Equações diferenciais material

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Physics ACT! Um Primeiro e Simples contato com E.D.O. e sua relação com o M.H.S 
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Equações Diferenciais 
 
Que diabo é isso? 
- Equação diferencial é toda equação que cujas incógnitas são funções e que contém 
ao menos uma derivada ou diferencial destas funções. Simples, não!? 
 
Exemplos: 
 ��
�� � � � 5 
 ��� � ��� � 0 
 
�� � �³���³	
 � � �²���² � �2 �
�²�
��²	
�
 
 
Classificação: 
Assim como tudo que colocamos a mão precisamos classificar e nomear, as equações 
diferenciais não ficaram de fora. 
A bela função � é a incógnita de uma variável independente �. E quando temos 
apenas uma variável independente nós a chamamos de equação diferencial 
ordinária. Todas as belas equações que vimos acima são ordinárias. 
Então você diz: “mostre-me uma que não seja ordinária” 
Claro que mostro, veja essa: 
 �³�
��³ �
�³�
��³ � 0 
 
 Essa é uma equação diferencial de derivadas parciais! 
 
Ordem: 
A ordem de uma equação diferencial é determinada pela ordem da derivada de mais 
alta ordem que existe na equação. Veja: 
 
 
�� � �³���³	
 � � �²���² � �2 �
�²�
��²	
�
 
 
Essa equação é de 3° ordem, pois a ordem mais alta é a da derivada 
�³�
��³. Fácil, né!? 
 
Grau: 
O grau da equação é o maior e o maior dos expoentes a que está elevada a derivada 
de mais alta ordem que existe na equação. Vamos ver um exemplo simples: 
 
�3� � �³���³	
� � � �²���² � �1 �
�²�
��²	
�
 
 
Essa equação é de 3° ordem e 2° grau. 
 
Agora você já deve estar tendo comichões para resolvermos a nossa primeira 
equação diferencial, certo? Então vamos a ela! 
 
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Resolvendo a nossa primeira equação diferencial: 
 
 Primeiramente precisamos saber o que é resolver uma equação diferencial. E resolver 
uma equação diferencial é simplesmente (muitas vezes não tão simples assim) obter 
uma função de variáveis livres que, uma vez substituída na equação, transforme a 
equação diferencial em uma identidade. Uma equação diferencial pode ter milhares e 
até infinitas soluções. 
 
Vamos ao nosso primeiro exercício. ��
�� � 3� � 1 
 Resolvendo: 
 
Primeiro multiplicamos ambos os lado por dx para manter a igualdade. 
 
�� ���� � �3� � 1��� 
então �� � 3��� � �� 
 
Agora basta integrar para termos a solução 
 
� �� � � 3��� � � �� 
 
E finalmente temos a solução da nossa 1° equação diferencial: 
 
� � 3�²2 � � � � 
Emocionante, não?! 
 
Como você é uma pessoa inteligente sei que irá perguntar: “O que isso quer dizer 
geometricamente?” 
 
Geometricamente a solução geral de uma equação diferencial representa uma família 
de curvas, e essas curvas recebem o belo nome de curvas integrais. 
 
Vamos a um exemplo fácil: 
 
Temos a equação: ��
�� � 2� 
 
Repetimos o processo do exemplo anterior e chegamos a solução geral: 
 � � �² � � 
 
Com isso temos uma família de parábolas, veja a imagem: 
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1.1 Equações de 1° ordem e 1° grau 
 
Nós vamos ver seis casos de equações, no geral eles são simples e você não terá 
nenhuma dificuldade. 
As funções que iremos trabalhar aqui precisam ser continuas no intervalo considerado ��∞, ∞� 
 
1° Tipo: Equações de variáveis separáveis 
 
É uma equação do tipo ��� � ��� � 0, onde M e N podem ser funções de só uma 
variável, ou produtos com fatores de uma só variável ou constantes. O nosso primeiro 
exemplo que fizemos ali atrás é uma equação de variáveis separáveis. 
 
Mas vamos resolvê-la novamente na forma que enunciamos acima: 
 
 ��
�� � 3� � 1 
 Resolvendo: 
 
 
0 � ��� ���� � �3� � 1��� 
então 0 � ��� � 3��� � �� 
 
Agora basta integrar para termos a solução 
 
0 � � � �� � � 3��� � � �� 
 
E finalmente temos: 
 
� � 3�²2 � � � � 
 
2° Tipo: Equações Homogêneas 
 
Agora as coisas ficam um pouco mais complexas, mas ainda sim dentro de nossas 
capacidades. 
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Toda função do tipo ���, �, �� é chamada de homogênea se ao substituirmos � por �, � por � e � por � e tivermos: �! �, �, �" � #���, �, �� 
 
Onde $ é chamado de grau de homogeneidade da função. Então, as equações 
homogêneas são as da forma ��� � ��� � 0 (sim! são equações de variáveis 
separáveis também) onde � e � são funções homogêneas em � e � e do mesmo 
grau. 
 
Compreendeu? Alguma dúvida? 
 Agora vamos aprender a resolvê-las. 
Seja a equação ��� � ��� � 0 
Temos: ��
�� � �
�
� 
 
Se dividirmos o numerador e o denominador do segundo membro por � elevado a 
potência igual ao grau de homogeneidade da equação teremos uma função de � �% , da 
seguinte forma: 
 ��
�� � & '
�
�( 
 
Mas e agora? Nós precisamos separar as variáveis, como faremos isso? 
Simples! Vamos substituir � �⁄ por *. 
Assim temos: 
 � � �* 
 
Então precisamos derivar � � �* em relação a �: 
 ��
�� � * � �
�*
�� 
 
Então, substituímos na equação 
��
�� � & '��(,e temos: 
 
* � � �*�� � &�*� 
 
� �*�� � &�*� � * 
 
agora podemos separar as variáveis 
 �*
&�*� � * �
��
� 
 
Vamos resolver um exemplo agora. 
 ��² � �²��� � 2���� � 0 
 
Primeiro nós precisamos fazer aquela brincadeira com o para sabermos se equação 
é homogênea, mas como sabemos que ela é homogênea vou pular essa parte. 
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Então, a primeira coisa a se fazer é substituir � � �* . : �� � ��* � *�� na equação, 
temos : 
 ��� � ��*���� � 2� · �*���* � *��� � 0 
 ���1 � *���� � ��2*���* � *��� � 0 
 �1 � *���� � 2*���* � *��� � 0 
 �1 � *� � 2*���� � 2*��* � 0 
 
Agora podemos separar as variáveis 
 ��
� �
2*
1 � 3*� �* � 0 
E agora podemos integrar: 
 
ln � � 13 ln�1 � 3*�� � ln � 
 
Vamos multiplicar por 3 para deixar mais apresentável 
 3 ln � � ln�1 � 3*�� � 3 ln � 
 
Como ninguém gosta de 0$ vamos eliminá-los: 
 �
�1 � 3*�� � �³ 
 
e vamos chamar C³ de 1 e substituir * por � �% , de volta: 
 
�
 21 � 3 ����3 � 1 
E finalmente temos: 
 �³ � 3��³ � 1 
 
agora sabemos equações homogêneas!!!! 
 
3° Tipo: Equações diferenciais exatas 
 
Equação diferencial exata é uma equação do tipo ��� � ��� � 0, Então você me faz 
a seguinte pergunta: “Mas essa não é uma equação diferencial separável igual as 
outras que já vimos?” 
É quase a mesma coisa, porém, aqui existe uma função 4��, �� que ao derivarmos ela 
teremos 
 �4 � ��� � ��� 
Simples, não?! 
 
Agora vamos ver como resolver essas equações 
 
Vamos pegar a nossa equação ��� � ��� � 0 (1) 
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M e N precisam ser funções continuas e diferenciáveis! 
 
1° Condição necessária 
 
A primeira coisa que temos que fazer para sabermos se a equação diferencial é exata 
é descobrir se a seguinte relação existe: 
 ��
�� �
��
�� 
 
Essa bela e simples relação é a condição necessária e suficiente para que a equação 
(1) seja uma equação diferencial exata. 
Vamos provar essa condição: 
 
Vamos mostrar que o primeiro membro da equação (1) é uma diferencial total de 4��, ��, ou seja, �4 � ��� � ���. 
 
��� � ��� � �4�� �� �
�4
�� ��Então é fácil ver que 
 
� � �4�� 
e 
� � �4�� 
 
Agora para provarmos a igualdade das derivadas, temos que derivar � em relação � e � em relação à �: 
 ��
�� �
�²4
���� 
 ��
�� �
�²4
���� 
 
Então você pensa: “Aí meu deus!!!! Podemos dizer que elas iguais?” 
Segundo o teorema de Schwartz, se uma função � � ���, �� e suas derivadas parciais 56
5� , 565� , 5²65�5� , 5²65�5� são continuas num determinado intervalo, então a igualdade: 5²65�5� �5²6
5�5� existe! 
Assim, podemos afirmar que 
 ��
�� �
��
�� 
 
E essa é a condição necessária para que o primeiro membro de (1) seja a diferencial 
total de 4��, ��. Agora vamos provar (na 2° condição necessária) que se a relação 
acima se verifica, o primeiro membro da equação (1) É a derivada total de 4��, ��. 
 
2° Condição necessária 
 
Seja 
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 �4
�� � ���, �� 
 
Para encontrarmos 4, nós precisamos integrar a igualdade acima em relação à �: 
 
4 � � ���, ���� � 7����
�8
 
 
“o que é esse �9 e esse 7���?” O �9 é a abscissa de um ponto qualquer no campo de 
definição de 4 e 7��� é um função arbitrária de �. 
Então precisamos agora encontrar 7��� e para isso temos que derivar U em relação a � 
 �4
�� �
�
�� � ���, ���� � 7′���
�
�8
 
 
Segundo o bom e velho teorema de Leibniz: 
 
:� ���, ;���<
=
>
′
� :� �′��, ;���<
=
> 
 
Então podemos escrever: 
 �4
�� � �
��
�� �� � 7′���
�
�8
 
 
Pela igualdade anterior, temos: 
 �4
�� � �
��
�� �� � 7′���
�
�8
 
 
E finalmente integramos 
 �4
�� � ���, �� � ���9, �� � 7′��� 
 
Como �9 é uma constante ���9, �� é uma função apenas de �. Assim ����9, �� �7′��� é uma função arbitrária de �. Então podemos escrever: 
 ? � 7′��� � ���9, �� 
 
Já que ? é arbitrário podemos fazê-la igual a zero, assim: 
 0 � 7′��� � ���9, �� 
Então 7′��� � ���9, �� 
Como 7′ � @ A @B , então basta integrar 7′��� em relação à � para obtermos 7 
 
7��� � � ���9, ���� � �
�
�8
 
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Agora substituímos na equação 4 � C ���, ���� � 7�����8 e temos: 
 
4 � � ���, ���� � � ���9, ���� � �
�
�8
�
�8
 
 
Como 4��, �� � 1(constante), temos: 
 
� ���, ���� � � ���9, ���� � 1
�
�8
�
�8
 
Finalmente chegamos à solução geral de uma equação diferencial exata! 
 
Vamos ver um exemplo simples? 
 
Seja a equação ��� � ����� � 2���� � 0 
 
Vamos resolvê-la: 
 
Primeiro veremos se a equação é uma diferencial exata 
 � � �� � �� 
 
Como vamos derivar apenas em relação a �, �² é considerado como constante, e a 
derivada de uma constante é zero 
 ��
�� � �2� 
Sendo 
 � � �2�� 
Então 
 ��
�� � �2� 
 
Então finalmente vemos que a igual existe 
 ��
�� �
��
�� 
Simples, não?! 
 
Agora, podemos resolver a equação diferencial exata 
 
4 � � ���, ���� � 7����
�8
 
Substituindo M 
 
4 � � ��� � ����� � 7����
�8
 
 
Integrando 
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4 � D�³3 � �²�E�8
� � 7��� 
Agora derivamos U em relação à y 
 �4
�� � �2�� � 7′��� 
E como 
 �4
�� � ���, �� 
 ���, �� � �2�� 
 
 
Temos 
 �2�� � 7′��� � �2�� 
Então 7′��� � 0 
 
Integrando 7′��� para encontramos 7: 
 7 � C 
 
Substituindo os valores em U, temos, finalmente, nossa solução geral: 
 
4 � �
3 � �²� � � 
 
 
Existem mais 4 formas de resolver equação diferenciais de 1° ordem e 1° grau, se 
quiser depois discutimos elas. Agora passaremos finalmente para as equações 
diferenciais de ordem superior a primeira com raízes complexas que é nos interessa. 
 
1.2 Equação característica 
 
Suponha que temos a seguinte equação: 
 
G9 �
#�
��# � GH
�#IH�
��#IH � G�
�#I��
��#I� � J � G#� � 0 
 
Onde G9, GH, G�, … , G# são constantes 
 
Aqui temos derivadas de n-ésima ordem, e não podemos resolver como as equações 
que vimos anteriormente, para tanto vamos resolvê-la aos poucos. Primeiramente para 
n=1 
 
G9 �
H�
��H � GH� � 0 
 
Temos uma equação diferencial de variáveis separáveis. 
Já estamos cansados de saber como fazer, porém vamos fazer de novo ☺ 
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 ��
� � �
GHG9 �� 
Integramos e temos: 
 
ln � � � GHG9 � � 1 
 
Novamente vamos eliminar os 0$, pois não gostamos dele! 
 
� � L'IMNM8(�LO 
 
Chamaremos � MNM8 � de P e LO de C simplesmente para ficar mais facil de escrever, e 
por eles serem constantes. Então temos 
 � � �LQ� 
 
Agora podemos determinar para $ qualquer. 
 ��
�� � P�LQ� 
 �²�
��² � P²�LQ� 
 �³�
��³ � P³�LQ� 
 … 
 �#�
��# � P#�LQ� 
 
Agora vamos substituir tudo isso na G9 �R���R � GH �
RSN�
��RSN � G� �
RST�
��RST � J � G#� � 0 e 
teremos: 
 G9P#�LQ� � GHP#IH�LQ� � G�P#I��LQ� � J � G#�LQ� � 0 
 
Isolando �LQ� 
 �LQ�!G9P# � GHP#IH � J � G#" � 0 
Como �LQ� U 0, temos: 
 !G9P# � GHP#IH � J � G#" � 0 
 
Que é chamada de equação característica. 
 
 
Vamos ver um exemplo: 
Seja 
 
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�²�
��² � 5
��
�� � 6� � 0 
 
Primeiro escrevemos nossa bela equação característica 
 P² � 5P � 6 � 0 
 
E suas raízes são 2 e 3 e nossa solução geral é 
 � � �HL�� � ��L
� 
 
Simples! 
 
1.3 Equações diferenciais e ordem superior a 
primeira com raízes complexas 
 
Finalmente vamos ver as raízes complexas que você tanto gosta! 
Sejam PW � X � YZ e P[ � X– YZ as raízes da equação característica 
 
 Então �W � �WL�=]<^�� 
 
E �[ � �[L�=I<^�� 
Sendo � � �W � �[, temos 
 � � L=�!�WL<^� � �[LI<^�" 
 
(compreendeu isso?) 
 
Então, pelas fórmulas de Euler: L^_ � `abc � ZbL$c 
 LI^_ � `abc � ZbL$c 
 
Agora Substituímos na � � L=�!�WL<^� � �[LI<^�", e temos 
 � � L=�!�W�`ab Y� � ZbL$ Y�� � �[�`ab Y� � ZbL$ Y��" 
Organizando 
 � � L=�d��W � �[e`ab Y� � Z��W � �[�bL$ Y�" 
 
Sendo ��W � �[� � G e Z��W � �[� � f, temos 
 � � L=�!G`ab Y� � fbL$ Y�" 
 
Olhe só! Estamos chegando onde queremos 
Vamos fazer um belo e simples exemplo para fixar: 
 
Seja a equação 
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�²�
��² � � � 0 
A equação característica é 
 P² � 1 � 0 P² � �1 P � gZ 
Então, nossa solução geral é 
 � � L=�!G`ab Y� � fbL$ Y�" 
 � � L9�!�H`ab � � ��bL$ �" 
 � � �H`ab � � ��bL$ � 
 
Tudo certo? Podemos passar para a física agora? Se tiver alguma dúvida não deixe 
de perguntar!! 
 
1.4 Equações diferenciais aplicadas ao 
oscilador harmônico 
Finalmente chegamos onde queríamos. 
Agora considere a seguinte equação diferencial para o MHS 
 �²�
�*² � h²� � 0 �1� 
 
Onde ��*� é uma função complexa. 
 
Primeiramente acharemos a equação característica 
 P² � h² � 0 
 
Encontrando as raízes temos 
 P � gZh 
 
Sabemos então que equação geral é dada por 
 ��*� � L=i!G`ab Y* � fbL$ Y*" 
Onde Y � h e X � 0 
 
 ��*� � G`ab �h* � ?� � fbL$ �h* � ?� 
 
“E da onde saiu esse ??” 
 
Simples, vou te mostrar! Primeiramente esse ? é chamado de constante de fase. 
Considere que a nossa equação (1) é uma equação diferencial linear homogênea de 
coeficientesconstantes temos uma solução da seguinte forma: 
 
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��*� � LQi 
Como 
 P � gZh 
Temos 
 �W � �L^ji 
e �[ � �LI^ji 
 ��*� � �WL^ji � �[LI^ji 
 
 
Onde C é uma constante complexa arbitrária e dessa forma podemos escrevê-la da 
seguinte forma: 
 �W � GL^k 
e �[ � fLI^k 
 
 
Substituindo em ��*� temos: 
 ��*� � GL^kL^ji � fLI^kLI^ji 
Organizando 
 ��*� � GL^�ji]k� � fLI^�ji]k� 
E finalmente: 
 ��*� � G`ab �h* � ?� � fbL$ �h* � ?� 
 
Então você me pergunta: “qual o significado físico disso tudo?” 
 
Está bem! Vamos com calma. 
 
Seja 
 ��
�* � ZhGL^�ji]k� � ZhfLI^�ji]k� 
 
E lembrando que Z corresponde a uma rotação de � l/2, Vemos que ��/�* está 
adiantado de � n� em relação à � no plano complexo, o que corresponde a quadratura 
entre deslocamento e velocidade no movimento circular. E sendo L^_ a rotação de um 
ângulo c, comparando com nossa solução geral vemos que: c � h* � ?, a imagem de ��*� no plano complexo descreve o movimento circular uniforme associado ao MHS. 
 
Pelo parâmetro real da nossa solução: 
 ��*� � G`ab �h* � ?� 
 
Como cos c é uma função periódica de período 2l (varia de -1 a 1), vemos que ��*� 
oscila entre os valores de – G a G e seu período é dado por r � 2l/h � 1/� 
L^_ � `abc � ZbL$c 
LI^_ � `abc � ZbL$c 
Não se esqueça que 
 
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Onde h é a freqüência angular e é dada por 2l� e medida em radianos por segundo. 
Já f é a freqüência de oscilação medida em hertz e c � h* � ? é a fase o movimento. 
Com tudo vemos claramente que o período r de oscilação é independente da 
amplitude. 
 
Sugestão de leitura: 
 
- Equações Diferenciais – Sérgio A. Abunahman. Editora EDC. 
- Mecânica Clássica, Vol. 1 – Kazunori Watari. 
- Física Básica 1 – H. Moyses Nussenzveig. 
- Lectures On Physics Vol. 1 – R.P Feynman.