CÁCULO I

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Cálculo I
Arnaldo Barbosa Lourenço
Clício Freire da Silva
Genilce Ferreira Oliveira
Manaus 2007
FICHA TÉCNICA
Governador
Eduardo Braga
Vice–Governador
Omar Aziz
Reitora
Marilene Corrêa da Silva Freitas
Vice–Reitor
Carlos Eduardo S. Gonçalves
Pró–Reitor de Planejamento 
Osail de Souza Medeiros
Pró–Reitor de Administração 
Fares Franc Abinader Rodrigues
Pró–Reitor de Extensão e Assuntos Comunitários
Rogélio Casado Marinho
Pró–Reitor de Ensino de Graduação
Carlos Eduardo S. Gonçalves
Pró–Reitor de Pós–Graduação e Pesquisa
José Luiz de Souza Pio
Coordenador Geral do Curso de Matemática (Sistema Presencial Mediado)
Carlos Alberto Farias Jennings
Coordenador Pedagógico
Luciano Balbino dos Santos
NUPROM
Núcleo de Produção de Material
Coordenador Geral
João Batista Gomes
Editoração Eletrônica
Helcio Ferreira Junior
Revisão Técnico–gramatical
João Batista Gomes
Lourenço, Arnaldo Barbosa.
L892c Cálculo I / Arnaldo Barbosa Lourenço, Clício Freire da Silva,
Genilce Ferreira Oliveira. - Manaus/AM: UEA, 2007. - (Licenciatura
em Matemática. 2. Período)
125 p.: il. ; 29 cm.
Inclui bibliografia.
1. Cálculo - Estudo e ensino. I. Silva, Clício Freire da. II.
Oliveira, Genilce Ferreira. III. Série. IV. Título.
CDU (1997): 517.2/.3
SUMÁRIO
Palavra do Reitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 07
UNIDADE I – Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 09
TEMA 01 – Função ou Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
UNIDADE II – Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
TEMA 02 – Limites – Definição e Limites Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
TEMA 03 – Continuidade de uma Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 
TEMA 04 – Propriedades dos Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
TEMA 05 – Limites Infinitesimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
TEMA 06 – Limites Trigonométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
TEMA 07 – Limites Exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
UNIDADE III – Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
TEMA 08 – Derivada de uma Função, definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 
TEMA 09 – A Reta Tangente ao Gráfico de uma Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
TEMA 10 – Regras de Derivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
TEMA 11 – A Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
TEMA 12 – Estudo do Sinal de uma Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
TEMA 13 – Taxa de Variação e regra de L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
UNIDADE IV – Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
TEMA 14 – Integrais Primitivas e Indefinidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
TEMA 15 – Cálculo de Área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
TEMA 16 – Área entre Curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
TEMA 17 – Mudança de Variável na Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
TEMA 18 – Integração por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
TEMA 19 – Integrais Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
TEMA 20 – Integrais de Funções Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Respostas de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Arnaldo Barbosa Lourenço
Licenciado em Matemática - UFPA
Licenciado em Ciências Contábeis - UFAM
Pós-graduado em Ensino da Matemática - UFAM
Clício Freire da Silva
Licenciado em Matemática – UFAM
Bacharel em Matemática – UFAM
Pós–graduado em Instrumentação para o Ensino da Matemática – UFF
Genilce Ferreira Oliveira
Licenciada em Matemática – UFAM
Especialista em Matemática – UFAM
PERFIL DOS AUTORES
UNIDADE I
Função
TEMA 01
FUNÇÃO OU APLICAÇÃO
1.1. Definição, elementos
Entendemos por uma função f uma terna (A, B,
a → b) onde A e b são dois conjuntos e a → b,
uma regra que nos permite associar a cada ele-
mento a de A um único b de B. O conjunto A é
o domínio de f, e indica-se por Df, assim A = Df.
O conjunto B é o contradomínio de f. O único b
de B associado ao elemento a de A é indicado
por f(a) (leia: f de a); diremos que f(a) é o valor
que f assume em a ou que f(a) é o valor que f
associa a a. Quando x percorre o domínio de f,
f(x) descreve um conjunto denominado ima-
gem de f e que se indica por Imf:
Imf = {f(x)|x∈Df}
Uma função de f de domínio A e contradomínio
B é usualmente indicada por f : A B (leia: f de A
em B).
Uma função de uma variável real a valores
reais é uma função f : A B, onde A e B são sub-
conjuntos de IR. Até menção em contrário, só
trataremos com funções de uma variável real a
valores reais.
Seja f : A B uma função. O conjunto
Gf = {(x,f(x))|x∈A}
denomina-se gráfico de f; assim, o gráfico de f
é um subconjunto de todos os pares ordena-
dos (x, y) de números reais. Munindo-se o pla-
no de um sistema ortogonal de coordenadas
cartesianas, o gráfico de f pode, então, ser pen-
sado como o lugar geométrico descrito pelo
ponto (x, f(x)) quando x percorre o domínio de
f.
Observação – Por simplificação, deixaremos,
muitas vezes, de explicitar o domínio e o con-
tradomínio de uma função; quando tal ocorrer,
ficará implícito que o contradomínio é IR e o
domínio o “maior” subconjunto de IR para o
qual faz sentido a regra em questão.
Exemplo:
Dados os conjuntos M = {0, 1 ,2} e 
B={0, 1, 4, 5}, verificarse a relação binária
R ={(x,y) Ax B/ y = x2} é uma função.
Solução:
M = {0, 1 ,2} 
N={0, 1, 4, 5}
R ={(x,y) Mx N/ y = x2}
x = 0 y = 02 = 0
x = 1 y = 12 = 1
x = 2 y = 22 = 4
No diagrama de flechas, temos que:
Observe que f(0) = 0, f(1) = 1 e f(2) = 4, então
podemos afirmar que f é uma função ou aplica-
ção, já que de cada elemento de M temos uma
única correspondência com elementos de N.
Veja também que D(f) = {0,1,2},
CD(f)= {0,1,4,5} e Im(f) = {0,1,4}.
Gráficos de funções
Dizemos que uma relação binária R: A B é fun-
ção ou aplicação no gráfico, quando toda reta
vertical tocar em um único ponto no gráfico,
para todo x ∈ A.
Exemplos:
1. Verificar se o gráfico abaixo representa uma fun-
ção.
11
Cálculo I – Função
Solução:
Dado o gráfico, temos que:
Observe que existem retas verticais que tocam
em mais de um ponto no gráfico, daí podemos
concluir que f não é função ou aplicação.
2. Verificar se o gráfico abaixo é uma função ou
aplicação.
Solução:
Dado o gráfico abaixo, temos:
Observe que todas as retas verticais que tra-
çarmos, tocarão em um e único ponto no grá-
fico. Logo g é uma função ou aplicação.
3. Dada a função f:IR IR com a regra x x3, temos
que:
• Df = IR
• Im(f) = {x3 / x∈IR} = IR
• O valor que f assume em x é f(x) = x3. Esta
função associa a cada real x o número real
f(x) = x3.
• f(–1) = (–1)3 = –1, f(0) = 03 = 0, f(1) = 13 = 1
• O gráfico de f é tal que Gf = {(x,y) / y = x3,
x∈IR}
Domínio de funções
O domínio de uma função representa o conjun-
to de valores para os quais ela existe. Dentre
os principais casos, temos:
a) O domínio de uma função polinomial é sem-
pre real.
b) Para o domínio de uma função que possui
variável no denominador, basta ser este dife-
rente de zero.
c) Radical com índice par no numerador pos-
sui radicando maior ou igual a zero.
d) Radical com índice par no denominador
possui radicando maior que zero.
Exemplos:
1. Qual é o domínio mais amplo para a função
?
Solução:
, então 1 – x 0 x 1. Logo o domínio
é dado por D(f) = IR – {1}.
2. Qual é o domínio da função ?
Solução:
→ 2x – 6 ≥ 0 → x ≥ 3. Logo o seu
domínio será D(f) = {x∈IR/ x ≥ 3}.
3. Seja f: IR IR com a regra x → x3. Tem–se:
a) Df = IR 
b) Im f = {x3|x∈IR}= IR, pois, para todo y em
IR, existe x real tal que x3 = y.
12
UEA – Licenciatura em Matemática
c) O valor que f assume em x é f(x) = x3. Esta
função associa a cada real x o número real
f(x) = x3 .
d) f(–1)=(–1)3 = –1; f(0) = 03 = 0; f(1) = 13 = 1.
e) Gráfico de f:
Gf = {(x,y)|y = x3, x∈IR}
Suponhamos x > 0; observe que, à medida
que x cresce, y também cresce, pois y = x3,
sendo o crescimento de y mais acentuado
que o de x (veja: 23 = 8; 33 = 27, etc.);
quando x se aproxima de zero, y aproxima-
se de zero mais rapidamente que
x((1/2)3 = 1/8; (1/33 = 1/27 etc.). esta
análise dá-nos uma idéia da parte do gráfi-
co correspondente a x > 0. Para x < 0, é só
observar que f(–x) = –f(x).
4. Seja f a função dada por . Tem–se:
a) Df = {x∈IR| x ≥ 0}
b) Im f = {x∈IR/ y ≥ 0}
c) f(4) = =2 (o valor que f assume em 4 é 2).
d)
e)
f) Gráfico de f:
A função f é dada pela regra .
Quando x cresce, y também cresce sendo o
crescimento de Y mais lento que o de x 
; quando x se
aproxima de zero, y também aproxima-se
de zero, só que mais lentamente
que .
5. Considere a função g dada por . Tem–se:
a) Dg = {x∈IR| x ≠ 0}
b) Esta função associa a cada x ≠ 0 o real
g(x) = 1/x
c)
d) Gráfico de g:
Vamos olhar primeiro para x > 0; à medida
que x vai aumentando, y = 1/x vai aproxi-
mando-se de Zero 
;
à medida que x vai aproximando-se de zero,
y = 1/x vai-se tornando cada vez maior 
Você já deve ter uma idéia do que acontece
para x < 0.
Observação – Quando uma função vem
dada por uma regra do tipo x |→ y, y = f(x),
é comum referir-se à variável y como variá-
vel dependente, e à variável x como variável
independente.
6. Dada a função f(x) = – x2 + 2x, simplifique:
a) b) 
13
Cálculo I – Função
Solução:
a)
assim 
.
Observe: f(1) = –12 +2 = 1.
b) primeiro, vamos calcular f(x + h). Temos
f(x + h) = – (x + h)2 + 2(x + h) = 
–x2 – 2xh – h2 + + 2x + 2h.
Então, 
ou seja, = – 2x – h + 2, h ≠ 0.
7. Função constante – Uma função f: A → IR
dada por f(x) = k, k constante, denomina-se
função constante.
a) f(x) = 2 é uma função constante; tem-se:
(i) Df = IR; Im f = {2} 
(ii) Gráfico de f
Gf{(x,f(x))|x∈IR} = {(x,2) | x∈IR}.
O gráfico de f é uma reta paralela ao eixo
x passando pelo ponto (0, 2).
8. g:] –∞;0] → IR dada por g(x) = –1 é uma
função constante e seu gráfico é
9. Seja
Tem–se:
a) Df = IR; Im f = {–1,1}
b) Gráfico de f
Observe que (0, 1) pertence ao gráfico de f,
mas (0, –1) não.
1.2 Função composta
Dadas as funções f: A B e g: B C, dizemos que
existe uma função h: A C, tal que:
h(x) = (gof)(x) = g(f(x)), x A.
Representando essa situação por diagrama de
flechas, temos:
Exemplos
a) Dadas as funções f(x) = 2x – 1 e 
g(x) = 3 – 4x, calcular o valor de 
(fog)(x) – (gof)(x). 
Solução
f(x) = 2x – 1
14
UEA – Licenciatura em Matemática
g(x) = 3 – 4x
(fog)(x) = 2.( 3 – 4x) – 1
= 6 – 8x – 1
= 5 – 8x
(gof)(x) = 3 – 4(2x – 1)
= 3 – 8x + 4
= 7 – 8x
(fog)(x) – (gof)(x) = 5 – 8x – (7 – 8x)
= 5 – 8x – 7 + 8x
= –2
a) Se (fog)(x) = 2x + 1 e f(x) = –2x + 3, então
determine o valor de g(0).
Solução:
(fog)(x) = 2x + 1
f(x) = –2x + 3
g(0) = ?
(fog)(x) = 2x + 1
–2(g(x)) + 3 = 2x + 1
g(x) = –x + 1. Logo g(0) = 1
1. Qual é o domínio mais amplo da função 
?
Solução:
(1) 1 – x ≥ 0 ⇒ x ≤ 1
(2) 2x + 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ –1/2
Fazendo-se (1) (2), temos que:
–
D(f) = {x∈IR/ x ≤ 1 e x ≠ –1/2}
2. Determine o valor de k para que 
fog(x) = gof(x), dadas f(x) = 2kx +1 e 
g(x) = 2– 3x.
Solução:
f(x) = 2kx +1
g(x) = 2– 3x
fog(x) = gof(x)
2k.( 2– 3x) + 1 = 2– 3.( 2kx +1)
4k – 6kx + 1 = 2 – 6kx – 3
4k = –1 k = –1/4
3. Calcular o valor de f(–1), sabendo– se que
f(2x –1) = 3 – x.
Solução
f(2x –1) = 3 – x
2x – 1 = –1 x = 0
f(–1) = 3 – 0
f(–1) = 3
4. Determine o domínio da função .
Solução:
x + 1 = t x = t – 1
3 – x > 0 x < 3
D(f) = ]–;3[
1.4 Função polinomial do 1.o grau
Definição
Chama-se função polinomial do 1.o grau, ou
função afim, a qualquer função f de IR em IR
dada por uma lei da forma 
f(x) = ax + b, em que a e b são números reais
dados e a ≠ 0.
Na função f(x) = ax + b, o número a é chama-
do de coeficiente de x, e o número b é chama-
do termo constante.
Gráfico
O gráfico de uma função polinomial do 1.o
grau, y = ax + b, com a ≠ 0, é uma reta
oblíqua aos eixos Ox e Oy.
• Se a > 0, então f será crescente.
15
Cálculo I – Função
16
UEA – Licenciatura em Matemática
Para a > 0: se x1 < x2, então ax1 < ax2.
Daí, ax1 + b < ax2 + b, 
de onde vem f(x1) < f(x2). 
• Se a < 0, então f será decrescente;
Para a < 0: se x1 < x2, então ax1 > ax2. Daí,
ax1 + b > ax2 + b, de onde vem f(x1) > f(x2). 
Observação – Uma função f : IR → IR dada
por f(x) = ax, a constante, denomina-se função
linear; seu gráfico é a reta que passa pelos
pontos (0, 0) e (1, a):
Se a = 0, o gráfico de f coincide com o eixo Ox.
Exemplos: 
1. Esboce os gráficos.
a) f(x) = 2x. 
b) g(x) = –2x 
c) h(x) = 2 I x I
Solução:
a) O gráfico de f é a reta que passa pelos pon-
tos (0, 0) e (1, 2).
b) O gráfico de g é a reta que passa pelos
pontos (0, 0) e (1, –2).
c) Primeiro, eliminemos o módulo
y = –2x
2. Esboce o gráfico de f(x) = I x – 1I + 2.
Solução:
Primeiro, eliminemos o módulo 
ou
Agora , vamos desenhar, pontilhando, as retas
y = x + 1 e y = –x + 3 e, em seguida, marcar, com
traço firme, a parte que interessade cada uma:
para x ≥ 1, f(x) = x + 1
para x < 1, f(x) = –x + 3
Sempre que uma função for dada por várias
sentenças, você poderá proceder dessa forma. 
Um outro modo de se obter o gráfico de f é o
seguinte: primeiro desenhe pontilhado o gráfi-
co de y = I x I; o gráfico de y = I x – 1 I obtém-
se do anterior transladando-o para a direita de
uma unidade; o gráfico de f obtém-se deste
último transladando-o para cima de duas uni-
dades.
1.5 Função quadrática (função polinomial do 2.o
grau)
Definição
Chama-se função quadrática, ou função poli-
nomial do 2.o grau, qualquer função f de IR em
IR dada por uma lei da forma 
f(x) = ax2 + bx + c, em que a, b e c são
números reais e a ≠ 0.
Gráfico
O gráfico de uma função polinomial do 2.o
grau, y = ax2 + bx + c, com a ≠ 0, é uma curva
chamada parábola.
• a > 0, então f terá concavidade voltada para
cima;
• a < 0, então f terá concavidade voltada para
baixo.
Observação – A quantidade de raízes reais de
uma função quadrática depende do valor obti-
do para o radicando Δ, chamado discrimi-
nante, a saber: 
• quando Δ é positivo, há duas raízes reais e
distintas;
• quando Δ é zero, há só uma raiz real; 
• quando Δ é negativo, não há raiz real. 
Coordenadas do vértice da parábola
Quando a > 0, a parábola tem concavidade
voltada para cima e um ponto de mínimo V;
quando a < 0, a parábola tem concavidade
voltada para baixo e um ponto de máximo V. 
Em qualquer caso, as coordenadas de V 
são . Veja os gráficos:
Exemplo:
(PUC) Determine as coordenadas do vértice da
17
Cálculo I – Função
parábola y = –x2 + 2x – 5.
a) (1,–4) b) (0,–4)
c) (–1,–4) d) (2,–2)
e) (1,–3)
Solução:
1. y = –x2 + 2x – 5, então a = –1, b = 2 e
c = –5
2. = b2 – 4ac = 22 – 4.(–1).(–5) = –16
3.
4.
5. Logo o vértice é dado pelo ponto (1,–4)
Imagem
O conjunto-imagem Im da função y = ax2 + bx
+ c, a ≠ 0 é o conjunto dos valores que y pode
assumir. Há duas possibilidades:
a < 0
Exemplo:
(USP) Construir o gráfico da função 
f(x) = –x2 + 2x –1, no plano cartesiano.
Solução:
(1) f(x) = –x2 + 2x –1, então a = –1, b = 2 e
c = –1
(2) = b2 – 4ac, então = 22 – 4.(–1).(–1) = 0,
logo as raízes de f são 
(3)
(4)
(5) O vértice da parábola é dado pelo ponto
(1,0)
(6) f toca o eixo das ordenadas no ponto (0,–1)
(7) Então o gráfico pode ser dado por:
Observação:
1. Função polinomial – Uma função f: IR → IR
dada por
f(x) = a0xn + a1xn–1+ ... + an – 1x + an
em que a0, a1, a2, ..., an são números fixos,
denomina-se função polinomial de grau n (n
IN).
a) f(x) = x2 – 4 é uma função polinomial de
grau 2, e seu gráfico é a parábola
18
UEA – Licenciatura em Matemática
O gráfico de uma função polinomial de grau
2 é uma parábola com eixo de simetria pa-
ralela ao eixo Oy.
b) g(x) = (x – 1)3 é uma função polinomial de
grau 3; seu gráfico obtém-se do gráfico de
y = x3, transladando-o uma unidade para a
direita.
2. Função racional – Uma função f é uma função 
dada por onde p e q são duas
funções polinomiais; o domínio de f é o con-
junto {x∈IR|q(x) ≠ 0}.
a) é uma função racional definida
para todo x 0. Como , segue
que o gráfico de f é obtido do gráfico de
y = 1/x, transladando-o uma unidade para
cima (veja Ex. 3).
b) é uma função racional com
domínio {x∈IR|x ≠ 0}. Observe que 
. À medida que I x I vai crescen-
do , 1/x vai aproximando-se de zero, e o grá-
fico de g vai, então “encostando” na reta
y = x (por cima se x > 0; por baixo se x < 0).
À medida que x aproxima-se de zero, o grá-
fico de g vai encostando na curva .
c) é uma função racional com
Domínio {x∈IR|x ≠ –2}. O gráfico de h é 
obtido do gráfico de y = , transladando-o
duas unidades para a esquerda.
19
Cálculo I – Função
1. Calcule:
a) f(–1) e sendo f(x) = –x2 + 2x
b) g (0), g (2) e g( ) sendo 
c) sendo f(x) = x2 e ab ≠ 0
d) sendo f(x) = 3x + 1 e ab ≠ 0
2. Simplifique sendo dados:
a) f(x) = x2 e p = 1
b) f(x) = 2x + 1 e p = 2
c) f(x) = 1/x e p = 2
d) f(x) = e p = –3
e) f(x) = 5 e p = 2
3. Simplifique (h ≠ 0) sendo f(x)
igual a:
a) 2x + 1
b) x2
c) –2x2 + 3
d) 5
e)
4. Dê o domínio e esboce o gráfico.
a) f(x) = 3x
b)
c) h(x) =
d) g(x) =
e) f(x) = 
5. Determine o domínio das funções:
a) b) 
c) d)
e)
1.6 Função exponencial
Chamamos de funções exponenciais aquelas
nas quais temos a variável aparecendo em ex-
poente.
A função f:IR IR+ definida por f(x) = ax, com a
IR+ e a 1, é chamada função exponencial de
base a. O domínio dessa função é o conjunto
IR (reais), e o contradomínio é IR+ (reais posi-
tivos, maiores que zero).
Gráfico cartesiano da função exponencial
Temos 2 casos a considerar:
quando a>1;
quando 0<a<1.
Acompanhe os exemplos seguintes:
1. y = 2x (nesse caso, a=2, logo a>1)
Atribuindo alguns valores a x e calculando os
correspondentes valores de y, obtemos a tabe-
la e o gráfico abaixo:
2. y = (1/2)x (nesse caso, a=1/2, logo 0<a<1)
Atribuindo alguns valores a x e calculando os
correspondentes valores de y, obtemos a ta-
bela e o gráfico seguintes:
0
20
UEA – Licenciatura em Matemática
Nos dois exemplos, podemos observar que:
a) O gráfico nunca intercepta o eixo horizontal;
a função não tem raízes.
b) O gráfico corta o eixo vertical no ponto (0,1).
c) Os valores de y são sempre positivos (po-
tência de base positiva é positiva), portanto
o conjunto imagem é Im=IR+.
Além disso, podemos estabelecer o seguinte:
Se 0 < a < 1, então f será decrescente.
Se a > 1, então f será decrescente.
1.7 Função logaritmica
Considere a função y = ax, denominada função
exponencial, em que a base a é um número po-
sitivo e diferente de 1, definida para todo x real.
Observe que, nessas condições, ax é um nú-
mero positivo, para todo x∈IR, onde IR é o
conjunto dos números reais.
Denotando o conjunto dos números reais po-
sitivos por R+*, poderemos escrever a função
exponencial como segue:
f: R → R*+ ; y = ax , 0 < a ≠ 1
Essa é bijetora, pois:
a) É injetora, ou seja: elementos distintos pos-
suem imagens distintas.
b) É sobrejetora, pois o conjunto imagem co-
incide com o seu contradomínio.
Assim sendo, a função exponencial é BIJETO-
RA e, portanto, é uma função inversível, ou
seja, admite uma função inversa.
Vamos determinar a da função y = ax , onde
0 < a ≠ 1.
Permutando x por y, vem:
x = ay → y = logax
Portanto a função logarítmica é então:
f: R*+ → R ; y = logax , 0 < a ≠ 1.
Mostramos, a seguir, os gráficos das funções
exponencial (y = ax) e logarítmica
(y = logax), para os casos a > 1 e 0 < a ≠ 1. 
Observe que, sendo as funções inversas, os
seus gráficos são curvas simétricas em relação
à bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes,
ou seja, simétricas em relação à reta y = x.
0
21
Cálculo I – Função
Da simples observação dos gráficos acima,
podemos concluir que:
• Para a > 1, as funções exponencial e loga-
rítmica são CRESCENTES.
• Para 0 < a ≠ 1, elas são DECRESCENTES.
• O domínio da função y = logax é o conjun-
to R+* .
• O conjunto imagem da função y = logax é o
conjunto R dos números reais.
• O domínio da função y = ax é o conjunto R
dos números reais.
• O conjunto-imagem da função y = ax é o
conjunto R*+.
Observe que o domínio da função exponencial
é igual ao conjunto-imagem da função logarít-
mica e que o domínio da função logarítmica é
igual ao conjunto-imagem da função exponen-
cial. Isso ocorre porque as funções são inver-
sas entre si.
0
22
UEA – Licenciatura em Matemática
UNIDADE II
Limites
TEMA 02
LIMITES: DEFINIÇÃO E LIMITES LATERAIS
2.1 O papel dos limites de funções reais
O conceito de Limite de uma função realiza
um papel muito importante em toda teoria ma-
temática envolvida com o CálculoDiferencial e
Integral. Há uma cadeia ordenada muito bem
estabelecida no Cálculo:
Conjuntos, Funções, Limites, Continuidade,
Derivadas e Integrais
Para entender os conceitos mais importantes
da lista acima, que são os últimos, a Teoria de
Limites é fundamental.
O motivo para isso é que nem tudo o que que-
remos realizar ocorre no meio físico, e quase
sempre é necessário introduzir um modelo que
procura algo que está fora das coisas comuns,
e essa procura ocorre com os limites nos estu-
dos de seqüências, séries, cálculos de raízes
de funções...
Por exemplo, obter uma raiz de uma função
polinomial de grau maior do que 4 somente é
possível por meio de métodos numéricos que
utilizam fortemente as idéias de limite e con-
tinuidade. Na verdade, esse cálculo depende
do Teorema do Valor Intermediário (apresenta-
do no fim), que é uma conseqüência do estu-
do de continuidade de funções.
2.2 Idéia intuitiva de limite
Estudaremos o comportamento de uma função
f nas proximidades de um ponto. Para fixar
idéias, consideremos a função f:R – {1} → R 
definida por: 
lim
Para x diferente de 1, f pode ser simplificada e
reescrita na forma mais simples: f(x) = x + 1.
Ao analisar o comportamento dessa função nas
vizinhanças do ponto x = 1, ponto este que não
pertence ao domínio de f, constatamos que a
função se aproxima rapidamente do valor L =
2, quando os valores de x se aproximam de x =
1, tanto por valores de x < 1 (à esquerda de 1)
quanto por valores x > 1 (à direita de 1).
Do ponto de vista numérico, as tabelas abaixo
mostram o comportamento da função f, para
valores x à esquerda e à direita de x = 1.
Pela esquerda de x = 1
Pela direita de x = 1
Nesse caso, dizemos L = 2 é o limite da função
f quando x se aproxima de 1, o que denotare-
mos por:
lim
x→1 f(x) = 2
Esse resultado pode ser visto por meio da análise
gráfica de f, cujo esboço vemos na figura abaixo:
2.3 Limite de uma função real
Seja f uma função real definida sobre o interva-
lo (a,b) exceto talvez no ponto x = c que per-
tence a intervalo (a,b), Le e Ld números reais. 
Diz-se que o limite lateral à direita de f no ponto
c é igual a Ld, se os valores da função se
aproximam de Ld, quando x se aproxima de c
por valores (à direita de c) maiores do que c.
Em símbolos:
lim
x→ +∞ f(x) = Ld
O limite lateral à esquerda de f no ponto c é
igual a Le, se os valores da função se aproxi-
mam de Le, quando x se aproxima de c por va-
lores (à esquerda de c) menores que c. Em
símbolos:
lim
x→ +∞ f(x) = Le
Quando o limite lateral à esquerda Le coincide
com o limite lateral à direita Ld, diz–se que
existe o limite da função no ponto c e o seu
valor é Ld = Le = L. Com notações simbólicas,
escrevemos:
25
Cálculo I – Limites 
26
UEA – Licenciatura em Matemática
lim
x→ c f(x) = L
O que significa que, para qualquer e > 0 e arbi-
trário, existe um d > 0, que depende de e, tal
que
|f(x)–L| < e para todo x satisfizando 0 < |x–a|
< d.
No caso em que um dos limites laterais não
existe ou no caso de ambos existirem, porém
com valores diferentes, diremos que a função
não tem limite no ponto em questão.
O próximo resultado afirma que uma função
não pode aproximar-se de dois limites dife-
rentes ao mesmo tempo, e ele é denominado o
teorema da unicidade, porque garante que se
o limite de uma função existe, então ele deverá
ser único.
Unicidade do limite – Se Lim f(x) = A e Lim f(x)
= B quando x tende ao ponto c, então A = B.
Demonstração – Se e > 0 é arbitrário, então
existe d' > 0 tal que |f(x)–A| < e/2 sempre que
0< |x – a| < d'. Como também temos por
hipótese que existe d">0 tal que|f(x)–B| < e/2
sempre que 0<|x–a|<d".
Tomando d=min{d',d"}>0, temos que:
|f(x)–A| < e/2 e |f(x)–B| <e/2 sempre que
0<|x–a|<d.
Pela desigualdade triangular, temos:
|A–B| = |A–f(x)+f(x)–B| < |A–f(x)| + |f(x)–B|.
Como e>0 é arbitrário, temos:
|A–B| < e
então |A–B| = 0, o que garante que A=B.
Exemplos:
1. Seja a função f(x) = 2x + 1. Vamos dar valores
a x que se aproximem de 1, pela sua direita
(valores maiores que 1) e pela esquerda (val-
ores menores que 1) e calcular o valor corres-
pondente de y:
Notamos que à medida que x se aproxima de
1, y se aproxima de 3, ou seja, quando x tende
para 1(x→1), y tende para 3 (y→3), ou seja:
lim
x→1 (2x + 1) = 3
Observamos que quando x tende para 1, y
tende para 3 e o limite da função é 3. Esse é o
estudo do comportamento de f(x) quando x
tende para 1 (x→1). Nem é preciso que x as-
suma o valor 1. Se f(x) tende para 3 (f(x)→3),
dizemos que o limite de f(x) quando x→1 é 3,
embora possam ocorrer casos em que para x
= 1 o valor de f(x) não seja 3. De forma geral,
escrevemos:
lim
x→a f(x) = b se, quando x se aproxima de
a(x → a), f(x) se aproxima de b (f(x) → b).
2. Seja, agora, a função
lim
Como x2 + x – 2 = (x – 1)(x + 2), temos:
Podemos notar que quando x se aproxima de
1 (x → 1), f(x) se aproxima de 3, embora para
x = 1 tenhamos f(x) = 2. o que ocorre é que
procuramos o comportamento de y quando
x→1. E, no caso, y → 3. Logo, o limite de f(x)
é 3.
Escrevemos:
Se g: IR→ IR e g(x) = x + 2, lim
x→1 g(x) = limx→1 (x + 2)
= 1 + 2 = 3, embora g(x) ≠ 1 f(x) em x = 1.
No entanto, ambas têm o mesmo limite.
27
Cálculo I – Limites 
3. Consideremos agora o caso onde f(x) não está
definida em x = c.
à 
Apesar de f(x) não estar definida em x = 1, o
limite de f(x), quando x se aproxima de 1, existe
e é igual a 2:
à 
Ora, x pode ser tomado tão próximo de 1 quan-
to quisermos, sem no entanto ser 1, pelo que o
limite de f(x) é 2.
2.4 Generalização do conceito de limite 
Definição
Dados uma função f: B IR e um ponto de acu-
mulação a de B, diz-se que um número ∈IR
é limite de f em a, e escreve-se:
lim
x→a f(x) = ou f(x) → , com x → a
quando vale a seguinte condição: 
Para todo ε > 0, existe δ = δ(ε) > 0 tal que: 
x ∈ B, 0 < |x – a| < δ ⇒ |f(x) – | < ε.
Exemplos:
1. Consideremos a função
à 
Note que f não está definida no ponto x = 1. No
entanto, para x ≠ 1 temos f(x)=2(x+1) e, por-
tanto, é natural suspeitar que lim
x→1 f(x) = 4.
Mostremos por meio da definição que este é o
caso. De fato, se x ≠ 1 podemos escrever 
|f(x)–4| = |2(x + 1) – 4| = 2|x – 1|. 
Assim, dado ε > 0, se escolhermos δ = ε/2
obtemos 0 < |x – 1| < δ ⇒ 2|x – 1|< ε, ou
seja, |f(x) – 4| < ε. Veja a figura abaixo:
lim
x→1 2(x
2 – 1)/(x – 1) = 4 [δ = ε/2]
à 
2. lim
x→2 (3x + 4) = 10. De fato, dado ε > 0, para encon-
trar um δ > 0 que nos convenha, notemos que
neste caso a = 2 e |f(x) – | = |(3x + 4) – 10| .
Assim, se tomarmos δ = ε/3, temos: 
0 > |x – 2| < δ ⇒
|(3x + 4) – 10| = 3|x – 2| < 3δ = ε.
3. lim
x→2 (x
2 + 1) = 5. De fato, dado ε > 0, vamos
procurar δ > 0 sob a restrição δ ≤ 1. Assim,
|x – 2| < δ implica 1< x < 3 e, portanto,
|x+2| < 5. Logo, se 0 < δ ≤ ε/5, temos
0 < |x – 2| < δ, então
|(x2 + 1) – 5| = |x + 2||x – 2| < 5|x – 2|< 5δ ≤ ε.
Portanto basta tomar 0 < δ ≤ min{1,ε/5}. 
4. lim
x→a cos x = cos a. De fato, observemos que sem-
pre |cos x1 – cos x2|≤||x1 – x2|; confira com a
figura abaixo. Assim, dado ε > 0, podemos
tomar δ = ε uma vez que, nesse caso: 
0 <|x – a|< δ,então:
|cos x – cos a|≤||x – a| < δ = ε
|cos x1 – cos x2|≤||x1 – x2|
à 
28
UEA – Licenciatura em Matemática
1. Na função f definida por 
temos:
lim
x→1+ f(x)= limx→1+(3 – x) = 2 e limx→1− f(x) = limx→1−(x
2 – 4) = –3
Como os limites laterais são diferentes, dize-
mos que lim
x→1 f(x) não existe.
2. Dada a função f definida por para to-
do x∈IR*, calcule lim
x→0+ f(x) e limx→0− f(x). Existe limx→0 f(x)?
Solução:
, temos:
e
Considerando que lim
x→0+ f(x) ≠ limx→0− f(x), concluí-
mos que não existe lim
x→0 f(x).
3. Calcule lim
x→1+ f(x) e limx→1− f(x), sendo 
.
Solução:
lim
x→1+ f(x) = limx→1+ 2x= 2 e limx→1− f(x) = limx→1− x
2 = 1.
1. Calcule, caso exista. Se não existir, justifique.
a) 1
b) n
c) 1
d) n
2. Dada a função , verifique que
lim
x→1+ f(x) = limx→1− f(x).
TEMA 03
CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO
3.1 Introdução
Dizemos que uma função f(x) é contínua num
ponto a do seu domínio se as seguintes
condições são satisfeitas:
∃f(a)
∃lim
x→a f(x)
lim
x→a f(x) = f(a)
3.2 Propriedade das funções contínuas
Se f(x) e g(x)são contínuas em x = a, então:
f(x) ± g(x) é contínua em a; 
f(x) . g(x) é contínua em a; 
f(x)
g(x) é contínua em a (g(a) ≠ 0).
3.3 Generalização sobre continuidade de uma
função
Dizer que uma função f é contínua em um
ponto a significa que f(a) existe e que f leva
pontos “próximos” de a em pontos “próximos”
de f(a). Isso pode ser resumido precisamente
na seguinte definição: 
Definição:
Uma função f : B → é contínua em um ponto
a∈B se, dado ε, existe δ > 0 de modo que 
x∈B, |x – a| < δ ⇒ |f(x) – f(a)| < ε.
Note que, se o domínio de f for um intervalo,
B=(b,c), b<c, a definição está exigindo as três
seguintes condições: 1) a∈B; 2) existe lim
x→a f(x) e
3) lim
x→a f(x) = f(a). 
3.4 O teorema de Weierstrass
Toda função contínua num intervalo fechado
[a,b] assume um máximo e um mínimo em
[a,b].
Entretanto é importante observar que ele ga-
rante que uma função, sendo contínua num in-
tervalo fechado, certamente admitirá ponto de
extremo, tanto máximo como mínimo, poden-
29
Cálculo I – Limites 
do ser interior ao intervalo ou em qualquer das
extremidades. 
à 
Observação:
No gráfico, observamos que a função admite
um ponto de máximo local e um ponto de mí-
nimo local, ambos interiores ao intervalo. 
Entretanto o ponto de máximo global da fun-
ção ocorre na extremidade b, e o ponto de
mínimo global ocorre na extremidade a do in-
tervalo.
Também é conveniente observar que o Teo-
rema só vale se a função é contínua num inter-
valo fechado. Se a continuidade for num inter-
valo aberto, não é possível garantir a existência
de máximo e mínimo globais.
Exemplos:
1 Consideremos 
à 
medida que x se
aproxima de 2. Neste caso, f(x) está definido
em 2 e é igual ao seu limite: 0.4, vejamos:
À medida que x aproxima–se de 2, f(x) aproxi-
ma–se de 0.4 e consequentemente temos a
igualdade lim
x→ 2 f(x) = 0.4. Sempre que se veri-
fique a igualdade f(c) = lim
x→ c f(x), diz–se que f é
contínua em x = c. A igualdade não é válida
para todas as funções. 
2. Vejamos a função:
à 
O limite de g(x) à medida que x se aproxima de
2 é 0.4 (tal como em f(x)), mas lim
x→ 2 g(x) ≠ g(2) e
consequentemente g não é contínua em x = 2.
3. a função f(x) = 2x + 1 definida em IR é con-
tínua em 1, pois 
Notemos que f é contínua em IR, pois para
todo a ∈ IR, temos: 
4. A função definida em IR é
descontínua em 1, pois 
Observemos que f é contínua em IR – {1} pois,
para todo a IR – {1}, temos:
5. Dada a função , verificar se
existe algum ponto de descontinuidade .
Como lim
x→ 3 f(x) = limx→ 3 (x + 1) = 4; limx→ 3+ f(x) =
= lim
x→ 3 4 = 4 e f(3) = 4 temos que limx→ 3 f(x) = f(3)
o que implica que a função é contínua no ponto
x = 3.
Para k ≤ 3, lim
x→ k f(x) = limx→ k (x + 1) =
lim
x→ k x + limx→ k 1 = k + 1 e f(k) = k + 1
Para k > 3, lim
x→ k f(x) = limx→ k 4 = 4 e f(k) = 4 
Então, f é contínua em IR e não há ponto de
descontinuidade.
Em geral, restringimos a análise aos valores de
x que não verificam as condições de existência
de f ou que “quebram” o domínio de f (neste
exemplo, x = 3).
6. Verifique se a função é contínua
em x = 3.
Cálculo de f(3):
Cálculo de lim
x® 3
f(x) =
Como lim
x® 3
f(x) = f(3), f(x) é contínua em x = 3
Verifique se a função f é contínua no ponto
especificado.
1.
2.
3.
4.
5.
TEMA 04
PROPRIEDADES DOS LIMITES
4.1 Introdução
Muitas funções do Cálculo podem ser obtidas
como somas, diferenças, produtos, quocientes
e potências de funções simples. Introduzire-
mos propriedades que podem ser usadas para
simplificar as funções mais elaboradas. Em
todas as situações abaixo, consideraremos
x→a.
• Se f(x) = C onde C é constante, então
Lim f(x) = Lim C = C.
• Se k e b são constantes e f(x) = kx+b,
então Lim f(x) = Lim (kx+b) = ka+b.
• Se f e g são duas funções, k uma constante,
A e B números reais e além disso Lim
f(x)=A e Lim g(x)=B, então:
(1) Lim(f ± g)(x)=[Lim f(x)]±[Lim g(x)] = A ± B
(2) Lim(f·g)(x) = [Lim f(x)]·[Lim g(x)] = A·B
(3) Lim(k·f)(x) = k·Lim f(x) = k·A
(4) Lim(f)n(x) = (Lim f(x))n = An
(5) Lim(f÷g)(x) = [Lim f(x)]÷[Lim g(x)] = A÷B,
se B é não nulo.
(6) Lim exp[f(x)]= exp[Lim f(x)] = exp(A)
• Se acontecer uma das situações abaixo:
Lim f(x) = 0.
Lim f(x)>0 e n é um número natural.
Lim f(x)<0 e n é um número natural ímpar.
Então:
Exemplos:
1.
2.
3.
4.
30
UEA – Licenciatura em Matemática
31
Cálculo I – Limites 
5.
6.
7.
8.
Observações sobre as propriedades:
As propriedades que valem para duas funções,
valem também para um número finito de fun-
ções.
As propriedades 3–1, 3–2 e 3–5 estabelecem
que, se existem os limites das parcelas, então
existirá o limite da operação, mas a recíproca
deste fato não é verdadeira, pois o limite de
uma operação pode existir sem que existam os
limites das parcelas.
4.2 Teoremas importantes
Teorema do anulamento – Se f é uma função
limitada e g é uma função tal que Lim g(x) = 0,
quando x→a, então: Lim f(x)·g(x) = 0.
Esse resultado é útil para podermos obter cál-
culos com limites.
Teorema do Confronto (regra do sanduiche)
– Se valem as desigualdades f(x)< g(x) < h(x)
para todo x em um intervalo aberto contendo a,
exceto talvez em x = a e se Lim f(x) = L = Lim
h(x), então Lim g(x) = L.
Generalização:
Sejam f, g, h : B → tais que f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)
x∈B, e lim
x→a f(x) = limx→a h(x) = . Então limx→a g(x) = .
O gráfico de g fica "preso'' entre os de f e h,
como mostra a figura abaixo.
Demonstração:
Seja ε > 0 um número qualquer. Como
lim
x→a f(x)= limx→a h(x)= , existem δ1,δ2>0 de modo que
x∈A, 0<|x – a|<δ1 ⇒ – ε < f(x) < + ε,
x∈A, 0<|x – a|<δ2 ⇒ – ε < f(x) < + ε,
Logo, se δ: = min{δ1,δ2} > 0 e se x∈A, a
condição 0 < |x – a| < δ implica 
ε < f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) < + ε,
Donde |g(x) – | < ε, ou seja, lim
x→a g(x) = . 
Exemplo – Se para x próximo de 0, vale a
relação de desigualdades cos(x) < sen(x)/x <
1 então, quando x→0:
1 = Lim cos(x) < Lim sen(x)/x < Lim 1 = 1
Observações – Todas as propriedades vistas
para o cálculo de limites são válidas também
para limites laterais e para limites no infinito.
Quando, no cálculo do limite de uma função,
aparecer uma das sete formas, que são deno-
minadas expressões indeterminadas,
nada se poderá concluir de imediato sem um
estudo mais aprofundado de cada caso.
Exemplo:
Seja f uma função e suponha que para todo x
tenhamos |f(x)| ≤ x2.
a) Calcule, caso exista, lim
x→ 0 f(x);
b) f é contínua em x = 0? Por quê?
Solução:
a) |f(x)| ≤ x2 ⇔ –x2 ≤ f(x) ≤ x2 
Como lim
x→ 0 f(–x
2) = 0 = lim
x→ 0 x
2, segue, do teo-
rema do confronto, que lim
x→ 0 f(x) = 0.
b) Segue de (a) que f será contínua em 0 se
f(0)=0. Pela hipótese, |f(x)| ≤ x2 para todo
x, logo, |f(0)| ≤ 0e, portanto, f(0)=0. Assim,
lim
x→ 0 f(x) = 0 = f(0), ou seja, f é contínua em 0.
1. Calcular .
Como as funções f(x) = x2 – 9 e g(x) = x – 3 se
anulam para x = 3, cairemos na expressão e
nada poderemos concluir. Assim, devemos sim-
plificar a fração, eliminando a indeterminação.
Logo, 
2. Calcular .
Nesse caso, devemos multiplicar e dividir a
fração pelo conjugado do numerador.
3. Calcular .
4. Calcular .
1. Calcule lim
x→ 1 (log 10x).
a) 0 b) 1
c) 2 d) 3
e) 4
2. Determine o Valor de .
a) 1/5b) 2/6
c) 3/4 
d) 4/3
e) 3/5
3. Calcule .
a) 10
b) 12
c) 15
d) 17
e) 19
4. Calcule
a) 2/5
b) 3/5
c) 3/2
d) 2/3
e) 2/4
5. Ache o valor de .
a) 1
b) –1
c) –2
d) 3
e) –4
6. O é igual a:
a) –4 b) 1
c) 4 d) 2
e) 3
7. Calcular .
a) x b) 2x
c) 4x d) 3x
e) 5x
32
UEA – Licenciatura em Matemática
8. O é igual a:
a) 1/9
b) 1/27
c) 1/243
d) 1/81
e) 1/54
9. O valor de é:
a) 2
b) 0
c) 8
d) 4
e)
10. O limite
a) não existe;
b) não é nenhum número real;
c) vale 2;
d) vale 0;
e) vale 4.
11. O vale:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 4
e) 6
12. O valor de é:
a) –1
b) –2
c)
d) 0
e) 1
TEMA 05
LIMITES INFINITESIMAIS
5.1 Limites infinitos
Seja f a função definida por f(x)=1/x. Iremos
analisar o comportamento numérico dessa fun-
ção por meio das tabelas abaixo.
Quando x → 0, por valores maiores que zero
(x → 0+) os valores da função crescem sem
limite.
Quando x → 0, por valores menores que zero
(x → 0), os valores da função decrescem sem
limite.
Observamos que próximo de x = 0, o compor-
tamento da função é estranho.
Baseado nesse exemplo, podemos afirmar que
quando x tende a 0, esta função não tem os va-
lores aproximando-se de um limite bem defi-
nido.
Ao analisar o comportamento numérico de
f(x)=1/x², nas proximidades de x=0, observa-
mos que:
33
Cálculo I – Limites 
Observamos pelas tabelas, que se x → 0, por
valores maiores ou menores do que 0, os va-
lores da função crescem sem limite. Assim, po-
demos afirmar, por este exemplo, que, quando
x → 0 esta função tem os valores aproximan-
do-se de um limiar (inf = infinito = ∞). Nesse
caso, dizemos que não existe o limite de
f(x)=1/x² no ponto x=0, mas denotamos tal
fato por:
Por causa dessa notação, costuma-se dizer
que algumas funções têm limites infinitos, e
por causa desse limite, dizemos também que o
gráfico desta função tem uma assíntota verti-
cal, que é uma reta cuja equação é dada por 
x = 0, neste caso.
Definição:
Seja f uma função definida para todo x em I,
exceto possivelmente no ponto x = a em I um
intervalo aberto contendo a. Diz-se que f tem
limite infinito, quando x se aproxima de a, o que
é denotado por: limx→a f(x)=+ ∞
Se, para todo número real L>0, existir um d>0
tal que se 0<|x–a|<d, então f(x) > L.
De modo similar, g(x)=–1/x² apresenta um grá-
fico com todos os valores da imagem no interva-
lo (–∞,0). O comportamento de g próximo de 
x = 0 é similar ao de f(x) = 1/x², porém os valores
são negativos. Nesse caso, dizemos que não
existe limite no ponto x = 0, no entanto represen-
tamos tal resultado por: Limx→0 –1/x²= + ∞
Definição: 
Se o limite de f(x) tende a infinito, quando x→a
pela esquerda e também pela direita, dizemos
que o limite de f(x), quando x → a é infinito, e
escrevemos: limx→af(x) = +∞
Analogamente, a expressão matemática:
limx→af(x) = –∞
significa que f(x) tende a –∞, se x→a pela
esquerda e também pela direita.
5.2 Extensão sobre limites no infinito
Analisaremos agora o comportamento de
h(x)=1/x, quando x cresce arbitrariamente
(x→∞) ou quando x decresce arbitrariamente
(x→–∞).
Pelas tabelas, observamos que:
Limx→+ ∞ h(x) = 0
Limx→– ∞ h(x) = 0
Quando construímos o gráfico de h, observa-
mos que existe uma reta (assíntota) horizontal
que é a reta y=0, que nunca toca a função,
mas aproxima-se dela em +∞ e em –∞.
Temos, então, uma definição geral, engloban-
do tal situação:
Definição:
Seja f uma função definida para todos os valores
do intervalo (a,∞). Escrevemos:
lim
x→∞ f(x) = L 
quando, para todo e>0, existe um número real
M > 0 tal que |f(x)–L|<e sempre que x > M.
y
x
x
y
x
y
34
UEA – Licenciatura em Matemática
Formalizaremos agora o conceito de assíntota
horizontal.
Definição:
Dizemos que a reta y = L é uma assíntota ho-
rizontal do gráfico de f se
lim
x→∞ f(x) = L ou limx→–∞f(x) = L
5.3 Limite de uma função polinomial para x→±∞
Seja a função polinomial
f(x) = anxn + an–1xn–1 +... + a2x2 + a1x + a0.
Então:
Demonstração:
Mas:
Logo:
De forma análoga, para g(x) = bmxm +...b1x + b0,
temos:
Exemplos:
1.
2.
3.
1. Calcule
a) 1/5 b) 2/6
c) 1/2 d) 3/4
e) 1/4
2. Calcule 
a) 0
b) 1
c) 3
d) 2
e) 4
3. Calcule .
a) 0
b) 1
c) 6
d) 2
e) –2
4. Calcule .
a) 1
b) 4
c) 3
d) 2
e) 0
5. Calcule os limites:
a)
b)
c)
d)
e)
35
Cálculo I – Limites 
TEMA 06
LIMITES TRIGONOMÉTRICOS
6.1 Introdução
Demonstração:
Para x → 0, temos sen x < x < tg x. Dividindo
a dupla desigualdade por sen x > 0, vem:
Invertendo, temos:
Mas:
lim
x→0 1 = limx→0 cos x = 1
g(x) < f(x) < h(x) são funções contínuas e se
lim
x→a g(x) = limx→a h(x) = b então, limx→a f(x) = b. Logo, 
6.2 Exemplos:
a)
b)
c)
d)
1. Determinar .
2. Determinar
Transformando, temos:
3. Calcular
Transformando, temos:
1. Calcular os seguintes limites:
a)
b)
36
UEA – Licenciatura em Matemática
2. Determine:
a)
b)
c)
3. Calcular os seguintes limites:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
TEMA 07
LIMITES EXPONENCIAIS
7.1 Introdução
Nesse caso, e representa a base dos logarit-
mos naturais ou neperianos. Trata-se do nú-
mero irracional cujo valor aproximado é
2,7182818.
Veja a tabela com valores de x e de .
Notamos que à medida que .
De forma análoga, efetuando a substituição 
, temos:
Ainda de forma mais geral, temos :
As duas formas acima dão a solução imediata
a exercícios desse tipo e evitam substituições
algébricas.
Se ax – 1 = u, então ax + 1 = u.
Mas:
37
Cálculo I – Limites 
Logo:
Como x → 0 , então u → 0. Portanto: 
Generalizando a propriedade acima, temos 
.
1. Determinar
2. Determinar o .
Fazendo temos x = 3 u e x → + ∞ impli-
ca u → +∞ assim:
Logo:
3. Calcular .
Transformando, temos:
Fazendo –x = t, temos:
x → –∞ t → + ∞
Substituindo-se, vem:
1. Calcule 
a) e b) e7
c) 1/e3 d) ex
e) e4
2. Calcule o 
a) e b) –e
c) e2 d) 
e) e4
3. Calcule os limites:
a)
b)
c)
38
UEA – Licenciatura em Matemática
Augustin-Louis Cauchy 
(Paris, 21 de agosto de 1789 – Paris, 23 de maio
de 1857) foi um matemático francês.
O primeiro avanço na matemática moderna
por ele produzido foi a introdução do rigor na
análise matemática. O segundo foi no lado
oposto – combinatorial. Partindo do ponto cen-
tral do método de Lagrange, na teoria das equa-
ções, Cauchy tornou-a abstrata e começou a
sistemática criação da teoria dos grupos. Não
se interessando pela eventual aplicação do
que criava, ele desenvolveu para si mesmo
um sistema abstrato. Antes dele, poucos bus-
caram descobertas proveitosas na simples
manipulação da álgebra.
Foi um dos fundadores da teoria de grupos fini-
tos. Em análise infinitesimal, criou a noção
moderna de continuidade para as funções de
variável real ou complexa. Mostrou a importância
da convergência das séries inteiras, com as
quais seu nome está ligado. Fez definições pre-
cisas das noções de limite e integral definida,
transformando-as em notável instrumento para
o estudo das funções complexas. Sua abor-
dagem da teoria das equações diferenciais foi
inteiramente nova, demonstrando a existência
de unicidade das soluções, quando definidas
as condições de contorno. Exerceu grande
influência sobre a física de então, ao ser o
primeiro a formular as bases matemáticas das
propriedades do éter, o fluido hipotético que
serviria como meio de propagação da luz.
A vida de Augustin Cauchy assemelha-se a
uma tragicomédia. Seu pai, Louis-François,
esteve muito próximo da guilhotina, apesar
de ser advogado, culto, estudioso da Bíblia,
católico fanático e tenente de polícia.Augustin era o mais velho dos seis filhos (dois
homens e quatro mulheres). Seguia obsti-
nadamente os preceitos da Igreja Católica.
Seu eterno louvor à beleza e à santidade
cansava os que o ouviam.
39
Cálculo I – Limites 
UNIDADE III
Derivada
43
Cálculo I – Derivada
TEMA 08
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO, DEFINIÇÃO
8.1 CÁLCULO DIFERENCIAL: UMA DUPLA
AGITA O MEIO CIENTÍFICO
As primeiras idéias sobre o cálculo foram re-
gistradas na Grécia, no século V a.C., e es-
tavam ligadas ao cálculo de áreas, volumes e
comprimentos de arcos.
Supõe-se que foi o matemático grego Eudoxo
de Cnido quem teria dado os primeiros passos
nesse campo, criando o método de exaustão,
que mais tarde foi aplicado brilhantemente
pelo matemático grego Arquimedes de Sira-
cusa (287–212 a.C.) para calcular a área de um
segmento parabólico. Para o cálculo avançar,
porém, era necessário descobrir fórmulas ge-
rais, que permitissem, por exemplo, calcular a
área de qualquer figura geométrica.
Contudo isso só veio a acontecer no século
XVII, quando vários matemáticos, entre eles o
francês Pierre de Fermat (1601–1665) e os
ingleses Jhon Wallis (1616–1703) e Isaac
Barrow (1630–1677), deram importantes pas-
sos nesse sentido, além de abrirem caminho
para dois outros grandes matemáticos daque-
la época: Isaac Newton e Gottfried W. Leibniz.
Isaac Newton Gottfried Wilhelm Leibniz
Essa dupla, trabalhando separadamente e no
mesmo período, estabeleceu as bases do
cálculo.
Newton fundamentava suas idéias na mecâni-
ca e Leibniz, na geometria.
A partir do século XVIII, o cálculo sofreria pro-
fundas transformações, principalmente por
causa dos trabalhos dos matemáticos france-
ses Augustin Louis Cauchy (1789–1857) e
Joseph Louis Lagrange (1736–1813).
O cálculo diferencial e integral, como é co-
nhecido hoje, é um instrumento matemático de
extrema importância. Suas aplicações, além da
matemática e da física, estendem-se também à
química, à biologia, à engenharia, etc.
8.2 INTRODUÇÃO DO ESTUDO DAS
DERIVADAS
O problema fundamental do cálculo diferencial
é estabelecer uma medida para a variação da
função com precisão matemática. Foi investi-
gando problemas dessa natureza, lidando com
grandezas que variam com continuidade, que
Newton foi conduzido à descoberta dos princí-
pios fundamentais do cálculo.
Da física, sabemos que quando uma partícula
se movimenta segundo a equação horária S =
f(t), em que s é a abscissa (posição) do ponto
em que se encontra a partícula no instante t (s
é uma função de t), a velocidade média do mo-
vimento entre dois instantes (t0,t), que vamos
indicar por Vm(t0;t) é dada por: 
A velocidade (instantânea) no instante t0, V(t0) é
definida pelo limite de Vm(t0; t) quando t tende
a t0:
Exemplo:
• Uma particula movimenta-se segundo a
equação horária S = 2t2 + 5t + 10, s em me-
tros e t em segundos. Obter a velocidade:
a) no instante t = 1;
b) num instante t = t0
44
UEA – Licenciatura em Matemática
Solução:
a)
A velocidade média no instante t = 1 é:
V(1) = 9m/s
b)
V(t0) = 4t0+ 5
equação da velocidade para 
t = 1 ⇒ V(1) = 4 × 1 + 5 = 9m/s
8.3 RAZÃO INCREMENTAL
Seja f (x) uma função definida em um intervalo
I de seu domínio, e sejam x0 e x = x0 + Δx dois
valores pertencentes a esse intervalo
Δx : acréscimo da variável x : Δx = x – x0
Δx : acréscimo da variável y : Δy = f(x) – f(x0)
ou Δy = f(x0 + Δx) – f(x0) 
Denomina-se razão inceremental o quociente
Então, temos:
ou
Exemplo:
Calcular a razão incremental da função
f(x) = 3x – 1, relativa ao ponto x0 = 2
Solução:
f(x) = 3x – 1 e f(x0) = f(2) = 3 . 2 – 1 ⇒ f(x0) = 5
Então, temos:
⇒ ⇒
8.4 DERIVADA DE UMA FUNÇÃO EM UM
PONTO
Seja y = f (x) a função que está representada
no gráfico, e sejam x0 e x0 + Δx dois valores de
seu domínio.
Denomina-se derivada da função f (x) no ponto
x0 o limite finito (se existir) da razão incremen-
tal da função quando Δx tende a zero, ou seja: 
45
Cálculo I – Derivada
Exemplo:
1. Determinar a derivada da função f(x) = 4x2 – 2
no ponto x0 = 2
Solução:
Como , temos:
2. Dada a função f(x) = 3x2, definida em IR, calcu-
lar a função derivada f’(x).
Solução:
1. Calcule a razão incremental da função f (x), re-
lativa ao ponto x0, nos seguintes casos:
a) f(x) = 3x2 + 1, no ponto x0 = 2
b) f(x) = x2 + 3x, no ponto x0 = 1
c) f(x) = x3, no ponto x0 = –1
2. Calcule a derivada da função f(x) no ponto x0
em cada caso:
a) f(x) = x2 + 1, no ponto x0 = 3
b) f(x) = x2 + 2x, no ponto x0 = 4
c) f(x) = x2 – 3x + 4, no ponto x0 = 1
d) f(x) = 2x – 1, no ponto x0 = 2
3. Dada a função f (x), definida em IR, determine
f´(x) nos seguites casos:
a) f(x) = x2 – 2x
b) f(x) = x
c) f(x) =
d) f(x) = 3x + 4
e) f(x) = x3 + 2x2
4. Determine o valor de x que anula a derivada da
função f(x) = x2 – 4x
5. Um ponto percorre uma curva obedecendo à
equação horária s = t2 + t – 2. Calcule a sua
velocidade no instante t0= 2seg.
1. A derivada da função f(x) = x2 – 3x no ponto
x = 0 é igual a:
a) 0
b) – 3 
c) – 1 
d) 1 
e) n.d.a.
2. Sendo f(x) = 2x2, então f’(3) é igual a:
a) 4 
b) 12 
c) 18 
46
UEA – Licenciatura em Matemática
d) 36 
e) n.d.a.
3. Se f(x) = 6x3, então f’(x) é igual a:
a) 9x2
b) x2
c) 18x2
d) 3x2
e) n.d.a.
4. A função derivada de y = x3 é definida por:
a) y’ = 3x 
b) y’ = 3x2
c) y’ = x2
d) y’ = 3x3
e)
5. A função derivada da função é:
a)
b)
c)
d)
e) n.d.a.
6. A função derivada da função f(x) = 3x2 – 2x
anula-se para:
a) x = 0 
b) x = 3 
c) 
d) 
e) n.d.a.
TEMA 09
A RETA TANGENTE AO GRÁFICO DE UMA
FUNÇÃO
9.1. Introdução
Imaginemos que o gráfico cartesiano de uma
função y = f (x) admita uma reta tangente t
num ponto P de abscissa x0. Vamos represen-
tar por αt(x0) o ângulo de inclinação da reta tan-
gente em relação ao eixo x.
Da geometria analítica, sabemos que o coefi-
ciente angular da reta t, que vamos indicar por
mt(x0), é dado por: mt(x0) = tgαt(x0).
Se Q é um ponto qualquer do gráfico de f, de
abscissa x ≠ x0, a reta S = é uma secante
ao gráfico. O coeficiente angular da secante,
que indicaremos por 
Fazendo x tender a x0, isto é, imaginando P fixo
e Q movimentando-se sobre o gráfico, aproxi-
47
Cálculo I – Derivada
mando-se de P, observamos que a inclinação
da reta secante tende à inclinação da reta tan-
gente: αs → αt(x0)
Nesse caso, temos tambem: tgαs → tgαt(x0)
ms → mt(x0)
Então, temos: 
Quando existe o limite finito
Exemplo:
Calcular o coeficiente angular da reta tangente
ao gráfico da função y = x² no ponto de abscis-
sa x = 1
Solução
9.2 DEFINIÇÃO
Para estudar esse problema, consideremos o
gráfico da função y = f (x) indicado na figura:
Em que: 
Δx= incremento da variável x
Δyincremento da função
razão incremental
Na figura, temos: 
s é uma reta secante à curva;
t é uma tangente à curva no ponto A(x0, y0);
(considerando o triângulo ABC)
Note que, quando Δx → 0, o ponto B tenderá
ao ponto A, e a reta secante s tenderá à reta
tangente t; como conseqüência, o ângulo β
tenderá a α, e teremos:
Enquanto Δx tende a zero, a reta secante tende
a uma posição limite, que é a reta tangente à
curva no ponto A de abscissa x0.
Portanto o coeficiente angular da tangente é o
valor do limite dos coeficientes angulares das
secantes quando Δx tende a zero.
O valor desse limite denomina-se derivada da
função f(x) no ponto de abscissa x0, e indica-
mos f’(x0).
48
UEA – Licenciatura em Matemática
Definição:
Seja a função f (x) definida no intervalo [a, b], e
seja um pontode abscissa x0 desse inetrvalo.
Denomina-se derivada da função f (x) no
ponto de abscissa x0, o limite, se existir e for 
finito, da razão quando Δx
tende a zero.
Ou ou
Exemplos:
• Determinar a derivada da função f(x) = 3x2
no ponto de abscissa x0 = 2.
Solução:
1.ª MANEIRA
Se x0 = 2 ⇒ f(x0) = f(2) = 3 × 22 = 12
Logo:
2.ª MANEIRA
f(x0 + Δx) = f(2 + Δx) = 3 (2 + Δx)2 = 
12 + 12Δx + 3(Δx)2
f(x0 ) = f(2) = 3 . 22 = 12
Logo:
f’(2 ) = 12
• Dada a função , calcular a deriva-
da de f’(x) no ponto x = 0.
Solução:
Daí:
Observação: Não possui derivada em x = 0
• Determinar, pela definição, a função deriva-
da de f(x) = x2.
Solução:
• Qual a reta tangente ao gráfico da função
na origem?
SOLUÇÃO
A reta que procuramos passa no ponto (0;0)
(x → 0+, pois é definida só para x ≥ 0).
49
Cálculo I – Derivada
Quando o limite é +∞, a reta tangente é
perpendicualr ao eixo x. Concluímos que a
reta tangente a na origem é o eixo y.
• Dada a função f(x) = x2 – 2x, determinar
f’(6):
SOLUÇÃO
f(x) = x2 – 2x
f(x0) = f(6) = 62 – 2 . 6 = 24
Logo:
• Dada a função f (x) = sen x, determinar,
pela definição, a função derivada de f (x).
SOLUÇÃO
Como, pela triigonometria, sen a – sen b = 
, temos:
Pelo limite trigonométrico fundamental,
estudado anteriormente, temos:
Substituindo na igualdade anterior, temos:
• Seja a função f: IR → IR tal que f(x) = 3x2 – 1.
Determinar:
a) a derivada de f no ponto de abscissa 2, isto
é, f´(2);
b) a equação da reta t tangente ao gráfico de f
no ponto P (2, 11).
SOLUÇÃO
a)
como
e
, temos:
b) Temos, da reta t, o ponto P(2,11) e o coefi-
ciente angular m = f’(2) = 12. Pela equação
fundamental: obtemos a equacação da reta
t : y – 11 = 12(x – 2) ∴ y = 12x – 13.
Graficamente, temos:
= 10
50
UEA – Licenciatura em Matemática
• A função f : IR –{3} → tal que é
derivável no intervalo ]1, 5[?
SOLUÇÃO
Para que uma função f seja derivável em um
ponto de abscissa a, a definição exige que
exista f (a). Como 3 ∉ D(f), temos que f não
é derivável no ponto de abscissa 3 e, por-
tanto, não é derivável no intervalo ]1, 5[.
• Mostrar que a função f : IR –{3} → IR tal que 
é derivável em todo seu domínio.
SOLUÇÃO
Temos que: , 
para x ≠ 3.
Existe f’(a) se, e somente se, existe e é fini-
to o limite: 
Para qualquer a, a ∈ IR e a ≠ 3, temos: 
Como esse limite existe e é finito para todo
elemento real a, a ≠ 3, temos que f é
derivável em seu domínio.
1. Considerando a reta t, tangente à curva defini-
da por f (x) = x², no ponto de abscissa 2, deter-
minar:
a) o coeficiente angular da reta t 
b) a equação da reta t. 
2. Considerando a reta t, tangente à curva defini-
da por , no ponto de abscissa 1,
determinar:
a) o coeficiente angular da reta t 
b) a equação da reta t 
3. Qual é a equação da reta tangente à curva
y = x2 – 3x no seu ponto de abscissa 4?
4. A equação da reta tangente à curva de equação
y = 2x2 – 1, no ponto de abscissa 1, é:
a) y = 4x – 3 
b) y = 4x – 1 
c) y = 2x + 3 
d) y = –2x + 1 
e) y = 3x + 2
5. Aplicando a definição, calcule:
a) a derivada da função f(x) = x2 + x no ponto
de abscissa x = 3.
b) a derivada da função f(x) = x2 – 5x + 6 no
ponto x = 1.
6. Através da definição, ache a derivada de
f (x) = cos x
51
TEMA 10
REGRAS DE DERIVAÇÃO
10.1 DERIVADAS FUNDAMENTAIS
Regras que nos permitirão calcular a derivada
de uma função f(x) mais facilmente. A demons-
tração dessas regras poderá ser feita com a
aplicação da definição; como esse processo é
demasiado longo, faremos algumas, e as ou-
tras ficarão como exercícios complementares.
a) Derivada da função constante
f(x) = k ⇒ f’(x) = 0; k ∈ IR
Demonstração: 
Exemplo:
f(x) = ⇒ f’(x) = 0
b) Derivada da função identidade
A derivada da função identidade f (x) = x é
1, ou seja: f(x) = x ⇒ f’(x) = 1
Demonstração:
c) Derivada da função potência
A derivada da função f(x) = xn (n ∈ N*) é: 
f’(x) = n × xn–1, ou seja: 
f(x) = xn ⇒ f’(x) = nxn–1
Exemplos:
• f(x) = x3 ⇒ f’(x) = 3x3–1 = 3x2
• f(x) = 4x2 ⇒ f’(x) = 2 × 4 × x2–1 = 8x
•f(x) = x–5 ⇒ f’(x) = –5 x x–5–1 = –5x–6 =
•
d) Derivada da função seno
A derivada da função f (x) = senx é a função
f´(x) = cosx, ou seja: 
f(x) = senx ⇒ f’(x) = cosx 
Demonstração
Obs.:
e) Derivada da função co-seno
A derivada da função f (x) = cosx é a função
f’(x) = –senx
f) Derivada da funçãoe exponencial
A derivada da função exponencial f(x) = ax
(a > 0 e a ≠ 1 é a função f’(x) = ax . ln a
Demonstração:
Obs:
Exemplo:
f(x) = 5x ⇒ f’(x) = 5x . ln 5 
g) Derivada da função logarítmica neperiana
A derivada da função f (x) = lnx é a função 
(x > 0)
Cálculo I – Derivada
Caso seja dado o logaritmo numa base a, 
a > 0 e a ≠ 1, fazemos a mudança para a base e.
Então: 
Exemplos:
• (x > 0)
• (x > 0)
10.2 REGRAS OPERATÓRIAS DE DERIVAÇÃO
Sejam u e v funções deriváveis em um interva-
lo aberto I. Para todo x, x∈I, tem-se que:
a) Derivada da soma
f(x) = u(x) + v(x) ⇒ f’(x) = u’(x) + v’(x) 
Demonstração:
f’(x) = u’(x) + v’(x) c . q . d
b) Derivada da diferença
f(x) = u(x) – v(x) ⇒ f’(x) = u’(x) – v’(x)
Obs.: A soma ou a diferença para n funções
• f(x) = u1(x) + u2(x) +...+ un ⇒ 
f’(x) = u’1(x) + u’2(x) +...+ u’n(x) 
• f(x) = u1(x) – u2(x) –...– un ⇒ 
f’(x) = u’1(x) – u’2(x) –...– u’n(x)
1. Determinar a derivada de cada uma das
seguintes funções:
a) f(x) = x4 + sen x
Solução:
f’(x) = 4x3 + cos x
b) g(x) = x5 – x3
Solução:
g’(x) = 5x4 – 3x2
c) h(x) = 3 – x + cos x + ln x
Solução:
2. Obtenha as derivadas das seguintes funções:
a) f(x) = 10 ⇒ f’(x) = 10
b) f(x) = x5 ⇒ f’(x) = 5 . x5–1 = 5x4
c) f(x) = x3 + x2 ⇒ f’(x) = 3x2 + 2x
d) f(x) = x5 + 1 ⇒ f’(x) = 5x4 + 0 = 5x4
d) f(x) = x5 + 1 ⇒ f’(x) = 5x4 + 0 = 5x4
e) f(x) = sen x + cos x ⇒ f’(x) = cos x + 
(–sen x) = cos x – sen x
f) f(x) = 2x ⇒ f’(x) = 2x ln 2
g) f(x) = ex ⇒ f’(x) = ex . 1 = ex
h)
3. Encontre a equação da reta tangente à curva:
a) y = x5 no ponto x0 = 1
SOLUÇÃO
y = x5 no ponto x0 = 1
f(x) = x5 ⇒ f(x0) = f(1) = 1
f’(x) = 5x4 ⇒ f’(1) = 5 . 14 = 5
No ponto (1,1): y – f(1) = f’(1)(x – 1)
y – 1 = 5(x – 1) ⇒ y = 5x – 4
b) y = ln x no ponto x0 = 2
SOLUÇÃO
4. Determine f’(x), sabendo que:
a) f(x) = x2 . cos x 
b) f(x) = (x2 + 3x + 1)(ln x)
52
UEA – Licenciatura em Matemática
53
SOLUÇÃO
a) f(x) = x2 . cos x
f’(x) = (x2 . cos x)’ = (x2)’cos x + x2 (cos x)’ =
2x . cos x + x2(–sen x) = 2x . cos x – x2 . sen x
logo, f’(x) = 2x . cos x – x2 . sen x
b) f(x) = (x2 + 3x + 1)(ln x)
f’(x) = (x2 + 3x + 1)’lnx + (x2 + 3x + 1)(ln x)’ =
(2x + 3) ln x + (x2 + 3x + 1) =
= 2x . ln x + 3 . ln x + 3 + 
Logo, f’(x) = 2x . ln x + 3 . ln x + x + 3 + 
5. Determine f’(x), sabendo que:
a)
b)
c) f(x) = tg x
d) f(x) = cot gx 
Respostas: 
a)
b)
c) f’(x) = sec2 x
d) f’(x) = cos sec2 x
1. Determine f’(x), sabendo que:
a) f(x) = x2 + x + 1
b) f(x) = lnx – cos x
c) f(x) = 3x5
d) f(x) = 3x2 + 2x + 1
e) f(x) = ax2 + bx + c
f) f(x) = lnx + 2cos x
2. Determine o coeficiente angular da reta tan-
gente à curva y = x3 + x2 + x + 1 no ponto
x0 = 1.
3. Obter a reta tangente à parábola y = x2 – 4x + 3
no ponto de abscissa 4.
4. Determine a derivada de cada uma das
seguintes funções:
a) a(x) = x3 + x
b) b(x) = ln x – sen x
c) c(x) = cos x ln x
d) d(x) = 6x4 – 3x2 + 7x – 4
5. A equação da reta tangente à curva y = x3 – 5x + 1
no ponto de abscissa x = 1 é:
a) x – y – 4 = 0
b) x – y + 4 = 0
c) x + y – 4 = 0 
d) 2x +y – 1 = 0
e) 2x + y +1 = 0 
6. Uma partícula move-se em linha reta. A
equação horária do espaço s é s(t) = t3 + 4t2,
com s em metros e t em segundos.
a) Obter a velocidade instantânea da partícula
para t = 1seg.
b) Obter a aceleração instantânea para t = 1seg.
7. Um corpo se desloca sobre uma linha reta, de
modo que a equação horária do espaço s é
s(t) = 6t3 – 2t + 3, com s em quilômetros e t em
horas.
a) Qual é a equação horária da aceleração
instantânea desse corpo?
b) Qual é a aceleração instantãnea desse
corpo no instante t = 2h?0
8. Considere as funções f e g dadas por
f(x) = x2 – cos x e g(x) = sen x + x. Calcule o 
valor da expressão . 
9. Considere f(x) = 2x3 – 15x2 + 36x – 7 e
g(x) = x3 – 6x2 + 11x – 6 e determine
f’(0) – 2 . g’(1). 
Cálculo I – Derivada
54
UEA – Licenciatura em Matemática
c) Derivada do produto
f(x) = u(x).v(x) ⇒ f’(x) = u’(x).v(x)+u(x).v’(x) 
d) Derivada do quociente
Sejam u e v funções deriváveis em um inter-
valo aberto I. Para todo x, x∈I e v(x) ≠ 0,
tem-se que:
Obs.: As demonstrações b, c e d ficam para
você fazer como exercícios.
10.3 OUTRAS DERIVADAS
a) f(x) = tg x ⇒ f’(x) = sec2 x
b) f(x) = cot gx ⇒ f’(x) = –cos sec2 x
c) f(x) = sec x ⇒ f’(x) = sec x . tg x
d) f(x) = cossec x ⇒ f’(x) = –cosssec x . cot gx
Obs.: Faça as demonstrações como exercícios.
1. Determinar a derivada da função f(x) = x5 . sen x.
Solução:
u(x) = x5 ⇒ u’(x) = 5x4
v(x) = sen x ⇒ v’(x) = cos x
f’(x) = u’(x) . v(x) + u(x) . v’(x)
f’(x) = 5x4 . sen x + x5 . cos x
2. Determinar a derivada da função f(x) = (x4+8)ln x
Solução:
3. Determinar a derivada da função .
Solução:
u(x) = 3 ⇒ u’(x) = 0
v(x) = sen x ⇒ v’(x) = cos x
10.5 DERIVABILIDADE E CONTINUIDADE
Uma função real y = f(x) é denominada função
derivável no ponto x0 quando existe (finita) a
derivada f’(x0). Quando f é derivável em todos
os pontos do seu domínio, dizemos que ela é
uma função derivável.
Propriedade:
Se a função f é derivável no ponto x0, então f é
contínua em x0.
Demonstração:
Provar que f é contínua em x0 significa provar
que limΔ→x0
f(x) = f(x0)
Admitindo que é derivável em x0, existe:
Então:
lim
x→x0
f(x) = lim
x→x0
f(x) =[f(x) – f(x0) + f(x0)]
lim
x→x0
f(x) = 0 + f(x0) = f(x0)] e fica provado que,
existindo f’(x0), f é contínua em x0.
A recíproca desta propriedade não é ver-
dadeira. Podemos ter uma função contínua em
x0, mas não derivável em x0. É o que ocorre
quando o gráfico tem um “bico” em x = x0
Exemplo:
Mostrar que f (x) = |x| não é derivável em x = 0
55
SOLUÇÃO
Mas
e
Como os limites laterais são diferentes, não
existe f´(0). Portanto f não é derivável em x= 0,
entretanto f é contínua em x = 0.
Reconhecimento prático
a) Uma função é contínua nos pontos em que
não há “salto” nem “furo” no gráfico.
b) Uma função é derivável nos pontos em que
é contínua e existe uma reta tangente ao
gráfico, não perpendicular ao eixo x. Num
ponto em que há um “bico” no gráfico, a
função é contínua, mas não derivável.
1. Observando o gráfico ao lado de uma função f
definida em IR, responda se f é contínua e/ou
derivável em cada ponto seguinte:
a) x = 0 b) x = 1 
c) x = 2 d) x = 3
2. Obtenha a equação da reta tangente ao gráfi-
co de y = tgx no ponto de abscissa .
3. Dada a função de f:
a) f(x) = 2x4 – 3x2 + 4, calcule f´(1)
b) , calcule f’(3)
4. A derivada da função no ponto de
abscissa x = 2 é: 
a) 2 b) 3 
c) 4 d) 0 
e) 1
5. A derivada da função f (x) = tgx, calculada no 
ponto de abscissa vale:
a) 1 
b) 2 
c)
d) 
e) 0
6. Sendo g: IR → IR tal que g(x) = x5, obtenha:
a) g’(2);
b) a equação da reta tangente ao gráfico de g
no ponto de abscissa 2.
7. Encontre a derivada de cada uma das se-
guintes funções:
a) a(x) = x5 + x4 + 2
b) a(x) = x5 + x4 + 2
c) c(x) = x5 ln x
d) d(x) = (x2 + 3) sen x
e) e(x) = x5 sen x cos x
f) f(x) = 9x4
g) g(x) = 12x5 – 3x4 + 2x + 4
h) h(x) = log5 x
i) i(x) = 6log2 x
j)
Cálculo I – Derivada
56
UEA – Licenciatura em Matemática
k)
l)
m)
8. Seja f(x) = x2 – x. Determine as equações das
retas tangentes e normal no ponto de abscissa 0.
9. Determine as equações das retas tangente e
normal ao gráfico da função dada, no ponto
dado.
a) f(x) = x2 – 3x, no ponto de abscissa 0. 
b) , no ponto de abscissa 8. 
c) , no ponto de abscissa 1. 
10. Seja f(x) = x2. Determine a equação da reta
que é tangente ao gráfico de f e paralela à reta 
.
TEMA 11
A REGRA DA CADEIA
11.1 Introdução
Sejam g e f duas funções deriváveis nos pon-
tos x e u, respectivamente. Então:
A derivada da função composta (fog)(x) é
dada por:
(fog)’(x) = g’(x) . f’(x) ou em que
y = f(u) e u = g(x)
Exemplos:
• Determinar a derivada das seguintes
funções:
a) f(x) = (x2 + x)3
b) f(x) = cos 3x
Solução:
a) u = g(x) = x2 + x e f(u) = u3
g’(x) = 2x + 1 e f’(u) = 3u2 = 3(x2 + x)2
Como f’(x) = g’(x) . f’(u)
f’(x) = (2x + 1) . 3(x2 + x)2
b) u = g(x) = 3x e f(u) = cos u
g’(x) = 3 e f’(u) = –sen u = –sen 3x
f’(x) = g’(x) . f’(u) = 3(–sen 3x)
f’(x) = –3sen 3x
1. REGRAS DE DERIVAÇÃO
Decorreram pela regra da cadeia as seguintes
regras de derivação, em que v(x) é uma função
real derivável:
57
Matemática Elementar II – Conjuntos Numéricos
2. DERIVADAS SUCESSIVAS
Seja f (x) a função cuja derivada primeira é f´(x).
Se f´(x) admite, também, a derivada f”(x), essa
recebe o nome de derivada segunda de f (x).
E assim por diante, define-se derivada terceira,
derivada quarta e derivada n-ésima da função f(x).
Exemplo:
Seja f(x) = 2x5. Então, temos:
f’(x) = 10x4
f’’(x) = 40x3
f’’’(x) = 120x2
f(4)(x) = 240x
f(5)(x) = 240
f(6)(x) = 0
................
f(n)(x) = 0, ∀n ≥ 6
1. Obter a equação da aceleração de uma par-
tícula que se movimenta segundo a lei horária
S = 2t2 + 4t + 5.
Solução:
S = f(t) = 2t2 + 4t + 5
v = f’(t) = 4t + 4
a = f”(t) = 4 (aceleração constante)
2. Determinar as equações da velocidade e da
aceleração de uma partícula em movimento
harmônico simples cuja posição é dada por 
SOLUÇÃO
3. DERIVADA DA FUNÇÃO INVERSA
Se f é uma função que admite inversa e é
derivável no ponto x, com f(x) ≠ 0, então:
Ou seja, se a função é representada por y =
y(x), a sua inversa será dada por x = x (y). E,
assim:
Se x = x(y), então .
CONSEQUÊNCIAS:
1. DERIVADA DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA
2. DERIVADA DA FUNÇÃO POTÊNCIA COM
EXPOENTE REAL
y = xα ⇒ y’ = α . xα−1 ; α∈IR e x > 0
3. DERIVADA DA FUNÇÃO arc sen
4. DERIVADA DA FUNÇÃO arc cos
Cálculo I – Derivada
58
UEA – Licenciatura em Matemática
5. DERIVADA DA FUNÇÃO arc tg
Exemplo:
• Se f(x) = 3x – 6, determine (f–1)’(y)
Solução:
f(x) = 3x – 6 ⇒ f’(x) = 3
(f–1)(x) = x + 2 ⇒ (f–1)(x) = 
Então
• Se y = x2, determine a derivada da sua inversa.
Solução:
• Se f(x) = 2x + 1, determine (f–1)’(y)
SOLUÇÃO
y = f(x) = 2x + 1 ⇒ y’ = f’(x) = (2x + 1)’ = 2
Portanto
1. Obtenha a derivada de cada uma das
seguintes funções:
a) f(x) = cos 2x
Solução
y = f(x) = 2x e z = g(y) = cos y
y’ = f’(x) = 2 e z’ = g’(y) = –sen y
f’(x) = g’(y) . f’(x) = (–sen y) . 2 = –2sen 2x 
b) F(x) = (x2 + 1)10
Solução
y = f(x) = x2 + 1 e z = g(y) = y10
y’ = f’(x) = 2x e z’ = g’(y) = 10y9
F’(x) = g’(y) . f’(x) = 10y9 . 2x = 20x(x2 + 1)9
2. Determine a função derivada das seguintes
funções:
a) f(x) = logx
2
SOLUÇÃO
b) f(x) = logcos x
2
SOLUÇÃO
f(x) = logcos x
2
c) f(x) = arc sen x2
SOLUÇÃO
y = x2 e z = arc sen y
3. Calcular as derivadas sucessivas de:
a) f(x) = 3x2 + 5x + 6
b) f(x) = sen 2x
SOLUÇÃO
a) f(x) = 3x2 + 5x + 6f’(x) = 6x + 5
f”(x) = 6
f’”(x) = f(“)(x) = ... = 0
b) f(x) = sen 2x
f’(x) = 2 . cos 2x
f”(x) = –4 . sen 2x 
f”’(x) = –8 cos 2x 
1. Dada f(x) = sen x, calcule 
, onde f(4) indica
a derivada quarta de f.
59
2. Obtenha a equação da reta tangente ao gráfi-
co de y = tgx no ponto de abscissa .
3. A derivada da função f (x) = tgx, calculada no 
ponto de abscissa vale:
a) 1 
b) 2 
c)
d)
e) 0
4. Sabe-se que a metade dos produtos exportados
pelo Brasil vem de recursos naturais. A derivada
primeira da função E(x) = 4x3 – 3x2 + 5x – 4,
para x = 2 equivale à porcentagem dos produ-
tos primários (café, minério de ferro, etc.), que
é de:
a) 36 %
b) 38 %
c) 41 %
d) 49 %
5. Determine as derivadas das seguintes funções:
a)
b) y = f(x) = arc tg x
c)
d) y = f(x) = arc sen x
e) y = f(x) = arc cos x
6. Calcule o valor da segunda derivada de 
f(x) = cos 3x no ponto .
7. Determine a derivada de f(x) = senx3 . tg x.
8. Obtenha o coeficiente angular e a equação da
reta tangente à curva f(x) = ln(x2 – 3), no ponto
de abscissa x0 = 2.
9. Um móvel efetua um movimento retilíneo uni-
formemente variado obedecendo à equação
horária s = 6 – 10t + 4t2, em que o espaço s é
medido em metros e o instante t em segundos.
A velocidade do móvel no instante t = 4 s, em
m/s, vale:
a) –10 m/s
b) 0 m/s
c) 10 m/s
d) 22 m/s 
e) 32 m/s 
10. Chama-se custo marginal de produção de um
artigo o custo adicional para se produzir um
artigo além da quantidade já prevista. Na práti-
ca, a função custo marginal é a derivada da
função custo. Uma fábrica de sapatos tem um
custo para produzir x sapatos dado por
C (x) = 3000 + 25 x, com C em reais.
Qual é o custo marginal que essa fábrica terá
para produzir mais um sapato?
11. Uma fábrica de componentes eletrônicos tem
um custo para produzir x componentes dado 
por , com c em
reais. Qual é o custo marginal que essa fábri-
ca tem para produzir mais um componente
quando x = 0, x = 100, x = 400 e x = 800 ? 
12. Uma partícula movimenta-se sobre uma reta, e
a lei horária do movimento é dada por
s = 2t2 – 5t – 2 (SI). A aceleração escalar do
movimento é:
a) 2m/s2
b) 4m/s2
c) –5m/s2
d) –7m/s2
e) zero
Cálculo I – Derivada
60
UEA – Licenciatura em Matemática
TEMA 12
ESTUDO DO SINAL DE UMA FUNÇÃO
12.1 OS SINAIS DA DERIVADA PRIMEIRA
Consideremos uma função real f definida num
domínio D, tal que f é derivável em D. 
Os sinais da função derivada f´estão relaciona-
dos ao crescimento ou decrescimento de f. E
valem as seguintes propriedades:
I) Se f´(x) é positiva para todo x de um inter-
valo I, então f é crescente em I.
f’(x0) = tg α > 0 f’(x1) = tg β > 0
f’(x0) = tg α > 0 f’(x1) = tg β > 0
f’(x) > 0, ∀x ∈ I ⇒ f é crescente em I.
II) Se f’(x) é negativa para todo x de um inter-
valo I, então f é decrescente em I.
f’(x0) = tg α < 0 f’(x1) = tg β < 0
f’(x0) = tg α < 0 f’(x1) = tg β < 0
f’(x) < 0, ∀x ∈ I ⇒ f é decrescente em I.
Suponhamos f derivável num intervalo aberto
contendo x0 e que f’(x0) = 0.
A reta tangente ao gráfico de f no ponto de
abscissa x0 tem coeficiente angular m = f’(x0),
portanto é paralela ao eixo x. 
a) 
f cresce antes de x0 e decresce depois de
x0. Nesse caso, x0 é ponto de máximo local.
b)
f decresce antes de x0 e depois cresce de
x0. Nesse caso, x0 é ponto de mínimo local.
c)
f cresce antes e depois de x0. Nesse caso,
x0 é um ponto de Inflexão de f.
d)
f decresce antes e depois de x0. Nesse
caso, x0 é ponto de inflexão de f.
Conclusão:
• Num intervalo em que f’(x) > 0, f é cres-
cente.
• Num intervalo em que f’(x) < 0, f é decres-
cente.
• Os pontos em que f’(x) = 0 podem ser de
máximo ou de mínimo ou de inflexão. Esses
pontos são chamados pontos críticos de f.
Exemplo:
Determinar os pontos críticos e estudar a vari-
ação da função f(x) = x3 – 3x, x∈IR.
Esboçar o gráfico.
Solução:
f(x) = x3 – 3x ⇒ f’(x) = 3x2 – 3 
f’(x) = 0 ⇔ x = ±1 (pontos críticos)
Gráfico de f
f(x) = x3 – 3x, x∈IR
x = –2 ⇒ f’(–2) > 0
x = 0 ⇒ f’(0) < 0
x = 2 ⇒ f’(2) > 0
Conclusão:
f é crescente nos intervalos ]–∞,1] e ]1,+∞] e é
decrescente em [–1;1]. Os pontos críticos são
x = –1, ponto de máximo local, e x = 1, ponto
de mínimo local.
12.2 OS SINAIS DA DERIVADA SEGUNDA
Consideremos uma função real f, definida num
domínio D, tal que f é derivável até a segunda
61
Cálculo I – Derivada
ordem em D, isto é, existem f´(x) e f”(x) em D.
Os sinais da derivada segunda f”(x) estão rela-
cionados à concavidade do gráfico de f.
Propriedades:
I) Se f”(x) é positiva para todo x de um inter-
valo I, então f é côncava para cima em I.
Concavidade para cima: pontos do gráfico
ficam acima das retas tangentes
tg α < tg β < tg y 
f’(x1) < f’(x2) < f’(x3)
f’(x) é crescente
f”(x) > 0
f”(x) > 0, ∀x ∈ I ⇒ f côncava para cima em I
II) Se f”(x) é negativa para todo x de um inter-
valo I, então f é côncava para baixo em I.
Concavidade para baixo: pontos do gráfico
ficam abaixo das retas tangentes. 
tg α > tg β > tg y 
f’(x1) > f’(x2) > f’(x3) 
f’(x) é decrescente
f”(x) < 0
f”(x) < 0, ∀x ∈ I ⇒ f côncava para baixo em I
Pontos de Inflexão – São os pontos em que f
muda de concavidade . Num ponto de inflexão,
a reta tangente ao gráfico corta a curva.
Ponto de Inflexão: f muda de concavidade 
A reta tangente corta o gráfico
f”(x0) = 0 e f’(x0) = tg α ≠ 0
Ponto de Inflexão horizontal – a reta tangente
é paralela ao eixo x.
f”(x0) = 0 e f’(x0) = 0
62
UEA – Licenciatura em Matemática
• Um ponto x0 em que f”(x0) = 0 e f” muda de
sinal (antes e depois de x0) é um ponto de
inflexão de f. Se também f’(x0) = 0, dizemos
que é um ponto de inflexão horizontal, pois
a reta tangente é paralela ao eixo x.
• Se f”(x0) = 0 mas f” não muda de sinal
(antes e depois de x0), então f não muda de
concavidade em x0; portanto, nesse caso, x0
não é ponto de inflexão.
Exemplos:
1. Determinar os pontos de inflexão e estudar a 
concavidade da função .
Solução:
f”(–1) = –2 < 0
f”(1) = 2 > 0
x = 0 ponto de inflexão. A função é côncava para
baixo em ]–∞;0] e côncava para cima em ]0;+∞;].
2. Determinar os pontos de inflexão e estudar a 
concavidade de .
Solução:
Não há ponto de inflexão. A função é côncava
para cima em todo domínio IR.
Gráfico de f
12.3 MÁXIMOS E MÍNIMOS
Cálculo de valores máximos ou mínimos de
funções reais, que podem ser determinados
pela análise dos sinais da derivada primeira f´.
Outro recurso que pode ser empregado na
identificação de pontos de máximos ou de mí-
nimos é analisar o sinal da derivada segunda
nos pontos que anulam a derivada primeira.
Se f’(x0) = 0 e f”(x0) > 0, então a reta tangente
ao gráfico de f em x0 é paralela ao eixo x, e f tem
concavidade positiva próximo de x0, portanto a
63
Cálculo I – Derivada
reta tangente deixa os pontos do gráfico acima
dela, logo x0 é um ponto de mínimo relativo de f.
Ponto de mínimo: t//x; concavidade para cima 
Ponto de máximo: t//x; concavidade para baixo
Conclusão:
f’(x0) = 0 e f”(x0) > 0 ⇒ x0 é ponto de mínimo
de f.
f’(x0) = 00 e f”(x0) < 0 ⇒ x0 é ponto de máximo
de f.
Obs.: Se f’(x0) = 0 e f”(x0) = 0, não podemos
tirar conclusão a respeito do ponto x0. Neste
caso, convém analisar os sinais de f´antes e
depois de x0. Pode ocorrer que x0 seja ponto
máximo, ou de mínimo ou de inflexão.
Exemplo:
Indentificar os pontos críticos da função 
f(x) = x6 – 6x2 + 4, x∈IR
Solução:
f(x) = x6 – 6x2 + 4 ⇒ f(x) = 6x5 – 12x ⇒
f”(x) = 30x4 – 12
Aplicar os critérios dos sinais da derivada
segunda nos pontos críticos:
Para x = 0 ⇒ f”(x) < 0. Então, x = 0 é ponto de
máximo local