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CÁCULO I

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frações 
parciais e , respectivamente.
Portanto a decomposição em frações parciais
tem a forma .
Multiplicando pelo mínimo denominador co-
mum, obtemos 
4x2+13x – 9 = A(x+3)(x – 1)+Bx(x – 1)+Cx(x+3)
(*)
Em casos como este, em que os fatores são
todos lineares e não-repetidos, os valores de
A, B e C podem ser obtidos pela substituição
de x por valores que anulem os vários fatores. 
Fazendo x = 0 em (*), obtemos
–9 = –3A ou A = 3
Fazendo x = 1 em (*), obtemos 
8 = 4C ou C = 2
Finalmente, se x = –3 em (*), temos 
–12 = 12B ou B = –1
A decomposição em frações parciais é, pois, 
Cálculo I – Integrais
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UEA – Licenciatura em Matemática
Integrando e denotando por K a soma das
constantes de integração, temos 
= 3ln|x|–ln|x + 3|+2ln|x – 1|+k
= ln|x3|–ln|x + 3|+ln|x – 1|2+k
Outra técnica para determinar A, B e C é desen-
volver o membro direito de (*) e agrupar os ter-
mos de mesma potência de x, como segue: 
4x2 + 13x – 9 = (A + B + C)x2 + (2A – B + 3C)x – 3A
Valemo-nos, agora, do fato que, se dois
polinômios são iguais, então os coeficientes de
iguais potências de x são os mesmos. É con-
veniente dispor nosso trabalho da seguinte
maneira, a qual chamamos comparação de
coeficientes de s. 
Coeficientes de x2: A + B + C = 4
Coeficientes de x: 2A – B + 3C = 13
Termos constantes: –3A = –9
Pode-se verificar que a solução deste sistema
de equações é
A = 3, B = –1 e C = 2
2. Calcular 
Solução:
Pela Regra a), há uma fração parcial da forma 
que corresponde ao fator x + 1 no
denominador de integrando. Para o fator
(x – 2)3 aplicamos a Regra a) (com m = 3),
obtendo uma soma de três frações parciais 
e .
Conseqüentemente, a decomposição em fra-
ções parciais tem a forma 
Multiplicando ambos os membros por
(x + 1)(x – 2)3, obtemos:
(*) 
Duas das constantes incógnitas podem ser
determinadas facilmente. Fazendo x = 2 em
(*), obtemos 6 = 3D ou D = 2
Da mesma forma, fazendo x = –1 em (*), obte-
mos –54 = –27A ou A = 2
As demais constantes podem ser obtidas por
comparação dos coeficientes. Atentando para
o membro direito de (*), vemos que o coefi-
ciente de x3 é A + B. Este coeficiente deve ser
igual ao coeficiente de x3 à esquerda. Assim,
por comparação:
coeficientes de x3: 3 = A + B
Como A = 2, segue–se que B = 1
Finalmente, comparamos os termos cons-
tantes de (*) fazendo x = 0 o que nos dá:
termos constantes: – 4 = –8A + 4B – 2C + D
Levando os valores já achados para A, B e D
na equação precedente, temos 
– 4 = –16 + 4 – 2C + 2 
que tem a solução C = 3. A decomposição em
frações parciais é, portanto, 
Para obter a integral dada, integramos cada
uma das frações parciais do membro direito da
última equação, obtendo 
com k igual à soma das quatro constantes de
integração. Este resultado pode ser escrito na
forma 
105
3. Calcular 
Solução:
O denominador pode ser fatorado como se-
gue: 
2x3–x2+8x–4=x2(2x–1)+4(2x–1)=(x2+4)(2x–1)
Aplicando a Regra b) ao fator quadrático irre-
dutível x2 + 4, vemos que uma das frações par-
ciais tem a forma . Pela Regra a), há
também uma fração parcial correspon-
dente ao fator 2x – 1. Conseqüentemente, 
Tal como em exemplos anteriores, isso conduz
a (*) 
x2 – x – 21 = (Ax + B)(2x – 1)+ C(x2+4)
Pode-se achar facilmente uma constante. 
Fazendo em (*), obtemos 
ou C = –5
As demais constantes podem ser achadas por
comparação de coeficientes de x em (*): 
Coeficientes de x2: 1 = 2A + C
Coeficientes de x: –1 = –A + 2B 
Termos constantes: –21 = –B + 4C 
Como C = –5, segue-se de 1 = 2A + C que
A = 3. Da mesma forma, utilizando os coefi-
cientes de x com A = 3, temos –1 = –3 + 2B
ou B = 1. Assim, a decomposição do integran-
do em frações parciais é 
Pode-se, agora, calcular a integral dada inte-
grando o membro direito da última equação, o
que nos dá 
4. Calcular 
Solução:
Aplicando a Regra b, com n = 2, temos: 
Multiplicando pelo menor divisor comum
(x2 + 1)2 temos:
5x3 – 3x2 + 7x – 3 = (Ax + B)(x2 + 1)+ Cx + D
5x3 – 3x2 + 7x – 3 = Ax3 + Bx2 +(A + C)x +(B + D)
Em seguida, comparamos os coeficientes:
Coeficientes de x3: 5 = A
Coeficientes de x2: –3 = B
Coeficientes de x: 7 = A + C
Termos constantes: –3 = B + D
Temos, assim, A = 5, B = –3, C = 7 – A = 2 e
D = –3 – B = 0.
Portanto
Integrando, vem
1. Calcule:
a)
b)
c)
d)
Cálculo I – Integrais
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UEA – Licenciatura em Matemática
e)
f)
g)
h)
2. Calcule:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
20.3 Integrais que envolvem expressões 
quadráticas
A decomposição em frações parciais pode con-
duzir a integrandos que contêm uma expres-
são irredutível como ax2 + bx + c . Se b ≠ 0,
é necessário, às vezes, completar o quadrado
como segue:
A substituição pode conduzir a uma
forma integrável.
Calcular .
Solução:
A expressão quadrática x2 – 6x + 13 é irredutí-
vel, pois b2 – 4ac = –16 < 0. Completamos o
quadrado como segue:
x2 – 6x + 13 = (x2 – 6x) + 13
(x2 – 6x + 9) + 13 – 9 = (x – 3)2 + 4
Assim,
Fazemos, agora, uma substituição:
u = x – 3, x = u + 3, dx = du
Então, 
1. Calcule:
a)
b)
c)
d) 
e) 
f)
20.4 Aplicações da integral
Exemplos: 
1. Joga-se uma pedra verticalmente para cima de
um ponto situado a 45m acima do solo e com
velocidade inicial de 30m/s. Desprezando a re-
sistência do ar, determine: 
107
a) A distância da pedra ao solo após t segun-
dos.
b) O intervalo de tempo durante o qual a pedra
sobe.
c) O instante em que a pedra atinge o solo, e
a velocidade nesse instante.
Solução:
O movimento da pedra pode ser representado
por um ponto numa coordenada vertical l com
origem no solo e direção positiva para cima
(veja a figura abaixo).
a) A distância da pedra ao solo no instante t é
s(t), e as condições iniciais são s(0) = 45 e
v(0) = 30. Como a velocidade é decres-
cente, v’(t) < 0, isto é, a aceleração é nega-
tiva. Logo, 
a(t) = v’(t) = –9,8
∫v’(t)dt = ∫–9,8dt
v(t) = –9,8t + C para algum C. 
Substituindo t por 0 e em vista do fato de que
v(0) = 30 e, conseqüentemente, 
v(t) = –9,8 + 30
Como s’(t) = v(t), obtemos s’(t) = –9,8t + 30
∫ s’(t)dt = ∫(9,8t + 30)dt
s(t) = –4,9t2 + 30t + D para algum D.
Fazendo t = 0, e como s(0) = 45, temos
45 = 0 + 0 + D ou D = 45. Segue-se que a
distância do solo à pedra no instante t é
dada por 
s(t) = –4,9t2 + 30t + 45
b) A pedra subirá até que v(t) = 0, isto é, até
que – 9,8 + 30 = 0 ou t ≈ 3.
c) A pedra atingirá o solo quando s(t) = 0, isto
é, quando – 4,9t2 + 30t + 45 = 0 
ou 
4,9t2 – 30t – 45 = 0 
donde t = –1,24 ou t = 7,36.
A solução –1,24 é estranha, pois t é não-
negativo. Resta t = 7,36s, que é o tempo
após o qual a pedra atinge o solo. A veloci-
dade, nesse instante, é:
v = (7,36) = –9,8(7,6) + 30 ≈ –42,13m/s
Nas aplicações à economia, se se conhece
uma função marginal, então podemos usar
a integração indefinida para achar a função,
conforme próximo exemplo. 
2. Um fabricante constata que o custo marginal
(em reais) da produção de x unidades de uma
componente de copiadora é dado por
30 – 0,02x. Se o custo da produção de uma
unidade é R$ 35,00, determine a função-custo
e o custo de produção de 100 unidades. 
Solução:
Se C é a função-custo, então o custo marginal
é a taxa de variação de C em relação a x, isto é,
C’(x) = 30 – 0,02x
Logo,
∫C’(x)dx = ∫(30 – 0,02x)dx
e
∫C(x) = 30x = –0,01x2 + k para algum k. 
Com x = 1 e C(1) = 35, obtemos 
35 = 30 – 0, 01 + k ou k = 5,01
Conseqüentemente, C(x) = 30x – 0,01x2 + 5,01.
Em particular, o custo da produção de 100
unidades é C(100) = 3.000 – 100 + 5,01 =
R$ 2.905,01
3. Na comercialização, em reais, de um certo pro-
duto, a receita marginal é dada por
R’(q) = –20q + 200, e o custo