Super Tabela de Integrais

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Definição de uma integral indefinida
Se , então y é a função cuja derivada é f(x) e é chamada de antiderivada de f(x) ou integral inde-
finida de f(x), denotada por Analogamente, se então Como a derivada 
de uma constante é zero, todas as integrais indefinidas diferem por uma constante arbitrária.
Para a definição de uma integral definida, ver 18.1. O processo de determinação de uma integral é 
chamado integração.
Regras gerais de integração
No que segue, u, � e w são funções de x; a, b, p e q são quaisquer constantes, com restrições quando indi-
cado; e � 2,71828... é a base natural dos logaritmos; ln u denota o logaritmo natural de u, onde supomos 
u > 0 [em geral, para estender fórmulas aos casos em que também u < 0, substitua ln u por ln |u|]; todos os 
ângulos são em radianos; todas as constantes de integração estão omitidas mas ficam subentendidas.
 16.1 
 16.2 
 16.3 [finitas parcelas]
 16.4 [Integração por partes]
Para integração por partes generalizada, ver 16.48.
 16.5 [u = ax]
 16.6 [u = f(x)]
 16.7 [n ��1; para n � �1, ver 16.8]
 16.8 ln|u| [ln u, se u > 0; ln (�u), se u < 0]
 16.9 
 16.10 
 16.11 
 16.12 
Tabela de Integrais Indefinidas e Definidas
Spiegel_II_15-18.indd 78 30.03.10 13:15:18
 16.13 
 16.14 
 16.15 
 16.16 
 16.17 
 16.18 
 16.19 
 16.20 
 16.21 
 16.22 
 16.23 
 16.24 
 16.25 
 16.26 
 16.27 
 16.28 
 16.29 
 16.30 
 16.31 
 16.32 
 16.33 
 16.34 
 16.35 
 16.36 
 16.37 
 16.38 
Spiegel_II_15-18.indd 79 30.03.10 13:15:19
 16.39 
 16.40 
 16.41 
 16.42 
 16.43 
 16.44 
 16.45 
 16.46 
 16.47 
 16.48 
Isto é a integração por partes generalizada.
Transformações importantes
Na prática, frequentemente uma integral pode ser simplificada usando uma substituição ou transformação 
adequadas juntamente com a Fórmula 16.6. A lista seguinte fornece algumas transformações e seus efeitos.
 16.49 
 16.50 
 16.51 
 16.52 
 16.53 
 16.54 
 16.55 
 16.56 
 16.57 
Resultados análogos aplicam-se a outras funções trigonométricas inversas.
 16.58 
Aqui fornecemos tabelas de integrais indefinidas especiais. Como enunciamos nas observações acima da 
regra 16.1, também nestas tabelas a, b, p, q e n são constantes, com restrições quando indicado; e � 
2,71828... é a base natural dos logaritmos; ln u denota o logaritmo natural de u, onde supomos u > 0 [em 
geral, para estender fórmulas aos casos em que também u < 0, substitua ln u por ln |u|]; todos os ângulos 
são em radianos; todas as constantes de integração estão omitidas mas ficam subentendidas. Supomos em 
todos os casos que a divisão por zero está excluída.
Nossas integrais estão divididas em tipos que envolvem as seguintes funções e expressões algébricas:
Algumas integrais contêm os números de Bernouilli, Bn, e os números de Euler, En, definidos no Ca-
pítulo 23.
 1 Integrais envolvendo ax + b
 17.1.1 
 17.1.2 
 17.1.3 
 17.1.4 
 17.1.5 
Tabelas de Integrais 
Indefinidas Especiais
Spiegel_II_15-18.indd 82 30.03.10 13:15:20
 17.1.6 
 17.1.7 
 17.1.8 
 17.1.9 
 17.1.10 
 17.1.11 
 17.1.12 
 17.1.13 
 17.1.14 [n � �1; ver 17.1.1]
 17.1.15 [n � �1, �2; ver 17.1.2 e 7]
 17.1.16 [n � �1, �2, �3]
 17.1.17 
 2 Integrais envolvendo 
 17.2.1 
 17.2.2 
 17.2.3 
 17.2.4 
 17.2.5 
Spiegel_II_15-18.indd 83 30.03.10 13:15:20
 17.2.6 
 17.2.7 
 17.2.8 
 17.2.9 
 17.2.10 
 17.2.11 
 17.2.12 [m � 1]
 17.2.13 
 17.2.14 [m � 1]
 17.2.15 [m � 1]
 17.2.16 [m � �2]
 17.2.17 
 17.2.18 
 17.2.19 
 17.2.20 
 17.2.21 
 3 Integrais envolvendo ax � b e px � q
 17.3.1 
 17.3.2 
 17.3.3 
Spiegel_II_15-18.indd 84 30.03.10 13:15:20
 17.3.4 
 17.3.5 
 17.3.6 
 17.3.7 
 17.3.8 
 4 Integrais envolvendo e px � q
 17.4.1 
 17.4.2 
 17.4.3 
 17.4.4 
 17.4.5 
 17.4.6 
 17.4.7 [n � 1]
Spiegel_II_15-18.indd 85 30.03.10 13:15:21
 5 Integrais envolvendo e 
 17.5.1 
 17.5.2 
 17.5.3 
 17.5.4 
 17.5.5 
 6 Integrais envolvendo x2 � a2
 17.6.1 
 17.6.2 
 17.6.3 
 17.6.4 
 17.6.5 
 17.6.6 
 17.6.7 
 17.6.8 
 17.6.9 
 17.6.10 
 17.6.11 
 17.6.12 
Spiegel_II_15-18.indd 86 30.03.10 13:15:22
 17.6.13 
 17.6.14 
 17.6.15 [n � 1]
 17.6.16 [n � 1]
 17.6.17 [n � 1]
 17.6.18 
 17.6.19 
 7 Integrais envolvendo x2– a2, com x2 > a2
 17.7.1 
 17.7.2 
 17.7.3 
 17.7.4 
 17.7.5 
 17.7.6 
 17.7.7 
 17.7.8 
 17.7.9 
 17.7.10 
 17.7.11 
 17.7.12 
Spiegel_II_15-18.indd 87 30.03.10 13:15:22
 17.7.13 
 17.7.14 
 17.7.15 [n � 1]
 17.7.16 [n � 1]
 17.7.17 [n � 1]
 17.7.18 
 17.7.19 
 8 Integrais envolvendo a2 – x2, com x2 < a2
 17.8.1 
 17.8.2 
 17.8.3 
 17.8.4 
 17.8.5 
 17.8.6 
 17.8.7 
 17.8.8 
 17.8.9 
 17.8.10 
 17.8.11 
 17.8.12 
Spiegel_II_15-18.indd 88 30.03.10 13:15:23
 17.8.13 
 17.8.14 
 17.8.15 [n � 1]
 17.8.16 [n � 1]
 17.8.17 [n � 1]
 17.8.18 
 17.8.19 
 9 Integrais envolvendo 
 17.9.1 
 17.9.2 
 17.9.3 
 17.9.4 
 17.9.5 
 17.9.6 
 17.9.7 
 17.9.8 
 17.9.9 
 17.9.10 
 17.9.11 
 17.9.12 
Spiegel_II_15-18.indd 89 30.03.10 13:15:23
 17.9.13 
 17.9.14 
 17.9.15 
 17.9.16 
 17.9.17 
 17.9.18 
 17.9.19 
 17.9.20 
 17.9.21 
 17.9.22 
 17.9.23 
 17.9.24 
 17.9.25 
 17.9.26 
 17.9.27 
 17.9.28 
 10 Integrais envolvendo 
 17.10.1 
 17.10.2 
Spiegel_II_15-18.indd 90 30.03.10 13:15:24
 17.10.3 
 17.10.4 
 17.10.5 
 17.10.6 
 17.10.7 
 17.10.8 
 17.10.9 
 17.10.10 
 17.10.11 
 17.10.12 
 17.10.13 
 17.10.14 
 17.10.15 
 17.10.16 
 17.10.17 
 17.10.18 
 17.10.19 
 17.10.20 
 17.10.21 
 17.10.22 
Spiegel_II_15-18.indd 91 30.03.10 13:15:24
 17.10.23 
 17.10.24 
 17.10.25 
 17.10.26 
 17.10.27 
 17.10.28 
 11 Integrais envolvendo 
 17.11.1 
 17.11.2 
 17.11.3 
 17.11.4 
 17.11.5 
 17.11.6 
 17.11.7 
 17.11.8 
 17.11.9 
 17.11.10 
 17.11.11 
 17.11.12 
 17.11.13 
Spiegel_II_15-18.indd 92 30.03.10 13:15:25
 17.11.14 
 17.11.15 
 17.11.16 
 17.11.17 
 17.11.18 
 17.11.19 
 17.11.20 
 17.11.21 
 17.11.22 
 17.11.23 
 17.11.24 
 17.11.25 
 17.11.26 
 17.11.27 
 17.11.28 
 12 Integrais envolvendo ax2 � bx � c
Nos resultados seguintes, se b2 � 4ac, então ax2 � bx � c � a(x � b/2a)2 e podem ser usadas as integrais 
de 17.1. Se b = 0, use as integrais de 17.6. Se a = 0 ou c = 0, use as integrais de 17.1.
 17.12.1 
Spiegel_II_15-18.indd 93 30.03.10 13:15:25
 17.12.2 
 17.12.3 
 17.12.4 
 17.12.5 
 17.12.6 
 17.12.7 [n � 1]
 17.12.8 
 17.12.9 
 17.12.10 
 17.12.11 
 17.12.12 
 17.12.13 
 17.12.14 
 17.12.15 
 13 Integrais envolvendo 
Nos resultados seguintes, se b2 � 4ac, então e podem ser usadas as inte-
grais de 17.1. Se b = 0, use as integrais de 17.9. Se a � 0 ou c � 0, use as integrais de 17.2 e 5.
 17.13.1 
 17.13.2 
Spiegel_II_15-18.indd 94 30.03.10 13:15:26
 17.13.3 
 17.13.4 
 17.13.5 
 17.13.6 
 17.13.7 
 17.13.8 
 17.13.9 
 17.13.10 
 17.13.11 
 17.13.12 
 17.13.13 
 17.13.14 
 17.13.15 
 17.13.16 
 17.13.17 
 17.13.18 
Spiegel_II_15-18.indd 95 30.03.10 13:15:26
 17.13.19 
 14 Integrais envolvendo x3 � a3
Observe que, para fórmulas envolvendo x3 – a3, substitua a por –a.
 17.14.1 
 17.14.2 
 17.14.3 
 17.14.4 
 17.14.5 
 17.14.6 
 17.14.7 
 17.14.817.14.9 
 17.14.10 
 17.14.11 [m � 2]
 17.14.12 [n � 1]
 15 Integrais envolvendo x4 ± a4
 17.15.1 
 17.15.2 
 17.15.3 
Spiegel_II_15-18.indd 96 30.03.10 13:15:27
 17.15.4 
 17.15.5 
 17.15.6 
 17.15.7 
 17.15.8 
 17.15.9 
 17.15.10 
 17.15.11 
 17.15.12 
 17.15.13 
 17.15.14 
 16 Integrais envolvendo xn ± an
 17.16.1 
 17.16.2 
 17.16.3 
 17.16.4 
 17.16.5 
 17.16.6 
 17.16.7 
Spiegel_II_15-18.indd 97 30.03.10 13:15:28
 17.16.8 
 17.16.9 
 17.16.10 
 17.16.11 
[ ]
 17.16.12 
[ ]
 17.16.13 
 17.16.14 
 17 Integrais envolvendo sen ax
 17.17.1 
 17.17.2 
 17.17.3 
 17.17.4 
Spiegel_II_15-18.indd 98 30.03.10 13:15:28
 17.17.5 
 17.17.6 
 17.17.7 
 17.17.8 
 17.17.9 
 17.17.10 
 17.17.11 
 17.17.12 
 17.17.13 
 17.17.14 
 17.17.15 [p � �q]
 17.17.16 
 17.17.17 
 17.17.18 
 17.17.19 
 17.17.20 
 17.17.21 
 17.17.22 [p � � q]
 17.17.23 [p � � q]
Spiegel_II_15-18.indd 99 30.03.10 13:15:29
 17.17.24 
 17.17.25 [p � � q]
 17.17.26 
 17.17.27 [n � 1]
 17.17.28 
 17.17.29 [n � 1]
 17.17.30 [n � 1, 2]
 18 Integrais envolvendo cos ax
 17.18.1 
 17.18.2 
 17.18.3 
 17.18.4 
 17.18.5 
 17.18.6 
 17.18.7 
 17.18.8 
 17.18.9 
 17.18.10 
 17.18.11 
 17.18.12 
Spiegel_II_15-18.indd 100 30.03.10 13:15:29
 17.18.13 
 17.18.14 
 17.18.15 [a � �p]
 17.18.16 
 17.18.17 
 17.18.18 
 17.18.19 
 17.18.20 
 17.18.21 
 17.18.22 [p � �q]
 17.18.23 [p � �q]
 17.18.24 
 17.18.25 [p � �q]
 17.18.26 
 17.18.27 [n � 1]
 17.18.28 
 17.18.29 [n � 1]
 17.18.30 [n � 1, 2]
Spiegel_II_15-18.indd 101 30.03.10 13:15:30
 19 Integrais envolvendo sen ax e cos ax
 17.19.1 
 17.19.2 [p � �q]
 17.19.3 [n � �1]
 17.19.4 [n � �1]
 17.19.5 
 17.19.6 
 17.19.7 
 17.19.8 
 17.19.9 
 17.19.10 
 17.19.11 
 17.19.12 
 17.19.13 
 17.19.14 
 17.19.15 
 17.19.16 
 17.19.17 
 17.19.18 
 17.19.19 [n � 1]
 17.19.20 [n � 1]
 17.19.21 
Spiegel_II_15-18.indd 102 30.03.10 13:15:30
 17.19.22 
 17.19.23 
 17.19.24 
 17.19.25 
 17.19.26 
 17.19.27 [m � �n]
 17.19.28 [m � n, n � 1]
 17.19.29 [m � n, n � 1]
 17.19.30 [m, n � 1]
 20 Integrais envolvendo tg ax
 17.20.1 
 17.20.2 
 17.20.3 
 17.20.4 
Spiegel_II_15-18.indd 103 30.03.10 13:15:31
 17.20.5 
 17.20.6 
 17.20.7 
 17.20.8 
 17.20.9 
 17.20.10 
 17.20.11 [n � 1]
21 Integrais envolvendo cotg ax
 17.21.1 
 17.21.2 
 17.21.3 
 17.21.4 
 17.21.5 
 17.21.6 
 17.21.7 
 17.21.8 
 17.21.9 
 17.21.10 
 17.21.11 [n � 1]
Spiegel_II_15-18.indd 104 30.03.10 13:15:31
 22 Integrais envolvendo sec ax
 17.22.1 
 17.22.2 
 17.22.3 
 17.22.4 
 17.22.5 
 17.22.6 
 17.22.7 
 17.22.8 
 17.22.9 
 17.22.10 [n � 1]
 23 Integrais envolvendo cosec ax
 17.23.1 
 17.23.2 
 17.23.3 
 17.23.4 
 17.23.5 
 17.23.6 
 17.23.7 
Spiegel_II_15-18.indd 105 30.03.10 13:15:32
 17.23.8 
 17.23.9 
 17.23.10 [n � 1]
 24 Integrais envolvendo funções trigonométricas inversas
 17.24.1 
 17.24.2 
 17.24.3 
 17.24.4 
 17.24.5 
 17.24.6 
 17.24.7 
 17.24.8 
 17.24.9 
 17.24.10 
 17.24.11 
 17.24.12 
 17.24.13 
 17.24.14 
 17.24.15 
 17.24.16 
 17.24.17 
Spiegel_II_15-18.indd 106 30.03.10 13:15:32
 17.24.18 
 17.24.19 
 17.24.20 
 17.24.21 
 17.24.22 
 17.24.23 
 17.24.24 
 17.24.25 
 17.24.26 
 17.24.27 
 17.24.28 
 17.24.29 
 17.24.30 
Spiegel_II_15-18.indd 107 30.03.10 13:15:33
 17.24.31 
 17.24.32 
 17.24.33 
 17.24.34 
 17.24.35 
 17.24.36 
 17.24.37 
 17.24.38 
 25 Integrais envolvendo eax
 17.25.1 
 17.25.2 
 17.25.3 
 17.25.4 
[n � inteiro positivo]
 17.25.5 
 17.25.6 [n � 1]
Spiegel_II_15-18.indd 108 30.03.10 13:15:34
 17.25.7 
 17.25.8 
 17.25.9 
 17.25.10 
 17.25.11 
 17.25.12 
 17.25.13 
 17.25.14 
 17.25.15 
 17.25.16 
 26 Integrais envolvendo ln x
 17.26.1 
 17.26.2 
 17.26.3 [m � �1]
 17.26.4 
 17.26.5 
 17.26.6 
 17.26.7 [n � �1]
 17.26.8 
 17.26.9 
 17.26.10 
 17.26.11 
Spiegel_II_15-18.indd 109 30.03.10 13:15:34
 17.26.12 [m � �1]
 17.26.13 
 17.26.14 
 17.26.15 
 27 Integrais envolvendo senh ax
 17.27.1 
 17.27.2 
 17.27.3 
 17.27.4 
 17.27.5 
 17.27.6 
 17.27.7 
 17.27.8 
 17.27.9 
 17.27.10 
 17.27.11 [a ��p]
 17.27.12 
 17.27.13 
 17.27.14 
 17.27.15 
 17.27.16 
Spiegel_II_15-18.indd 110 30.03.10 13:15:35
 28 Integrais envolvendo cosh ax
 17.28.1 
 17.28.2 
 17.28.3 
 17.28.4 
 17.28.5 
 17.28.6 
 17.28.7 
 17.28.8 
 17.28.9 
 17.28.10 
 17.28.11 
 17.28.12 
 17.28.13 
 17.28.14 [n � 1]
 17.28.15 [n � 1]
 17.28.16 [n � 1, 2]
 29 Integrais envolvendo senh ax e cosh ax
 17.29.1 
 17.29.2 [p � �q]
 17.29.3 
Spiegel_II_15-18.indd 111 30.03.10 13:15:35
 17.29.4 
 17.29.5 
 17.29.6 
 17.29.7 
 30 Integrais envolvendo tgh ax
 17.30.1 
 17.30.2 
 17.30.3 
 17.30.4 
 17.30.5 
 17.30.6 
 17.30.7 [p � �q]
 17.30.8 [n � 1]
 31 Integrais envolvendo cotgh ax
 17.31.1 
 17.31.2 
 17.31.3 
 17.31.4 
 17.31.5 
 17.31.6 
 17.31.7 [p � �q]
Spiegel_II_15-18.indd 112 30.03.10 13:15:36
 17.31.8 [n � 1]
 32 Integrais envolvendo sech ax
 17.32.1 
 17.32.2 
 17.32.3 
 17.32.4 
 17.32.5 
 17.32.6 
 17.32.7 [n � 1]
 33 Integrais envolvendo cosech ax
 17.33.1 
 17.33.2 
 17.33.3 
 17.33.4 
 17.33.5 
 17.33.6 
 17.33.7 [n � 1]
 34 Integrais envolvendo funções hiperbólicas inversas
 17.34.1 
 17.34.2 
Spiegel_II_15-18.indd 113 30.03.10 13:15:38
 17.34.3 
 17.34.4 
 17.34.5 
 17.34.6
 17.34.7 
 17.34.8 
 17.34.9 
 17.34.10 
 17.34.11 
 17.34.12 
 17.34.13 
 17.34.14 
 17.34.15 
Spiegel_II_15-18.indd 114 30.03.10 13:15:38
 17.34.16 
 17.34.17 
 17.34.18 
 17.34.19 
 17.34.20 
Spiegel_II_15-18.indd 115 30.03.10 13:15:39
Definição de uma integral definida
Seja f(x) definida em um intervalo Divida o intervalo em n partes iguais de comprimento 
Δx � (b – a)/n. Então a integral definida de f(x) entre x � a e x � b é definida por
 18.1 
O limite sempre existe se f(x) é contínua por pares.
Se então, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a integral definida acima pode ser 
calculada usando o resultado
 18.2 
Se o intervalo é infinito ou se f(x) apresenta alguma singularidade em algum ponto no intervalo, a in-
tegral definida é chamada de integral imprópria e pode ser definida usando-se processos de limites apro-
priados. Por exemplo,
 18.3 
 18.4 
 18.5 
 18.6 
Fórmulas gerais envolvendo integrais definidas
 18.7 [finitas parcelas]
 18.8 
 18.9 
 18.10 
 18.11 
Integrais Definidas
Spiegel_II_15-18.indd 116 30.03.10 13:15:39
 18.12 
Isto é o teorema do valor médio para integrais definidas, válido se f(x) for contínua em 
 18.13 
Esta é uma generalização de 18.12, válida se f(x) e g(x) forem contínuas em e 
Regra de Leibniz para a derivação de integrais
 18.14 
Fórmulas para cálculo aproximado de integrais definidas
Nas fórmulas seguintes, o intervalo de x � a a x � b é subdividido em n partes iguais pelos pontos 
 e tomamos 
Fórmula retangular:
 18.15 
Fórmula trapezoidal:
 18.16 
Fórmula de Simpson (ou fórmula parabólica) para n par:
 18.17Integrais definidas envolvendo expressões racionais ou irracionais
 18.18 
 18.19 
 18.20 
 18.21 
 18.22 
 18.23 
 18.24 
Spiegel_II_15-18.indd 117 30.03.10 13:15:40
 18.25 
Integrais definidas envolvendo funções trigonométricas
Todas as letras são consideradas positivas, a menos que seja indicado o contrário.
 18.26 
 18.27 
 18.28 
 18.29 
 18.30 
 18.31 
 18.32 
 18.33 
 18.34 
 18.35 
 18.36 
 18.37 
 18.38 
 18.39 
 18.40 
Spiegel_II_15-18.indd 118 30.03.10 13:15:40
 18.41 
 18.42 
 18.43 
 18.44 
 18.45 
 18.46 
 18.47 
 18.48 
 18.49 
 18.50 
 18.51 
 18.52 
 18.53 
 18.54 
 18.55 
 18.56 
 18.57 
 18.58 
 18.59 
 18.60 
Spiegel_II_15-18.indd 119 30.03.10 13:15:41
 18.61 
 18.62 
 18.63 
 18.64 
 18.65 [ver 1.3]
 18.66 
 18.67 
Integrais definidas envolvendo funções exponenciais
Algumas integrais contêm a constante de Euler � � 0,5772156 (ver 1.3).
 18.68 
18.69 
 18.70 
 18.71 
 18.72 
 18.73 
 18.74 [ver 36.4]
 18.75 
 18.76 
 18.77 
 18.78 
 18.79 
Spiegel_II_15-18.indd 120 30.03.10 13:15:41
 18.80 
Para n par, isto pode ser somado em termos dos números de Bernoulli [ver 23.1 e 2].
 18.81 
 18.82 
Para alguns valores inteiros positivos de n, a série pode ser somada [ver 23.10].
 18.83 
 18.84 
 18.85 
 18.86 
 18.87 
 18.88 
 18.89 
Integrais definidas envolvendo funções logarítmicas
 18.90 
 18.91 
 18.92 
 18.93 
 18.94 
 18.95 
 18.96 
 18.97 
Spiegel_II_15-18.indd 121 30.03.10 13:15:41
 18.98 
 18.99 
 18.100 
 18.101 
 18.102 
 18.103 
 18.104 
 18.105 
 18.106 
 18.107 
 18.108 
 18.109 
 18.110 
 18.111 
Ver também 18.102.
Integrais definidas envolvendo funções hiperbólicas
 18.112 
 18.113 
 18.114 
Spiegel_II_15-18.indd 122 30.03.10 13:15:42
 18.115 
Se n é um inteiro positivo ímpar, a série pode ser somada [ver 21.35 e 23.8].
 18.116 
 18.117 
Outras integrais definidas
 18.118 
Esta é chamada integral de Frullani. Ela vale se é contínua e converge.
 18.119 
 18.120 
Spiegel_II_15-18.indd 123 30.03.10 13:15:42