Unidade-02 Sinais e Sistemas - Transformada De Laplace

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ANÁLISE DE 
SISTEMAS LINEARES 
Este conjunto de slides foi elaborado pelo Prof. Raimundo Nonato das Mercês Machado 
UNIDADE 02 
TRANSFORMADA 
DE 
LAPLACE 
Este conjunto de slides foi elaborado pelo Prof. Raimundo Nonato das Mercês Machado 
Introdução 
•A Transformada de Laplace é um recurso 
matemático que permite a obtenção da solução de 
uma Equação Diferencial Linear através da solução 
de uma equação algébrica. 
 
Converte Equações Diferenciais Ordinárias em 
equações algébricas, facilitando a sua solução. 
 
Converte diversas funções em funções 
algébricas de uma variável complexa “s”. 
Introdução 
 
-Motivação: 
Oliver Heaviside (1850 – 1925) => Método de Cálculo Operacional: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para facilitar o uso da Transformada de Laplace: 
Uso de Tabelas de Transformadas. 
Expansão em Frações Parciais. 
 
Fonte da imagem: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/edo/laplace.htm 
• Definição 
•Transformada direta. 
•Sejam 
• f(t) uma função em t. 
• f(t) = 0 para t < 0. 
• s uma variável complexa: 
 
 
 
 
• F(s) - transformada de Laplace de f( t). 
• e-st - núcleo (kernel) da transformação. 
• L - operador de Laplace. 
 Transformada inversa. 
 
 
 
 Transformações entre os dois domínios. 
 
 Operador diferencial. 
 
 
 Operador integral. 
 
• Definição 
● Propriedades e Teoremas da Transformada de Laplace. 
● Linearidade. 
 
● c1, c2, ..., cn são constantes arbitrárias. 
● Deslocamento no tempo. 
 
 
● Deslocamento na frequência. 
 
 
● Escalonamento. 
 
 
● Propriedades e Teoremas da Transformada de Laplace. 
● Diferenciação no domínio do tempo. 
 
 
 
 
 
● Diferenciação no domínio da frequência. 
● Propriedades e Teoremas da Transformada de Laplace. 
● Integração no domínio do tempo. 
 
 
 
● Integração no domínio da frequência. 
● Propriedades e Teoremas da Transformada de Laplace. 
● Teorema do valor inicial. 
 
 
● Teorema do valor final. 
 
 
● Convolução no domínio do tempo. 
 
 
● Convolução no domínio da frequência. 
 
● Transformada de Laplace de funções simples. 
 
 ● 
 
● 
 
● 
 
● 
 
● 
 
 
● 
 
 
● 
 
 
● 
 
 
● 
 
● Transformada de Laplace de funções simples. 
 ● 
 
 ● 
 
 ● Transformada de Laplace de funções simples 
● Exemplo 1: 
● Encontrar a transformada de Laplace do pulso retangular fP(t). 
● Transformada de Laplace de funções simples 
 Exemplo 2.2. 
 Encontrar a transformada de Laplace para as seguintes funções 
no domínio do tempo. 
• Uso do MALAB 
 Degrau unitário u0(t). 
 
 
 Impulso unitário (t) 
 
 
 Exemplo 2.3. 
 Encontrar os valores de u0(t) e (t) para t = -1, t = 0 e t = 1. 
• Uso do MALAB 
 A transformada de Laplace pode ser encontrada com o 
MATLAB usando-se “laplace”. 
 Exemplo 2.4. 
 Encontrar a transformada de Laplace para as seguintes funções 
no domínio do tempo. 
 6u0(t) 
 5tu0(t) 
 5(t-4) 
 3(2t – 3)(t – 3) 
 (5cos3t)u0(t) 
 
• Transformada de Laplace inversa. 
  Integral de inversão. 
 
 
 
 
 Uso facilitado com Expansão em frações parciais. 
 Utiliza tabelas. 
• Transformada de Laplace inversa. 
  Expansão em frações parciais 
 Forma padrão. 
 
 
 
 ak e bk, reais. k = 1, 2, ..., n. 
 m < n. 
 F(s) 
 Função racional própria. 
 m ≥ n. 
 F(s) 
 Função racional imprópria. 
• Transformada de Laplace inversa. 
  Expansão em frações parciais 
 Forma padrão. 
 
 
 
 Raízes de N(s). 
 Zeros de F(s). 
 Raízes de D(s). 
 Polos de F(s). 
 Polos e zeros. 
 Reais e distintos. 
 Reais e repetidos. 
 Complexos conjugados. 
 Combinações. 
Expansão em Frações Parciais: 
 
Quando determinada fórmula se apresentar na forma de uma 
Fração Racional em s e puder ser escrita na forma: 
 
 
 
●Onde: Q(s) e P(s) são polinômios de s. 
●Considerando a ordem de P(s) em s maior que a de Q(s). 
●E o polinômio P(s) é escrito na forma: 
 
 
●Onde: são coeficientes reais. 
 
=>Os métodos de expansão em frações parciais ora 
apresentados, abordam os seguintes casos: 
 -Caso de polos simples de G(s). 
 -Caso de polos de ordem múltipla de G(s). 
 -Caso de polos complexo-conjugados de G(s). 
Caso 1: G(s) apresenta polos simples: 
Obs: Polos são as raízes do polinômio P(s). 
 
●Se todos os polos de G(s) são simples e reais, então G(s) é 
escrita como: 
 
 
 
 
●Onde: 
 
●Aplicando a expansão em frações parciais, G(s) ficará na 
seguinte forma: 
Para determinar os coeficientes para G(s), 
aplica-se o seguinte método: 
Exemplo: Seja a Função Racional G(s) apresentada 
abaixo. Faça a sua decomposição em frações parciais. 
 
 
 
Passo 1 – Determinar os polos: 
 Determina-se as raízes de s2+4s+3 pela fórmula de 
Bhaskara obtendo-se: s1= -1 e s2= -3. 
 Então: P(s) = s²+4s+3 = (s+1)(s+3). 
 
Passo 2 – Colocar G(s) na forma: 
Passo 3 – Calcular os coeficientes K: 
Resultado: 
No Matlab a decomposição em frações parciais é 
resolvida através do uso da função residue(Q, P): 
 
 
Caso 2: G(s) tem polos de ordem múltipla: 
 
●Se r dos n polos de G(s) são idênticos, dizemos que os polos em 
s=-si é de multiplicidade r. Então G(s) é escrita na forma: 
 
 
 
 
●Onde: . 
 
●Aplicando a expansão em frações parciais, G(s) ficará na 
seguinte forma: 
 
 
 
 
 
(n-r) termos de polos simples r termos de polos repetidos 
Para determinar os coeficientes para G(s), 
aplica-se o mesmo método que é aplicado ao Caso 1 (polos 
simples). 
Determinando os coeficientes: : 
Exemplo: Seja a Função Racional G(s) apresentada abaixo. 
Faça a sua decomposição em frações parciais. 
 
 
 
 
Passo 1 – Determinar os polos de P(s): 
 Logo: P(s)= s³+5s²+8s+4 = (s+1).(s+2)² 
 => Atenção: s=-2 é um polo de multiplicidade 2. 
 
Passo 2 – Colocar G(s) na forma: 
Passo 3 – Cálculo dos coeficientes : 
Resultado: 
Observe que o processamento do 
Matlab definiu a ordem de apresentação 
dos coeficientes (resíduos) como: A1 , A2 
e Ks1 . 
No Matlab a decomposição do exemplo corrente: 
 
 
Caso 3: G(s) tem polos simples complexo-conjugados: 
 
●Devido aos polos complexo-conjugados, o tratamento é mais 
difícil, porém há um interesse especial no seu estudo voltado aos 
sistemas de controle. 
●Considerando que G(s) possua um par de polos complexos: 
 
 
●Aplicando a expansão em frações parciais, G(s) ficará na 
mesma forma como para polos simples. 
 
●O cálculo dos coeficientes K também é feito com base em: 
 
 
 
Logo: 
Onde: si são os polos 
complexos conjugados. 
• Transformada de Laplace inversa. 
  Expansão em frações parciais 
 Polos distintos. 
 Exemplo 2.5 
 Usando o método de expansão em frações parciais simplificar e 
encontrar a função no domínio do tempo correspondentes as 
funções no domínio s dadas. 
 
 
 
 Funções associadas do MATLAB. 
 factor(s) . 
 residue(N,D). 
 
• Transformada de Laplace inversa 
 Polos complexos. 
 Ocorrem em pares complexos conjugados. 
 O complexo conjugado de pk é pk*. 
 Exemplo2.6. 
 Usando o método de expansão em frações parciais simplificar F3(s), 
e encontrar a função no domínio do tempo f(t) correspondente a 
F(s). 
 
 
 
 
 Funções associadas do MATLAB. 
 factor(s) . 
 roots(p). 
• Transformada de Laplace inversa 
 Pólos repetidos 
 Exemplo 2.7. 
 Usando o método de expansão em frações parciais simplificar e 
encontrar a função no domínio do tempo correspondentes as 
funções no domínio s dadas. 
 
 
 
 
 Funções associadas do MATLAB. 
 factor(s) . 
 collect(s). 
• Transformada de Laplace inversa 
 F(s) é racional imprópria 
 Dividir o numerador N(s) pelo denominador D(s). 
 
 
 
 N(s)/D(s) é uma função racional própria. 
 Exemplo 2.8. 
 Encontrar a transformada de Laplace inversa f(t) de F(s). 
 
• Transformada de Laplace inversa 
 Uso do MATLAB 
 residue(a,b). 
 Encontra os resíduos e os polos de uma função racional. 
 Exemplo 2.9. 
 Encontrar os resíduos das funções dos Exemplos 2.5 a 2.8. 
 Ilaplace 
 Transformada de Laplace inversa. 
 Exemplo 2.10. 
 Encontrar a transformada de Laplace inversa das funções dos 
Exemplos 2.5 a 2.8. 
 
BIBLIOGRAFIA BÁSICA 
 
1. OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno. 4a Edição, Prentice 
Hall, 2003. 
 
2. DORF, R. C.; Bishop, R. H. Sistemas de Controle Modernos. 11a 
Edição, Livros Técnicos e Científicos, 2009. 
 
3. NISE, N. S. Engenharia de Sistemas de Controle. 5a Edição, Livros 
Técnicos e Científicos, 2009. 
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR 
 
1. HSU, Hwei. Sinais e Sistemas. Editora Schaum Bookman Companhia, 
2004. 
 
2. HAYKIN, Simon S. & VEEN, Barry Van. Sinais e Sistemas. Editora 
Bookman Companhia, 2000. 
 
3. BOLTON, W. Engenharia de Controle MAKRON, 1995. 
 
4. PHILLIPS, Charles L. & HARBOR, Royce D. Sistemas de Controle e 
Realimentação Makron, 1996. 
 
5. HAYKIN, Simon. Sinais e sistemas. Colaboração de Barry Van 
Veen.Traduzido por Jose Carlos Barbosa dos Santos. Porto Alegre: 
Bookman, 2001.