AP1 Calculo 2 2017 2 Gabarito cederj

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Fundação CECIERJ 
AP1
 Questão 1 [3,0 pontos]Determine a área da região sombreada 
Solução 
 
Observe que todas as funções estão em função da variável independente y.
 
A região R dada é a união das regiões 
Neste caso, a representação da área é feita por duas integrais em relação à variável 
independente y: 
1 2( ) ( ) ( )A R A R A R= + =
0
1
[ 1)]e e
−
∫
 
0 0 1
1/2 2
1 1 0
[ ) 1] ( 1)(y ydy dy e dy e ye e y dy
− −
= − − −− − +∫ ∫ ∫
 
Fundação CECIERJ – Vice Presidência de Educação Superior a Distância 
AP1- CÁLCULO II-2017/2 GABARITO 
Determine a área da região sombreada 
Figura 1 
estão em função da variável independente y.
Figura 2 
dada é a união das regiões 1R e 2R mostradas na Figura 2. 
representação da área é feita por duas integrais em relação à variável 
[ 1)](y y dye e − −−∫ 2
1
0
( 1)[ ye e y+ − −∫
0 0 1
1/2 2
1 1 0
1
0
[ ) 1] ( 1)y ydy dy e dy e ye e y dy= − − −− − +∫ ∫ ∫∫ 
 
estão em função da variável independente y. 
 
representação da área é feita por duas integrais em relação à variável 
 
( 1)]dy 
Cálculo II Gabarito da AP1 2017/2 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
2 
3/2 3
0 1
0 1
1 01 0
( )
[ 2 ] [ ] )
3 3
y yy ye e y e e y−−
− = − − − + − −  
 
3/2 3
0 1 1 0( ( 1)) 1( ) [0 2 ( 1)] ( [ 1])
3 3
e e e e e e−
− −
= − − + + − + − − − 
1 2(1 ) ) ( 1 )
3 3
e e
e e−= − + + − + 1 1
2
2
3 3
e e
e e e e− −=− + + + = − unidades de área. 
 
Questão2 [1,5 ponto]Encontre (0)f ′ dado que ( )( ) g xef x = onde
3
4
1
( ) 2 3sen 1 ,
xe
g x x x dx x= + + + ∈∫ R . 
Solução 
Observe que
41 x+ é contínua emR , assim 
3
4
1
1
x
e
x dx+∫ é continua nesse intervalo, logo 
g é derivável, pois é a soma de funções deriváveis para todo número x∈R Logo, utilizando a 
fórmula de derivada de umasoma temos 
 
3
4
1
( ) 3cos 1
xe
d
g x x x dx
dx
 
′ = + + 
 
 
∫
 
 
Usando agora a 1ª forma do TFC e a regra da cadeia naúltima parcela, obtemos 
 
3 3 4( ) 3cos 3 1 ( )x xg x x e e′ = + + 
 
Por outro lado, f é uma função derivável, pois é a composição de duas funções deriváveis emR , 
logo 
( ) ( )( ) g xe g xf x ′′ = 
Calculando a derivada em 0x = , tem-se:
(0) (0)(0) ge gf ′′ = . Note-se que 
�
3(0) 1
4 4
1 10
0
(0) 2 3sen 0 1 2 1 2
e
g x dx x dx= + + + = + + =∫ ∫
�����
 
�
3(0) 3(0) 4
1
(0) 3cos0 3 1 ( ) 3 3 2 3(1 2)g e e′ = + + = + = + 
Ou seja 
2 (1 2)(0) 3ef +′ = 
Questão 3 [1,0 ponto] Calcule 
1/
2
xe
x
dx∫ 
Solução 
Cálculo II Gabarito da AP1 2017/2 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
3 
 Seja
2 2
1 1 1
u du dx dx du
x x x
= ⇒ = − ⇒ = − . Logo 
 
1/
1/
2
x
u u xe e du e C e C
x
dx = − = − + = − +∫∫ . 
 
Questão 4 [1,5 pontos] Usando a técnica de substituição, calcule
2 2cos(3 )3 x x dx∫ . 
Solução 
 Seja
(2 ) (2 ) (2 )3 3 2ln3 3
2ln3
x x x duu du dx dx= ⇒ = ⇒ = .Logo 
2 2 21 1cos(3 ) cos sen sen (3 )
2ln3 2ln3 2ln3
3 x x x
du
u u C Cdx = + = += ∫∫ . 
 
Questão 5 [1,5 ponto]Usando a técnica de integração por partes, calcule
1
0
arctg x dx∫ . 
Solução 
Seja 
2
1
arctg ;
1
u x du dx dv dx v x
x
= ⇒ = = ⇒ =
+
. 
 
� ]
1 1
1
20
0 0
1 2
arctg arctg
2 1dv
u
x
x dx x x dx
x
= −
+∫ ∫���
1
2
0
1
1arctg1 ln | 1|
2
x

= − + 
1
ln 2
4 2
π
= − - 
 
 
Questão 6 [1,5 ponto]Usando a técnica de potências e produtos de funções trigonométricas, 
calcule
4 4cotg cossecx x dx∫ . 
Solução 
4 4 4 2 2 4 2 2cotg cossec cotg cossec cossec cotg (1 cotg ) cossecx x xx dx x xdx x xdx= = +∫ ∫ ∫ 
Seja
2 2cotg cossec cossecu x du x dx du x dx= ⇒ = − ⇒ − = .Logo: 
4 2 2cotg (1 cotg ) cossecx x xdx+∫ 4 2 4 6( )(1 ) du u u duu u = − += − + ∫∫ 
5 7 5 7cotg cotg
5 7 5 7
u u x x
C C
   
= − + + = − + +   
   
.