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FUNDAMENTOS  DE TOPOGRAFIA

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calçada 
Marco de 
concreto 
Chapas de identificação 
de pontos 
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ponto”, a qual apresenta diversas informações, como coordenadas, 
croqui de localização, data de levantamento, foto do ponto, etc. A figura 
8.2 apresenta um modelo de monografia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 8.2 - Monografia de ponto topográfico. 
 
O levantamento de detalhes é definido na NBR 13133 (ABNT 
1994, p.3) como: 
“conjunto de operações topográficas clássicas (poligonais, 
irradiações, interseções ou por ordenadas sobre uma linha-
base), destinado à determinação das posições planimétricas 
e/ou altimétricas dos pontos, que vão permitir a representação 
do terreno a ser levantado topograficamente a partir do apoio 
topográfico. Estas operações podem conduzir, 
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simultaneamente, à obtenção da planimetria e da altimetria, ou 
então, separadamente, se as condições especiais do terreno ou 
exigências do levantamento obrigarem à separação.” 
 
A representação topográfica estará baseada em pontos 
levantados no terreno, para os quais são determinadas as coordenadas. 
No próximo capítulo serão apresentadas algumas técnicas de medição 
aplicadas ao levantamento planimétrico. 
 
8.2 - Cálculo de Coordenadas na Planimetria 
 
Nesta fase, será detalhado o desenvolvimento necessário para a 
determinação das coordenadas planas, ou seja, as coordenadas x e y. A 
obtenção da coordenada z será discutida quando da apresentação do 
conteúdo referente à altimetria. 
As projeções planas são obtidas em função da distância entre os 
vértices de um alinhamento e o azimute ou rumo, magnético ou 
geográfico, deste mesmo alinhamento. De uma forma mais simples, 
pode-se dizer que a projeção em “X” é a representação da distância entre 
os dois vértices do alinhamento sobre o eixo das abscissas e a projeção 
em “Y” a representação da mesma distância no eixo das ordenadas 
(figura 8.3). 
 
 
 
Figura 8.3 - Representação da projeção da distância D em X (∆∆∆∆X) e 
em Y (∆∆∆∆Y). 
 
X (E) 
A 01 
0 
1 
Y (N) 
∆X 
∆Y 
d 01 
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Sendo: 
 
- d01: distância horizontal entre os vértices 0 e 1; 
- A01: azimute da direção 0-1; 
- ∆X: projeção da distância d01 sobre o eixo X ; 
− ∆Y: projeção da distância d01sobre o eixo Y; 
 
Considerando a figura 8.3 e utilizando os conceitos de 
Trigonometria plana, vistos no capítulo 2, é possível calcular as 
projeções em “X” e “Y” da seguinte forma: 
 Asen d 0101 ×=∆X (8.1) 
 
 A cos .d 0101 ×=∆Y (8.2) 
 
Figura 8.4 - Representação de uma poligonal e suas respectivas 
projeções. 
 
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Considerando a poligonal representada na figura 8.4, as 
coordenadas dos vértices da mesma são obtidas através da soma 
algébrica das projeções. 
Logo: 
 
ii 'XX ∑= e ∑= ii 'YY 
 
8.3 - Cálculo de Azimutes a Partir de Coordenadas Planimétricas de 
Dois Pontos 
 
 Conhecendo-se as coordenadas planimétricas de dois pontos é 
possível calcular o azimute da direção formada entre eles. Voltando à 
Figura 8.3, obtém-se: 
 
Y
X
tgA
∆
∆
=01 (8.3) 
 






∆
∆
=
Y
X
arctgA01 (8.4) 
 
01 XXX −=∆ (8.5) 
 
01 YYY −=∆ (8.6) 
 
De acordo com a definição vista no item 7.2.1, Azimute de uma 
direção é medido a partir do Norte, no sentido horário, varia de 0º a 360º 
e consiste no ângulo formado entre a meridiana de origem que contém 
os Pólos, magnéticos ou geográficos, e a direção considerada. 
Para realizar posterior análise de quadrante, é importante que 
∆X e ∆Y sejam obtidos fazendo-se sempre a coordenada do segundo 
ponto menos a coordenada do primeiro. 
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Figura 8.5 - Quadrantes do Azimute. 
 
 Na Figura 8.5, observa-se que as projeções ∆X e ∆Y da direção 
0-1 sobre os eixos cartesianos X e Y são positivas. Analogamente, para 
a direção 0-2, a projeção sobre o eixo X é positiva e sobre o eixo Y é 
negativa. Considerando-se a direção 0-3, verifica-se que ambas as 
projeções são negativas. E, a direção 0-4 apresenta a projeção sobre o 
eixo X negativa e sobre o eixo Y positiva. 
 
8.3.1 - Exercícios 
 
1) Calcular o azimute da direção 1-2 conhecendo-se as coordenadas: 
X1 = 459,234m Y1 = 233,786 m 
X2 = 778,546m Y2 = 451,263 m 
Y 
X ≡ 90º 
∆X = + 
∆Y = + 
∆X = + 
∆Y = - 
∆X = - 
∆Y = - 
∆X = - 
∆Y = + 
180º 
270º 
1o quadrante 
2o quadrante 3o quadrante 
4o quadrante 
0º ≡ 360º 
1 
2 
3 
4 
0 
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Figura 8.6 - Representação do azimute da direção 1-2. 
 
Neste caso ∆X e ∆Y são positivos, portanto, o azimute da 
direção 1-2 está no 1º quadrante, entre 0º e 90º e é igual a 55º 44’ 31’’. 
 
2) Calcular o azimute da direção 2-3 sendo: 
 
X2 = 459,234 m Y2 = 233,786 m 
X3 = 498,376 m Y3 = 102,872 m 
 
Fazendo ∆X = X3 - X2 tem-se ∆X = + 39,142 m 
 ∆Y = Y3 - Y2 tem-se ∆Y = - 130,914 m 
 
Como ∆X é positivo e ∆Y é negativo, sabe-se que o azimute da 
direção 2-3 está no 2º quadrante, ou seja, entre 90º e 180º, conforme 
ilustra a Figura 8.7. 
 
Y (N) 
X (E) 
S 
W 
1 
2 
A 1-2 
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Figura 8.7 - Representação do azimute da direção 2-3. 
 
 Para obter-se o azimute da direção 2-3 no 2º quadrante, extrai-
se o arco-tangente do módulo do quociente (∆X/∆Y), obtendo-se um 
arco no 1º. quadrante: 
 
A 2-3 = 16º 38’ 46’’ (1º. quadrante) 
 
 A seguir, faz-se a redução ao 2º quadrante: 
 
A 2-3 (2º Quadrante) = 180º - [arco (1º quadrante)] 
A 2-3 (2º Quadrante) = 180º - 16º 38’ 46’’ 
A 2-3 (2º Quadrante) = 163º 21’ 14’’ 
 
3) Calcular o azimute da direção 3-4 sendo: 
 
X3 = 459,234m Y3 = 233,786 m 
X4 = 285,550 m Y4 = 99,459 m 
 
Y (N) 
X (E) 
S 
W 
2 
3 
A 2-3 
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Fazendo ∆X = X4 - X3 tem-se ∆X = - 173,684 m 
 ∆Y = Y4 - Y3 tem-se ∆Y = - 134,327 m 
 
Como ∆X e ∆Y são negativos o azimute da direção 3-4 está no 
3º quadrante, entre 180º e 270º, conforme ilustra a Figura 8.8. 
 
 
 
Figura 8.8 - Representação do azimute da direção 3-4. 
 
A 3-4 = 52º 16’ 54’’ (1º quadrante) 
 
 Reduzindo ao 3º quadrante: 
 
A 3-4 (3º Quadrante) = 180º + [arco (1º quadrante)] 
A 3-4 (3º Quadrante) = 180º + 52º 16’ 54’’ 
A 3-4 (3º Quadrante) = 232º 16’ 54’’ 
 
 
 
Y (N) 
X (E) 
S 
W 
3 
A3-4 
4 
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4) Calcular o azimute da direção 4-5 sendo: 
X4 = 459,234m Y4 = 233,786 m 
X5 = 301,459 m Y5 = 502,591 m 
 
Neste caso, ∆X é negativo e ∆Y é positivo e o azimute da 
direção 4-5 está no 4º quadrante, entre 270º e 360º, conforme ilustra a 
Figura 8.9. 
 
 
Figura 8.9 - Representação do azimute da direção 4-5. 
 
A 4-5 = 30º 24’ 39’’ (1º quadrante) 
 
 Fazendo-se a redução ao 4º quadrante: 
 
A 4-5 (4º Quadrante) = 360º - [arco (1º quadrante)] 
A 4-5 (4º Quadrante) = 360º - 30º 24’ 39’’ 
A 4-5 (4º Quadrante) = 329º 35’ 21’’ 
 
Y (N) 
X (E) 
S 
W 4 
5 
A4-5 
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9 - TÉCNICAS DE LEVANTAMENTO PLANIMÉTRICO 
 
 
A poligonação é um dos métodos mais empregados para a 
determinação de coordenadas de pontos em Topografia, principalmente 
para a definição de pontos de apoio planimétricos. Uma poligonal 
consiste em uma série de linhas consecutivas onde são conhecidos os 
comprimentos e direções, obtidos