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FUNDAMENTOS  DE TOPOGRAFIA

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podem ser calculados por: 
 
OPP
C
OPPx XXe −= (9.13) 
 
OPP
C
OPPy YYe −= (9.14) 
 
Onde: XOPP
C e YOPP
C são as coordenadas calculadas; 
XOPP e YOPP são as coordenadas fornecidas. 
 
O erro planimétrico ep será dado por: 
 
2/122 )( yx eeep += (9.15) 
 
É necessário verificar se este erro está abaixo de uma 
determinada tolerância linear. Normalmente esta é dada em forma de 
escala, como por exemplo, 1:1000. O significado disto é que, em uma 
poligonal com 1000 m o erro aceitável seria de 1 m. Para calcular o erro 
planimétrico em forma de escala utilizam-se as seguintes fórmulas: 
 
(9.16) 
 
 
 
(9.17) 
 
 
Onde Σd é o perímetro da poligonal (somatório de todas as 
distâncias da poligonal). 
 
 
9.1.2.4.1 - Exercício 
 
Dados os valores de erro de fechamento linear e tolerância 
linear, verificar o levantamento efetuado. São dados: 
 
Σd = 1467,434 m 
ex = 0,085 m 
eY = -0,094 m 
tolerância linear = 1:10000 
Z
1
=ep
ee
d
Z
yx
22 +
Σ
=
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148 
 
 
2/122 )( yx eeep +=
 
 
ep = (0,085)2 + (-0,0942)1/2 
 
ep = 0,127m 
 
 
 
 
 
 
Z = 11554,59 
 
 
 
 
ep ≤ tolerância, então ok! 
 
 
9.1.2.5 - Correção do Erro Linear 
 
Se o erro cometido for menor que o permitido, parte-se então 
para a distribuição do erro. As correções às coordenadas serão 
proporcionais às distâncias medidas. Quanto maior for a distância, maior 
será a correção. Será aplicada uma correção para as coordenadas X e 
outra para as coordenadas Y, conforme equações abaixo: 
 
(9.18) 
 
 
 
(9.19) 
 
 
Onde: 
Cxi: correção para a coordenada Xi 
Cyi: correção para a coordenada Yi 
Σd: somatório das distâncias 
di-1,i: distância parcial i-j 
)094.0(085,0
434,1467
22 −+
=Z
59,11554
1
=eP
d
d
eCx
ii
xi Σ
×−= − ,1
d
d
eCy
ii
yi Σ
×−= − ,1
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As coordenadas corrigidas serão dadas por: 
 
 
(9.20) 
 
 
(9.21) 
 
 
9.1.2.6 - Resumo de Cálculo da Poligonal Fechada 
 
A seguir é apresentado um resumo da seqüência de cálculo e 
ajuste de uma poligonal fechada. 
 
• Determinação das coordenadas do ponto de partida; 
• Determinação da orientação da poligonal; 
• Cálculo do erro de fechamento angular pelo somatório dos 
ângulos internos ou externos (sentido horário ou anti-horário); 
• Distribuição do erro de fechamento angular; 
• Cálculo dos Azimutes; 
• Cálculo das coordenadas parciais (X, Y); 
• Cálculo do erro de fechamento linear; 
• Cálculo das coordenadas definitivas (XC, YC). 
 
 
9.1.2.7 - Exercício 
 
Dada a caderneta de campo abaixo, utilizada para o 
levantamento de uma poligonal, determinar as coordenadas dos pontos 
que formam a mesma. São dados: 
 
Azimute da direção OPP-1: 106º 52’ 07’’ 
Coordenadas da estação OPP: 
 
XOPP = 224,19 m YOPP = 589,25 m 
 
Tolerâncias: 
Angular: m''10 (m = número de ângulos medidos na poligonal) 
Linear: 1:2000 
( ) CxAzsendXX iiiiicici +×+= −−− ,1,11
( ) CyAzdYY iiiiicici +×+= −−− ,1,11 cos
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Figura 9.21 - Croqui de uma Poligonal Fechada. 
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Ponto Direção Ângulo Horizontal Distância (m) 
OPP OPP-1 100,18 
1 1-2 246º 47´25’’ 115,80 
2 2-3 261º 29´34’’ 116,68 
3 3-4 301º 45´11’’ 91,65 
4 4-OPP 148º 28´31’’ 89,06 
5≡OPP 301º 29´03’’ 
 
1) Verificação do erro angular 
 
ea = Somatório dos ângulos medidos - (n +2)×180º 
 
n = 5 (cinco pontos) 
 
ea = 1259º 59´44’’ - 1260º = - 16’’ 
 
Tolerância angular: 
 
εa = m''10 = 5''10 = +/- 22’’ ea < εa então OK! 
 
2) Correção do erro angular 
 
Ponto Direção Ângulo 
Horizontal 
Correção Ângulo 
Corrigido 
Distância (m) 
OPP OPP-1 100,18 
1 1-2 246º 47´25’’ +3” 246º 47´28’’ 115,80 
2 2-3 261º 29´34’’ +3” 261º 29´37’’ 116,68 
3 3-4 301º 45´11’’ +3” 301º 45´14’’ 91,65 
4 4-OPP 148º 28´31’’ +3” 148º 28´34’’ 89,06 
5≡OPP 301º 29´03’’ +4” 301º 29´07’’ 
Σ +16” 1260º 
 
A maior correção se dará no ângulo formado pelos menores 
lados da poligonal. 
O sinal da correção deve ser contrário ao sinal do erro. 
 
Verificando: Σ dos ângulos corrigidos - (n+2) ×180º = 0 
1260º - 1260º = 0 
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3) Cálculo dos Azimutes 
 
Ponto Direção Ângulo Corrigido Azimute 
OPP OPP-1 106º 52’ 07’’ 
1 1-2 246º 47´28’’ 173º 39´ 35’’ 
2 2-3 261º 29´37’’ 255º 09´ 12’’ 
3 3-4 301º 45´14’’ 16º 54´ 26’’ 
4 4-OPP 148º 28´34’’ 345º 23´ 00’’ 
5≡OPP 301º 29´07’’ 106º 52’ 07’’ 
 
 
'23´00' 345º Az
'54´26' 16º Az
'09´12' 255º Az
'39´35' 173º Az
 180º - 47´28 246º '07' 52' 106º Az
º180
OPP-4
4-3
3-2
2-1
2-1
1021
=
=
=
=
+=
−+=− αPPAzAz
 
 
4) Cálculo das coordenadas provisórias (os cálculos foram realizados 
considerando-se três casas decimais após a vírgula) 
 
( )AzsendXX iiiiii ,1,11 −−− ×+= 
( )AzdYY iiiiii ,1,11 cos −−− ×+= 
 
1-OPP1-OPPOPP1 Azsen d X X ×+= 
106º52'07"sen 18,10019,2241 ×+=X 
mX 060,3201 = 
 
1-OPP1-OPPOPP1 Az cos d Y Y ×+= 
106º52'07" cos18,100250,5891 ×+=Y 
mY 180,5601 = 
 
mY
mX
090,445
848,332
2
2
=
=
 
 
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mY
mX
193,415
067,220
3
3
=
=
 
 
mY
mX
882,502
721,246
4
4
=
=
 
 
mX CalculadoOPP 247,224= mY
Calculado
OPP 060,589= 
 
5) Verificação do erro linear 
 
0,057m 224,190 - 224,247 X - X e OPP
Calculado
OPPx === 
 
0,190m- 589,250 -589,060 Y - Y e OPP
Calculado
OPPy === 
 
( )
( )
me
e
eee
p
p
yxp
19848306,0
)190,0(057,0
2/122
2/122
=
−+=
+=
 
 
 
Expressando o erro em forma de escala: 
 
 
Z ≈ 2586 
 
 
 
 
 
 
2000
1
2586
1
〈 ∴ Erro planimétrico < tolerância linear 
 
 
 
 
)190,0(057,0
37,513
22 −+
=Z
2586
1
=pe
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6) Cálculo das coordenadas corrigidas 
 
( )
( )
( )
( )
mX
mX
mX
mX
senX
CxAzsendXX
mX
senX
CxAzsendXX
c
OPP
c
c
c
c
cc
c
c
PPPPOPP
c
190,224
674,246
031,220
824,332
)013,0(''35'39º17380,115049,320
049,320
)011,0(''07'52º10618,100190,224
4
3
2
2
2212112
1
1
110101
=
=
=
=
−+×+=
+×+=
=
−+×+=
+×+=
−−
−−
 
 
 
( )
( )
( )
( )
mY
Y
CyAzdYY
mY
Y
CyAzdYY
c
c
cc
c
c
OPPOPPOPP
c
170,445
043,0''35'39º173cos80,115217,560
cos
217,560
037,0''07'52º106cos18,10025,589
cos
2
2
2212112
1
1
1111
=
+×+=
+×+=
=
+×+=
+×+=
−−
−−
 
mY
mY
mY
c
OPP
c
c
250,589
039,503
317,415
4
3
=
=
=
 
 
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Coordenadas finais dos pontos da poligonal (arredondadas para 
o centímetro): 
 
Ponto X (m) Y(m) 
OPP 224,19 589,25 
1 320,05 560,22 
2 332,82 445,17 
3 220,03 415,32 
4 246,67 503,04 
5≡OPP 224,19 589,25 
 
 
9.2 - Poligonal Enquadrada 
A característica principal das poligonais enquadradas consiste 
em unir pontos topográficos de coordenadas conhecidas. Logo, 
conhecendo as coordenadas dos vértices de partida Pi e P(i+1) e de 
chegada P(n-1) e Pn é possível calcular o azimute e a distância entre os 
dois vértices utilizados como partida (Pi-P(i+1)) e também o azimute e a 
distância entre os vértices de chegada (P(n-1), Pn) figura 9.22. 
 
 
 
 
Figura 9.22 - Desenho da poligonal enquadrada. 
 
A grande vantagem da utilização desta metodologia baseia-se 
na possibilidade de verificar e corrigir os erros acidentais ocorridos 
durante a coleta dos dados no campo. 
 
O cálculo das coordenadas dos vértices da poligonal deve 
seguir os seguintes passos: 
 
 1)