7 Estacionário Bidimensional Cilindo

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Obs: Na separação de variáveis os sinais das derivadas e da constante de separação só ficam iguais para a direção onde o problema é não homogêneo.
Exemplo 4.12 Arpaci (pg. 228 .pdf)
A temperatura superficial de um cilindro infinitamente longo de raio R é especificada.
A equação geral do calor é dada por:
Condições de contorno:
Temperatura especificada na superfície
Condição de simetria ou condição de finitude no centro.
Obs: Para casos é preferível e mais simples utilizarmos a condição de finitude.
Condições de circularidade
Separação das variáveis:
Multiplicando ambos os membros por 
A escolha do sinal, igual ao dos diferencias em r se dá pelo fato da condição da temperatura não homogênea é da para , que gera a impossibilidade de se obter ortogonalidade em r. Ou seja, é a única direção ortogonal possível.
Resolução de :
Esta é uma equação equidimensional com solução:
Ou:
Dado que:
Então
Assim:
Resolução de :
A aplicação das condições de contorno gera:
Fazendo 
A superposição dos resultados gera:
Para este caso e outros casos de é conveniente frisar se observa que para n = 0, temos:
Então
Aplicando a condição:
Ou:
Temos uma série de Fourier completa:
Onde:
Assim, para nosso caso:
Especialmente, se a temperatura na superfície for especificada como na figura abaixo:
Então:
Ou:
Observa-se que o termo apresenta valor 0 para n par e valor 2 para n ímpar
Podemos então escrever:
Como temos um problema com convecção, é interessante trabalharmos com:
A resolução da questão é extremamente parecida com a da questão anterior, exceto pela condição da superfície. Assim:
A condição de superfície diz que o fluxo que entra é dado pela subtração das contribuições convectivas e da radiação, sendo que o objeto está perdendo calor por convecção. Essa soma é exatamente igual ao fluxo condutivo. Ou seja:
Dividindo ambos os membros por h e rearranjando:
Ou:
Lembrando que para uma série de Fourier completa, do tipo:
Temos:
Assim, para nosso caso:
Também:
Também:
Observa-se que pela propriedade das funções ortogonais, esta função só tem resultado diferente de 0 para n = 1
Em resumo:
Observa-se que apenas para n par, o somatório será igual a 2. Para n ímpar, o somatório será igual a 0
Problemas 
Exemplo 4.15 Considere um cilindro semi-infinito de raio R. O coeficiente de transferência de calor é alto. A temperatura ambiente é e a temperatura da base é especificada como . Precisamos saber a temperatura de estada estacionário do cilindro.
Definindo 
Aplicando o método de separação de variáveis:
Assim:
O sinal é igual ao da diferencial em z pois temos uma condição não homogênea em z =0.
Resolução para z
Como 
Assim:
Resolução para r
Temos uma série de Bessel cuja solução é:
Dada a condição de simetria:
Tem-se que:
Como tende a infinito.
Além disso:
 é então as raízes da equação:
Para n = 1,2,3,4
Por fim:
A superposição dos resultados, resulta em:
Dado que: 
Então:
Como obtivemos anteriormente que 
Então:
Exemplo 4.16 – Considerando o problema anterior, só que agora com um comprimento finito L:
Definindo 
Aplicando o método de separação de variáveis:
Assim:
O sinal é igual ao da diferencial em z pois temos uma condição não homogênea em z =0.
Resolução para z
Como 
Assim:
Resolução para r
Temos uma série de Bessel cuja solução é:
Dada a condição de simetria:
Tem-se que:
Como tende a infinito.
Além disso:
 é então as raízes da equação:
Para n = 1,2,3,4
Por fim:
A superposição dos resultados, resulta em:
Dado que: 
Então:
Como obtivemos anteriormente que 
Então:
Exemplo 4.17 – Considerando o Exemplo 4.15, refazer os cálculos para um coeficiente de transferência de calor h finito.
Definindo 
Aplicando o método de separação de variáveis:
Assim:
O sinal é igual ao da diferencial em z pois temos uma condição não homogênea em z =0.
Resolução para z
Como 
Assim:
Resolução para r
Temos uma série de Bessel cuja solução é:
Dada a condição de simetria:
Tem-se que:
Como tende a infinito.
Além disso:
Sabendo que:
Por fim, são as raízes de:
Para n = 1,2,3,4...
Por fim:
A superposição dos resultados, resulta em:
Dado que: 
Então:
Então:
Ou:
Radial and axial conduction in a hollow cylinder.
A face em z = 0 é mantida a uma temperatura constante T1, enquanto as outras faces perdem calor para o meio, através de convecção.
Se tratando de um problema onde ocorre convecção, iremos definir os seguintes termos adimensionais:
Assim:
Substituindo na equação geral do calor
Multiplicando ambos os membros por 
Condições de contorno:
Para utilizar o método das variáveis separáveis, podemos dizer que:
Então:
Chegamos então em uma equação onde pode ser utilizado o método das variáveis separáveis:
O sinal positivo se dá, pois, precisamos de um problema de autovalor a ser resolvido na série de Fourier em já que foi especificado e o problema é não homogêneo em z = 0. A escolha de um sinal negativo resultaria em um problema de autovalor em . 
Resolvendo:
Esta é uma EDO homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, que pode ser facilmente resolvida através do seguinte:
Semelhantemente, para a segunda EDO:
Multiplicando ambos os membros por , obtêm-se uma equação de Bessel:
Sendo assim,
Condições de contorno:
1ª Condição de contorno: Condição de simetria
Sendo 
Tendo que, para r = 0, r* = 0
Sendo:
A função é indeterminada na Origem, logo para a equação ter solução:
Assim:
Segunda condição de contorno: Convecção em r = r0
Sendo
Temos que:
Temos infinitas soluções do tipo:
Terceira condição de contorno: Convecção em z = L
Dado que:
Assim:
Quarta condição de contorno
Por fim:
Sendo:
Sendo:
Ou, analisando os termos dos senos e cossenos hiperbólicos
Primeiramente, analisando o numerador 
Substituindo na equação 
Ou seja:
Onde: