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CÁCULO I

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= 2 e limx→1− f(x) = limx→1− x
2 = 1.
1. Calcule, caso exista. Se não existir, justifique.
a) 1
b) n
c) 1
d) n
2. Dada a função , verifique que
lim
x→1+ f(x) = limx→1− f(x).
TEMA 03
CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO
3.1 Introdução
Dizemos que uma função f(x) é contínua num
ponto a do seu domínio se as seguintes
condições são satisfeitas:
∃f(a)
∃lim
x→a f(x)
lim
x→a f(x) = f(a)
3.2 Propriedade das funções contínuas
Se f(x) e g(x)são contínuas em x = a, então:
f(x) ± g(x) é contínua em a; 
f(x) . g(x) é contínua em a; 
f(x)
g(x) é contínua em a (g(a) ≠ 0).
3.3 Generalização sobre continuidade de uma
função
Dizer que uma função f é contínua em um
ponto a significa que f(a) existe e que f leva
pontos “próximos” de a em pontos “próximos”
de f(a). Isso pode ser resumido precisamente
na seguinte definição: 
Definição:
Uma função f : B → é contínua em um ponto
a∈B se, dado ε, existe δ > 0 de modo que 
x∈B, |x – a| < δ ⇒ |f(x) – f(a)| < ε.
Note que, se o domínio de f for um intervalo,
B=(b,c), b<c, a definição está exigindo as três
seguintes condições: 1) a∈B; 2) existe lim
x→a f(x) e
3) lim
x→a f(x) = f(a). 
3.4 O teorema de Weierstrass
Toda função contínua num intervalo fechado
[a,b] assume um máximo e um mínimo em
[a,b].
Entretanto é importante observar que ele ga-
rante que uma função, sendo contínua num in-
tervalo fechado, certamente admitirá ponto de
extremo, tanto máximo como mínimo, poden-
29
Cálculo I – Limites 
do ser interior ao intervalo ou em qualquer das
extremidades. 
à 
Observação:
No gráfico, observamos que a função admite
um ponto de máximo local e um ponto de mí-
nimo local, ambos interiores ao intervalo. 
Entretanto o ponto de máximo global da fun-
ção ocorre na extremidade b, e o ponto de
mínimo global ocorre na extremidade a do in-
tervalo.
Também é conveniente observar que o Teo-
rema só vale se a função é contínua num inter-
valo fechado. Se a continuidade for num inter-
valo aberto, não é possível garantir a existência
de máximo e mínimo globais.
Exemplos:
1 Consideremos 
à 
medida que x se
aproxima de 2. Neste caso, f(x) está definido
em 2 e é igual ao seu limite: 0.4, vejamos:
À medida que x aproxima–se de 2, f(x) aproxi-
ma–se de 0.4 e consequentemente temos a
igualdade lim
x→ 2 f(x) = 0.4. Sempre que se veri-
fique a igualdade f(c) = lim
x→ c f(x), diz–se que f é
contínua em x = c. A igualdade não é válida
para todas as funções. 
2. Vejamos a função:
à 
O limite de g(x) à medida que x se aproxima de
2 é 0.4 (tal como em f(x)), mas lim
x→ 2 g(x) ≠ g(2) e
consequentemente g não é contínua em x = 2.
3. a função f(x) = 2x + 1 definida em IR é con-
tínua em 1, pois 
Notemos que f é contínua em IR, pois para
todo a ∈ IR, temos: 
4. A função definida em IR é
descontínua em 1, pois 
Observemos que f é contínua em IR – {1} pois,
para todo a IR – {1}, temos:
5. Dada a função , verificar se
existe algum ponto de descontinuidade .
Como lim
x→ 3 f(x) = limx→ 3 (x + 1) = 4; limx→ 3+ f(x) =
= lim
x→ 3 4 = 4 e f(3) = 4 temos que limx→ 3 f(x) = f(3)
o que implica que a função é contínua no ponto
x = 3.
Para k ≤ 3, lim
x→ k f(x) = limx→ k (x + 1) =
lim
x→ k x + limx→ k 1 = k + 1 e f(k) = k + 1
Para k > 3, lim
x→ k f(x) = limx→ k 4 = 4 e f(k) = 4 
Então, f é contínua em IR e não há ponto de
descontinuidade.
Em geral, restringimos a análise aos valores de
x que não verificam as condições de existência
de f ou que “quebram” o domínio de f (neste
exemplo, x = 3).
6. Verifique se a função é contínua
em x = 3.
Cálculo de f(3):
Cálculo de lim
x® 3
f(x) =
Como lim
x® 3
f(x) = f(3), f(x) é contínua em x = 3
Verifique se a função f é contínua no ponto
especificado.
1.
2.
3.
4.
5.
TEMA 04
PROPRIEDADES DOS LIMITES
4.1 Introdução
Muitas funções do Cálculo podem ser obtidas
como somas, diferenças, produtos, quocientes
e potências de funções simples. Introduzire-
mos propriedades que podem ser usadas para
simplificar as funções mais elaboradas. Em
todas as situações abaixo, consideraremos
x→a.
• Se f(x) = C onde C é constante, então
Lim f(x) = Lim C = C.
• Se k e b são constantes e f(x) = kx+b,
então Lim f(x) = Lim (kx+b) = ka+b.
• Se f e g são duas funções, k uma constante,
A e B números reais e além disso Lim
f(x)=A e Lim g(x)=B, então:
(1) Lim(f ± g)(x)=[Lim f(x)]±[Lim g(x)] = A ± B
(2) Lim(f·g)(x) = [Lim f(x)]·[Lim g(x)] = A·B
(3) Lim(k·f)(x) = k·Lim f(x) = k·A
(4) Lim(f)n(x) = (Lim f(x))n = An
(5) Lim(f÷g)(x) = [Lim f(x)]÷[Lim g(x)] = A÷B,
se B é não nulo.
(6) Lim exp[f(x)]= exp[Lim f(x)] = exp(A)
• Se acontecer uma das situações abaixo:
Lim f(x) = 0.
Lim f(x)>0 e n é um número natural.
Lim f(x)<0 e n é um número natural ímpar.
Então:
Exemplos:
1.
2.
3.
4.
30
UEA – Licenciatura em Matemática
31
Cálculo I – Limites 
5.
6.
7.
8.
Observações sobre as propriedades:
As propriedades que valem para duas funções,
valem também para um número finito de fun-
ções.
As propriedades 3–1, 3–2 e 3–5 estabelecem
que, se existem os limites das parcelas, então
existirá o limite da operação, mas a recíproca
deste fato não é verdadeira, pois o limite de
uma operação pode existir sem que existam os
limites das parcelas.
4.2 Teoremas importantes
Teorema do anulamento – Se f é uma função
limitada e g é uma função tal que Lim g(x) = 0,
quando x→a, então: Lim f(x)·g(x) = 0.
Esse resultado é útil para podermos obter cál-
culos com limites.
Teorema do Confronto (regra do sanduiche)
– Se valem as desigualdades f(x)< g(x) < h(x)
para todo x em um intervalo aberto contendo a,
exceto talvez em x = a e se Lim f(x) = L = Lim
h(x), então Lim g(x) = L.
Generalização:
Sejam f, g, h : B → tais que f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)
x∈B, e lim
x→a f(x) = limx→a h(x) = . Então limx→a g(x) = .
O gráfico de g fica "preso'' entre os de f e h,
como mostra a figura abaixo.
Demonstração:
Seja ε > 0 um número qualquer. Como
lim
x→a f(x)= limx→a h(x)= , existem δ1,δ2>0 de modo que
x∈A, 0<|x – a|<δ1 ⇒ – ε < f(x) < + ε,
x∈A, 0<|x – a|<δ2 ⇒ – ε < f(x) < + ε,
Logo, se δ: = min{δ1,δ2} > 0 e se x∈A, a
condição 0 < |x – a| < δ implica 
ε < f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) < + ε,
Donde |g(x) – | < ε, ou seja, lim
x→a g(x) = . 
Exemplo – Se para x próximo de 0, vale a
relação de desigualdades cos(x) < sen(x)/x <
1 então, quando x→0:
1 = Lim cos(x) < Lim sen(x)/x < Lim 1 = 1
Observações – Todas as propriedades vistas
para o cálculo de limites são válidas também
para limites laterais e para limites no infinito.
Quando, no cálculo do limite de uma função,
aparecer uma das sete formas, que são deno-
minadas expressões indeterminadas,
nada se poderá concluir de imediato sem um
estudo mais aprofundado de cada caso.
Exemplo:
Seja f uma função e suponha que para todo x
tenhamos |f(x)| ≤ x2.
a) Calcule, caso exista, lim
x→ 0 f(x);
b) f é contínua em x = 0? Por quê?
Solução:
a) |f(x)| ≤ x2 ⇔ –x2 ≤ f(x) ≤ x2 
Como lim
x→ 0 f(–x
2) = 0 = lim
x→ 0 x
2, segue, do teo-
rema do confronto, que lim
x→ 0 f(x) = 0.
b) Segue de (a) que f será contínua em 0 se
f(0)=0. Pela hipótese, |f(x)| ≤ x2 para todo
x, logo, |f(0)| ≤ 0e, portanto, f(0)=0. Assim,
lim
x→ 0 f(x) = 0 = f(0), ou seja, f é contínua em 0.
1. Calcular .
Como as funções f(x) = x2 – 9 e g(x) = x – 3 se
anulam para x = 3, cairemos na expressão e
nada poderemos concluir. Assim, devemos sim-
plificar a fração, eliminando a indeterminação.
Logo, 
2. Calcular .
Nesse caso, devemos multiplicar e dividir a
fração pelo conjugado do numerador.
3. Calcular .
4. Calcular .
1. Calcule lim
x→ 1 (log 10x).
a) 0 b) 1
c) 2 d) 3
e) 4
2. Determine o Valor de .
a) 1/5