03. Aula Lei de Gauss

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Prof. José Elisandro de Andrade
e-mail: elisandro_andrade@yahoo.com.br
UNIVERSIDADE FEDERAL DO SUL E SUDESTE DO PARÁ
INSTITUTO DE GEOCÊNCIAS E ENGENHARIAS
FACULDADE DE ENGENHARIA DE MATERIAIS
CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
2.1 – Determinação do fluxo elétrico
2– LEI DE GAUSS
Supondo que, como na figura ao lado, uma
espira de arame retangular com área 𝐴 seja
exposta ao “escoamento” (somente uma
analogia, um campo elétrico não escoa)
uniforme cuja velocidade é Ԧ𝑣 . Seja Φ a
vazão (volume por unidade de tempo)
Φ =
𝑑𝑉
𝑑𝑡
Essa vazão depende do ângulo entre Ԧ𝑣 e o
plano da espira
Φ =
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 𝑣𝐴 cos𝜙
Na forma vetorial
Φ = Ԧ𝑣. Ԧ𝐴
Onde Ԧ𝐴 é o vetor-área, que possui módulo igual a área e direção
perpendicular ao plano.
Também podemos representar um vetor-área Ԧ𝐴 usando um vetor unitário
Ƹ𝑟, perpendicular a área
Ԧ𝐴 = 𝐴 Ƹ𝑟
Se a área é perpendicular à Ԧ𝑣: 𝜙 = 0;
Φ =
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 𝑣𝐴
Se é paralela: 𝜙 = 90°
Φ =
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 0
Para isso, basta substituir a velocidade Ԧ𝑣 pelo campo elétrico 𝐸, temos:
Φ𝐸 = 𝐸. Ԧ𝐴
Generalizando
Φ𝐸 = 𝐸𝐴 cos𝜙
Que é o fluxo elétrico para 𝐸 uniforme, numa superfície plana.
2.2 – Fluxo de um campo elétrico
Porém, esse fluxo elétrico pode ser
considerado numa superfície gaussiana
arbitrária imersa em um campo elétrico não-
uniforme. (figura ao lado).
Dividindo a superfície em partes muito
pequenas (ou infinitesimais) de área 𝑑𝐴1,
𝑑𝐴2, 𝑑𝐴3, …, podemos associar, a cada uma
delas, um vetor unitário Ƹ𝑟1, Ƹ𝑟2 , Ƹ𝑟3, … ,
perpendicular a superfície naquele ponto.
Designemos 𝜙1, 𝜙2 , 𝜙3 , … Como sendo os
ângulos entre os vetores normais Ƹ𝑟1, Ƹ𝑟2, Ƹ𝑟3 , …
e os vetores de campo 𝐸1, 𝐸2 , 𝐸3 , … em cada
ponto da superfície. Assim, por definição, o
fluxo Φ𝐸 do campo elétrico 𝐸 através da
superfície 𝐴 é:
Φ𝐸 = 𝐸1𝑑𝐴1 cos𝜙1 + 𝐸2𝑑𝐴2 cos𝜙2 +⋯
= 𝐸1 Ƹ𝑟1𝑑𝐴1 + 𝐸2 Ƹ𝑟2𝑑𝐴2 +⋯
Φ𝐸 = න𝐸 cos𝜙 𝑑𝐴 = න𝐸 Ԧ𝑟𝑁𝑑 Ԧ𝐴 = ර𝐸. 𝑑 Ԧ𝐴
Definição geral do fluxo elétrico.
2.1 – Um disco com raio igual a 0,10 𝑚 está orientado de modo que
seu vetor unitário normal ො𝑛 forme um ângulo de 30° com o campo
elétrico uniforme 𝐸, cujo módulo é igual a 2,0 × 103 𝑁/𝐶. (Como essa
superfície não é fechada, não podemos especificar um lado “interno”
nem “externo”. Por essa razão , tivemos que escolher o sentido de ො𝑛
na figura). (a) Qual é o fluxo elétrico através do disco? (b) Qual é o
fluxo elétrico através do disco depois que ele gira e passa a ocupar
uma posição perpendicular ao vetor 𝐸? (c) Qual é o fluxo elétrico do
disco quando sua normal é paralela ao vetor 𝐸?
EXEMPLOS
2.2 – A figura ao lado mostra uma
superfície gaussiana com a forma de
um cilindro de raio R imersa em um
campo elétrico uniforme 𝐸 , com o
eixo do cilindro paralelo ao campo.
Qual é o fluxo Φ do campo elétrico
através dessa superfície fechada?
2.3 – Uma carga puntiforme positiva
𝑞 = 3,0 𝜇𝐶 está circundada por uma
esfera de raio igual a 0,20 𝑚 ,
centralizada sobre a carga (figura ao
lado). Calcule o fluxo elétrico
produzido por essa carga através da
esfera.
2.3 – Lei de Gauss
A lei de Gauss relaciona o fluxo total Φ de um campo elétrico através de
uma superfície fechada (superfície gaussiana) à carga total 𝑞𝑒𝑛𝑣 que é
envolvida por essa superfície. Em notação matemática:
𝜖0Φ = 𝑞𝑒𝑛𝑣 → 𝐿𝑒𝑖 𝑑𝑒 𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠
Como:
Φ = ර𝐸𝑑 Ԧ𝐴
Temos:
𝜖0ර𝐸𝑑 Ԧ𝐴 = 𝑞𝑒𝑛𝑣
Cargas fora da superfície não são incluídas no termo 𝑞𝑒𝑛𝑣
𝑆1 → O campo elétrico aponta para fora.
Se Φ é positivo, 𝑞𝑒𝑛𝑣 positiva.
𝑆2 → O campo elétrico aponta para
dentro. Se Φ é negativo, 𝑞𝑒𝑛𝑣 negativa.
𝑆3 → Como a superfície não envolve
nenhuma carga o fluxo do campo elétrico
através da superfície é nulo.
𝑆4 → A carga total envolvida na superfície
é nula.
2.4 – A figura mostra cinco pedaços de plástico
eletricamente carregados e uma moeda neutra. A
figura mostra também uma superfície gaussiana 𝑆
vista de perfil. Qual é o fluxo elétrico que atravessa
a superfície 𝑆 se
𝑞1 = 𝑞4 = +3,1 𝑛𝐶, 𝑞2 = 𝑞5 = −5,9 𝑛𝐶 𝑒 𝑞3 = −3,1 𝑛𝐶
EXEMPLOS
2.5 – Um campo elétrico não-uniforme dado
por 𝐸 = 3,0𝑥 Ƹ𝑖 + 4,0 Ƹ𝑗 atravessa o cubo
gaussiano que aparece na figura ao lado.
(𝐸 está expresso em newtons por coulomb
e 𝑥 em metros.) Qual é o fluxo elétrico na
face direita, na face esquerda e na face
superior do cubo?
2.4 – Lei de Gauss e Lei de Coulomb
Como a lei de Gauss e a lei de Coulomb são formas diferentes de
descrever a mesma relação entre cargas elétricas e campo elétrico em
situações estáticas, deve ser possível demonstrar uma das leis a partir
de outra.
𝜖0ර𝐸𝑑 Ԧ𝐴 = 𝜖0ර𝐸𝑑𝐴 = 𝑞𝑒𝑛𝑣
Onde
𝑞𝑒𝑛𝑣 = 𝑞
𝜖0𝐸ර𝑑𝐴 = 𝑞 ⇒ 𝜖0𝐸 4𝜋𝑟
2 = 𝑞
𝐸 =
1
4𝜋𝜖0
𝑞
𝑟2
2.6 – Uma carga elétrica é
distribuída uniformemente ao
longo de um fio retilíneo infinito. A
carga por unidade de
comprimento é 𝜆 (considerado
positivo). Calcule o campo
elétrico. (Isto é, uma
representação aproximada para o
campo elétrico produzido por uma
carga distribuída uniformemente
ao longo de um fio retilíneo finito,
desde que a distância entre o
ponto do campo e o fio seja mito
menos que o comprimento do fio.)
EXEMPLOS
2.7 – Uma carga pontual de 1,8 𝐶 está no centro de uma superfície 
gaussiana de 55 𝑐𝑚 de aresta. Qual é o fluxo através da superfície?