Equação geral da energia

Prévia do material em texto

EQUAÇÃO GERAL DA ENERGIA 
 
Através da lei da conservação da energia, ou primeira lei da termodinâmica, temos que: 
[𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑎𝑐ú𝑚𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎]
= [𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎] − [𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑎í𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎]
+ [𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑙ℎ𝑜 𝑓𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑜 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎]
− [𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑙ℎ𝑜 𝑓𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑝𝑒𝑙𝑜 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎] 
 
As formas de energia a serem trabalhadas aqui são: 
• Energia cinética, interpretada como a energia associada ao movimento do fluido, 
𝜌𝑣²/2, onde 𝑣 é o módulo da velocidade, dado por onde 𝑣 = √𝑣𝑥2 + 𝑣𝑦2 + 𝑣𝑧2 
• Energia interna, relacionada com o movimento randômico translacional e 
interno das moléculas + interação entre as moléculas, 𝑈 = 𝑓(𝑃, 𝑇). 
• Energia potencial, não aparece no balanço pois está incluída no termo de 
trabalho. 
 
Definindo �̂� como a energia interna especifica (por unidade de massa), temos que: 
 
• Acúmulo: 
 
∆𝑥∆𝑦∆𝑧
𝜕 (
1
2 𝜌𝑣² + 𝜌�̂�) 
𝜕𝑡
 
Dividindo por ∆𝑥∆𝑦∆𝑧 
 
 
 
 
 
• TAXA LÍQUIDA (ENTRADA – SAÍDA) DE ENERGIA NO VOLUME DE 
CONTROLE: 
 
• Convecção (associado à velocidade do fluido) 
 
∆𝑦∆𝑧 [𝑣𝑥 (
1
2
𝜌𝑣² + 𝜌�̂�)
𝑥
− 𝑣𝑥 (
1
2
𝜌𝑣² + 𝜌�̂�)
𝑥+∆𝑥
]
+ ∆𝑥∆𝑧 [𝑣𝑦 (
1
2
𝜌𝑣² + 𝜌�̂�)
𝑦
− 𝑣𝑦 (
1
2
𝜌𝑣² + 𝜌�̂�)
𝑦+∆𝑦
]
+ ∆𝑥∆𝑦 [𝑣𝑧 (
1
2
𝜌𝑣² + 𝜌�̂�)
𝑧
− 𝑣𝑧 (
1
2
𝜌𝑣² + 𝜌�̂�)
𝑧+∆𝑧
] 
 
Dividindo por ∆𝑥∆𝑦∆𝑧 e aplicando limite: 
 
𝜕 
𝜕𝑡
(
1
2
𝜌𝑣² + 𝜌�̂�) 
 
 
 
 
• Condução 
 
∆𝑦∆𝑧[𝑞𝑥|𝑥 − 𝑞𝑥|𝑥+∆𝑥] + ∆𝑥∆𝑧[𝑞𝑦|𝑦 − 𝑞𝑦|𝑦+∆𝑦] + ∆𝑥∆𝑦[𝑞𝑧|𝑧 − 𝑞𝑧|𝑧+∆𝑧] 
 
Dividindo por ∆𝑥∆𝑦∆𝑧 e aplicando limite: 
 
 
 
• TAXA DE TRABALHO FEITO PELO E SOBRE O SISTEMA 
 
Forças que atuam: 
- Forças viscosas 
- Forças de pressão 
- Força gravitacional (forças externas) 
 
• Forças viscosas 
 
∆𝑦∆𝑧[(𝜏𝑥𝑥𝑣𝑥 + 𝜏𝑥𝑦𝑣𝑦 + 𝜏𝑥𝑧𝑣𝑧)|𝑥 − (𝜏𝑥𝑥𝑣𝑥 + 𝜏𝑥𝑦𝑣𝑦 + 𝜏𝑥𝑧𝑣𝑧)|𝑥+∆𝑥]
+ ∆𝑥∆𝑧[(𝜏𝑦𝑥𝑣𝑥 + 𝜏𝑦𝑦𝑣𝑦 + 𝜏𝑦𝑧𝑣𝑧)|𝑦 − (𝜏𝑦𝑥𝑣𝑥 + 𝜏𝑦𝑦𝑣𝑦 + 𝜏𝑦𝑧𝑣𝑧)|𝑦+∆𝑦]
+ ∆𝑥∆𝑦[(𝜏𝑧𝑥𝑣𝑥 + 𝜏𝑧𝑦𝑣𝑦 + 𝜏𝑧𝑧𝑣𝑧)|𝑧 − (𝜏𝑧𝑥𝑣𝑥 + 𝜏𝑧𝑦𝑣𝑦 + 𝜏𝑧𝑧𝑣𝑧)|𝑧+∆𝑧] 
 
Dividindo por ∆𝑥∆𝑦∆𝑧 e aplicando limite: 
 
 
 
• Forças de pressão 
 
∆𝑦∆𝑧[(𝑃𝑣𝑥)|𝑥 − (𝑃𝑣𝑥)|𝑥+∆𝑥] + ∆𝑥∆𝑧[(𝑃𝑣𝑦)|𝑦 − (𝑃𝑣𝑦)|𝑦+∆𝑦]
+ ∆𝑥∆𝑦[(𝑃𝑣𝑧)|𝑧 − (𝑃𝑣𝑧)|𝑧+∆𝑧] 
 
Dividindo por ∆𝑥∆𝑦∆𝑧 e aplicando limite: 
 
 
 
 
− {
𝜕
𝜕𝑥
[𝑣𝑥 (
1
2
𝜌𝑣² + 𝜌�̂�)] +
𝜕
𝜕𝑦
[𝑣𝑥 (
1
2
𝜌𝑣² + 𝜌�̂�)] +
𝜕
𝜕𝑧
[𝑣𝑧 (
1
2
𝜌𝑣² + 𝜌�̂�)]} 
 
− (
𝜕𝑞𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝑞𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝑞𝑧
𝜕𝑧
) 
 
− [
𝜕(𝜏𝑥𝑥𝑣𝑥 + 𝜏𝑥𝑦𝑣𝑦 + 𝜏𝑥𝑧𝑣𝑧)
𝜕𝑥
+
𝜕(𝜏𝑦𝑥𝑣𝑥 + 𝜏𝑦𝑦𝑣𝑦 + 𝜏𝑦𝑧𝑣𝑧)
𝜕𝑦
+
𝜕(𝜏𝑧𝑥𝑣𝑥 + 𝜏𝑧𝑦𝑣𝑦 + 𝜏𝑧𝑧𝑣𝑧)
𝜕𝑧
] 
 
− [
𝜕(𝑃𝑣𝑥)
𝜕𝑥
+
𝜕(𝑃𝑣𝑦)
𝜕𝑦
+
𝜕(𝑃𝑣𝑧)
𝜕𝑧
] 
 
• Força gravitacional (forças externas) 
 
𝜌∆𝑥∆𝑦∆𝑧(𝑣𝑥𝑔𝑥 + 𝑣𝑦𝑔𝑦 + 𝑣𝑧𝑔𝑧) 
Dividindo por ∆𝑥∆𝑦∆𝑧 
 
 
Juntando as equações: 
 
 
 
 
 
 
 
Esta equação pode ser escrita como: 
 
 
 
 
 
Donde: 
 
• 
𝜕 
𝜕𝑡
(
1
2
𝜌𝑣² + 𝜌�̂�) : Taxa de aumento de energia por unidade de volume 
• − [𝛁. (
1
2
𝜌𝑣2 + 𝜌�̂�) 𝐯] : Taxa de adição de energia por unidade de volume por 
transporte convectivo. 
• (𝛁. 𝐪) : Taxa de adição de energia por unidade de volume por condução de calor 
• [𝛁. (𝛕. 𝐯)] : Taxa de trabalho feito sobre o fluido por unidade de volume pelas 
forças viscosas. 
• (𝛁. 𝑃𝐯) : Taxa de trabalho feito sobre o fluido por unidade de volume pelas forças 
de pressão. 
• 𝜌(𝐯. 𝐠) : Taxa de trabalho feito sobre o fluido por unidade de volume feito pelas 
forças externas. 
 
𝜌(𝑣𝑥𝑔𝑥 + 𝑣𝑦𝑔𝑦 + 𝑣𝑧𝑔𝑧) 
 
𝜕 
𝜕𝑡
(
1
2
𝜌𝑣² + 𝜌�̂�) = − [𝛁. (
1
2
𝜌𝑣2 + 𝜌�̂�) 𝐯] − (𝛁. 𝐪) − [𝛁. (𝛕. 𝐯)] − (𝛁. 𝑃𝐯) + 𝜌(𝐯. 𝐠) 
 
𝜕 
𝜕𝑡
(
1
2
𝜌𝑣² + 𝜌�̂�) = − {
𝜕
𝜕𝑥
[𝑣𝑥 (
1
2
𝜌𝑣² + 𝜌�̂�)] +
𝜕
𝜕𝑦
[𝑣𝑥 (
1
2
𝜌𝑣² + 𝜌�̂�)] +
𝜕
𝜕𝑧
[𝑣𝑧 (
1
2
𝜌𝑣² + 𝜌�̂�)]}
− (
𝜕𝑞𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝑞𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝑞𝑧
𝜕𝑧
)
− [
𝜕(𝜏𝑥𝑥𝑣𝑥 + 𝜏𝑥𝑦𝑣𝑦 + 𝜏𝑥𝑧𝑣𝑧)
𝜕𝑥
+
𝜕(𝜏𝑦𝑥𝑣𝑥 + 𝜏𝑦𝑦𝑣𝑦 + 𝜏𝑦𝑧𝑣𝑧)
𝜕𝑦
+
𝜕(𝜏𝑧𝑥𝑣𝑥 + 𝜏𝑧𝑦𝑣𝑦 + 𝜏𝑧𝑧𝑣𝑧)
𝜕𝑧
]
− [
𝜕(𝑃𝑣𝑥)
𝜕𝑥
+
𝜕(𝑃𝑣𝑦)
𝜕𝑦
+
𝜕(𝑃𝑣𝑧)
𝜕𝑧
] + 𝜌(𝑣𝑥𝑔𝑥 + 𝑣𝑦𝑔𝑦 + 𝑣𝑧𝑔𝑧) 
 
A equação anterior não inclui a taxa de geração por energia nuclear, elétrica ou química. 
Podemos escrever a equação geral da energia de outra maneira, de forma a incluir a 
energia potencial por unidade de massa Φ̂, que vem da definição de 𝐠 = −∇Φ̂. Para 
elevações moderadas: 
Φ̂ = 𝑔ℎ 
Onde ℎ é uma coordenada na direção oposta ao capo gravitacional. 
Assim: 
𝜌(𝐯. 𝐠) = −(𝜌𝐯. ∇Φ̂) 
A equação da energia ficaria: 
𝜕 
𝜕𝑡
(
1
2
𝜌𝑣2 + 𝜌�̂� + 𝜌Φ̂) = − [𝛁. (
1
2
𝜌𝑣2 + 𝜌�̂� + 𝜌Φ̂) 𝐯] − (𝛁. 𝐪) − [𝛁. (𝛕. 𝐯)] − (𝛁. 𝑃𝐯) 
 
 
OUTRAS FORMAS DA EQUAÇÃO DO CALOR 
Com base na equação da energia mecânica: 
 
 
Subtraindo a equação da energia pela mecânica: 
𝜕 
𝜕𝑡
(
1
2
𝜌𝑣² + 𝜌�̂�) −
𝜕 
𝜕𝑡
(
1
2
𝜌𝑣2)
= − [𝛁. (
1
2
𝜌𝑣2 + 𝜌�̂�) 𝐯] + [𝛁.
1
2
𝜌𝑣2𝐯] − (𝛁. 𝐪) + [𝛁. (𝛕. 𝐯)]
− [𝛁. (𝛕. 𝐯)] − (𝛁. 𝑃𝐯) + (𝛁. 𝑃𝐯) − 𝑃(𝛁. 𝐯) − (𝛕: 𝛁𝐯) + 𝜌(𝐯. 𝐠)
− 𝜌(𝐯. 𝐠) 
Então, temos a equação e balanço para a energia interna: 
 
 
Onde 
𝜕 
𝜕𝑡
(
1
2
𝜌𝑣²) = − [𝛁.
1
2
𝜌𝑣2𝐯] − [𝛁. (𝛕. 𝐯)] − (𝛁. 𝑃𝐯) − 𝑃(−𝛁. 𝐯) − (−𝛕: 𝛁𝐯) + 𝜌(𝐯. 𝐠) 
 
𝜕 
𝜕𝑡
(𝜌�̂�) = −[𝛁. 𝜌�̂�𝐯] − (𝛁. 𝐪) − 𝑃(𝛁. 𝐯) − (𝛕: 𝛁𝐯) 
 
• 𝑃(𝛁. 𝐯) : Taxa de crescimento reversível da energia interna por compressão, por 
unidade de volume. 
• (𝛕: 𝛁𝐯) : Taxa de crescimento irreversível da energia interna por dissipação 
viscosa, por unidade de volume. 
Voltando a equação da energia interna: 
𝜕 
𝜕𝑡
(𝜌�̂�) + [𝛁. 𝜌�̂�𝐯] = −(𝛁. 𝐪) − 𝑃(𝛁. 𝐯) − (𝛕: 𝛁𝐯) 
Temos a definição de derivada substantiva no lado esquerdo: 
𝜕 
𝜕𝑡
(𝜌�̂�) + [𝛁. 𝜌�̂�𝐯] = 𝜌
𝜕�̂� 
𝜕𝑡
+ �̂�
𝜕𝜌 
𝜕𝑡
+
𝜕(𝜌�̂�𝑣𝑥)
𝜕𝑥
+ 
𝜕(𝜌�̂�𝑣𝑦)
𝜕𝑦
+
𝜕(𝜌�̂�𝑣𝑧)
𝜕𝑧
 
 
Expandindo: 
 
𝜕 
𝜕𝑡
(𝜌�̂�) + [𝛁. 𝜌�̂�𝐯]
= 𝜌
𝜕�̂� 
𝜕𝑡
+ �̂�
𝜕𝜌 
𝜕𝑡
+ �̂�
𝜕𝜌𝑣𝑥
𝜕𝑥
+ �̂�
𝜕𝜌𝑣𝑦
𝜕𝑦
+ �̂�
𝜕𝜌𝑣𝑧
𝜕𝑧
+ 𝜌𝑣𝑥
𝜕�̂�
𝜕𝑥
+ 𝜌𝑣𝑦 
𝜕�̂�
𝜕𝑦
+ 𝜌𝑣𝑧
𝜕�̂�
𝜕𝑧
 
Agrupando os termos: 
 
𝜕 
𝜕𝑡
(𝜌�̂�) + [𝛁. 𝜌�̂�𝐯]
= �̂� (
𝜕𝜌 
𝜕𝑡
+
𝜕𝜌𝑣𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝜌𝑣𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝜌𝑣𝑧
𝜕𝑧
)
+ 𝜌 (
𝜕�̂� 
𝜕𝑡
+ 𝑣𝑥
𝜕�̂�
𝜕𝑥
+ 𝑣𝑦
𝜕�̂�
𝜕𝑦
+ 𝑣𝑧
𝜕�̂�
𝜕𝑧
) 
 
Pela equação da continuidade: 
 
𝜕𝜌 
𝜕𝑡
+
𝜕𝜌𝑣𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝜌𝑣𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝜌𝑣𝑧
𝜕𝑧
= 0 
Logo: 
 
 
 
Então: 
 
 
𝜕 
𝜕𝑡
(𝜌�̂�) + [𝛁. 𝜌�̂�𝐯] = 𝜌
𝐷�̂�
𝐷𝑡
 
 
𝜌
𝐷�̂�
𝐷𝑡
= −(𝛁. 𝐪) − 𝑃(𝛁. 𝐯) − (𝛕: 𝛁𝐯) 
 
É conveniente trabalharmos com entalpia ao invés de energia interna. Sendo assim, 
lembrando que: 
�̂� = �̂� − 𝑃�̂� 
Como �̂� é o volume específico (mássico). 
�̂� = �̂� −
𝑃
𝜌
 
Substituindo na equação da energia interna: 
𝜌
𝐷
𝐷𝑡
(�̂� −
𝑃
𝜌
) = −(𝛁. 𝐪) − 𝑃(𝛁. 𝐯) − (𝛕: 𝛁𝐯) 
Assim: 
𝜌
𝐷�̂�
𝐷𝑡
− 𝜌
𝐷
𝐷𝑡
(
𝑃𝜌
) + 𝑃(𝛁. 𝐯) = −(𝛁. 𝐪) − (𝛕: 𝛁𝐯) 
𝜌
𝐷�̂�
𝐷𝑡
−
𝐷𝑃
𝐷𝑡
− 𝜌𝑃
𝐷
𝐷𝑡
(
1
𝜌
) + 𝑃(𝛁. 𝐯) = −(𝛁. 𝐪) − (𝛕: 𝛁𝐯) 
Observando que: 
𝑑
𝑑𝑥
(
1
𝑓(𝑥)
) =
𝑑 (
1
𝑓(𝑥)
)
𝑑𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 
Chamando 𝑢 = 𝑓(𝑥) 
𝑑
𝑑𝑥
(
1
𝑓(𝑥)
) =
𝑑(1/𝑢)
𝑑𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 
𝑑
𝑑𝑥
(
1
𝑓(𝑥)
) = −
1
𝑢²
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 
Por fim: 
 
 
Então temos: 
𝜌
𝐷�̂�
𝐷𝑡
+ 𝜌𝑃
1
𝜌2
𝐷𝜌
𝐷𝑡
+ 𝑃(𝛁. 𝐯) = −(𝛁. 𝐪) − (𝛕: 𝛁𝐯) +
𝐷𝑃
𝐷𝑡
 
𝑑
𝑑𝑥
(
1
𝑓(𝑥)
) = −
1
𝑓(𝑥)2
𝑑𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
 
 
𝜌
𝐷�̂�
𝐷𝑡
+ 𝑃 (
1
𝜌
𝐷𝜌
𝐷𝑡
+ (𝛁. 𝐯)) = −(𝛁. 𝐪) − (𝛕: 𝛁𝐯) +
𝐷𝑃
𝐷𝑡
 
𝜌
𝐷�̂�
𝐷𝑡
+
𝑃
𝜌
(
𝐷𝜌
𝐷𝑡
+ 𝜌(𝛁. 𝐯)) = −(𝛁. 𝐪) − (𝛕: 𝛁𝐯) +
𝐷𝑃
𝐷𝑡
 
Pela equação da continuidade: 
𝐷𝜌
𝐷𝑡
+ 𝜌(𝛁. 𝐯) =
𝑑𝜌
𝑑𝑡
+ 𝐯. (𝛁ρ) + 𝜌(𝛁. 𝐯) =
𝑑𝜌
𝑑𝑡
+ (𝛁. ρ𝐯) 
𝐷𝜌
𝐷𝑡
+ 𝜌(𝛁. 𝐯) = 0 
Então: 
 
 
 
A nossa escolha de trabalharmos com a entalpia é pelo fato de sabermos, através da 
termodinâmica que: 
�̂� = 𝑓(𝑇, 𝑃) 
Temperatura e pressão são facilmente medíveis, por isso a facilidade de se trabalhar 
com entalpia. 
Trabalhando na forma diferencial, temos: 
𝑑�̂� = (
𝜕�̂�
𝜕𝑇
)
𝑃
𝑑𝑇 + (
𝜕�̂�
𝜕𝑃
)
𝑇
𝑑𝑃 
Relembrando à termodinâmica, temos que o balanço de energia em um sistema 
aberto, sem troca de matéria, à pressão constante: 
∆𝑈 = 𝑄 + 𝑊 = 𝑄 − 𝑃 ∫ 𝑑𝑉 
∆𝑈 = 𝑄 − 𝑃∆𝑉 
∆𝑈 + 𝑃∆𝑉 = 𝑄 
∆𝐻 = 𝑄 
𝜌
𝐷�̂�
𝐷𝑡
= −(𝛁. 𝐪) − (𝛕: 𝛁𝐯) +
𝐷𝑃
𝐷𝑡
 
 
Como o aumento de temperatura no sistema é proporcional ao aumento da 
quantidade calor doada e inversamente proporcional à massa do sistema. Temos: 
{
∆𝑇 ∝ 𝑄 
∆𝑇 ∝ 1/𝑚
 
Então: 
𝑇 ∝
𝑄
𝑚
 
Ou: 
𝑄
𝑚
= �̂�𝑝∆𝑇 
Assim, voltando ao balanço no sistema aberto à pressão constante: 
∆�̂� = �̂�𝑝∆𝑇 
Ou: 
�̂�𝑝 =
∆�̂�
∆𝑇
 
Aplicando limite para ∆𝑇 → 0 e lembrando que estamos definindo o sistema à pressão 
constante: 
 
 
Voltando à diferencial da entalpia: 
𝑑�̂� = �̂�𝑝𝑑𝑇 + (
𝜕�̂�
𝜕𝑃
)
𝑇
𝑑𝑃 
Para encontrarmos uma expressão para (
𝜕�̂�
𝜕𝑃
)
𝑇
 precisamos usar as equações de Maxwell 
bem como identidades termodinâmicas para acharmos, através da equação: 
𝑑�̂� = 𝑇𝑑�̂� + �̂�𝑑𝑃 
Dividindo tudo por 𝑑𝑃, e trabalhando a 𝑇 constante: 
�̂�𝑝 = (
𝜕�̂�
𝜕𝑇
)
𝑃
 
 
(
𝜕�̂�
𝜕𝑃
)
𝑇
= 𝑇 (
𝜕�̂�
𝜕𝑃
)
𝑇
+ �̂� 
Usando uma das relações de Maxwell: 
(
𝜕�̂�
𝜕𝑃
)
𝑇
= − (
𝜕�̂�
𝜕𝑇
)
𝑃
 
Então: 
 
Assim: 
 
 
 
 
Substituindo na equação da derivada substantiva, teremos (deixando de fora os 
termos que antecedem as derivadas): 
𝜌
𝐷�̂�
𝐷𝑡
= 𝜌�̂�𝑝
𝐷𝑇
𝐷𝑡
+ 𝜌 [�̂� − 𝑇 (
𝜕�̂�
𝜕𝑇
)
𝑃
]
𝐷𝑃
𝐷𝑡
 
Lembrando que �̂� = 1/𝜌 
𝜌
𝐷�̂�
𝐷𝑡
= 𝜌�̂�𝑝
𝐷𝑇
𝐷𝑡
+ 𝜌 [
1
𝜌
− 𝑇 (
𝜕(1/𝜌)
𝜕𝑇
)
𝑃
]
𝐷𝑃
𝐷𝑡
 
𝜌
𝐷�̂�
𝐷𝑡
= 𝜌�̂�𝑝
𝐷𝑇
𝐷𝑡
+ [1 − 𝜌𝑇 (
𝜕(1/𝜌)
𝜕𝑇
)
𝑃
]
𝐷𝑃
𝐷𝑡
 
Da definição matemática obtida anteriormente: 
𝜌
𝐷�̂�
𝐷𝑡
= 𝜌�̂�𝑝
𝐷𝑇
𝐷𝑡
+ [1 +
𝑇
𝜌
(
𝜕𝜌
𝜕𝑇
)
𝑃
]
𝐷𝑃
𝐷𝑡
 
 
Observando-se que: 
𝜕 ln 𝜌
𝜕𝑇
=
𝜕 ln 𝜌
𝜕𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑇
 
Chamando 𝜌 = 𝑢 
𝜕 ln 𝜌
𝜕𝑇
=
𝜕 ln 𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑇
 
(
𝜕�̂�
𝜕𝑃
)
𝑇
= �̂� − 𝑇 (
𝜕�̂�
𝜕𝑇
)
𝑃
 
 
𝑑�̂� = �̂�𝑝𝑑𝑇 + [�̂� − 𝑇 (
𝜕�̂�
𝜕𝑇
)
𝑃
] 𝑑𝑃 
 
 
𝜕 ln 𝜌
𝜕𝑇
=
1
𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑇
 
𝜕 ln 𝜌
𝜕𝑇
=
1
 𝜌
𝜕𝜌
𝜕𝑇
 
Por fim: 
𝜕𝜌
𝜕𝑇
= 𝜌
𝜕 ln 𝜌
𝜕𝑇
 
 
Substituindo na equação anterior: 
 
𝜌
𝐷�̂�
𝐷𝑡
= 𝜌�̂�𝑝
𝐷𝑇
𝐷𝑡
+ [1 + 𝑇 (
𝜕 ln 𝜌
𝜕𝑇
)
𝑃
]
𝐷𝑃
𝐷𝑡
 
 
Analogamente ao feito anteriormente, temos que: 
𝜕 ln 𝜌
𝜕𝑇
=
𝜕(ln 𝜌)
𝜕𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑇
 
Chamando 𝑢 = ln 𝑇 
𝜕(ln𝜌)
𝜕𝑇
=
𝜕 ln 𝜌
𝜕 ln 𝑇
𝜕 ln 𝑇
𝜕𝑇
 
𝜕(ln𝜌)
𝜕𝑇
=
1
𝑇
𝜕 ln 𝜌
𝜕 ln 𝑇
 
Ou 
𝜕 ln 𝜌
𝜕 ln 𝑇
= 𝑇
𝜕(ln𝜌)
𝜕𝑇
 
Então nossa equação fica: 
 
 
Ou na forma mais expandida: 
 
𝜌
𝐷�̂�
𝐷𝑡
= 𝜌�̂�𝑝
𝐷𝑇
𝐷𝑡
+ (
𝜕 ln 𝜌
𝜕 ln 𝑇
)
𝑃
𝐷𝑃
𝐷𝑡
+
𝐷𝑃
𝐷𝑡
 
𝜌
𝐷�̂�
𝐷𝑡
= 𝜌�̂�𝑝
𝐷𝑇
𝐷𝑡
+ [1 + (
𝜕 ln 𝜌
𝜕 ln 𝑇
)
𝑃
]
𝐷𝑃
𝐷𝑡
+ [1 + (
𝜕 ln 𝜌
𝜕 ln 𝑇
)
𝑃
]
𝐷𝑃
𝐷𝑡
 
 
Substituindo na equação da energia interna: 
𝜌
𝐷�̂�
𝐷𝑡
= −(𝛁. 𝐪) − (𝛕: 𝛁𝐯) +
𝐷𝑃
𝐷𝑡
 
𝜌�̂�𝑝
𝐷𝑇
𝐷𝑡
+ (
𝜕 ln 𝜌
𝜕 ln 𝑇
)
𝑃
𝐷𝑃
𝐷𝑡
+
𝐷𝑃
𝐷𝑡
= −(𝛁. 𝐪) − (𝛕: 𝛁𝐯) +
𝐷𝑃
𝐷𝑡
 
 
Isolando o termo da temperatura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝜌�̂�𝑝
𝐷𝑇
𝐷𝑡
= −(𝛁. 𝐪) − (
𝜕 ln 𝜌
𝜕 ln 𝑇
)
𝑃
𝐷𝑃
𝐷𝑡
− (𝛕: 𝛁𝐯) 
 
CONSIDERAÇÕES EXTRAS 
 
 
Podemos também observar que quando a lei de Newton da viscosidade da Eq 1.2-
7 do Bird é usada, teremos que: 
(−𝜏: ∇𝑣) = 
1
2
𝜇 [(
𝜕𝑣𝑖
𝜕𝑥𝑗
) −
2
3
(𝛁. 𝐯)𝛿𝑖𝑗]
2
+ 𝑘(𝛁. 𝐯)2 
 
 
 
Assim: 
𝜌�̂�𝑝
𝐷𝑇
𝐷𝑡
= −(𝛁. 𝐪) − (
𝜕 ln 𝜌
𝜕 ln 𝑇
)
𝑃
𝐷𝑃
𝐷𝑡
+ 𝜇Φ𝑣 + 𝜅Ψ 𝑣 
 
• Geralmente admitimos que o fluido se comporta como um gás ideal monoatômico, 
para o qual a viscosidade dilatacional, 𝜅, é nula. 
 
Assim: 
𝜌�̂�𝑝
𝐷𝑇
𝐷𝑡
= −(∇. q) − (
𝜕 ln 𝜌
𝜕 ln 𝑇
)
𝑃
𝐷𝑃
𝐷𝑡
+ 𝜇Φ𝑣 
Considerando a lei de Fourier: 
𝑞 = −(𝑘∇𝑇) 
Temos que: 
−(∇. q) = ∇. (𝑘∇𝑇) 
Considerando a condutividade térmica, 𝑘, constante: 
−(∇. q) = 𝑘∇²T 
Assim: 
 
 
 
 
 
(−𝜏: ∇𝑣) = 𝜇Φ𝑣 + 𝑘Ψ 𝑣 
 
𝜌�̂�𝑝
𝐷𝑇
𝐷𝑡
= 𝑘∇²T − (
𝜕 ln 𝜌
𝜕 ln 𝑇
)
𝑃
𝐷𝑃
𝐷𝑡
+ 𝜇Φ𝑣 
 
• GÁS IDEAL 
Por fim, considerando novamente o comportamento de gás ideal, sendo 𝑃𝑉 = 𝑛𝑅𝑇 
𝑃𝑉 =
𝑚
𝑀
𝑅𝑇 
𝑃𝑀 = 𝜌𝑅𝑇 
Então: 
𝜕 ln 𝜌
𝜕 ln 𝑇
=
𝑇
𝜌
(
𝜕𝜌
𝜕𝑇
)
𝑃
 
𝜕 ln 𝜌
𝜕 ln 𝑇
=
𝑃𝑀
𝑅
𝑇
𝜌
(
𝜕(1/𝑇)
𝜕𝑇
)
𝑃
 
𝜕 ln 𝜌
𝜕 ln 𝑇
= −
𝑃𝑀
𝑅
𝑇
𝜌
1
𝑇²
 
𝜕 ln 𝜌
𝜕 ln 𝑇
= −
𝑃𝑀
𝑅𝑇𝜌
 
𝜕 ln 𝜌
𝜕 ln 𝑇
= −
𝜌
𝜌
 
𝜕 ln 𝜌
𝜕 ln 𝑇
= −1 
Então: 
 
 
 
 
Podemos também modificar o termo 
𝐷𝑃
𝐷𝑡
 utilizando a suposição de gás ideal, pois: 
𝑃 = 𝜌𝑇
𝑅
𝑀
 
Temos então que: 
 
𝜌�̂�𝑝
𝐷𝑇
𝐷𝑡
= 𝑘∇2T +
𝑅
𝑀
𝐷𝜌𝑇
𝐷𝑡
+ 𝜇Φ𝑣 
𝜌�̂�𝑝
𝐷𝑇
𝐷𝑡
= 𝑘∇2T + 𝜌
𝑅
𝑀
𝐷𝑇
𝐷𝑡
+ T
𝑅
𝑀
𝐷𝜌
𝐷𝑡
+ 𝜇Φ𝑣 
𝜌�̂�𝑝
𝐷𝑇
𝐷𝑡
= 𝑘∇2T +
𝐷𝑃
𝐷𝑡
+ 𝜇Φ𝑣 
 
Observando que: 
𝑇
𝑅
𝑀
=
𝑃
𝜌
 
Temos que: 
𝜌�̂�𝑝
𝐷𝑇
𝐷𝑡
− 𝜌
𝑅
𝑀
𝐷𝑇
𝐷𝑡
= 𝑘∇2T +
𝑃
𝜌
𝐷𝜌
𝐷𝑡
+ 𝜇Φ𝑣 
Lembrando a equação da continuidade: 
𝐷𝜌
𝐷𝑡
= −𝜌(∇. 𝑣) 
Assim: 
𝜌 (�̂�𝑝 −
𝑅
𝑀
)
𝐷𝑇
𝐷𝑡
= 𝑘∇2T − 𝜌(∇. 𝑣) + 𝜇Φ𝑣 
𝜌 (
𝑀�̂�𝑝 − 𝑅
𝑀
)
𝐷𝑇
𝐷𝑡
= 𝑘∇2T − 𝜌(∇. 𝑣) + 𝜇Φ𝑣 
Substituindo 𝑀�̂�𝑝 por �̃�𝑝 molar: 
𝜌 (
�̃�𝑝 − 𝑅
𝑀
)
𝐷𝑇
𝐷𝑡
= 𝑘∇2T − 𝜌(∇. 𝑣) + 𝜇Φ𝑣 
Utilizando a relação: 
�̃�𝑝 − �̃�𝑣 = 𝑅 
Temos:�̃�𝑣 = �̃�𝑝 − 𝑅 
Assim: 
𝜌 (
�̃�𝑣
𝑀
)
𝐷𝑇
𝐷𝑡
= 𝑘∇2T − 𝜌(∇. 𝑣) + 𝜇Φ𝑣 
Por fim: 
 
 
𝜌�̂�𝑣
𝐷𝑇
𝐷𝑡
= 𝑘∇2T − 𝜌(𝛁. 𝐯) + 𝜇Φ𝑣 
 
• FLUIDO INCOMPRESSÍVEL 
 
Para sistemas sem diferença de pressão, ou para fluidos newtonianos, 
incompressíveis com 𝜌 e 𝑘 constantes, o termo (
𝜕 ln 𝜌
𝜕 ln 𝑇
)
𝑃
𝐷𝑃
𝐷𝑡
 é nulo, gerando: 
 
 
 
 
 
Para baixos gradientes de velocidade, Φ𝑣 é geralmente negligenciado, gerando: 
𝜌�̂�𝑝
𝐷𝑇
𝐷𝑡
= 𝑘∇2T 
• SÓLIDOS 
Para sólidos, onde não há movimentação, os termos ligados à velocidade na derivada 
substantiva se anulam, gerando: 
 
 
 
𝜌�̂�𝑝
𝐷𝑇
𝐷𝑡
= 𝑘∇2T + 𝜇Φ𝑣 
 
𝜌�̂�𝑝
𝜕𝑇
𝜕𝑡
= 𝑘∇2T