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CÁCULO I

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f’(x) = 6x + 5
f”(x) = 6
f’”(x) = f(“)(x) = ... = 0
b) f(x) = sen 2x
f’(x) = 2 . cos 2x
f”(x) = –4 . sen 2x 
f”’(x) = –8 cos 2x 
1. Dada f(x) = sen x, calcule 
, onde f(4) indica
a derivada quarta de f.
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2. Obtenha a equação da reta tangente ao gráfi-
co de y = tgx no ponto de abscissa .
3. A derivada da função f (x) = tgx, calculada no 
ponto de abscissa vale:
a) 1 
b) 2 
c)
d)
e) 0
4. Sabe-se que a metade dos produtos exportados
pelo Brasil vem de recursos naturais. A derivada
primeira da função E(x) = 4x3 – 3x2 + 5x – 4,
para x = 2 equivale à porcentagem dos produ-
tos primários (café, minério de ferro, etc.), que
é de:
a) 36 %
b) 38 %
c) 41 %
d) 49 %
5. Determine as derivadas das seguintes funções:
a)
b) y = f(x) = arc tg x
c)
d) y = f(x) = arc sen x
e) y = f(x) = arc cos x
6. Calcule o valor da segunda derivada de 
f(x) = cos 3x no ponto .
7. Determine a derivada de f(x) = senx3 . tg x.
8. Obtenha o coeficiente angular e a equação da
reta tangente à curva f(x) = ln(x2 – 3), no ponto
de abscissa x0 = 2.
9. Um móvel efetua um movimento retilíneo uni-
formemente variado obedecendo à equação
horária s = 6 – 10t + 4t2, em que o espaço s é
medido em metros e o instante t em segundos.
A velocidade do móvel no instante t = 4 s, em
m/s, vale:
a) –10 m/s
b) 0 m/s
c) 10 m/s
d) 22 m/s 
e) 32 m/s 
10. Chama-se custo marginal de produção de um
artigo o custo adicional para se produzir um
artigo além da quantidade já prevista. Na práti-
ca, a função custo marginal é a derivada da
função custo. Uma fábrica de sapatos tem um
custo para produzir x sapatos dado por
C (x) = 3000 + 25 x, com C em reais.
Qual é o custo marginal que essa fábrica terá
para produzir mais um sapato?
11. Uma fábrica de componentes eletrônicos tem
um custo para produzir x componentes dado 
por , com c em
reais. Qual é o custo marginal que essa fábri-
ca tem para produzir mais um componente
quando x = 0, x = 100, x = 400 e x = 800 ? 
12. Uma partícula movimenta-se sobre uma reta, e
a lei horária do movimento é dada por
s = 2t2 – 5t – 2 (SI). A aceleração escalar do
movimento é:
a) 2m/s2
b) 4m/s2
c) –5m/s2
d) –7m/s2
e) zero
Cálculo I – Derivada
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UEA – Licenciatura em Matemática
TEMA 12
ESTUDO DO SINAL DE UMA FUNÇÃO
12.1 OS SINAIS DA DERIVADA PRIMEIRA
Consideremos uma função real f definida num
domínio D, tal que f é derivável em D. 
Os sinais da função derivada f´estão relaciona-
dos ao crescimento ou decrescimento de f. E
valem as seguintes propriedades:
I) Se f´(x) é positiva para todo x de um inter-
valo I, então f é crescente em I.
f’(x0) = tg α > 0 f’(x1) = tg β > 0
f’(x0) = tg α > 0 f’(x1) = tg β > 0
f’(x) > 0, ∀x ∈ I ⇒ f é crescente em I.
II) Se f’(x) é negativa para todo x de um inter-
valo I, então f é decrescente em I.
f’(x0) = tg α < 0 f’(x1) = tg β < 0
f’(x0) = tg α < 0 f’(x1) = tg β < 0
f’(x) < 0, ∀x ∈ I ⇒ f é decrescente em I.
Suponhamos f derivável num intervalo aberto
contendo x0 e que f’(x0) = 0.
A reta tangente ao gráfico de f no ponto de
abscissa x0 tem coeficiente angular m = f’(x0),
portanto é paralela ao eixo x. 
a) 
f cresce antes de x0 e decresce depois de
x0. Nesse caso, x0 é ponto de máximo local.
b)
f decresce antes de x0 e depois cresce de
x0. Nesse caso, x0 é ponto de mínimo local.
c)
f cresce antes e depois de x0. Nesse caso,
x0 é um ponto de Inflexão de f.
d)
f decresce antes e depois de x0. Nesse
caso, x0 é ponto de inflexão de f.
Conclusão:
• Num intervalo em que f’(x) > 0, f é cres-
cente.
• Num intervalo em que f’(x) < 0, f é decres-
cente.
• Os pontos em que f’(x) = 0 podem ser de
máximo ou de mínimo ou de inflexão. Esses
pontos são chamados pontos críticos de f.
Exemplo:
Determinar os pontos críticos e estudar a vari-
ação da função f(x) = x3 – 3x, x∈IR.
Esboçar o gráfico.
Solução:
f(x) = x3 – 3x ⇒ f’(x) = 3x2 – 3 
f’(x) = 0 ⇔ x = ±1 (pontos críticos)
Gráfico de f
f(x) = x3 – 3x, x∈IR
x = –2 ⇒ f’(–2) > 0
x = 0 ⇒ f’(0) < 0
x = 2 ⇒ f’(2) > 0
Conclusão:
f é crescente nos intervalos ]–∞,1] e ]1,+∞] e é
decrescente em [–1;1]. Os pontos críticos são
x = –1, ponto de máximo local, e x = 1, ponto
de mínimo local.
12.2 OS SINAIS DA DERIVADA SEGUNDA
Consideremos uma função real f, definida num
domínio D, tal que f é derivável até a segunda
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Cálculo I – Derivada
ordem em D, isto é, existem f´(x) e f”(x) em D.
Os sinais da derivada segunda f”(x) estão rela-
cionados à concavidade do gráfico de f.
Propriedades:
I) Se f”(x) é positiva para todo x de um inter-
valo I, então f é côncava para cima em I.
Concavidade para cima: pontos do gráfico
ficam acima das retas tangentes
tg α < tg β < tg y 
f’(x1) < f’(x2) < f’(x3)
f’(x) é crescente
f”(x) > 0
f”(x) > 0, ∀x ∈ I ⇒ f côncava para cima em I
II) Se f”(x) é negativa para todo x de um inter-
valo I, então f é côncava para baixo em I.
Concavidade para baixo: pontos do gráfico
ficam abaixo das retas tangentes. 
tg α > tg β > tg y 
f’(x1) > f’(x2) > f’(x3) 
f’(x) é decrescente
f”(x) < 0
f”(x) < 0, ∀x ∈ I ⇒ f côncava para baixo em I
Pontos de Inflexão – São os pontos em que f
muda de concavidade . Num ponto de inflexão,
a reta tangente ao gráfico corta a curva.
Ponto de Inflexão: f muda de concavidade 
A reta tangente corta o gráfico
f”(x0) = 0 e f’(x0) = tg α ≠ 0
Ponto de Inflexão horizontal – a reta tangente
é paralela ao eixo x.
f”(x0) = 0 e f’(x0) = 0
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UEA – Licenciatura em Matemática
• Um ponto x0 em que f”(x0) = 0 e f” muda de
sinal (antes e depois de x0) é um ponto de
inflexão de f. Se também f’(x0) = 0, dizemos
que é um ponto de inflexão horizontal, pois
a reta tangente é paralela ao eixo x.
• Se f”(x0) = 0 mas f” não muda de sinal
(antes e depois de x0), então f não muda de
concavidade em x0; portanto, nesse caso, x0
não é ponto de inflexão.
Exemplos:
1. Determinar os pontos de inflexão e estudar a 
concavidade da função .
Solução:
f”(–1) = –2 < 0
f”(1) = 2 > 0
x = 0 ponto de inflexão. A função é côncava para
baixo em ]–∞;0] e côncava para cima em ]0;+∞;].
2. Determinar os pontos de inflexão e estudar a 
concavidade de .
Solução:
Não há ponto de inflexão. A função é côncava
para cima em todo domínio IR.
Gráfico de f
12.3 MÁXIMOS E MÍNIMOS
Cálculo de valores máximos ou mínimos de
funções reais, que podem ser determinados
pela análise dos sinais da derivada primeira f´.
Outro recurso que pode ser empregado na
identificação de pontos de máximos ou de mí-
nimos é analisar o sinal da derivada segunda
nos pontos que anulam a derivada primeira.
Se f’(x0) = 0 e f”(x0) > 0, então a reta tangente
ao gráfico de f em x0 é paralela ao eixo x, e f tem
concavidade positiva próximo de x0, portanto a
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Cálculo I – Derivada
reta tangente deixa os pontos do gráfico acima
dela, logo x0 é um ponto de mínimo relativo de f.
Ponto de mínimo: t//x; concavidade para cima 
Ponto de máximo: t//x; concavidade para baixo
Conclusão:
f’(x0) = 0 e f”(x0) > 0 ⇒ x0 é ponto de mínimo
de f.
f’(x0) = 00 e f”(x0) < 0 ⇒ x0 é ponto de máximo
de f.
Obs.: Se f’(x0) = 0 e f”(x0) = 0, não podemos
tirar conclusão a respeito do ponto x0. Neste
caso, convém analisar os sinais de f´antes e
depois de x0. Pode ocorrer que x0 seja ponto
máximo, ou de mínimo ou de inflexão.
Exemplo:
Indentificar os pontos críticos da função 
f(x) = x6 – 6x2 + 4, x∈IR
Solução:
f(x) = x6 – 6x2 + 4 ⇒ f(x) = 6x5 – 12x ⇒
f”(x) = 30x4 – 12
Aplicar os critérios dos sinais da derivada
segunda nos pontos críticos:
Para x = 0 ⇒ f”(x) < 0. Então, x = 0 é ponto de
máximo local