Primeira Lista de exercícios de elementos do cálculo 3

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
CAMPUS DE ARAPIRACA - UNIDADE DE ENSINO DE
PENEDO
Semestre 2017.2
Primeira Lista de Exerc´ıcios de Elementos do Ca´lculo 3 - Parametrizac¸a˜o de
curvas planas e espaciais (func¸o˜es vetoriais)
prof. Alex Victor
Exerc´ıcios
1. Determine uma parametrizac¸a˜o da reta y = 3x+ 7, com o paraˆmetro t, na qual a posic¸a˜o na reta para
o instante t = 3 seja o ponto P (0, 7).
2. Usando como paraˆmetro t determine, para a circunfereˆncia de raio 4 e centro na origem:
(a) Uma parametrizac¸a˜o no sentido anti-hora´rio de modo que o intervalo de definic¸a˜o desta parame-
trizac¸a˜o seja I = [0, pi4 ].
(b) Uma parametrizac¸a˜o no sentido hora´rio no intervalo I = [0, 2pi] de modo que no instante t = 0 o
ponto seja P (−1, 0).
3. Encontre equac¸o˜es parame´tricas para a trajeto´ria de uma part´ıcula que se move ao longo do c´ırculo
x2 + (y − 1)2 = 4 da seguinte maneira:
(a) Uma vez no sentido hora´rio, a partir de P (2, 1).
(b) Treˆs vezes no sentido anti-hora´rio, a partir de P (2, 1).
(c) Meia-volta no sentido anti-hora´rio, a partir de Q(0, 3).
4. Uma curva γ tem uma parametrizac¸a˜o:
γ : x = (cos t)2, y = (sent)2, t ∈ R.
Esboce a curva γ, informe o ponto para t = 0, indique com setas a direc¸a˜o na qual o paraˆmetro t cresce.
5. Determine a curva dada pela parametrizac¸a˜o γ(t) = ([cos t]2, cos t) com t ∈ R.
6. Determine uma equac¸a˜o parame´trica da curva γ de equac¸a˜o polar θ = pi2 .
7. A curva γ conhecida como espiral de Arquimedes e´ descrita pela equac¸a˜o polar,
r = a · θ,
com a uma contante positiva e θ ≥ 0.
Responda:
(a) Determine uma parametrizac¸a˜o para os espirais de Arquimedes.
(b) Mostre que a distaˆncia entre dois pontos consecutivos de γ com o eixo dos x e´ constante e igual a
2api.
(c) Mostre que γ satisfaz a equac¸a˜o x · tg(
√
x2+y2
a ) = y.
8. Verifique onde a curva e´ coˆncava para cima ou para baixo, onde e´ crescente ou decrescente, os interseptos
e esboce o gra´fico da astro´ide dada por
γ : x = a(cos t)3, y = a(sent)3, 0 ≤ t ≤ 2pi.
Em seguida calcule o comprimento desta curva.
9. Se a e b forem nu´meros fixos, encontre as equac¸o˜es parame´tricas para a curva que consiste em todas as
posic¸o˜es poss´ıveis do ponto P na figura, usando o aˆngulo θ como paraˆmetro. Depois elimine o paraˆmetro
e identifique a curva.
10. Se a e b forem nu´meros fixos, encontre as equac¸o˜es parame´tricas para a curva que consiste em todas as
posic¸o˜es poss´ıveis do ponto P na figura, usando o aˆngulo θ como paraˆmetro. O segmento de reta AB e´
tangente ao c´ırculo maior.
11. Encontre a inclinac¸a˜o da reta tangente a troco´ide
x = rθ − dsenθ, y = r − d cos θ
em termos de θ.
12. Mostre que a curva x = cos t, y = sent cos t tem duas tangentes em (0, 0) e encontre suas equac¸o˜es (das
tangentes). Esboce a curva.
13. Em quais pontos na curva x = 2t3, y = 1 + 4t− t2 a reta tangente tem inclinac¸a˜o 1?
14. Calcule a a´rea da regia˜o limitada pela astroide
γ : x = a cos3 θ, y = asen3θ.
15. Calcule a a´rea da regia˜o delimitada pelo eixo dos x e pelas curvas x = 1 + et, y = t− t2
16. Use as equac¸o˜es parame´tricas de uma elipse
x = a cos θ, y = bsenθ, 0 ≤ θ ≤ 2pi,
para calcular a a´rea delimitada por essas curvas.
17. Um barbante e´ enrolado ao redor de um c´ırculo e enta˜o desenrolado, sendo mantido esticado. A curva
trac¸ada pelo ponto P no final do barbante e´ chamada involuta do c´ırculo. Se o c´ırculo tiver raio r e
centro O, se a posic¸a˜o inicial de P for (r, 0) e se o paraˆmetro θ for escolhido como na figura, mostre que
as equac¸o˜es parame´tricas da involuta sa˜o
x = r(cos θ + θsenθ), y = r(senθ − θ cos θ)
18. Determine o domı´nio das seguintes func¸o˜es vetoriais:
(a) r(t) = (
√
4− t2, e−3t, ln(1 + t))
(b) r(t) = (
(
t− 2
t+ 2
)
i+ sentj + ln(9− t2)k
19. Esboce o gra´fico da curva cuja equac¸a˜o e´ dada. Indique com as setas a direc¸a˜o na qual o paraˆmetro t
cresce.
(a) r(t) = senti+ tj
(b) r(t) = (t, 2− t, 2t)
(c) r(t) = (1, cos t, 2sent)
(d) r(t) = (t2, t4, t6)
20. Mostre que a curva com equac¸o˜es parame´tricas
x = t2, y = 1− 3t, z = 1 + t3
passa pelos pontos P (1, 4, 0) e Q(9,−8, 28), mas, na˜o passa pelo ponto R(4, 7,−6)
21. Para cada uma curva plana com a equac¸a˜o vetorial dada. Encontre r′(t), esboce o gra´fico da curva,
esboce o vetor posic¸a˜o r(t) e o vetor tangente r′(t) para o valor dado de t.
(a) r(t) = (t− 2, t2 + 1), t = −1
(b) r(t) = t2i+ t3j, t = 1
(c) r(t) = senti+ 2 cos tj, t = pi4
(d) r(t) = eti+ e−tj, t = 0
(e) r(t) = e2ti+ etj, t = 0
22. Determine a derivada da func¸a˜o vetorial.
(a) r(t) = (t · sent, t2, t cos 2t)
(b) r(t) = tg(t)i+ sec(t)j + 1t2 k
(c) r(t) = i− j + e4tk
(d)
(
1
1 + t
)
i+
(
t
1 + t
)
j +
(
t2
1 + t
)
k
(e) r(t) = et
2
i− j + ln(1 + 3t)k
(f) r(t) = a+ tb+ t2c, onde a, b, c sa˜o vetores fixos.
23. Determine o vetor tangente unita´rio, T (t), no ponto com valor de paraˆmetro dado t.
(a) r(t) = (t3 + 3t, t2 + 1, 3t+ 4), t = 1
(b) r(t) = (cos t, 3t, 2sen2t), t = 0
(c) r(t) = (sen2t, cos2 t, tg2t), t = pi4
24. Calcule a integral.
(a)
∫ 3
0
(ti− t3j + 3t5k)dt
(b)
∫ 1
0
(
(
4
1 + t2
)j + (
2t
1 + t2
k)
)
dt
(c)
∫
(eti+ 2tj + ln(t)k)dt
25. Se u(t) = (sent, cos t, t) e v(t) = (t, cos t, sent). Calcule
d
dt
[u(t) · v(t)]
26. Seja f(t) = u(t) · v(t). Determine f ′(2), onde u(2) = (1, 2,−1), u′(2) = (3, 0, 4), e v(t) = (t, t2, t3).
27. Determine o comprimento da curva dada.
(a) r(t) =
√
2ti+ etj + e−tk, 0 ≤ t ≤ pi4
(b) r(t) = i+ t2j + t3k, 0 ≤ t ≤ 1.
28. Se r(t) 6= 0, mostre que ddt |r(t)| = 1|r(t)|r(t) · r′(t).
Dica: |r(t)|2 = r(t) · r(t).
BONS ESTUDOS!!!!
Respostas e algumas sugesto˜es
1. Com voceˆ
2. Com voceˆ
3. (a) x = 2 cos t, y = 1− 2sent, 0 ≤ t ≤ 2pi
(b) x = 2 cos t, y = 1 + 2sent, 0 ≤ t ≤ 6pi
(c) x = 2 cos t, y = 1 + 2sent, pi2 ≤ t ≤ 3pi2
4. Com voceˆ
5. Com voceˆ
6. Com voceˆ
7. Com voceˆ
8. O esboc¸o com voceˆ, L = 6a (comprimento da curva).
9. x = a cos θ, y = bsenθ. Identificar com voceˆ.
10. Com voceˆ
11. dsenθr−d cos θ
12. Equac¸o˜es y = x e y = −x. Justificar isto e´ com voceˆ e esboc¸ar a curva com voceˆ.
13. Nos pontos P (−2,−4) e Q( 1627 , 299 )
14. Com voceˆ
15. 3− e
16. piab
17. Com voceˆ
18. (a) (−1, 2]
(b)
19. Analise com atenc¸a˜o as informac¸o˜es dadas e associe aos seus conhecimentos anteriores de func¸o˜es veto-
riais.
20. Esta e´ muito fa´cil.
21. (a) r′(t) = (1, 2t), r′(−1) = ...
(b)
(c) r′(t) = (cos t,−2sent) r′(pi4 ) = ...
(d)
(e) r′(t) = (2e2t, et) r′(0) = ...
22. (a) r′(t) = (t cos t+ sent, 2t, cos 2t− 2tsen2t)
(b)
(c) r′(t) = 4e4tk
(d)
(e) r′(t) = 2tet
2
i+
(
3
1+3t
)
k
(f) r′(t) = b+ 2t · c
23. (a)
(b) 35j +
4
5k
(c)
24. (a) 2i− 4j + 32k
(b)
(c) eti+ t2j + (t ln t− t)k + C
25. 2t cos t+ 2sent− 2 cos tsent
26. 35
27. (a) e− e−1
(b) 127 (13
3
2 − 8)
28. Com voceˆ