (16) 
ydAIxy =∫
 
 
x (17) 
dAIx =∫
 
 
y2 (15) 
dAIy =∫
 
 
x2 (16) 
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Propriedades de Áreas Planas - Eixos
A relação entre Ix' Iy' e Ix'y' com Ix, Iy e Ixy é dada pelas seguintes equações: 
Essas relações são conhecidas como equações de transformação para momen-
tos e produto de inércia. Em projeto mecânico ou estrutural, às vezes é necessário 
calcular os momentos e produto de inércia para uma área em relação a um conjunto de 
eixos x’ e y’ inclinados quando são dados os valores de θ, Ix, Iy e Ixy (HIBBELER, 2010).
As equações 21 a 23 mostram que os momentos variam com a inclinação 
dos eixos x’ e y’. Os valores de θ em que são observados os momentos máxi-
mos ou mínimos são chamados de eixos principais de inércia para a área 
(HIBBELER, 2010).
Se θp é o ângulo que define a orientação dos eixos que fornece os momentos 
de inércia máximos ou mínimos, θp é dado resolvendo-se a seguinte equação: 
dAIx′ = ∫
 
 
y′2 (18) 
dAIy′ = ∫
 
 
x′2 (19) 
ydAIxy′ ′ = ∫
 
 
x′ ′ (20) 
A relação entre e com , e é dada pelas seguintes equações:Ix′ Iy′ Ixy′ ′ Ix Iy Ixy 
cos (2θ) sen(2θ) Ix′ = 2
I +Ix y + 2
I −Ix y − Ixy (21) 
cos (2θ) sen(2θ) Iy′ = 2
I +Ix y − 2
I −Ix y + Ixy (22) 
sen (2θ) cos(2θ) Ixy′ ′ = 2
I −Ix y + Ixy (23) 
g(2θ ) − t p = Ixy(I −I )/2x y (24) 
ydAIxy′ ′ = ∫
 
 
x′ ′ (20) 
A relação entre e com , e é dada pelas seguintes equações:Ix′ Iy′ Ixy′ ′ Ix Iy Ixy 
cos (2θ) sen(2θ) Ix′ = 2
I +Ix y + 2
I −Ix y − Ixy (21) 
cos (2θ) sen(2θ) Iy′ = 2
I +Ix y − 2
I −Ix y + Ixy (22) 
sen (2θ) cos(2θ) Ixy′ ′ = 2
I −Ix y + Ixy (23) 
g(2θ ) − t p = Ixy(I −I )/2x y (24) 
ydAIxy′ ′ = ∫
 
 
x′ ′ (20) 
A relação entre e com , e é dada pelas seguintes equações:Ix′ Iy′ Ixy′ ′ Ix Iy Ixy 
cos (2θ) sen(2θ) Ix′ = 2
I +Ix y + 2
I −Ix y − Ixy (21) 
cos (2θ) sen(2θ) Iy′ = 2
I +Ix y − 2
I −Ix y + Ixy (22) 
sen (2θ) cos(2θ) Ixy′ ′ = 2
I −Ix y + Ixy (23) 
g(2θ ) − t p = Ixy(I −I )/2x y (24) 
ydAIxy′ ′ = ∫
 
 
x′ ′ (20) 
A relação entre e com , e é dada pelas seguintes equações:Ix′ Iy′ Ixy′ ′ Ix Iy Ixy 
cos (2θ) sen(2θ) Ix′ = 2
I +Ix y + 2
I −Ix y − Ixy (21) 
cos (2θ) sen(2θ) Iy′ = 2
I +Ix y − 2
I −Ix y + Ixy (22) 
sen (2θ) cos(2θ) Ixy′ ′ = 2
I −Ix y + Ixy (23) 
g(2θ ) − t p = Ixy(I −I )/2x y (24) 
ydAIxy′ ′ = ∫
 
 
x′ ′ (20) 
A relação entre e com , e é dada pelas seguintes equações:Ix′ Iy′ Ixy′ ′ Ix Iy Ixy 
cos (2θ) sen(2θ) Ix′ = 2
I +Ix y + 2
I −Ix y − Ixy (21) 
cos (2θ) sen(2θ) Iy′ = 2
I +Ix y − 2
I −Ix y + Ixy (22) 
sen (2θ) cos(2θ) Ixy′ ′ = 2
I −Ix y + Ixy (23) 
g(2θ ) − t p = Ixy(I −I )/2x y (24) 
CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE FIGURAS PLANAS, ESTÁTICA E CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO
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IU N I D A D E34
Essa equação possui duas raízes separadas por um ângulo de 90°. Um 
valor de θp fornece o momento de inércia mínimo enquanto o outro fornece 
o máximo valor do momento de inércia. A intensidade dos valores míni-
mos e máximos de momento de inércia são dados pelas seguintes relações: 
Exemplo 6: calcule os momentos principais de inércia para a área da seção trans-
versal da viga mostrada na Figura 15 em relação ao eixo que passa pelo centroide 
C. Sabe-se que:
, 0×10 mIx = 2 9 −3 4 
, 0×10 mIy = 5 6 −3 4 
− , 0×10 mIxy = 3 0 −3 4 
 Imin = 2
I +Ix y − √( )2I −Ix y 2 + Ix y
 Imáx = 2
I +Ix y + √( )2I −Ix y 2 + Ix y
2
2
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Resolução: a Equação (24) fornece os ângulos de inclinação dos eixos prin-
cipais x’ e y’: 
Os momentos principais de inércia são calculados pelas Equações (25) e (26)
Propriedades de Áreas Planas - Eixos
C
y
x
0,4m
0,4m
0,1m
0,1m
0,6m
0,1m
g(2θ ) − − − , 2 t p = Ixy
2
(I −I )x y =
−3,00×10−3
2
(2,90×10 −5,60×10 )−3 −3
= 2 2 (a) 
 
θ rctg(− , 2) 2 p = a 2 2 (b) 
 
θ 14, ° e 2θ − 5, °2 p = 1 2 p = 6 8 (c) 
 
7, ° e θ − 2, °θp = 5 1 p = 3 9 (d) 
g(2θ ) − − − , 2 t p = Ixy
2
(I −I )x y =
−3,00×10−3
2
(2,90×10 −5,60×10 )−3 −3
= 2 2 (a) 
 
θ rctg(− , 2) 2 p = a 2 2 (b) 
 
θ 14, ° e 2θ − 5, °2 p = 1 2 p = 6 8 (c) 
 
7, ° e θ − 2, °θp = 5 1 p = 3 9 (d) 
g(2θ ) − − − , 2 t p = Ixy
2
(I −I )x y =
−3,00×10−3
2
(2,90×10 −5,60×10 )−3 −3
= 2 2 (a) 
 
θ rctg(− , 2) 2 p = a 2 2 (b) 
 
θ 14, ° e 2θ − 5, °2 p = 1 2 p = 6 8 (c) 
 
7, ° e θ − 2, °θp = 5 1 p = 3 9 (d) 
g(2θ ) − − − , 2 t p = Ixy
2
(I −I )x y =
−3,00×10−3
2
(2,90×10 −5,60×10 )−3 −3
= 2 2 (a) 
 
θ rctg(− , 2) 2 p = a 2 2 (b) 
 
θ 14, ° e 2θ − 5, °2 p = 1 2 p = 6 8 (c) 
 
7, ° e θ − 2, °θp = 5 1 p = 3 9 (d) 
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IU N I D A D E36
 Imin = 2
I +Ix y − √( )2I −Ix y 2 + Ixy (e) 
 
 Imin = 2
2,90×10 +5,60×10−3 −3 −√( ) − , 0×10 )22,90×10 −5,60×10−3 −3 2 + ( 3 0 −3 (f) 
 
, 6×10 mm Imin = 0 9
−3 4 
 Imin = 2
2,90×10 +5,60×10−3 −3 +√( ) − , 0×10 )22,90×10 −5,60×10−3 −3 2 + ( 3 0 −3 (g) 
 
, 4×10 mImin = 7 5
−3 4 
 Imin = 2
I +Ix y − √( )2I −Ix y 2 + Ixy (e) 
 
 Imin = 2
2,90×10 +5,60×10−3 −3 −√( ) − , 0×10 )22,90×10 −5,60×10−3 −32 + ( 3 0 −3 (f) 
 
, 6×10 mm Imin = 0 9
−3 4 
 Imin = 2
2,90×10 +5,60×10−3 −3 +√( ) − , 0×10 )22,90×10 −5,60×10−3 −3 2 + ( 3 0 −3 (g) 
 
, 4×10 mImin = 7 5
−3 4 
 I = 2
2,90×10 +5,60×10−3 −3 +√( ) − , 0×10 )22,90×10 −5,60×10−3 −3 2 + ( 3 0 −3 2
Estática - Fundamentos da Mecânica
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ESTÁTICA - FUNDAMENTOS DA MECÂNICA
Caro(a) aluno(a)! Nos tópicos que seguem, apresentaremos alguns conceitos 
básicos de física e geometria analítica aplicados à Mecânica e Resistência dos 
Materiais. Em física, revisaremos conceitos relacionados à estática, enquanto 
que, em geometria analítica, alguns conceitos sobre vetores serão importantes. 
Sinta-se à vontade para utilizar suas apostilas de física e geometria analítica ou 
outro material com o qual você tenha mais facilidade. 
A estática é uma área da mecânica e, segundo Shames (2002), mecânica é a 
ciência que estuda o comportamento dinâmico dos corpos quando sob ação de 
perturbações mecânicas, como as forças. Como esse comportamento se encontra 
presente em muitas situações na vida profissional de um engenheiro, a mecânica 
pode ser considerada como o núcleo fundamental de grande parte da análise 
em engenharia. 
CONCEITOS BÁSICOS 
Dentre os conceitos básicos da mecânica, neste livro serão utilizados os concei-
tos de força e de corpo rígido.
CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE FIGURAS PLANAS, ESTÁTICA E CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO
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IU N I D A D E38
Força é a ação de um corpo sobre outro. Quando aplicada em um corpo, 
a força tende a mover o corpo na direção de sua ação. Uma força é bem carac-
terizada quando ficam claros: o seu valor (ou módulo), a direção de sua ação 
(direção) e seu ponto de aplicação (sentido). Dessa forma a força é uma gran-
deza vetorial.
Além de tender o movimento, a aplicação de uma força provoca certo grau 
de deformação do corpo. Quando o grau de deformação é muito pequeno, ao 
ponto de ser desprezível, dizemos que temos um corpo rígido, ou seja, um corpo 
que não sofre qualquer deformação quando sujeito à aplicação de uma força. 
Ficou confuso (a)? Olhe a Figura 16 (a). Nesta figura se deseja determinar as for-
ças transmitidas ao solo como resultado de uma carga P.
Se muito pequena, a carga P provocará na viga uma pequena deflexão e 
será possível analisar o problema de maneira simples e direta, desconsiderando 
a geometria deformada. Entretanto, se uma análise mais precisa for necessária, 
deve-se conhecer a posição da carga na viga após ocorrer a deformação. Como 
mostrado de maneira exagerada, na Figura 16 (b).
P
(a)
(b)
P P’
P
(a)
(b)
P P’
Figura 16 – Hipótese do corpo rígido em (a) e Viga deformável em (b) 
Fonte: os autores.
Análises precisas são mais complicadas, pois podem conduzir a cálculos 
mais complexos. Em algumas situações, a precisão que se quer obter só é atin-
gida utilizando-se uma análise mais detalhada das deformações. Você pode 
se perguntar: quando vou utilizar uma análise mais complexa e quando vou 
Estática - Fundamentos da Mecânica
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usar uma análise mais simples? O princípio fundamental, caro(a) estudante, 
é efetuar simplificações consistentes com a precisão requerida para os resul-
tados (SHAMES, 2002).
Como as forças são grandezas vetoriais, são válidos todos os conceitos que 
foram dados em álgebra vetorial, dentre eles, o conceito de módulo, multipli-
cação por escalar, adição e subtração de vetores, decomposição de vetores além 
dos produtos escalares e vetoriais entre vetores. Dentre os conceitos que envol-
vem vetores, é necessário diferenciar igualdade e equivalência entre vetores.
IGUALDADE E EQUIVALÊNCIA DE VETORES 
Em mecânica, é comum o surgimento de vetores iguais e vetores equivalentes. 
Dois vetores são iguais se eles possuem o mesmo módulo, direção e sentido. 
Observe a Figura 17, prezado(a) aluno(a), nela, três forças F1, F2 e F3 são apli-
cadas em uma barra. Notamos que as forças F1 e F2 são igualmente inclinadas 
em relação à barra, possuem mesmo comprimento e têm o mesmo sentido. De 
acordo com a definição que foi dada, essas forças são iguais. A força F3, entre-
tanto, possui metade do módulo que as forças anteriores. Dessa forma, o vetor 
F3 é diferente dos vetores F1 e F2. 
F1=100 kN
2m 1m 1m
A
F2=100 kN
F3=50 kN
Figura 17 – Forças iguais e equivalentes atuando em uma barra
a R = m (27) 
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IU N I D A D E40
Por outro lado, dois vetores são equivalentes em relação a determinada 
propriedade se cada um deles produz o mesmo efeito sobre essa propriedade. 
Confuso (a)? Observe novamente a Figura 17.
Se a propriedade que estivermos avaliando for o momento em relação ao 
ponto A, nota-se que a Força F1 possui momento igual a 200 kNm, a força F2 tem 
momento igual a 300 kNm e a força F3 tem momento igual a 200 kNm. 
Veja que situação: vetores iguais (F1 e F2) produzem momentos diferentes, 
enquanto vetores diferentes (F1 e F3) produzem momentos iguais. 
Duas conclusões importantes: a primeira é, de acordo com a definição 
apresentada dois parágrafos acima, F1 e F3 são equivalentes. A segunda é mais 
importante: vetores iguais não são necessariamente equivalentes! Além disso, 
vetores diferentes podem ser equivalentes! Isso ocorre porque a equivalência 
depende da situação em análise.
Quando se analisam as forças, não podemos deixar de falar a respeito das 
leis que elas obedecem: as leis de Newton.
LEIS DE NEWTON 
Para se trabalhar de maneira satisfatória muitas situações que serão apresen-
tadas neste livro, é necessário relembrar o conjunto das leis que fundamentam 
toda a mecânica: as leis de Newton (HALLIDAY e RESNICK e WALKER, 2009).
Pela primeira lei de Newton, se nenhuma força resultante atua sobre o 
corpo, sua velocidade não pode mudar, em outras palavras, se o corpo se encon-
tra em repouso ele permanece em repouso e se este se encontra em movimento, 
permanece em movimento. Pela segunda lei de Newton, a força aplicada em 
um corpo (R) é igual ao produto da massa (m) pela sua aceleração (a), como 
descrito na Equação 27. Neste livro, como estamos considerando a estática, 
as estruturas apresentadas deverão permanecer em repouso! Sendo assim, a 
aceleração é nula!
 R= ma (27)
Estática - Fundamentos da Mecânica
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Já a terceira lei de Newton será muito aplicada no decorrer deste livro! 
Preste atenção! Quando dois corpos interagem, um par de forças com mesmo 
módulo e direção, mas com sentido contrário, surge. 
Na Figura 18 (a), uma barra com peso W é suportada por dois apoios, A e 
B. De acordo com a terceira lei de Newton, da interação entre a barra e os apoios 
devem surgir forças de mesma intensidade e módulo, mas com sentido contrá-
rio. Essas forças estão representadas na Figura 18 (b), por RA e RB. Vale notar 
que o par ação e reação não se anula, pois são aplicadas em corpos diferentes.
(b)
-RA -RBwA B
w
(a)
A
RA RB
B
Figura 18 – Barra suspensa por apoios em (a) e os pares ação e reação em cada suporte em (b)
2O momento (ou torque) de uma força mede a capacidade que a força tem 
em fazer um corpo girar. Mede-se o torque multiplicando-se a componente 
da força que de fato promove a rotação (componente tangencial) pela dis-
tância ao eixo de rotação.
Fonte: os autores, baseados em Halliday, Resnick e Walker (2009).
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IU N I D A D E42
Caro(a) aluno(a), com os conceitos apresentados, estamos prontos para 
entrar nos últimos tópicos desta unidade, nos quais serão apresentadas formas 
de representar sistemas estruturais de maneira simples e como se analisar as for-
ças em diagramas do corpo livre. 
ESTÁTICA - IDEALIZAÇÃO DE ESTRUTURAS E 
DIAGRAMAS DO CORPO LIVRE
No novo dicionário Aurélio da língua portuguesa (DE HOLANDA FERREIRA 
e FERREIRA e DOS ANJOS, 2009), a palavra estrutura é definida como a parte 
de uma construção que se destina a resistir a cargas, dentre outras definições. 
Neste tópico, vamos introduzir alguns conceitos sobre análise e representa-
ção de estruturas e demonstrar sua importância na mecânica e resistência dos 
materiais. 
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IDEALIZAÇÃO DE ESTRUTURAS
O primeiro passo de um projeto geralmente é avaliar a estrutura que desejamos 
dimensionar, para que possamos entender a forma como esta é afetada por for-
ças distribuídas ao longo dos elementos que a compõem. Para isso, é comum 
que os projetistas utilizem de seus apoios e das cargas aplicadas (LEET e UANG 
e GILBERT, 2014). 
Considere o pórtico rígido de aço estrutural da Figura 19 (a).
A
B
D
h
R R
L
(b)
C
wL
2
w
wL
2
carga de neve
viga mestra
tirante
paredegraute
place de
base
ligação
rígida
L
(a)
A
B
D
C
h
Figura 19 – (a) Pórtico rígido soldado com carga de neve e (b) pórtico idealizado 
no qual a análise 
Fonte: baseado em Leet et al. (2014).
A Figura 19 (b) representa o esboço simplificado da Figura 19 (a). As linhas 
de comprimento L e altura h representam a viga e as colunas, respectivamente.
Leet et al. (2014) apresentam duas suposições para criar este esboço: a pri-
meira é de que, embora a carga máxima aplicada na viga mestra do pórtico possa 
ser criada pelo acúmulo desigual de neve úmida e pesada, pode-se projetar o pór-
tico para uma carga uniforme w equivalente. Essa suposição pode ser feita desde 
que a carga equivalente produza nas barras forças com a mesma magnitude da 
carga real. A segunda suposição utilizada é a de que, embora alguma restrição 
rotacional obviamente se desenvolva na base das colunas, é possível desprezá-la 
e presumir que os apoios reais podem ser representados por articulações fixas. 
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IU N I D A D E44
Essa suposição pode ser feita pois, em primeiro lugar, não há nenhum proce-
dimento simples para avaliar a restrição rotacional. Sabe-se também que, nesse 
caso, a restrição rotacional é modesta, ocorrendo somente devido à deformação 
de flexão da placa, ao alongamento dos parafusos e aos pequenos movimentos 
laterais da parede. Por fim, os autores alegam que a suposição de uma articula-
ção fixa na base é conservadora.
A idealização de uma estrutura leva ao desenvolvimento de um modelo 
físico simplificado, no qual a análise estrutural será baseada. Para que possamos 
desenvolver esse modelo para qualquer tipo de estrutura, devemos aprender a 
construir diagramas de corpo livre.
DIAGRAMA DO CORPO LIVRE
De uma forma geral, construir um diagrama de corpo livre é, basicamente, deter-
minar e isolar, sem qualquer ambiguidade, o corpo específico a ser analisado e 
representar claramente todas as forças que atuam sobre o corpo. Parece simples, 
não é? Entretanto, a construção incorreta de um diagrama de corpo livre conduzirá 
a resultados errados. Por esse motivo, esta etapa é considerada a mais impor-
tante na solução de problemas da mecânica (SHAMES, 2002). Após a decisão 
do isolamento do corpo ou do conjunto de corpos, passamos a tratar esse corpo 
como um único corpo isolado, e somente após construirmos cuidadosamente 
o diagrama de corpo livre é que as equações de equilíbrio devem ser escritas.
Exemplo 7: considere a estrutura apresentada na Figura 20. As cargas F1 e F2 são 
conhecidas, assim como o peso W da viga. Sabe-se que a viga está em equilíbrio, 
e que sua pequena deflexão não afeta consideravelmente as forças transmitidas 
ao solo. O ponto de apoio da viga na extremidade direita está sobre roletes (ou 
seja, pode haver movimento horizontal, de compressão ou de tração, ou tam-
bém, a contração térmica da viga). Determine as forças transmitidas ao solo por 
meio do diagrama de corpo livre, visando o projeto de uma fundação capaz de 
suportar adequadamente a estrutura. 
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F1 F2
Figura 20 – Viga sob a ação de cargas
Como vimos anteriormente, o primeiro passo para construir o diagrama é iso-
lar o corpo livre. Nesse caso, o corpo rígido que pode ser isolado para análise é 
a viga. O diagrama de corpo livre desta figura é, então, dado por:
w
Ѳ
F1
R1
F2
R2
Figura 21 – Diagrama de corpo livre da viga
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A força R1 (posicionada na extremidade esquerda da viga) é uma força des-
conhecida de reação, relacionada com a força de ação que passa pelo ponto A, 
e que possui direção θ.
A força R2 (posicionada na extremidade direita da viga) é uma força desconhe-
cida de direção vertical. Por causa dos roletes, a força exercida horizontalmente 
pelo solo é desprezível, pois ela é muito pequena.
A partir do momento em que as 3 forças desconhecidas R1, R2, e θ sejam iden-
tificadas (assim como as outras forças que estão atuando sobre a viga), podemos 
escrever as equações de equilíbrio para essa estrutura. 
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ESTÁTICA - CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO
Caro(a) aluno(a), você lembra das leis de Newton? As duas primeiras leis 
apresentam em sua definição o conceito de força resultante (R). A força 
resultante para qualquer sistema de forças é definida como sendo a soma 
vetorial de todas as forças presentes no sistema. Como vetores apresentam 
componentes nas direções x e y, as equações 28 e 29 são as que definem a 
força resultante em um sistema complanar de forças, ou seja, sistemas de 
forças que estão em um plano.
De maneira semelhante, o momento resultante (M) produzido pela 
força resultante sobre um eixo de referência através de um ponto deve ser 
igual à soma de todos os momentos produzidos por todas as forças que com-
põem o sistema de forças original (LEET; UANG; GILBERT, 2009). Ou de 
maneira matemática: 
ixo x→RE x = ∑
 
 
Fx (28) 
 
ixo y→RE y = ∑
 
 
Fy (29) 
d dM = R = ∑
 
 
F i i +∑
 
 
Mi (30) 
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Os conceitos apresentados ficam mais claros quando aplicados. Para 
isso, dê uma olhada na Figura 22, pois ela apresenta a ação de três forças 
ao longo da extensão de uma viga, fixa no ponto A e imóvel. Pela equação 
28, a força resultante ao longo do eixo x é nula, pois não existem forças 
nesta direção! Já pela equação 29, a força resultante ao longo da direção 
vertical (eixo y) é: 
Além disso, o momento produzido por essas forças em relação ao eixo A é:
F1=200 kN
1m
A
F2=100 kN
F3=50 kN
1,5m
2m
x
y
Figura 22 – Viga sob ação de três forças
Ou seja, podemos substituir o sistema de forças pela força resultante Ry = 350 kN e 
essa força deve produzir um momento com intensidade de 450 kNm em rela-
ção ao eixo A.
 
00 00 0 50 kNRy = F 1 + F 2 + F 3 = 2 + 1 + 5 = 3 (31) 
 
Além disso, o momento produzido por essas forças em relação ao eixo A é: 
 
d d d d dM = R = ∑
 
 
F i i + ∑
 
 
Mi = F 1 1 + F 2 2 + F 3 3 + 0 (32) 
 
00×1 00×1, 0×2 50 kNm M = 2 + 1 5 + 5 = 4 (33) 
 
00 00 0 50 kNRy = F 1 + F 2 + F 3 = 2 + 1 + 5 = 3 (31) 
 
Além disso, o momento produzido por essas forças em relação ao eixo A é: 
 
d d d d dM = R = ∑
 
 
F i i + ∑
 
 
Mi = F 1 1 + F 2 2 + F 3 3 + 0 (32) 
 
00×1 00×1, 0×2 50 kNm M = 2 + 1 5 + 5 = 4 (33) 
 
00 00 0 50 kNRy = F 1 + F 2 + F 3 = 2 + 1 + 5 = 3 (31) 
 
Além disso, o momento produzido por essas forças em relação ao eixo A é: 
 
d d d d dM = R = ∑
 
 
F i i + ∑
 
 
Mi = F 1 1 + F 2 2 + F 3 3 + 0 (32) 
 
00×1 00×1, 0×2 50 kNm M = 2 + 1 5 + 5 = 4 (33) 
Estática - Condições de Equilíbrio
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Mas onde deve ser aplicada essa força? Não pode ser em qualquer lugar! A 
força resultante deve ser equivalente ao sistema de forças original, caso contrário 
o problema todo é modificado. Essa resposta nos é dada ao se aplicar a equação 30! 
Na Figura 23, substituímos o conjunto de forças pela força resultante, dis-
tante do ponto A a uma distância d. A aplicação da equação 30 resulta em:
A
Ry=350 kN
d
x
y
Figura 23 – Sistema equivalente ao apresentado na Figura 22
Portanto, o sistema apresentado na Figura 23 com d =1,29 m é equivalente 
ao sistema apresentado na Figura 22.
dM = R (34) 
 
50 50 d4 = 3 (35) 
, 9 m d = 1 2 (36) 
dM = R (34) 
 
50 50 d4 = 3 (35) 
Substituir o conjunto de forças e momentos que atuam em um corpo ape-
nas pela força resultante e pelo momento resultante não muda o problema.
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No início do problema, foi dito que a viga estava fixa no ponto A e que era 
imóvel, lembra? Por imóvel, entenda que o corpo está em repouso. Estar em 
repouso é o mesmo que estar em estado de equilíbrio estático. Nessa situa-
ção, tanto aceleração linear quanto aceleração angular são iguais a zero (LEET 
e UANG e GILBERT, 2009). Como consequência disso, a força e o momento 
resultantes são nulos. Ou seja: 
Em outras palavras, prezado(a) aluno(a), as equações 37 e 38 estabelecem 
que a estrutura não está se movendo em nenhuma direção, enquanto a equação 
39 garante que esta não está girando.
Você pode se perguntar: mas se a viga na Figura 23 está parada e não está 
girando, como a força resultante é diferente de zero? Isso se deve, caro(a) aluno(a), 
porque na figura dada não levamos em consideração, de maneira proposital, a 
ação de todas as forças!
Lembra-se da terceira lei de Newton? Se aplicarmos no caso estudado, a 
parede vai reagir à força resultante, com mesmo módulo e direção, mas no sen-
tido contrário, como mostrado na Figura 24. 
Dessa forma, o estado de equilíbrio é caracterizado! A força resultante no 
sistema é nula, o que torna o momento resultante nulo também.
ixo x→RE x = 0 (37) 
 
ixo y→RE y = 0 (38) 
M = 0 (39) 
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Figura 24 – Reação da força resultante
Exemplo 8: calcule as reações para as vigas da Figura 25. O apoio em B não trans-
mite nenhuma força horizontal.
Considere: sen (θ) = 0,8 e cos (θ) = 0,6
Figura 25 – Cálculo das reações
Ry=350 kN
RA=-Ry
d=1,29m
x
y
A
B
D
F=25 kN
C
10m 5m 5m
θ
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Resolução: a melhor estratégia, nesse caso, é aplicar as equações 37, 38 e 39 para 
cada viga. Para isso, separamos a estrutura em dois copos livres, como mostrado 
na Figura 26. Ainda nesta figura, são mostradas as reações em cada ponto de 
apoio, que queremos determinar. 
Note ainda que a força F já está escrita em função de suas componentes (lem-
bre-se: Fy = Fsen(θ) e Fx = Fcos(θ).
RA,x
RA,y
RB
Rc,x
Rc,y
C
RB
Fx = 15 kN
Fy = 20 kN
RD, y
RD, x
B D
A
Figura 26 – Diagrama do corpo livre para cada viga
Aplicando as equações de equilíbrio no membro BD da Figura 26. 
Resolvendo as equações a, b e c, determinamos que RD = 15 kN, RB = 10 kN e RD,y 
= 10 kN. Com o o valor de RB podemos aplicar as equações de equilíbrio para a 
viga AC da Figura 26. 
ixo x→R →15E x = 0 − RD,x = 0 (a) 
ixo y→R →R 0E y = 0 B − 2 + RD,y = 0 (b) 
→R ×10 0×5M = 0 B − 2 = 0 (c) 
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Resolvendo as equações d, e e f, encontramos RA,x, RC,y = 20/3 kN e RA,y = 10/3 kN.
Verificação: aplicando Ry = 0 para a estrutura inteira, com os valores calculados: 
Caro(a) aluno(a), com esse exemplo foi possível verificar que a aplicação em 
estruturas com muitas interações se torna mais trabalhosa, mas ainda possível, 
quando se aplica às condições de equilíbrio estático para cada corpo.
, ×25RA,y + RC,y + RD,y − 0 8 = 0 
0 , ×253
10 + 3
20 + 1 − 0 8 = 0 
0 = 0 
ixo x→R →RE x = 0 A,x = 0 (d) 
 
ixo y→R →R 0E y = 0 A,y − 1 + RC,y = 0 (e) 
 
→10×10 5×RM = 0 − 1 C,y = 0 (f) 
ixo x→R →RE x = 0 A,x = 0 (d) 
 
ixo y→R →R 0E y = 0 A,y − 1 + RC,y = 0 (e) 
 
→10×10 5×RM = 0 − 1 C,y = 0 (f) 
ixo x→R →RE x = 0 A,x = 0 (d) 
 
ixo y→R →R 0E y = 0 A,y − 1 + RC,y = 0 (e) 
 
→10×10 5×RM = 0 − 1 C,y = 0 (f) 
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CONSIDERAÇÕES FINAIS
Prezado(a) aluno(a), nesta unidade foram apresentados conceitos fundamentais 
para uma compreensão inicial da Mecânica e Resistência dos Materiais. 
Vimos, no Tópico 1, que o centroide é uma propriedade geométrica impor-
tante que define o centro geométrico de uma figura e que, para figuras planas, 
pode ser calculado por dois métodos: o método de integração e o método das 
áreas compostas. Posteriormente, foi apresentado o conceito de momento de 
inércia,também conhecido como segundo momento, que está relacionado à 
rotação de um corpo em torno de um eixo. 
Em seguida, no Tópico 2, outras propriedades de áreas planas foram apre-
sentadas. O teorema dos eixos paralelos se mostrou importante para o cálculo 
do momento de inércia de figuras planas, em eixos diferentes dos eixos que 
passam pelo centróide. O produto de inércia foi apresentado, pois é um tema 
que surge quando se determina os momentos máximos e mínimos. Por fim, o 
método para calcular esses momentos também foi apresentado. 
Alguns conceitos fundamentais foram lembrados no Tópico 3. Foi enfatizado 
que simplificar os cálculos nem sempre é ruim. Além disso, verificou-se que as 
leis que fundamentam toda a mecânica são as Leis de Newton.
No Tópico 4, vimos que o primeiro passo de um projeto geralmente é avaliar 
a estrutura que será analisada e desenvolver um modelo físico simplificado da 
estrutura. Esse modelo, denominado diagrama de corpo livre, é considerado a 
etapa mais importante na solução de problemas da mecânica, pois uma cons-
trução incorreta do mesmo conduzirá a resultados errados, e somente após a sua 
construção é que as equações de equilíbrio podem ser escritas.
O Tópico 5 finalizou esta unidade com a apresentação das equações funda-
mentais da estática, que definem o estado de equilíbrio estático de um corpo 
ou uma estrutura. A aplicação em estruturas mostrou que os cálculos, apesar 
de simples, podem se tornar extensos, à medida que mais corpos são incluídos 
na análise.
55 
Caro(a) aluno(a), embora não nos recor-
demos com frequência, vivemos em um 
mundo repleto de estruturas projetadas 
e dimensionadas por engenheiros, sejam 
eles engenheiros civis, químicos, de pro-
dução, eletricistas, entre outros. Todas 
estas estruturas, antes de entrarem em 
circulação, passam por uma série de tes-
tes de controle de qualidade e segurança. 
Por esse motivo, você como futuro (a) 
engenheiro (a) de produção deve saber 
que não está aprendendo sobre resistên-
cia dos materiais em vão. O texto abaixo 
demonstra a ocorrência de problemas 
em um teste muito comum na avaliação 
da resistência de um material, chamado 
“ensaio de rotação”: 
Grandes peças de máquinas que serão 
submetidas a rotações prolongadas em 
alta velocidade costumam ser testadas em 
um sistema de ensaio de rotação. Nesse 
sistema, a peça é posta para girar rapi-
damente no interior de uma montagem 
cilíndrica de tijolos de chumbo com um 
revestimento de contenção, tudo isso den-
tro de uma câmara de aço fechada por 
uma tampa lacrada. Se a rotação faz a 
peça se estilhaçar, os tijolos de chumbo, 
sendo macios, capturam os fragmentos 
para serem posteriormente analisados. 
Em 1985, a empresa Test Devices, Inc. 
estava testando um rotor de aço maciço, 
em forma de disco, com uma massa M = 
272 kg e um raio R = 38,0 cm. Quando a 
peça atingiu uma determinada velocidade 
angular, os engenheiros que realizavam o 
ensaio ouviram um ruído seco na câmara, 
que ficava um andar abaixo e a uma sala 
de distância. Na investigação, descobri-
ram que tijolos de chumbo haviam sido 
lançados no corredor que levava à sala de 
testes, uma das portas da sala havia sido 
arremessada no estacionamento do lado 
de fora do prédio, um tijolo de chumbo 
havia atravessado a parede e invadido a 
cozinha de um vizinho, as vigas estruturais 
do edifício do teste tinham sido danifica-
das, o chão de concreto abaixo da câmara 
de ensaios havia afundado cerca de 0,5 
cm e a tampa de 900 kg tinha sido lan-
çada para cima, atravessara o teto e caíra 
de volta, destruindo o equipamento de 
ensaio. Os fragmentos da explosão só não 
penetraram na sala dos engenheiros por 
pura sorte.
Fonte: os autores baseados em Halliday, Resnick e Walker (2009).
56 
Considere a viga em formato de L apresentada nas Figuras 1 e 2:
Figura 1 Figura 2
Nas quais:
Figura 1 Figura 2
a (mm) 150 150
b (mm) 100 100
t (mm) 12 15
1. Determine as coordenadas e do centroide C da Figura 1 
e assinale a alternativa correta.
a. = 24,49 mm e = 49,49 mm.x y 
b. = 49,49 mm e = 24,49 mm.x y 
c. = 20 mm e = 40 mm.x y 
d. = 35,18 mm e = 0 mm.x y 
e. = 0 mm e = 49,49 mm.x y 
b
a
0 x
y
t
x1
y1
Ѳt
x
b
a
0 x
y
C
t
y
t
57 
2. Calcule os momentos de inércia Ix e Iy em relação aos eixos x e y para a Figura 1. 
3. Calcule para a Figura 2:
a. Os momentos de inércia Ix1 e Iy1 em relação aos eixos x1 e y1.
b. O produto de inércia Ix1y1 em relação aos eixos x1 e y1.
Considere θ = 30º.
4. Com relação à Figura 2, quais os momentos de inércia principais (máximo e 
mínimo)?
5. Calcular as reações de apoios da estrutura da Figura 3 para P1 = 15 kN, P2 = 10 
kN; P3 = 2*P1 e q = 10kN. 
P1 P2
P3
q
2m 2m
5m
4m
N
2m
Figura 5 – Estrutura para cálculo das reações de apoio
MATERIAL COMPLEMENTAR
Estática: Mecânica para Engenharia
Autor: Irving H. Shames
Editora: Prentice Hall
Ano: 2002
Sinopse: o autor faz uma ponte de integração entre as disciplinas 
básicas da mecânica e as disciplinas mais avançadas do currículo 
das engenharias e de áreas afi ns. Escrito em estilo claro e apoiado 
por um grande número de exemplos, exercícios e fi guras, este livro 
foi totalmente adaptado para o Sistema Internacional de Unidades. A 
edição em português do Estática, 4ª edição, primeiro volume da série Mecânica para Engenharia 
de Irving Shames, preenche uma lacuna na bibliografi a técnica e didática. 
Estática: Resistência do Materiais
Autor: Russel C. Hibbeler 
Editora: Prentice Hall
Ano: 2010
Sinopse: o livro, além de apresentar problemas na forma de 
exemplos ilustrativos, fi guras tridimensionais e exercícios, traz 
capítulos que mostram problemas propostos em diferentes níveis 
de difi culdade. Para completar, situações reais são usadas com o 
objetivo de estimular o interesse do estudante pelo assunto, bem como seções que orientam a 
solução de problemas diversos.
REFERÊNCIAS
59
DE HOLANDA FERREIRA, A. B.; FERREIRA, M. B.; DOS ANJOS, M. Novo dicionário Au-
rélio da língua portuguesa. Editora Positivo, 2009. 
GERE, J. M.; GOODNO, B. J. Mecânica dos materiais. Pioneira, 2010. 
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Física, Volume 1, Mecâni-
ca. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009.
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. Prentice Hall Brasil, 2010. 
LEET, K. M.; UANG, C. M.; GILBERT, A. M. Fundamentos da Análise Estrutural. 3. ed. 
McGraw Hill Brasil, 2014. 
SHAMES, I. H. Estática: mecânica para engenharia. Prentice Hall Brasil, 2002. 
TIMOSHENKO, S.; GERE, J. M. Mecânica dos sólidos. LTC, 1983. 
GABARITO
1. a)
2. 
3. 
4. Momento de inércia principal mínimo = 4, 88×106 mm4
Momento de inércia principal máximo = 17, 24×106 mm4
5. Horizontal A = 30 kN.
Vertical A = 30 kN. 
Vertical B= 5 kN.
1.) a) 
2.) 3, 5×10 mmIx = 1 5 6 4 
 , 79×10 mmIy = 4 0 6 4 
3.) 2, 4×10 mmIx1 = 1 4
6 4 
, 8×10 mmIy1 = 9 6
6 4 
, 3×10 mmIx y1 1 = 6 0
6 4 
1.) a) 
2.) 3, 5×10 mmIx = 1 5 6 4 
 , 79×10 mmIy = 4 0 6 4 
3.) 2, 4×10 mmIx1 = 1 4
6 4 
, 8×10 mmIy1 = 9 6
6 4 
, 3×10 mmIx y1 1 = 6 0
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1.) a) 
2.) 3, 5×10 mmIx = 1 5 6 4 
 , 79×10 mmIy = 4 0 6 4 
3.) 2, 4×10 mmIx1 = 1 4
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, 8×10 mmIy1 = 9 6
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, 3×10 mmIx y1 1 = 6 0
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Professor Me. Artur Lemes Moretti 
Professora Me. Natália Cândido Homem
TRAÇÃO, COMPRESSÃO E 
CISALHAMENTO
Objetivos de Aprendizagem
 ■ Definir os conceitos de tensão e deformação normais, fundamentais 
na Mecânica dos Materiais.
 ■ Definir os conceitos de tensão e deformação de cisalhamento. 
 ■ Demonstrar os diagramas que fornecem o comportamento de 
materiais utilizados em aplicações na Engenharia.■ Apresentar o comportamento dos materiais quando sujeitos às 
deformações causadas por cargas.
 ■ Apresentar ferramentas para analisar problemas quando a aplicação 
da estática não for suficiente.
Plano de Estudo
A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade:
 ■ Tensões e Deformações
 ■ Tensão e Deformação de Cisalhamento
 ■ Diagrama de Tensão-Deformação
 ■ Elasticidade, Plasticidade e Fluência
 ■ Estruturas Estaticamente Indeterminadas
Introdução
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INTRODUÇÃO
Olá caro(a) aluno(a), seja bem-vindo(a) à Unidade 2!
Você com certeza já andou de elevador, mas já parou pra pensar no esforço 
que os cabos de aço precisam ao deslocarem esses equipamentos? Imagine a tra-
gédia que poderia acontecer caso esses cabos sofressem uma ruptura! E quanto a 
outras estruturas, como prédios, pontes, máquinas e motores? Para evitar a ocor-
rência de acidentes, é imprescindível, em qualquer projeto de estruturas, que as 
propriedades mecânicas dos materiais utilizados sejam conhecidas.
A Unidade II apresentará conceitos importantes para que sejam conheci-
das as propriedades de tração, compressão e cisalhamento de corpos carregados 
axialmente. 
Nos Tópicos 1 e 2, aprenderemos sobre a tensão e deformação normais, e 
tensão e deformação de cisalhamento, conceitos fundamentais na mecânica dos 
materiais e requisitos básicos no projeto de estruturas. Após discutir esses con-
ceitos, no Tópico 3 vamos demonstrar como as tensões e deformações podem 
ser relacionadas por meio de métodos experimentais, como os ensaios de tra-
ção e compressão, a fim de se construir diagramas de tensão-deformação que 
são inerentes e únicos de cada material. 
Quando sujeitos a cargas, os objetos comportam-se de maneira diferente, de 
acordo com a carga aplicada. Elementos estruturais comportam-se de maneira 
diferente quando sujeitos a tensões de certa intensidade. E esse comportamento 
será abordado no tópico 4. Ainda neste Tópico, algumas considerações sobre os 
fatores de segurança serão discutidas, umas vez que, na maioria das considera-
ções, as falhas estruturais não são bem-vindas. 
Por último, no Tópico 5, abordaremos um tipo de problema que aparece na 
análise das deformações, quando a aplicação da estática não é suficiente para a 
resolução de problemas. Quando isso acontece, as deformações, que foram abor-
dadas em tópicos anteriores, devem ser consideradas. 
Não se esqueça de fazer os exercícios ao final da unidade. Bons estudos!
TRAÇÃO, COMPRESSÃO E CISALHAMENTO
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IIU N I D A D E64
TENSÕES E DEFORMAÇÕES
Caro(a) aluno(a), apresentaremos neste tópico dois conceitos fundamentais na 
mecânica dos materiais: tensão e deformação (GERE e GOODNO, 2010). 
TENSÃO NORMAL 
Inicialmente, considere uma peça retilínea de seção transversal constante, que 
vamos chamar de barra prismática (Figura 1). Essa barra está sujeita à tração, 
quando a carga aplicada atuar no sentido externo da peça (Figura 1 -a). Quando 
a carga estiver sendo aplicada no sentido interno da peça, dizemos que ela está 
sofrendo uma compressão (Figura 2 -b).
P P
BC
(a)
(b)
A
P P
C BA
Figura 1- Barra prismática AB tracionada (a) e barra prismática AB comprimida (b) 
Fonte: os autores.
Tensões e Deformações
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Sob a ação das forças P apresentadas na Figura 1 (a), originam-se esforços inter-
nos, ou seja, que atuam no interior da barra. Se fizermos um corte imaginário 
na seção C, podemos isolar a barra AC para análise, como um corpo livre, e os 
esforços internos passam a se comportar como esforços externos (Figura 2). 
C
σ
A
Figura 2 - Corpo livre sob a ação de uma força axial P
Fonte: os autores.
Como pode ser observado na Figura 2, na extremidade direita desse corpo temos 
um conjunto de forças, que representam a tração exercida pela parte removida do 
desenho, na parte remanescente. Essa distribuição de forças ocorre porque rea-
lizamos o isolamento do corpo por meio do corte imaginário na seção C. Essas 
forças distribuídas de maneira perpendicular agem de maneira uniforme sobre 
toda a seção transversal da área desse corpo e possuem uma certa intensidade. A 
força (P) por unidade de área (A) (ou intensidade das forças distribuídas sobre 
uma determinada área) é denominada tensão normal (σ). Podemos descrever 
a tensão normal na seção transversal de uma área A de uma barra submetida a 
uma carga axial P por meio da Equação 1:
 (1)
No sistema internacional de medidas (SI), a força é expressa em newtons (N) 
e a área, como mencionamos na Unidade I, é expressa geralmente em metros 
quadrados ou centímetros quadrados (m² ou cm²). Dessa forma, a unidade de 
medida da tensão normal é a força por unidade de área, ou seja, newtons por 
metro quadrado (N/m²), que corresponde à unidade pascal (Pa). É importante 
ressaltar aqui que, quando a barra estiver sendo tracionada, a tensão normal 
possuirá um sinal positivo e, quando a barra estiver sendo comprimida, a ten-
são normal possuirá um sinal negativo. 
 σ = A
P
 
TRAÇÃO, COMPRESSÃO E CISALHAMENTO
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IIU N I D A D E66
DEFORMAÇÃO NORMAL 
Agora, caro(a) aluno(a), imagine uma tira de borracha. Caso essa tira seja esti-
cada, você verá claramente que ocorre uma deformação em seu comprimento. 
Isso acontece porque, quando um corpo sofre uma deformação, ele tende a alte-
rar sua forma e dimensão. Algumas dessas mudanças podem ser vistas a olho 
nu, como o exemplo da tira de borracha. Por outro lado, algumas deformações 
são praticamente imperceptíveis e só podem ser detectadas por equipamentos 
de medição precisa. Esse é o caso das deformações que a estrutura de um prédio 
sofre quando há muitas pessoas andando em seu interior (HIBBELER, 2006). 
Dessa forma, o termo deformação, representado pela letra grega delta (δ), 
pode ser definido como a resposta que o material dá aos esforços que são rea-
lizados em sua estrutura. Quando essa deformação é dada em relação a uma 
unidade de comprimento, ela é denominada deformação normal, e é dada pela 
Equação 2, na qual L representa a unidade de comprimento.
 (2)
Observe que a deformação normal é uma quantidade adimensional. Entretanto, 
podemos encontrá-la frequentemente representada como uma relação entre uni-
dades de comprimento, utilizando as unidades do Sistema Internacional (SI) 
(m/m, por exemplo). 
Fique ligado! O conceito de tensão normal definido anteriormente (σ = P/A) 
só é válido nos casos em que a distribuição de forças ocorre de forma 
uniforme sobre a seção transversal da barra. Para isso, a força axial P deve 
estar agindo através do centroide da área da seção transversal. Quando 
isso não ocorre, e a carga P não age no centroide, tem-se a flexão da barra, o 
que leva a uma análise mais complexa dessas forças. Por esse motivo, assu-
miremos, neste livro, que as forças axiais são sempre aplicadas no centroide 
das seções transversais.
Fonte: os autores baseados em Gere e Goodno (2010).
 ε = δL
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Para que você possa entender melhor uma aplicação dos conceitos