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Lista_2_de_regras_de_derivacao

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Lista de Exerc´ıcios 2 sobre Regras de Derivac¸a˜o
Professor Telles
Questa˜o 1. Ache as derivadas primeira e segunda:
1. f(x) = x5 − 2x3 + x, R. f ′(x) = 5x4 − 6x2 + 1; f ′′(x) = 20x3 − 12x
2. g(x) = x
2
x2+4
, R. g′(x) = 8x
(x2+4)2
, g′′(x) = 32−24x
2
(x2+4)3
3. f(x) =
√
sen x+ 1, R. f ′(x) = cosx
2
√
sen x+1 , f
′′(x) = −14
√
sen x+ 1
Questa˜o 2. Ache (f−1)′(d) :
1. f(x) = 3x5 + 2x3; d = 5; R. 1/21
2. f(x) = 12 cos
2 x; 0 ≤ x ≤ pi2 ; d = 1/4; R. −2
3. f(x) = 2ctg x; 0 < x < pi; d = 2, R. −1/4
Questa˜o 3. Ache a equac¸a˜o da reta tangente a` curva no ponto considerado:
1. {
x = sen2(3t),
y = cos2(3t)
(1)
em t = pi/6.
R. y = −x+ 1.
2. {
x = t+ t2,
y = 1/t
(2)
em t = 2.
R. y = − x20 + 45
3. {
x = arc tg t,
y = t+ 2
(3)
em t = 1.
R. y = 2x+ 3− pi/2.
Questa˜o 4. Dada x2 + 25y2 = 100, mostre que d
2y
dx2
= − 4
25y3
Questa˜o 5. Ache f (5)(x), se f(x) = cos 2x− sen 2x.
R. −32(sen 2x+ cos 2x).
Questa˜o 6. Uma part´ıcula se move ao longo de uma reta, de acordo com
s =
125
16t+ 32
− 2
5
t2, t ≥ 0,
onde s m e´ a distaˆncia orientada entre a posic¸a˜o da part´ıcula e a origem no instante t s. Ache o
instante em que a acelerac¸a˜o instantaˆnea e´ zero e nesse instante determine a distaˆncia orientada
a partir da origem e a velocidade instantaˆnea.
R. 1/2 s, 249/80m, −11/8m/s.
Questa˜o 7. Se x e y sa˜o func¸o˜es de uma terceira varia´vel.
i
1. Se 2x+ 3y = 8 e dydt = 2, ache
dx
dt ; R. −3
2. Se xy = 20 e dydt = 10, ache
dx
dt quando x = 2; R. −2
3. Se sen 2x+ cos2 y = 54 e
dx
dt = −1, ache dydt em (23pi, 34pi); R. −
√
3/2
Questa˜o 8. A lei de Boyle para a expansa˜o de um ga´s e´ PV = C, onde P e´ o nu´mero de
quilos por unidade quadrada de pressa˜o, V e´ o nu´mero de unidades cu´bicas do volume do ga´s
e C e´ uma constante. Num certo instante, a pressa˜o e´ de 150kg/m2, o volume e´ 1, 5m3 e esta´
crescendo a uma taxa de 1m3/min. Ache a taxa de variac¸a˜o da pressa˜o nesse instante.
R. 100 kg/m2 por minuto.
Questa˜o 9. A forc¸a eletromotriz de um circuito ele´trico com um gerador simplificado e´
E(t) volts em t s, onde E(t) = 50sen (120pit). Ache a taxa de variac¸a˜o instantaˆnea de E(t) em
relac¸a˜o a t em
a) 0, 02 s; R. 6000sen 125 pi ≈ 1, 854.
b) 0, 2 s. R. 6000.
Questa˜o 10. Quando um peˆndulo com 10cm de comprimento balanc¸a, de modo que θ seja
a medida em radianos do triaˆngulo formado pelo peˆndulo e uma reta vertical, enta˜o, se h(θ)
cm for a altura da extremidade do peˆndulo acima de sua posic¸a˜o mais baixa, h(θ) = 20sen 2 12θ.
Ache a taxa de variac¸a˜o instantaˆnea de h(θ) em relac¸a˜o a θ quando
a) θ = pi3 ; R. 5
√
3
b) θ = pi2 . R. 10
Questa˜o 11. Uma viga com 20 m esta´ encostada em um aterro inclinado de 60o em relac¸a˜o
a` horizontal. Se o pe´ da viga estiver sendo movido horizontalmente em direc¸a˜o ao aterro a 1m/s,
com que velocidade o topo da viga estara´ se deslocando quando o pe´ estiver a 4 m do aterro ?
R. 1194(3
√
97 + 97)m/s ≈ 0, 65m/s
ii