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FUNDAMENTOS  DE TOPOGRAFIA

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através de medições em campo. 
 
O levantamento de uma poligonal é realizado através do 
método de caminhamento, percorrendo-se o contorno de um itinerário 
definido por uma série de pontos, medindo-se todos os ângulos, lados e 
uma orientação inicial (figura 9.1). A partir destes dados e de uma 
coordenada de partida, é possível calcular as coordenadas de todos os 
pontos que formam esta poligonal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.1 - Levantamento de uma poligonal. 
 
Utilizando-se uma poligonal é possível definir uma série de 
pontos de apoio ao levantamento topográfico, a partir dos quais serão 
determinadas coordenadas de outros pontos, utilizando, por exemplo, o 
método de irradiação a ser visto posteriormente. 
 
A NBR 13133 (ABNT, 1994) classifica as poligonais em 
principal, secundária e auxiliar: 
 
• Poligonal principal: poligonal que determina os pontos de 
apoio topográfico de primeira ordem; 
 
• Poligonal secundária: aquela que, apoiada nos vértice da 
poligonal principal determina os pontos de apoio topográfico 
de segunda ordem; 
OPP 
P1 
P2 
P3 
d1 d2 
d3 
α1 
α2 
Az 
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• Poligonal auxiliar: poligonal que, baseada nos pontos de apoio 
topográfico planimétrico, tem seus vértices distribuídos na área 
ou faixa a ser levantada, de tal forma que seja possível coletar, 
direta ou indiretamente, por irradiação, interseção ou ordenadas 
sobre uma linha de base, os pontos de detalhes julgados 
importantes, que devem ser estabelecidos pela escala ou nível 
de detalhamento do levantamento. 
 
As poligonais levantadas em campo poderão ser fechadas, 
enquadradas ou abertas. 
 
• Poligonal fechada: parte de um ponto com coordenadas 
conhecidas e retorna ao mesmo ponto (figura 9.2). Sua 
principal vantagem é permitir a verificação de erro de 
fechamento angular e linear. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.2 - Poligonal fechada. 
 
• Poligonal enquadrada: parte de dois pontos com coordenadas 
conhecidas e acaba em outros dois pontos com coordenadas 
conhecidas (figura 9.3). Permite a verificação do erro de 
fechamento angular e linear. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.3 - Poligonal enquadrada. 
A1 
P1 
P2 
A3 
A2 
A4 
OPP 
P1 
P2 
P3 
P4 
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• Poligonal aberta: parte de um ponto com coordenadas 
conhecidas e acaba em um ponto cujas coordenadas deseja-se 
determinar (figura 9.4). Não é possível determinar erros de 
fechamento, portanto devem-se tomar todos os cuidados 
necessários durante o levantamento de campo para evitá-los. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.4 - Poligonal aberta. 
 
 
Como visto anteriormente, para o levantamento de uma 
poligonal é necessário ter no mínimo um ponto com coordenadas 
conhecidas e uma orientação. Segundo a NBR 13133 (ABNT, 1994 p.7), 
na hipótese do apoio topográfico vincular-se à rede geodésica (Sistema 
Geodésico Brasileiro - SGB), a situação ideal é que pelo menos dois 
pontos de coordenadas conhecidas sejam comuns (figura 9.5). Neste 
caso é possível, a partir dos dois pontos determinar um azimute de 
partida para o levantamento da poligonal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.5 - Dois pontos com coordenadas conhecidas e vinculadas 
ao SGB comuns a poligonal. 
 
 
OPP P1 
P2 
P3 
P1 
P2 
P3 
M01 
M02 
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Estes dois pontos não necessitam ser os primeiros de uma 
poligonal, conforme é ilustrado na figura 9.6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.6 - Pontos com coordenadas conhecidas entre pontos da 
poligonal. 
 
 
Outros casos podem ocorrer: 
 
• Um vértice do apoio topográfico coincide com um dos vértices 
da poligonal e é possível observar outro ponto para a obtenção 
do azimute de partida (figura 9.7). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.7 - Um vértice de apoio pertencente a poligonal e 
observação a um segundo vértice. 
 
 
 
P3 
P4 
M01 
P1 
P2 M02 
P3 
P4 
M01 
M02 
P1 
P2 
Az 
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• Um vértice, sem ser possível observar outro ponto. Determina-
se o Norte geográfico com precisão compatível à precisão do 
levantamento (figura 9.8). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.8 - Norte Geográfico e um ponto com coordenadas 
conhecidas. 
 
 
• Nenhum ponto referenciado ao SGB faz parte da poligonal, 
porém existem pontos próximos a poligonal de trabalho (figura 
9.9). Neste caso efetua-se o transporte de coordenadas através 
de uma poligonal de apoio. 
 
 
 
 
Figura 9.9 - Transporte de coordenadas utilizando uma poligonal de 
apoio. 
 
• Nenhum ponto referenciado ao SGB faz parte da poligonal, 
porém existem alguns pontos próximos a poligonal de trabalho 
permitindo que, através do problema de Pothénot, sejam 
M02 
P1 
P2 
Norte Geográfico 
Az 
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determinadas as coordenadas de um ponto da poligonal (figura 
9.10). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.10 - Problema de Pothénot. 
 
• Como caso mais geral e menos recomendado, são atribuídas 
coordenadas arbitrárias para um vértice e determinado o Norte 
geográfico por Astronomia ou utilizando um giroscópio. Se isto 
não for possível, determina-se a orientação através do Norte 
magnético. 
 
• É possível ainda ter o eixo Y orientado segundo uma direção 
qualquer como o alinhamento de um meio fio, por exemplo 
(figura 9.11). Deve ser indicada a direção do Norte geográfico 
ou magnético. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.11 - Eixo Y orientado segundo um alinhamento de meio fio. 
9.1 - Levantamento e Cálculo de Poligonais Fechadas 
M02 
M01 M03 
 
 
Norte 
Magnético 
Eixo Y 
Eixo X 
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Como visto anteriormente, a vantagem de utilizar uma 
poligonal fechada é a possibilidade verificar os erros angular e linear 
cometidos no levantamento da mesma. 
 
 
9.1.1 - Levantamento da Poligonal 
 
Um dos elementos necessários para a definição de uma 
poligonal são os ângulos formados por seus lados. A medição destes 
ângulos pode ser feita utilizando técnicas como pares conjugados, 
repetição ou outra forma de medição de ângulos. Normalmente são 
determinados os ângulos externos ou internos da poligonal (figura 9.12). 
É possível ainda realizar a medida dos ângulos de deflexão dos lados da 
poligonal (figura 9.13). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.12 - Ângulos externos e internos de uma poligonal fechada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
P2 
OPP 
P1 
P2 
P3 
P4 
a) ângulos externos. b) ângulos internos. 
OPP 
P1 
P2 
P3 
P4 
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Figura 9.13 - Ângulos de deflexão de uma poligonal fechada. 
 
No texto a seguir, o sentido de caminhamento para o 
levantamento da poligonal será considerado como sendo o sentido 
horário. Dois conceitos importantes, a saber: estação ré e estação vante. 
No sentido de caminhamento da poligonal, a estação anterior a estação 
ocupada denomina-se de estação RÉ e a estação seguinte de VANTE 
(figura 9.14). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.14 - Estação ré e vante. 
 
Neste caso os ângulos determinados são chamados de ângulos 
horizontais horários (externos) e são obtidos da seguinte forma: 
Deflexão à 
direita 
P1 
P3 
P1 
P2 
P3 
OPP 
P1 
P2 
P3 
P4 
Deflexão à 
esquerda 
Sentido de 
caminhamento 
horário 
EST 03 Ré 
Vante 
Estação Ocupada 
Sentido de 
caminhamento horário 
EST 02 
EST 01 
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estaciona-se o equipamento na estação onde serão efetuadas as 
medições, faz-se a pontaria na estação ré e depois