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1 Gabarito da Avaliação Presencial – AP 2 Período – 2013 / 2º. Disciplina: MATEMÁTICA PARA ADMINISTRADORES Coordenador da Disciplina: Profa. Patrícia Alves P. de Sousa 1a Questão – (Valor 0,4 – cada item) Observe o gráfico da função f e determine os seguintes limites: RESOLUÇÃO: 2a Questão – (Valor 2,0) Sabe-se que a Receita de uma empresa é dado por 1 800100200)( 2 2 − −− = x xx xRT , onde x é o tempo em anos. Determine: 2.1) a Receita daqui a 1 ano; RESOLUÇÃO: 0 700 1 800100200lim 2 2 1 − = − −− → x xx x . Neste caso, constante sobre zero, estuda-se o sinal das funções do numerador e do denominador e após fazer o quociente destes sinais. Pois constante (não nula) dividido por zero pode ser + ∞, – ∞ ou ±∞ ( )∃/ . Logo ∃/= − −− → 1 800100200lim 2 2 1 x xx x , pois os limites laterais são distintos. 2.2) a Receita quando o tempo crescer indefinidamente, ou seja, quando +∞→x 200 11 800100200 lim 1 800100200lim 2 2 2 2 2 2 = −/ −−/ = − −− +∞→+∞→ x x xx x x xx xx 1.1) )(lim2 xfx −→ = 0 1.2) )(lim0 xfx→ = 0 1.3) )(lim1 xfx→ = ∃/ 1.4) )(lim xf x −∞→ =-2 1.5) )(lim xf x +∞→ =-∞ x 2 1 y -1 -2 1 -2 200x2 – 100x – 800 1 x 2 – 1 1 (200x2 – 100x – 800) / (x2 – 1) 1 – – – + – + 2 3a Questão – (Valor 2,0) O Lucro Total de se produzir q unidades de um produto é 10150 2 25 3 )( 23 −+−= qqqqL . Determine o(s) valor(es) de q para o lucro ser máximo, o lucro máximo e os intervalos de crescimento e decrescimento do lucro total. RESOLUÇÃO SIMPLIFICADA: Derivando a função Lucro temos: 150252 +−=′ qqL . Os valores de q que são “candidatos“ a máximo ou mínimo desta função acontece para L’ = 0. Resolvendo esta equação temos: ( )( ) = = ⇒=−−⇒=+− 15 ou 10 015100150252 q q qqqq . (Quem calculou usando a Fórmula de Báskara encontrou: ∆ = 25) Para saber se 10 ou 15 é valor de máximo ou mínimo faz-se o Teste da Primeira ou Segunda Derivada: Optei pelo Teste da Primeira Derivada: Observe que em q = 10 a função L’ muda de sinal de mais para menos, significando que a função Lucro L é crescente no intervalo de 0 ≤ q ≤ 10 e decresce em 10 ≤ q ≤ 15. Então em q = 10 temos um ponto de máximo. Ponto de Máximo é (q , L(q)) = (10 , 573). O valor 573 foi obtido do valor da FUNÇÁO L em q = 10, ou seja, o lucro máximo é L (10) ≅ 573, 33 u.m. (unidades monetárias). Lucro é crescente onde a função derivada (L’) é positiva: 0 ≤ q ≤ 10 ou q ≥ 15. Lucro é decrescente onde a função derivada (L’) é negativa: 10 ≤ q ≤ 15. 4a Questão – (Valor 0,5 – cada item) Derivem as funções da primeira coluna (esquerda) no ponto xo indicado e o resultado associem com a segunda coluna (direita). (A) f (x) = 5x3 + 2x(x+1), xo = 0 ( ) 2 ln2 (B) x xx xf +− − = 21)( 3 , xo = 2 ( A ) ln2 + 1 (C) 13 221)( 2 − +−= xxx xf x , xo = 1 ( D ) 4 2 2 1 + (D) 1 21)( + ++= x x xxf , xo = 1 ( B ) 4 2 36 11 + RESOLUÇÃO: (A) f (x) = 5x3 + 2x(x+1) ⇒ f ‘(x) = 15x2 + 2xln2(x+1) + 2x ⇒ f ‘(0) = 15(0)2 + 20ln2(0+1) + 20 ⇒ f ‘(0) = 0 + ln2 + 1 = ln2 + 1. (B) x xx xf +− − = 21)( 3 ⇒ ( ) ( ) xxxxxf 2 10311)( 223 +−− − − =′ ⇒ ( ) ( ) 22 10)2(31 22 1)2( 223 +−− − − =′f ⇒ 22 1 36 11)2( +=′f . (C) 13 221)( 2 − +−= xxx xf x ⇒ ( )232 13 32)13(2ln241)( − −− ++ − =′ x x xx xf xx ⇒ ( )2 11 32 11.3 32)11.3(2ln2 1 4 1 1)1( − −− ++ − =′f ⇒ 2ln 2 32ln 4 62ln 4 612 4 62ln3 4 62ln441)1( +=+=+−=−+=−++−=′f . (não tem alternativa) (D) 1 21)( + ++= x x xxf ⇒ ( ) 1 21)( 2/1 + ++= x x xxf ⇒ ( ) ( )2 2/1 1 1.2)1(21 2 1)( + −+ ++=′ − x xx xxf ⇒ ( )21 2 12 1)( + + + =′ xx xf ⇒ ( )211 2 112 1)1( + + + =′f ⇒ 2 1 4 2 4 2 22 1)1( +=+=′f . 10 15 + + - 3 5a Questão – (Valor 2,0) Verifique se a função Lucro Total >− = <+ = 10 se ,21 10 se ,10 10 se ,1 )( xx x xx xLT é contínua ao se produzir 10 (mil) unidades, onde x já está expresso na ordem de mil unidades. RESOLUÇÃO: Primeiramente calcula-se o limite da função quando x tende a 10. Visto que a função é definida por leis diferentes na vizinhança de x = 10 então se calcula os limites laterais: 11)(lim e )(lim 1121lim)(lim 111lim)(lim )(lim 1010 1010 1010 10 =∃⇒ =−= =+= = →→ →→ →→ → ++ −− xLxL xxL xxL xL xx xx xx x Agora, precisa-se saber o valor do lucro L no ponto x = 10 que é: L(10) = 10. Por fim, verificamos se )10(lim 10 LL x = → para saber se L é contínua. Neste caso, verificamos que )10(1011lim 10 LL x =≠= → . Logo a função Lucro Total não é contínua ao produzir 10(mil) unidades.
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