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CÁLCULO II - Funções de Várias Variáveis

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CálculoII
Agnaldo Souza Pereira
Cláudio Barros Vitor
Jefferson Pereira de Oliveira
Manaus 2007
º4.
Período
FICHA TÉCNICA
Governador
Eduardo Braga
Vice–Governador
Omar Aziz
Reitora
Marilene Corrêa da Silva Freitas
Vice–Reitor
Carlos Eduardo S. Gonçalves
Pró–Reitor de Planejamento 
Osail de Souza Medeiros
Pró–Reitor de Administração 
Fares Franc Abinader Rodrigues
Pró–Reitor de Extensão e Assuntos Comunitários
Rogélio Casado Marinho
Pró–Reitora de Ensino de Graduação
Edinea Mascarenhas Dias
Pró–Reitor de Pós–Graduação e Pesquisa
José Luiz de Souza Pio
Coordenador Geral do Curso de Matemática (Sistema Presencial Mediado)
Carlos Alberto Farias Jennings
Coordenador Pedagógico
Luciano Balbino dos Santos
NUPROM
Núcleo de Produção de Material
Coordenador Geral
João Batista Gomes
Editoração Eletrônica
Helcio Ferreira Junior
Revisão Técnico–gramatical
João Batista Gomes
Pereira, Agnaldo Souza.
P436c Cálculo II / Agnaldo Souza Pereira, Cláudio Barros Vitor,
Jefferson Pereira de Oliveira. - Manaus/AM: UEA, 2007. -
(Licenciatura em Matemática. 4. Período)
92 p.: il. ; 29 cm.
Inclui bibliografia.
1. Cálculo - Estudo e ensino. I. Vitor, Cláudio Barros. II.
Oliveira, Jefferson Pereira de. III. Série. IV. Título.
CDU (1997): 517.2/.3
SUMÁRIO
UNIDADE I – Funções de várias variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 07
TEMA 01 – Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
TEMA 02 – Domínio e Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
TEMA 03 – Gráficos de funções de duas variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
TEMA 04 – Limites e continuidade para funções de várias variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
TEMA 05 – Derivadas parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
TEMA 06 – Derivadas de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
UNIDADE II – Derivada direcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
TEMA 01 – Vetor gradiente e derivadas direcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
TEMA 02 – Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 
UNIDADE III – Integrais de linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
TEMA 01 – Caminhos e curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
TEMA 02 – Comprimento de curvas e caminhos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 
TEMA 03 – Definição de integrais de linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 
UNIDADE IV – Integrais múltiplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
TEMA 01 – Integrais duplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
TEMA 02 – Integrais repetidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
TEMA 03 – Integrais triplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
TEMA 04 – Mudança de variáveis nas integrais duplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
TEMA 05 – Aplicações da integral dupla e tripla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
UNIDADE V – Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Respostas de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Agnaldo Souza Pereira 
Bacharel em Física - UFRJ
Mestre em Física - UFRJ
Licenciado em Física - FTESM
Doutor em Física - UFRJ
Cláudio Barros Vitor
Licenciado em Matemática – UFAM
Pós-graduado em Didática e Metodologia do Ensino Superior - UNESC
Jefferson Pereira de Oliveira
Licenciado em Matemática – UCSal
Pós-Graduado em Instrumentação para o Ensino da Matemática - UFF
PERFIL DOS AUTORES
UNIDADE I
Funções de várias variáveis
UM BREVE HISTÓRICO
Jean Le Rond D’Alembert nasceu em 16 de
novembro de 1717, em Paris. Era filho ilegítimo
da marquesa Claudine Guerin de Tencin,
escritora, e do cavaleiro Louis-Camus
Destouches, oficial do exército francês. 
Logo após o nascimento, foi abandonado por
sua mãe nas escadarias da Capela de Saint
Jean Le Rond, de onde foi levado para um
orfanato, à espera de adoção. 
O bebê recebeu o nome do santo protetor da
capela, e foi adotado por um humilde artesão e
sua esposa. Seu pai biológico, mesmo não
reconhecendo a paternidade, custeou-lhe a
educação por meio de uma pensão. 
Aos 12 anos de idade, D’Alembert ingressou no
Colégio Mazarin, onde estudou Filosofia, Artes
e Direito, e formou-se advogado em 1738, aos
21 anos de idade. Mais tarde, passa a interes-
sar-se por Medicina e Matemática, sendo que
seu primeiro trabalho matemático é publicado
em 1739, no qual ele apresenta correções de
erros que encontrou em um dos livros usado
em sua formação. Aos 24 anos de idade,
D’Alembert já era célebre por seu trabalho em
Cálculo Integral, e aos 26 anos, ele publica seu
Tratado de Dinâmica, com importantes con-
tribuições à ciência da mecânica.
Deixou também contribuições para a teoria das
equações diferenciais, em que se destaca o
método de solução de D’Alembert para resolver
equações diferenciais não-homogêneas por
meio de uma equação auxiliar.
Além das contribuições em ciências exatas,
D’Alembert também participou, com Denis
Diderot, da elaboração de Enciclopédia, uma
das maiores obras do Iluminismo. 
Ao contrário do que faria supor sua infância
humilde, D’Alembert freqüentava lugares e fes-
tas elegantes, onde conheceu a escritora Julie
de Lespinasse, por quem se apaixonou. 
Quando D’Alembert se tornou famoso por suas
realizações intelectuais, sua mãe biológica
apresentou-se, mas ele, que viveu na casa
paterna até os 48 anos, disse-lhe: “Sou filho do
artesão e de sua mulher. Você é, no máximo,
minha madrasta.”
Jean Le Rond D’Alembert faleceu aos 76 anos
de idade, em 1783, como um célebre cientista
e renomado homem de cultura.
William Rowan Hamilton nasceu em Dublin,
em 8 de agosto de 1805. Seus pais morreram
deixando o pequeno órfão aos cuidados de um
tio, que o educou dentro de uma severa linha
de comportamento, dando-lhe uma educação
abrangente, comforte ênfase em línguas
estrangeiras. O pequeno Hamilton, aos 5 anos
de idade, lia e recitava Homero em grego; aos
8 anos, já falava fluentemente o italiano e o
francês. Aos 10 anos de idade, aprendeu a lín-
gua árabe. Seu interesse pela matemática
surgiu aos quinze anos de idade, ao conhecer
um jovem norte-americano chamado Zertah
Colburn, que possuía fantástica habilidade para
realizar cálculos mentais. Ingressou no Trinity
College, em 1824, tendo sido o primeiro coloca-
do entre 100 candidatos no concurso de admis-
são. Aos 22 anos, ainda estudante, já era dire-
9
Cálculo II – Funções de várias variáveis
10
UEA – Licenciatura em Matemática
tor de um observatório. Hamilton dedicou-se à
leitura das obras de Newton e de Laplace, e
criou sua própria formulação da mecânica, con-
hecida hoje como mecânica hamiltoniana, que
é tremendamente importante em todos os cam-
pos da física moderna, notadamente na física
quântica. Sua vida particular não foi das mais
tranqüilas; ele teve sérios problemas com o
alcoolismo. Após terrível luta contra o vício,
convence-se de que a única solução seria
nunca mais ingerir nenhum tipo de bebida
alcoólica. 
Por dois anos, Hamilton manteve-se sóbrio,
mas durante uma discussão com o astrônomo
George Airy, que debochou de seu hábito de
beber apenas água durante festas e
solenidades, Hamilton voltou a beber e caiu,
afundando-se ainda mais no vício. Apesar da
desordem em que estava mergulhada sua vida
privada, Hamilton ainda se mantinha firme na
competição matemática. Contribuiu para o
desenvolvimento do cálculo, sendo de sua
autoria o termo gradiente para designar o vetor
que aponta na direção de maior variação de
uma função escalar. Hamilton também realizou
pesquisas em ótica e soluções numéricas de
equações diferenciais. O homem que amava os
animais e que foi chamado “o novo Newton”
morreu em 1865, deixando uma obra inacaba-
da, que foi publicada por seu filho no ano
seguinte.
TEMA 01
INTRODUÇÃO
O conceito de função de várias variáveis está
intimamente ligado aos fenômenos mais com-
plexos no campo da matemática aplicada à fí-
sica e à engenharia. Se um meteorologista, por
exemplo, tiver de determinar o comportamento
futuro da temperatura de uma região, ele preci-
sará de um conjunto de dados atmosféricos,
como pressão do ar, velocidade dos ventos e
umidade do ar. 
Podemos ver, claramente, que a temperatura
do ar depende de várias outras grandezas, de
forma que, quando esse conjunto de variáveis
se altera, ela também se altera, ou seja, ela é
uma função que depende de várias outras var-
iáveis. 
Ainda como exemplo, podemos enxergar o
preço de um produto com sendo dependente
do preço da matéria-prima, do preço de mão-
de-obra e do custo do transporte, pois se esses
elementos variam, o preço final do produto va-
riará também.
Matematicamente, uma função de N variáveis é
representada como sendo uma função
f = f(x1, x2, x3,..., xN). O domínio dessas funções
é o RN, sendo que N pode variar desde N = 1
até N = ∞. Vejamos, a seguir, alguns exemplos
de funções de várias variáveis, começando com
o caso mais simples, a função de duas variá-
veis.
Exemplo 1
Volume de um cilindro
Figura 1 – O volume de um 
cilindro é função de duas variáveis, r e h.
O volume de um cilindro, de altura h e raio de
base r, é expresso por VCIL = πr2h. Como o
valor do volume muda se mudarmos um dos
valores de r e h, fica clara a dependência do
volume com as variáveis r e h. Podemos, então,
classificar VCIL como uma função de duas va-
riáveis. 
Em razão disso, podemos simbolizar o volume
de um cilindro como:
VCIL = VCIL(r,h)
Exemplo 2
Área de um retângulo
Figura 2 – A área de um retângulo 
é função de duas variáveis, a e b.
Outro exemplo de função de duas variáveis
que podemos buscar nos domínios da geo-
metria é a área de um retângulo de lados a e b.
sabendo que a área da superfície retangular é
dada por:
S = ab,
em que a e b são as varáveis, pois podem
assumir valores arbitrários, determinando um
único valor de S para cada par de valores (a,b).
Podemos escrever s como uma função de duas
variáveis:
S = S(a,b).
Continuando nossa seqüência de exemplos,
vamos analisar alguns casos de função de três
variáveis. Elas são essenciais em problemas
que descrevem fenômenos tridimensionais,
como o volume de um paralelepípedo, o es-
coamento de um gás ou a distribuição de tem-
peraturas em uma sala.
Exemplo 3
Volume de um paralelepípedo
Figura 3 – O volume de um 
paralelepípedo é função de três variáveis, x,y e z.
O volume do paralelepípedo de largura x, pro-
fundidade y e altura z é dado por 
V = xyz
Assim como nos exemplos anteriores, pode-
mos ver que a mudança do conjunto de valo-
res (x,y,z) tem como conseqüência a mudança
do valor do volume do paralelepípedo, uma
vez que ele é função das dimensões deste sóli-
do. Ou seja:
V=V(x,y,z)
Exemplo 4: 
Potencial elétrico de uma carga elétrica pun-
tiforme
Considere uma carga elétrica puntiforme Q,
posicionada na origem de um sistema de três
eixos coordenados. A intensidade do potencial
elétrico em qualquer ponto do espaço depen-
derá das coordenadas (x, y, z) deste ponto, ou
seja, de sua posição. A figura 4 abaixo ilustar
essa situação.
Figura 4 – Potencial elétrico gerado em 
todos os pontos do espaço por uma carga elétrica Q.
Vemos que cada valor de U(x,y,z) depende de
um conjunto de três coordenadas (x,y,z), que
localizam o ponto P no espaço.
Para resumir as idéias expostas, vamos con-
ceituar as funções de duas e três variáveis.
Função de duas variáveis
Uma função de duas variáveis é uma regra que
associa a cada par ordenado (x,y) de um con-
junto D um único valor real designado por 
z = f (x,y). O conjunto D é o domínio da
função, e o conjunto imagem é o conjunto dos
valores possíveis de f.
11
Cálculo II – Funções de várias variáveis
Função de três variáveis
Uma função de três variáveis é uma regra que
associa a cada tripla ordenada (x,y,z) de um
conjunto D um único valor real designado por
z = f (x,y,z). O conjunto D é o domínio da fun-
ção, e o conjunto imagem é o conjunto dos va-
lores possíveis de f.
Essas definições são facilmente extensíveis ao
caso de várias variáveis:
Função de várias variáveis
Uma função de várias variáveis é uma regra
que associa a cada N–upla ordenada
(x1,x2,...,xN), de um conjunto D, um único valor
real designado por de f = f (x1,x2,...,xN). O con-
junto D é o domínio da função, e o conjunto
imagem é o conjunto dos valores possíveis de
f.
Exemplo 5
O potencial elétrico U no ponto 
P(x,y,z) é dado por , ache o valor
do potencial elétrico no ponto P(1,5,4).
Solução: 
Para achar o valor da função U(x,y,z) em
P(1,5,4), basta substituir os valores das coor-
denadas do ponto P, na equação da função, e
achar U(1,5,4).
Exemplo 6
Uma chapa de metal plana está em um
plano–xy, de modo que a temperatura T em
(x,y) seja dada T em (x,y) seja dada por T =
0,01(x2 + y2)2 em que T é expresso em oC , e x
e y em centímetros. Ache o valor da temperatu-
ra no pontos A(0,1; ,3), B(2,7) ,C(4,1) e D(
, ).
Solução:
Como no problema anterior, basta substituir os
valores das coordenadas de cada ponto na
equação da função T(x,y), e achar os valores
correspondentes.
a) No ponto A(1,3): T(1,3) = 0,01 (12 + 32)2 =
0,01 (1+ 9)2 =1 oC ∴ T(1,3) = 1 oC.
b) No ponto B(2,7): T(2,7) = 0,01 (22 + 72)2 =
0,01 (4+49)2 =28,09 oC ∴ T(21,3) = 28,09
oC.
c) No ponto C(4,1): T(4,1) = 0,01 (42 + 12)2 =
0,01 (16+1)2 =2,89 oC ∴ T(4,1) = 2,89 oC.
d) No ponto D( , ): T( , )= 0,01(( )2+ 
( )2)2 = 0,01(3+2)2 = 0,25 oC ∴ T( , )=
0,25oC.
1. A superfície de um lago é representada por
uma região D em um plano –xy, de modo que
a profundidade sob o ponto correspondente a
(x,y) é dada por f(x,y) = 300 –2x2 – 3y2, em que
x, y e f(x,y)são expressos em metros. Se uma
bóia está na água no ponto (4,9), determine a
distância entre ela e o fundo do lago. 
2. Um objeto está em um sistema coordenado re-
tangular tal que a temperatura T no ponto
P(x,y,z) seja dada por 
T(x,y,z) = 0,04x2 – 0,01y2 + 0,16 z2, em que T é
expressa em oC, e x,y, e z em metros. Determi-
ne a diferença de temperatura entre os pontos
A(1, 2,5 ,3) e B(5,6,2). R : –7,34 oC .
12
UEA – Licenciatura em Matemática
TEMA 02
DOMÍNIO E IMAGEM
Mais sobre domínio e imagem das funções
de várias variáveis
Sabemos que o domínio de uma função é o
conjunto numérico no qual a função toma va-
lores para a variável independente, e que a
imagem de uma função é o conjunto numérico
dos valores assumidos pela função. No caso da
função de uma variável, temos a variável inde-
pendente x, cujos valores permitidos perten-
cem a um dado conjunto numérico (domínio),
e a variável dependente y(x), que expressa os
valores numéricos assumidos pela função, va-
lores esses, que pertencem a um segundo con-
junto numérico (imagem). 
O diagrama abaixo representa o conceito de fun-
ção por um diagrama como uma correspondên-
cia entre dois conjuntos numéricos.
Figura 5 – Diagrama representando 
o conceito de função: é
uma correspondência entre conjuntos numéricos.
Ao analisarmos o diagrama, vemos que a re-
lação representada entre o conjunto A e o con-
junto B associa a cada elemento de A um ele-
mento de B. A correspondência entre os ele-
mentos associados é representada pelas setas
que partem do conjunto A (que é o domínio da
função) e chegam ao conjunto B (imagem da
função). Vamos, agora, ampliar esses concei-
tos para as funções de duas variáveis.
O domínio de uma função de duas variáveis é
um conjunto formado por todos os pares de
valores (x,y) em que a função toma valores. Ve-
jamos o diagrama seguinte, semelhante ao
que foi feito para a função de uma única va-
riável:
Figura 6 – Domínio e imagem 
de uma função de duas variáveis.
Podemos ver, no diagrama, a função fazendo a
correspondência entre elementos do domínio
e elementos pertencentes ao conjunto ima-
gem. É importante notar que os elementos do
domínio são pares ordenados de valores; isso
faz que funções de duas variáveis sejam apli-
cadas a problemas envolvendo grandezas que
variam sobre superfícies. Ainda podemos ob-
servar que o conjunto de todos os pontos do
domínio, que é um conjunto de vários pares
ordenados, é uma figura plana, contida no
plano xy (o domínio é uma subdivisão do plano
xy). O conjunto imagem, por sua vez, também
é uma superfície formada de todos os pontos
de coordenadas (x,y,z) relacionados pela fun-
ção, como pode ser visto na figura 7, abaixo.
Figura 7 – Domínio e gráfico de 
uma função de duas variáveis.
Exemplo 7
1. Determine o domínio da função
. 
Para achar o domínio, devemos achar o con-
junto de pares (x,y) para os quais é possível
realizar a operação indicada. No presente ca-
so, a operação é . Essa operação é
13
Cálculo II – Funções de várias variáveis
14
UEA – Licenciatura em Matemática
uma radiciação, e só tem sentido no conjunto
dos números reais se 16 – x2 – y2 ≥ 0. Assim,
todos os pares de valores (x,y), que obedecem
à desigualdade acima, pertencem ao domínio
daquela função:
16 – x2 – y2 ≥ 0 ∴ –x2 – y2 ≥ – 16, 
portanto, x2 + y2 ≤ 16 . 
Essa é uma equação que representa os pontos
de um círculo de raio 4, centrado na origem.
Figura 8 – Domínio da função 
Exemplo 8
2. Determine o domínio da função 
z(x,y) = ln(1 – x2 – y2). 
Seguindo a mesma linha de raciocínio seguida
no item anterior, o domínio da função é o con-
junto dos pares (x,y) que possibilitam o cálcu-
lo de z(x,y) = ln(1 – x2 – y2) no conjunto dos
reais. 
Como sabemos que só existem logaritmos para
números maiores que zero, podemos dizer
que o domínio de z(x,y) = ln(1 – x2 – y2) é for-
mado por todos os pares (x,y) que obedecem
a 
1–x2–y2 > 0 .
Assim, 1–x2–y2 > 0 x2 + y2 < 1.
O domínio da função z(x,y) = ln(1 – x2 – y2) é o
conjunto de todos os pares de valores (x,y)
contidos no interior de um círculo de raio 1
centrado na origem, excluindo-se os pontos da
circunferência (pois na circunferência temos 
x2 + y2 =1 ). A representação geométrica está
na figura 9, a seguir.
Figura 9 – Domínio da função
z(x,y) = ln(1 – x2 – y2)
Exemplo 9
3. Determine o domínio da função 
Nesse caso, encontramos duas condições a
serem atendidas: 
1.a O denominador deve ser sempre diferente
de zero.
2.a O radicando x + y + 1 deve ser sempre
maior que zero.
Para atender à 1.a condição, impomos a
restrição x – 1 = 0 x = 1.
Em seguida, para atender à 2.a condição,
impomos a restrição x + y + 1> 0.
y > –1–x, y>–x–1. Dessa forma, podemos
concluir que os pontos para a função 
está definida são aque-
les que possuem abscissa diferente de zero
e estão acima da reta y = –x – 1.
Os pontos pertencentes a essa região es-
tão representados no gráfico da figura 10.
As linhas tracejadas são aquelas que não
possuem pontos do domínio: a reta vertical
x =1 e a reta inclinada y = –x –1.
Figura 10 – Domínio da função
1. Determine e faça o esboço do domínio das
funções abaixo:
a) z(x,y) = ln(9 – x2 – 9y2) 
b)
c) z(x,y) = 4x2 + y
d)
e)
f)
g) z(x,y) = xln(y2 – x)
h) 
i) z(x,y) = x2 ln(x – y + z)
j) 
l)
m)
TEMA 03
GRÁFICOS DE FUNÇÕES DE DUAS
VARIÁVEIS
Assim como no caso das funções de uma va-
riável, em que um gráfico no plano –xy apre-
senta, visualmente, a relação entre os valores
do par ordenado, também no caso das fun-
ções de duas variáveis podemos expressar
graficamente a relação entre o par ordenado
(x,y) e a função f(x,y): o gráfico de uma função
de duas variáveis será uma superfície em R3.
Noutras palavras, podemos dizer que assim
como o gráfico de uma função de uma única
variável é uma curva de equação f(x), o gráfico
de uma função de duas variáveis será uma
superfície S com equação z(x,y). Podemos ver
a superfície S acima ou abaixo do domínio D
da função. É importante notar que a superfície
que representa o domínio da função, pode ser
vista como uma projeção do gráfico de z(x,y)
sobre o plano –xy. Os gráficos fornecem-nos
um meio rápido e eficiente para estudar o com-
portamento de uma função e avaliar suas ca-
racterísticas. Vamos, agora, ver alguns exem-
plos de gráficos de funções de duas variáveis, 
(i) z(x,y) = 100e–(x2 + y2)
15
Cálculo II – Funções de várias variáveis
16
(ii) z(x,y) = x – 3x2
(iii) z(x,y) = y4 – 8y2 – 4x2
(iv) z(x,y) = ln (x2 + y2)
(v) z(x,y) = e–x2 + ey2
(vi)
(vii)
(viii) z(x,y) = (x2 + y2)2
(ix)
(x)
O aspecto visual desses gráficos não esconde
o fato de que é bem difícil traçá-los manual-
mente. Esses exemplos foram traçados com o
auxílio de um programa de computador. Com
os programas computacionais, podemos en-
xergar o comportamento do gráfico em qual-
quer região do domínio da função, mas nesses
exemplos é preferível ver o comportamento em
pontos próximos à origem, pois em várias apli-
cações torna-se importante saber o compor-
tamento da função para valores pequenos das
variáveis.
Apesar do exposto acima sobre a dificuldade
de traçado desses gráficos sem o auxílio com-
putacional, já era possível traçá-los manu-
almente com o auxílio das curvas de nível, for-
madas pelas interseções do gráfico de uma
função de duas variáveis com um plano hori-
zontal. As curvas de nível são um recurso que
foi tomado emprestado da cartografia; por
meio delas, um morro ou uma montanha pode
ser descritos sobre o plano do papel por meio
de um conjunto de curvas, em que cada curva
corresponde a um corte do morro ou da mon-
tanha a uma dada altura, que fica registrada
sobre a curva de nível correspondente. Na car-tografia, então, os pontos de uma curva de
nível é a curva formada por todos os pontos
que estão a uma mesma altura, ou seja: h =
constante.
Dessa forma, podemos encarar as curvas de
nível como tendo sido obtidas cortando-se o
morro ou a montanha em fatias paralelas a um
plano horizontal. Veja a figura abaixo:
De forma geral, é importante notar que, onde
as curvas de nível estiverem mais próximas
umas das outras, a superfície será mais incli-
nada, e onde as curvas forem mais espaçadas,
a superfície será mais plana. 
Saindo um pouco da cartografia, podemos di-
zer que, de forma mais geral, uma curva de
nível é obtida pela junção dos pontos corres-
pondentes a um valor constante de uma dada
grandeza. As curvas de nível de uma função
f de duas variáveis são as curvas com
equação f(x,y) = k, onde k é uma constante.
As figuras seguintes comparam os gráficos e
as curvas de nível de algumas funções.
17
Cálculo II – Funções de várias variáveis
Figura 13 – Gráfico e curvas de nível da função 
z(x,y) = x2 – 3y2
Figura 14 – Gráfico e curvas de nível da função 
Figura 15 – Gráfico e curvas de nível da função
Figura 16 – Gráfico e curvas de nível da função
z(x,y) = 100e–(x2 + y2)
18
UEA – Licenciatura em Matemática
1. Estabeleça a correspondência correta entre as
equações e as curvas de nível de cada função
dada por z = f(x,y).
a) f(x,y) = x2 – y2
b)
c) f(x,y) = (x – 2)2 + (y + 3)2
d) f(x,y) = x2 + y2
1. 
2.
3. 
4.
2. Uma chapa plana de metal está situada em um
plano–xy de modo que a temperatura T (em 0C)
no ponto (x,y) é inversamente proporcional à
distância da origem.
a) Descreva as isotérmicas.
b) Se a temperatura no ponto P(4,3) é de 400C,
ache a equação da isotérmica para uma
temperatura de 200C.
3. Deve-se construir uma usina de incineração de
lixo para atender a duas cidades. 
Cada cidade gostaria de maximizar sua distân-
cia à usina, mas, por motivos econômicos, a
soma da distância de cada cidade à usina não
pode exceder M quilômetros. Mostre que as
curvas de nível para localização da usina são
elipses.
TEMA 04
LIMITES E CONTINUIDADE PARA
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Assim como nas funções de uma única variáv-
el, os conceitos de limite e continuidade de
uma função de várias variáveis estão inti-
mamente ligados. Na teoria das funções de
uma única variável, dizemos que a função é
contínua num dado valor xo se no limite em que
x = xo, f(x) = f(xo), seja por valores de x maiores
que xo, ou por valores de x menores que xo. Se
a função tender para valores diferentes con-
forme x se aproxime de xo pela direita ou pela
esquerda, a função é dita descontínua. Veja-
mos os gráficos abaixo:
Figura 17 – Continuidade de 
uma função de uma variável.
A definição de continuidade da função de uma
variável diz que, se o limite de f(x), quando x
tende a xo por valores maiores que xo, coincide
com o limite de f(x) quando x tende a xo por val-
ores maiores que xo, então f(x) é dita contínua
em x = xo. Resumindo, uma função é con-
siderada contínua quando os limites laterais
são iguais, o que significa que a imagem f(x)
de todo x nas vizinhanças de x = xo tende ao
limite f(xo) quando x tende a xo. Dizer que os
limites laterais são iguais também significa que
o limite da função está bem definido em x = xo,
ou seja, o limite existe em x = xo. 
Por outro lado, a definição de função descontí-
nua diz que a função possui uma descontinui-
dade em x = xo, se os limites laterais não são
coincidentes. 
Dizer que os limites laterais não são coinci-
dentes significa que se x tende a xo por valores
maiores que xo, a função tende ao valor Lo, e
quando x tende a xo por valores menores que
19
Cálculo II – Funções de várias variáveis
xo, a função tende ao valor L1> Lo. Se os limites
laterais são diferentes, não se pode afirmar que
a imagem f(x) de todo x, nas vizinhanças de xo,
tende a f(xo) quando x tende a xo. Nessa situ-
ação, dizemos que o limite não está definido
em x = xo, ou seja, não existe o limite da
função em
x = xo. Veja a figura 18 abaixo:
Figura 18 – Descontinuidade de 
uma função de uma variável.
A figura 18 acima ilustra os conceitos formu-
lados sobre a descontinuidade de uma função
de uma única variável. 
Podemos ver, claramente, no gráfico, a diferen-
ça de comportamento dos limites da função
quando x tende a xo pela direita (por valores
maiores que xo) e pela esquerda (por valores
menores que xo). 
A extensão dessas idéias para o campo das
funções de duas variáveis é imediata. Conside-
remos a figura 19 abaixo:
Figura 19 – Continuidade de 
uma função de duas variáveis.
Podemos ver que, se um ponto (P1, ou P2) per-
tencente ao domínio da função e contido em
uma vizinhança circular centrada em Po aprox-
imar-se de Po ao longo de qualquer caminho
contido no círculo, também sua imagem, per-
correrá pontos da superfície-imagem até
alcançar o ponto B, imagem de Po. 
Noutras palavras, se um ponto P, nas vizinhan-
ças de Po, dirigir-se a Po de forma que sua
imagem f(P) dirija-se para f(Po), por um cami-
nho totalmente contido sobre a superfície do
gráfico da função, qualquer que seja o cami-
nho seguido para atingir Po, dizemos que f(Po)
é o limite da função quando P tende a Po. 
Isso equivale a dizer que existe o limite da fun-
ção em P = Po, pois para qualquer caminho
que se use para chegar até Po, alcançaremos o
mesmo valor final para f(P).
(f(P) = f(Po)). Simbolicamente:
Ou ainda, usando as coordenadas de P=P(x,y)
e Po=Po(xo,yo):
Assim como no caso da função de uma única
variável, a existência do limite garante a con-
tinuidade de f(x,y) na região considerada. Por
outro lado, se o valor do limite de f(x,y) em P=
Po depender do caminho seguido para se atin-
gir o ponto Po, o limite da função não estará
definido em Po e, da mesma forma que para
uma única variável, diremos que a f(x,y) é des-
contínua no ponto P = Po. Ou seja: se achar-
mos pelo menos dois caminhos diferentes, ao
longo dos quais f(P) atinge limites diferentes,
quando P se aproxima do mesmo ponto Po,
então o limite não está definido em P = Po.
Dizemos, então, que não existe o limite de f(P)
em P = Po, e que Po é um ponto de descon-
tinuidade da função. A noção de continuidade
é essencial para o cálculo de funções de várias
variáveis, pois, assim como no universo das
funções de uma única variável, permite definir
a existência das derivadas no contexto das
funções de várias variáveis. A figura 20, a se-
guir, ilustra a idéia de descontinuidade de fun-
ção de duas variáveis.
20
UEA – Licenciatura em Matemática
Figura 20 - Descontinuidade da 
função de duas variáveis.
1. Ache o limite
a)
b)
c)
d)
e)
2. Mostre que o limite não existe.
a)
b)
c)
d)
e)
TEMA 05
DERIVADAS PARCIAIS
As definições dadas até aqui não são exclusi-
vas das funções de duas variáveis, são co-
muns a todas as funções de várias variáveis. O
fato de usarmos as funções de duas variáveis
deve-se à facilidade de visualização que elas
apresentam, pois podemos ver seus gráficos
como superfícies em um espaço tridimen-
sional. Avalie a dificuldade de se visualizar uma
função de 20 variáveis, por exemplo! 
Um caso simples de função de mais de duas
variáveis é o custo de um produto que envolva
mais de dois ingredientes em sua fabricação,
cada um com seu preço, o que se refletirá no
preço de custo do produto.
Por exemplo: o custo final kf de um bolo de
chocolate, que envolve, em sua fabricação, pó
de chocolate, ovos, farinha de trigo, açúcar,
leite e fermento, dependerá dos preços desses
ingredientes e pode ser escrito na forma fun-
cional 
kf = Ax1 + Bx2 + Cx3 + Dx4+ Ex5+ Fx6
em que A,B,C,D,E e F são constantes que re-
presentam as quantidades utilizadas de cada
ingrediente, e x1, x2, x3, x4, x5, e x6 representam
os preços de cadaingrediente. 
Assim, fica claro que o custo final é uma função
de seis variáveis, 
kf = kf(x1, x2, x3, x4, x5, x6).
Não podemos desenhar um gráfico dessa fun-
ção, cujo domínio é hexadimensional, para po-
dermos enxergar, de uma única vez, o compor-
tamento dessa função. Analisemos o compor-
tamento da função custo total quando o preço
de apenas um ingrediente, digamos, o açúcar,
varia, enquanto os demais preços permane-
cem constantes.
É razoável supor que o custo total variará com
a mesma rapidez com que varia o preço do açú-
car. Se, agora, o único preço variável for o do
fermento, enquanto todos os demais preços
estiverem estacionados, novamente podemos
21
Cálculo II – Funções de várias variáveis
dizem que o custo total variará com a mesma
taxa de variação do fermento, pois ele estará
sendo o único responsável pela variação do
custo final do bolo.
Se em outra situação, os preços do açúcar e
do fermento estiverem variando, e os preços
dos demais ingredientes estiverem fixos, a taxa
de variação do custo total será a soma da taxa
de variação do preço do açúcar com a taxa de
variação do preço do fermento, ingredientes
responsáveis pela variação do custo final do
produto. A taxa de variação de uma função de
N variáveis, em relação a uma de suas varáveis
xj em particular, é chamada derivada parcial da
função em relação a xj, e é definida pela razão
incremental:
O símbolo chama-se “D-rond” (pronuncia–se
derron), que significa D-redondo, em francês.
No caso do bolo do exemplo anterior, a deriva-
da parcial do custo final (kf) da iguaria em re-
lação ao preço do açúcar (x4) e do fermento
(x6) são definidas, respectivamente, como:
Notemos que a definição de derivada parcial é
similar à definição da derivada da função de
uma única variável, envolvendo o limite da fun-
ção em um dado ponto. Para que a derivada da
função de N variáveis possa existir no ponto
considerado, é necessário que exista o limite da
função naquele ponto, ou seja, é preciso que a
função seja contínua no ponto. O incremento
diferencial (df) no valor da função de N variá-
veis, devido ao incremento no valor de apenas
uma de suas variáveis, é dado por
.
De forma mais geral, o incremento diferencial (df)
no valor da função de N variáveis, devido a incre-
mentos em todas as suas variáveis, é dado por
No exemplo anterior, a variação no custo de
nosso bolo de chocolate, devido à variação no
preço do açúcar, é dada por 
;
e a variação no custo do bolo, devido às vari-
ações combinadas dos preços do açúcar e do
fermento, é dada por 
.
Interpretação Geométrica das Derivadas
Parciais
Quando precisamos subir uma elevação, co-
mo um pequeno morro, sempre procuramos
subir pelo lado menos íngreme, para poupar
esforço. O formato geométrico da elevação é
tal que o dispêndio de energia depende da
encosta que escolhermos para subir. 
Na encosta mais íngreme, a inclinação é maior,
fazendo que cada metro percorrido na hori-
zontal resulte numa grande elevação vertical,
tornando a subida é mais abrupta. A figura 21
mostra um gráfico da função 
,
representando um morro. Podemos observar
que, se subirmos o morro ao longo do eixo y,
faremos um esforço maior, pois ao longo desse
caminho, a elevação é mais pronunciada, mais
íngreme, mas se subirmos ao longo do eixo x,
o esforço será menor. 
Com esse exemplo, vemos que a taxa de va-
riação de uma função de duas variáveis pode
depender do caminho. Nesse caso, a taxa de
variação da altura em relação à distância ho-
rizontal depende do caminho escolhido.
22
UEA – Licenciatura em Matemática
Figura 21 – Crescimento diferenciado da função.
em cada direção. A distância
entre as curvas de nível mostra que o crescimento 
desta função é mais veloz ao longo do eixo y, 
do que ao longo do eixo x.
A análise das curvas de nível do morro também
mostra que as curvas atravessadas pelo eixo–y
estão mais próximas umas das outras do que
as atravessadas pelo eixo–x, ou seja, a ele-
vação é mais íngreme ao longo do eixo–y do
que ao longo do eixo–x. 
Vemos, novamente, que a taxa de variação da
altura em relação a x depende da direção que
se segue até o alto do morro. De fato, se se-
guirmos um terceiro caminho, oblíquo, indica-
do pela seta pontilhada, a inclinação terá outro
comportamento, diferente daqueles sobre x e y.
Resumindo o que acabamos de discutir, se
chamarmos a altura de cada ponto de z(x,y) a
inclinação da função z(x,y) em cada ponto de-
penderá da direção de deslocamento sobre o
plano–xy. Particularmente, ao longo do eixo–x,
a tangente do ângulo de inclinação será dada
por
e para um percurso ao longo do
eixo–y, será dada por
Como se Calculam as Derivadas Parciais de
uma Função?
Até aqui, estivemos preocupados com a cons-
trução conceitual das derivadas parciais; pas-
semos, agora, a ver como se determina a
derivada parcial de uma função em relação a
uma de suas variáveis. A regra é simples:
1. Para determinar , devemos olhar para
f(x,y) como se y fosse uma constante, e
derivar f(x,y) em relação a x.
2. Para determinar , devemos olhar para
f(x,y) como se x fosse uma constante, e
derivar f(x,y) em relação a y.
3. No caso de N variáveis, para determinar 
, devemos olhar para f(x1, x2, ..., xj,..., xN)
como se todas as variáveis diferentes de xj,
fossem constantes, e derivar f(x1, x2, ..., xj,..., xN)
em relação a xj.
Exemplo 10
1. Ache as derivadas parciais de 
f(x,y) = 1–3x4–2 sen(xy).
Solução:
Em relação a x, encaramos y como uma 
constante: .
Em relação a y, encaramos x como uma 
constante .
Exemplo 11
Ache as derivadas parciais .
Solução:
Em relação a x, encaramos y como uma cons-
tante : 
Em relação a y, encaramos x como uma cons-
tante: 
3) Ache as derivadas parciais de 
Solução:
23
Cálculo II – Funções de várias variáveis
Em relação a cada variável, encaramos todas
as demais como constantes, e efetuamos a
derivação em relação à variável considerada:
1. Ache as Derivadas Parciais Primeiras de f.
a) f(x,y) = 2x4y3 – xy2 + 3y + 1
b) f(x,y) = (x3 – y2)5
c)
d)
e) f(x,y) = xey + ysen(x)
f) f(x,y) = ey + ln(xy) 
g)
h) f(x,y,z) = 3x2 z + xy2
i) f(x,y,z) = x2y3 z4 + 2x – 5yz
j) f(r,s,t) = r2e2s cos(t)
l) f(x,y,z) = xet – yex + ze–y
m)
2. A lei dos gases ideais pode ser enunciada
como PV = nKT, em que n é o número de mo-
léculas do gás, V é o volume, T é a tem-
peratura, P é a pressão e k é uma constante.
Mostre que:
3. Mostre que ψ(x,t) satisfaz a equação da onda 
a) ψ(x,t) =sen(akt)sen(kx)
Regra da Cadeia
Freqüentemente, nos problemas aplicados às
ciências naturais, surge a dependência das va-
riáveis, e da própria função, em relação ao
tempo. Assim, em vez de acompanharmos ape-
nas a variação de f(x1, x2, ..., xj,..., xN), podemos
também acompanhar sua variação em relação
ao tempo, ainda que esta dependência não
esteja explícita na fórmula da função. 
Se o tempo não aparecer explicitamente na ex-
pressão matemática da função, mas souber-
mos como uma (ou mais) das variáveis se com-
porta em relação a ele, podemos determinar a
variação temporal da função como um todo
por meio da regra da cadeia:
Exemplo:
Um circuito elétrico simples consiste em um
resistor R e uma força eletromotriz V. Em certo
instante, V é 80 volts e aumenta à taxa de 5
V/min, enquanto r é de 40 Ohms e decresce à
razão de 2 ohms/min. Use a lei de ohm, 
, e a regra da cadeia para achar a taxa à
qual a corrente I (em ampères) varia.
SOLUÇÃO:
Substituindo valores: 
V=80, , R= 40, e , obtemos:
24
UEA – Licenciatura em Matemática
TEMA 06
DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR
Analogamente ao que ocorre no caso de uma
única variável, também para várias variáveis é
possível determinar derivadas de ordem supe-
rior à primeira. 
O cálculo é realizadoda mesma forma como é
realizado na derivada ordinária: encarando to-
das as variáveis como constantes, menos a va-
riável em relação à qual se está derivando. O
símbolo para a derivada parcial de ordem m é 
Assim: 
é a derivada parcial de segunda ordem
de f em relação a x;
é a derivada parcial de terceira ordem
de f em relação a y;
é a derivada parcial de quarta ordem de
f em relação a w; 
e da mesma forma para outras ordens. 
É necessário salientar que, nas aplicações da
matemática às ciências naturais, as derivadas
mais importantes são as de segunda ordem,
que dão origem à maior parte das equações
diferenciais da física, da química, e da enge-
nharia.
Existe também o caso em que a função é deri-
vada sucessivamente em relação a variáveis di-
ferentes, a chamada derivada cruzada:
Como as variáveis são inde-
pendentes entre si, podemos ver que:
.
1. Verifique que
a) f(x,y) = xy4 – 2x2y3 + 4x2 – 3y
b)
c) f(x,y) = x3e–2y + y–2 cos(x)
d)
e)
2. Uma função de x e y é dita harmônica se 
em todo o domínio de f. Prove
que a função dada é harmônica.
a)
b) f(x,y) = e–xcos(y) + e–ycos(x)
3. Se w(x,y) = e–c2t sen(cx), mostre que 
para todo número real c.
4. Mostre que ψ(x,t) satisfaz a equação da onda 
a) ψ(x,t) = sen(akt)sen(kx)
b) ψ(x,t) = (x – at)4 + cos( x + at)
5. Quando um poluente, como o óxido nítrico, é
emitido por uma chaminé de h metros de 
altura, a concentração C(x,y) em do po-
luente em um ponto a x quilômetros da cha-
miné e à altura de y metros pode ser represen-
tada por
em que a e b são constantes positivas que
dependem das condições atmosféricas e da
taxa de emissão de poluente. Suponha que
25
Cálculo II – Funções de várias variáveis
Calcule e interprete e no ponto (2,5).
5. Mostre que qualquer função dada por 
satisfaz a
equação de Laplace em três dimensões
.
6. A capacidade vital V dos pulmões é o maior
volume de ar que pode ser exalado após uma
inalação de ar. Para um indivíduo do sexo mas-
culino de x anos de idade e y centímetros de
altura, V pode ser aproximado pela fórmula
V = 27,63y – 0,112xy. Calcule e interprete 
a)
b)
7. A análise de certos circuitos elétricos envolve a 
fórmula , onde I é a corrente, V é
a voltagem, R a resistência, L a indutância e
uma constante positiva. Calcule e interprete 
e
.
26
UEA – Licenciatura em Matemática
UNIDADE II
Derivada direcional
29
Cálculo II – Derivada direcional
TEMA 01
VETOR GRADIENTE E DERIVADAS
DIRECIONAIS
Retomemos o exemplo da inclinação do morro 
dado pela equação
na figura 22 abaixo. 
Figura 22 – Crescimento diferenciado 
da função em cada direção.
Vemos, nas curvas de nível, que é mais fácil
subir ao longo do eixo x que ao longo eixo y.
Podemos dizer que quando subimos ao longo
do eixo-x, o acréscimo dz na altura para cada
dx percorrido é
e se subirmos ao longo do eixo y, teremos
acréscimos na subida dados por:
Para uma direção oblíqua, em que não estare-
mos ao longo de nenhum dos eixos, teremos
contribuições das duas variáveis:
Note que para o movimento exclusivo sobre o
eixo x, podemos escrever um vetor desloca-
mento
d
→
x = dx^x
Já para o movimento exclusivo sobre o eixo y,
podemos escrever um vetor deslocamento
d
→
y = dy^y 
Para o caso em que o movimento é oblíquo e
recebe contribuições tanto do deslocamento
ao longo de x quanto de y, podemos escrever
um vetor deslocamento 
d
→
r = dx^x + dy^y
Podemos resumir os três casos em uma só
notação se enxergarmos dz como resultado de
um produto escalar entre os deslocamentos e
um novo vetor, de forma que
para deslocamentos sobre o eixo x.
para deslocamentos sobre o eixo y.
para deslocamentos oblíquos.
O vetor ∇→z definido pelas igualdades acima é
escrito como 
e chama-se gradiente da função z(x,y). A pro-
jeção do gradiente em uma direção cujo uni-
tário u^ faz um ângulo com a direção do gradi-
ente, fornece-nos a derivada da função na
direção de u^, a chamada derivada direcional,
Du, como mostra a figura 23 a seguir :
Duf = ∇
→
f . u^ =|∇→f|| u^|cos(θ) = |∇→f|cos(θ)
Podemos notar da igualdade Duf = |∇
→
f|cos(θ)
que o maior valor da derivada direcional ocorre
quando θ = 0, ou seja, a maior derivada dire-
cional é o próprio gradiente, o que nos revela
uma importantíssima propriedade do gradiente:
30
UEA – Licenciatura em Matemática
O gradiente aponta na direção de maior vari-
ação da função.
Embora tenhamos apresentado o gradiente
em um exemplo bidimensional, ele é tridimen-
sional em sua forma mais geral:
Devemos também assinalar que o gradiente
está definido para uma função f escalar; não
existe gradiente de vetor, embora em várias
aplicações seja importante saber o gradiente
do módulo de um vetor.
Duas das aplicações mais importantes do gra-
diente na física estão na mecânica e no eletro-
magnetismo. Na mecânica, podemos definir a
força conservativa, 
→
F como simétrica ao gra-
diente da energia potencial mecânica W:
→
F = –∇→W
No eletromagnetismo, de forma similar, define-
se o campo elétrico 
→
E gerado por um potencial
elétrico φ:
→
E = –∇→φ
1. Ache a derivada direcional de f em P na dire-
ção indicada
a) f(x,y) = x2 – 5xy + 3y2; 
b) f(x,y) = x2ln(y); 
P(5,1), u^ = – x^ + 4 y^
c) f(x,y,z) = z2exy;
P(–1,2,3), u^ = 3^ x + y^ – 5 z^
d)
; 
2. Uma chapa de metal está situada no plano xy,
de modo que a temperatura T em (x,y) seja in-
versamente proporcional à distância da ori-
gem, e a temperatura em P(3,4) é 100oF.
a) Ache a taxa de variação de T em P na dire-
ção de x^ + y^.
b) Em que direção T aumente mais rapida-
mente em P?
c) Em que direção a taxa de variação é zero?
3. O potencial elétrico V em (x,y,z) é dado por
V= x2 + 4y2 +9z2
a) Ache a taxa de variação de V em P(2-1,3) na
direção de P para a origem.
b) Ache a direção que produz a taxa máxima
de variação de V em P.
c) Qual a taxa máxima de variação em P?
4. A temperatura T(x,y,z) é dada por 
T = 4x2 – y2 +16z2.
a) Ache a taxa de variação de Tem P(4,-2,1) na
direção de 2^x + 6^ y – 3^z..
b) Em que direção T aumenta mais rapida-
mente em P?
c) Qual é esta taxa máxima de variação?
d) Em que direção T decresce mais rapidamen-
te em P?
e) Qual é esta taxa de variação?
31
Cálculo II – Derivada direcional
TEMA 02
MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
Muitas vezes, em problemas de aplicações,
devemos achar os extremos de uma função de
várias variáveis sujeita a um vínculo. Tomemos,
como exemplo, o problema de acharmos o
maior volume de uma caixa retangular sem
tampa, de lados x, y e z, cuja superfície total
seja de 12m2. Podemos ver que a função a ser
maximizada é o volume
V = xyz, e o vínculo (restrição) é que a área
total seja de 12m2, ou seja, 2xz+2yz+xy =12.
Do que já vimos até aqui, podemos dizer que a
expressão 2xz+2yz+xy =12 representa uma
curva de nível para a função superfície da cai-
xa, pois representa todos os pontos de coor-
denadas (x,y,z) para os quais o valor da função
é constante e igual a 12.
O método dos multiplicadores de Lagrange
fornece-nos uma ferramenta eficiente para
resolver problemas dessa natureza, com base
no conceito de curva de nível (g(x,y) = k) e de
gradiente de uma função. Comecemos com as
funções de duas variáveis: em termos gerais, o
vínculo aplicado à função, cujos extremos
procuramos, restringe os valores das coor-
denadas (x,y) àqueles pertencentes à curva de
nível correspondente ao vínculo, ou seja, só
nos interessaremos pelos valores da função
que corresponderem a pontos que estiverem
sobre a curva de nível que traduz o vínculo.
Vejamos a figura 
Figura 24 – Curva de nível C, 
representando g(x,y) =k, e a representação em 
termos do parâmetro t, mostrando que ∇→f = λ∇→g
O gráfico de g(x,y)= k é uma curva c no plano-
xy. A curva C pode ser escrita em termo de
componentes x =h(t) e y = m(t), em que t é um
parâmetro, como o tempo em problemas de
mecânica, mas que, em geral, pode ser um
ângulo ou outra grandeza conveniente.
Seja 
→
r (t) = x^x + y^ y = h(t)^ x + m(t)^ y o vetor
posição do ponto P(x,y) vem C (veja a figura
24, acima), e suponhamos que o ponto Po(xo,yo),
em que f(x,y) tem um extremo, corresponda a 
t = to, isto é, 
→
r (to) = xo^ x + yo^ y = h(to)^ x +
m(to)^ y. Definindo F de uma variável t por 
F(t) =f(h(t),m(t)),
vemos que, quando t varia, obtemos valores
f(x,y) correspondem a (x,y) em C, isto é, f está
sujeita ao vínculo g(x,y) = k; dessa forma, esta-
mos considerando apenas os valores de f(x,y)
que estão sobre pontos da curva C. Como
f(xo,yo) é um extremo de f, segue-se que F(to) =
f(h(to),m(to)) é um extremo deF(t). Assim, F’(to)
= 0. Se encaramos F como uma função com-
posta, então, pela regra da cadeia, 
Fazendo t = to, temos:
Isso mostra que o vetor ∇→f(xo,yo) é perpen-
dicular ao vetor 
→
r’(to) tangente a C.
Entretanto ∇→g(xo,yo) também é perpendicular a
→
r’(to) porque C é uma curva de nível para g.
Como ∇→f(xo,yo) e ∇
→
g(xo,yo) são perpendicula-
res ao mesmo vetor, são paralelos entre si, isto
é, ∇→f(xo,yo) = λ∇
→
g(xo,yo) para algum λ. O
número λ é chamado multiplicador de Lagran-
ge. Voltemos, agora, ao problema da caixa com
que abrimos esta discussão: sejam x, y e z o
comprimento, a largura e a altura, respectiva-
mente, da caixa em metros. 
Exemplo 1
Achar a caixa sem tampa de maior volume com
superfície total de 12m2.
Solução:
Buscamos maximizar o volume V= xyz sujeito
à restrição g(x,y,z) = 2xz+2yz+xy =12.
32
UEA – Licenciatura em Matemática
Utilizando os multiplicadores de Lagrange, pro-
curamos os valores de x, y, z e tais que ∇→V =
λ∇→g e g(x,y,z) = 12. Partindo dessas condi-
ções, geramos as equações:
e 2xz+2yz+xy = 12,
ou seja:
(1) yz = (2z+y)
(2) xz = (2z+x)
(3) xy = (2x+2y)
(4) 2xz+2yz+xy =12
Para resolver esse sistema de equações, va-
mos lançar mão de alguns truques: observe
que se multiplicarmos (2) por x, (3) por y e (4)
por z, os lados esquerdos dessas equações
ficam iguais. Assim temos que:
(5) xyz = (2xz+xy)
(6) xyz = (2yz+xy)
(7) xyz = (2xz+2yz)
Vê-se que 0 porque = 0 implicaria em ter yz =
xz = xy = 0 em (1), (2) e (3), contradizendo a
equação (4). De (5) e (6) temos: 2xz+xy =
2yz+xy que nos dá x = y. De (6) e (7) temos:
2yz+xy = 2xz+2yz, que dá 2xz = xy e portan-
to y = 2z. Se substituirmos 
x = y =2z em (4), teremos:
4z2+4z2+4z2 = 12
sabendo que x, y, e z são todos positivos,
temos que z =1, x = 2 e y = 2.
Exemplo 2
Determine os valores extremos da função 
f(x,y) = x2 + 2y2 no círculo x2 + y2 = 1.
Solução:
Devemos achar os valores extremos de f (x,y)
sujeita à restrição g(x,y) = x2 + y2 = 1.
Utilizando os multiplicadores de Lagrange, re-
solvemos as equações ∇→f = λ∇→g, g(x,y) = 1,
que podem ser escritas como:
,
,
e x2+y2 = 1
Elas resultam em:
(8) 2x = 2x
(9) 4y = 2y
(10) x2+y2 = 1
A equação (8) dá-nos x = 0 ou =1. Se x = 0,
então a equação (10) y = ±1. Se = 1, então a
equação (9) dá-nos y = 0; assim, a equação
(10) fornece x = ±1. Portanto os valores
extremos de f(x,y) ocorrem nos pontos (0,1),
(0,-1),(1,0), e (-1,0). Calculando f(x,y) nesses
quatro pontos, temos:
f (0,1) = 2
f(0,–1) = –2
f(1,0) = 1
f(–1,0) = 1
Portanto o valor máximo de f(x,y) no círculo
x2+y2 = 1 é f(0,±1) = 2, o valor mínimo é
f(±1,0) = 1.
1. Utilize os multiplicadores de Lagrange para
determinar os valores máximo e mínimo da
função sujeita à restrição dada:
a) f(x,y) = x2-y2 ; x2+y2 =1
b) f(x,y,z) = xyz; x+y+z =100
c) f(x,y) = x2y ; x2+ 2y2 = 6
d) f(x,y,z) = x+y+z ; x2+ y2+z2 = 25
e) f(x,y,z) = x2+ y2+z2; x-y+z =1
f) f(x,y,z) = 2x+ 6y+10z; x2+ y2+z2 = 35
2. Deve-se construir uma caixa retangular fechada
de 2m3 de volume. Se o custo por metro qua-
drado do material para os lados, o fundo e a
tampa é R$ 200, R$ 400,00 e R$ 300,00,
33
Cálculo II – Derivada direcional
respectivamente, ache as dimensões que mini-
mizam o custo.
3. Deve-se construir um depósito com tampa, em
forma de cilindro circular reto e com área de
superfície fixa. Mostre que o volume é máximo
quando h = 2R.
4. Utilize multiplicadores de Lagrange para provar
que o retângulo com área máxima, com perí-
metro constante p, é um quadrado.
5. Determine as dimensões de uma caixa retan-
gular de volume máximo tal que a soma de
suas doze arestas seja um constante c.
6. Determine as dimensões da uma caixa retan-
gular de maior volume se sua superfície total é
dada como 64m2.
UNIDADE III
Integrais de linha
37
Cálculo II – Integrais de linha
INTRODUÇÃO
A integral de linha é uma generalização natural 
da integral definida , em que o intervalo
[a, b] é substituído por uma curva, e a função
integranda é um campo escalar ou um campo
vetorial definido e limitado nessa curva.
As integrais de linha são de uma importância
fundamental em inúmeras aplicações, nomea-
damente, em ligação com energia potencial,
fluxo do calor, circulação de fluidos, etc.
No que se segue, começaremos por apresen-
tar os conceitos de curva e de comprimento de
uma curva; em seguida, daremos a definição
de integral de linha. Depois de enunciarmos as
propriedades fundamentais da integral de linha,
veremos a sua aplicação ao cálculo do trabal-
ho realizado por uma força.
TEMA 01
CAMINHOS E CURVAS
Seja g uma função vectorial que toma valores
em IRn e cujo domínio é um intervalo I ⊂ IR. À
medida que a variável independente t percorre I,
os correspondentes valores da função g(t) per-
correm um conjunto de pontos de IRn, que con-
stitui o contradomínio da função. Se a função
tomar valores em IR2 ou em IR3, é possível visu-
alizar, geometricamente, esse contradomínio.
Exemplo 1 
Seja g : IR → IR2 a função definida por:
g(t) = (1 – 2t,1 +t) = (1, 1) + t(–2, 1)
O contradomínio de g é a reta que passa pelo
ponto (1, 1) e tem a direção do vetor (–2, 1).
Se a função g é contínua em I, o contradomínio
de g chama-se uma curva, mais concreta-
mente, a curva descrita por g.
Exemplo 2 
A função f : IR → IR3 definida por:
f (t) = (2t – 2 sent, 2 – 2 cos t, t) é contínua em IR.
Temos apresenta a hélice descrita por f , isto é,
o seu contradomínio.
38
UEA – Licenciatura em Matemática
Exemplo 3 
O traço da curva é
o segmento de reta de extremidade inicial
(–1,0,2) e final (7,6,4).
Exemplo 4
O arco de parábola y = x2, x∈[0,2] pode ser
representado, parametricamente, por
, ou seja, é o traço da
curva γ : [0,2] → IR2, dada por γ(t) = (t,t2).
Exemplo 5
A curva
Tem por traço a cúbica
Observe que, elimidando-se o parâmetro t,
obtemos , logo (x,y) pertence ao traço
de γ se, e só se, .
Definição 1 
Chama-se caminho em IRn qualquer função
contínua definida num intervalo (limitado ou
não) de números reais I e com valores em IRn.
O contradomínio de um caminho chama-se cur-
va ou arco.
Se g : I → IRn é um caminho, diz–se que C =
g (I) é a curva representada por g, e que g é
uma representação paramétrica da curva C;
como os pontos da curva são da forma g (t),
com t ∈ I, a variável t é, habitualmente, designa-
da por parâmetro da representação paramétri-
ca considerada. Se g é um caminho definido
num intervalo fechado e limitado I = [a, b], os
pontos g (a) e g (b) chamam-se extremos do
caminho g, respectivamente, o ponto inicial e o
ponto final do caminho g.
As propriedades da função g podem ser uti-
lizadas para investigar as propriedades geo-
métricas do seu gráfico. Em particular, a deri-
vada g’ = (g’1,g’2,g’2,...g’n) está relacionada
com o conceito de tangência, tal como no casodas funções reais de variável real. Veja-se qual 
o comportamento do quociente
quando h → 0. Esse quociente é o produto do 
vetor g(t + h) – g(t) pelo escalar . Como tal,
o numerador, g(t + h) – g(t), é paralelo ao vetor 
. Como já foi visto no Cálculo
Diferencial em IRn, no caso de existir o limite de 
quando h → 0, tem-se
,e, se g’(t) = 0, o
vetor g’(t) pode ser visto, geometricamente,
como o vetor tangente à curva g no ponto g(t).
)(')()(lim
0
tg
h
tghtg
h
=
−+
→
39
Cálculo II – Integrais de linha
Definição 2
Seja C ⊂ IRn uma curva parametrizada pelo ca-
minho g : I → IRn. Se, para t ∈ I, a derivada g’(t)
existe e é diferente do vetor nulo, a reta que
passa por g(t) e tem a direção do vetor g’(t)
designa-se por reta tangente a C no ponto g(t).
Definição 3 
Diz-se que um caminho g : I → IRn é de classe
C1 se a função g é de classe C1 em I2. Um con-
junto C ⊂ IRn é uma curva de classe C1 se
existe um caminho de classe C1 que represen-
ta, parametricamente, C.
Exemplo 6
O caminho g : [–1, 1] → IR2 tal que g(t) = (t, t3),
define uma curva de classe C1 pois g’(t) = 
(1, 3t2) é uma função contínua em t∈[–1, 1].
Definição 4 
Um caminho g : [a, b] → IRn diz-se seccional-
mente de classe C1 se o intervalo [a, b] puder
ser decomposto num número finito de subin-
tervalos em cada um dos quais o caminho é de
classe C1. Uma curva diz-se seccionalmente de
classe C1 se existir um caminho seccionalmen-
te de classe C1 que a parametrize.
Conclui-se que um caminho seccionalmente
de classe C1 não pode deixar de ser contínuo.
Exemplo 4 
A união C = C1 ∪ C2 do arco de circunferência
C1 de equação (x – 1)2 + y2 = 1, situado no 1.o
quadrante, com o segmento de reta C2, que
une os pontos (1, 1) e (2, 0), é uma curva sec-
cionalmente de classe C1.
Exemplo 7
A união C = C1 ∪ C2 do arco de circunferência
C1 de equação (x – 1)2 + y2 – 1, situado no 1.o
quadrante, com o segmento de reta C2, que
une os pontos (1, 1) e (2, 0), é uma curva sec-
cionalmente de classe C1.
Com efeito, trata-se de uma curva que não é de
classe C1 (não existe reta tangente no ponto (1,
1)), mas é a união de duas curvas de classe C1.
Lembrando
Seja r um natural. Diz-se que um campo escalar
f é uma função de classe Cr num conjunto aber-
to S quando admite derivadas parciais contí-
nuas até a ordem r em todos os pontos de S. No
caso de S não ser um conjunto aberto, diz–se
que f é de classe Cr em S se existir uma função
g de classe Cr num aberto que contenha S, tal
que f (x) = g(x), ∀x∈S. Sendo g : I ⊂ IR → IRn
uma função vetorial em que g = (g1, . . . , gn) ,
diz-se que g é Cr em I quando gi é de classe Cr
em I, qualquer que seja i=1,..., n.
Definição 5 
Sendo g : I → IRn um caminho, diz-se que g
é um caminho fechado se I é um intervalo
fechado e limitado de extremos a e b e g(a)
= g(b). Diz-se que o caminho não-fechado g
é um caminho simples quando g é injetiva
(isto é, g não assume o mesmo valor em
quaisquer dois pontos distintos de I). O
caminho fechado g diz-se um caminho sim-
ples se g for injetiva no interior de I. Um con-
junto C ⊂ IRn é uma curva fechada ou uma
curva simples se existe, respectivamente,
um caminho fechado ou um caminho sim-
ples que o representa parametricamente.
40
UEA – Licenciatura em Matemática
Exemplo 8
A função g : [0, 8π] → IR3 definida por
g(t) = (cost, sen t, t) é um caminho simples que
representa um arco de hélice cilíndrica.
Exemplo 9
Uma circunferência centrada na origem e de
raio 2 tem por equação cartesiana a expressão
x2 + y2 = 4. Nesse caso, uma representação
paramétrica dessa circunferência pode ser da-
da pela função f:[0, 2π] → IR2, 
com f (t) = (2 cos t, 2 sent). Esse é um exemp-
lo de um caminho simples e fechado.
Exemplo 10
A curva representada na figura abaixo pode ser
definida, parametricamente, pelo caminho 
α : [0,1] → IR2, com α(t) = (t, t3) . Outras repre-
sentações paramétricas da mesma curva são,
por exemplo, β : [4, 6] → IR2, com
, com
λ(t) = (tgt,tg3t).
Entre as diferentes representações paramé-
tricas de uma curva, interessa identificar aque-
las que correspondem apenas a uma mudança
de escala do parâmetro.
Definição 6
Sejam α : I → IRn e β : J → IRn dois caminhos
em IRn.
Os caminhos α e β dizem-se equivalentes se
existe uma função bijetiva e continuamente
diferenciável φ : I → J, tal que φ’ (t) ≠ 0 em
todos com exceção dum número finito de pon-
tos t∈I e α(t) = β [φ(t)], em todos os pontos de
I. Se φ’(t) ≥ 0, diz-se que os caminhos têm o
mesmo sentido; se φ’(t) ≤ 0, diz-se que os ca-
minhos têm sentidos opostos; no primeiro ca-
so, diz–se que a função φ preserva o sentido;
no segundo caso, que inverte o sentido.
Exemplo 11
Considerem-se os caminhos α : [0,1] → IR2,
com α(t) = (t, t3) e β : [4, 6] → IR2, com 
definidos no exemplo
10 e a função φ : [0, 1] → [4, 6] tal que φ(t) =
2t + 4. Essa função é bijetiva, continuamente
diferenciável e tem derivada não nula em todo
o seu domínio (φ’(t) = 2, ∀t∈[0, 1]). Por outro
lado, 
Pode-se, então, concluir que α e β são cami-
nhos equivalentes com o mesmo sentido.
41
Cálculo II – Integrais de linha
1. Determine as representações paramétricas das
seguintes curvas de IR2 e indique quais são sim-
ples, fechadas ou seccionalmente de classe C1:
a) y = x2, x∈[–1,1]
b) y = 1 –|x|, desde (–1,0) até (1,0)
c) x2 + y2 = 2
d) 4x2 + y2 = 1
2. Determine as representações paramétricas das
seguintes curvas de IR3 :
a) O segmento de reta que vai desde (0,0,0)
até (1,1,1).
b) O arco de parábola que vai desde (0, 0, 0)
até (1, 1, 2).
c) A curva definida pelas condições 
x2 + y2 + z2 = 4 e z = 1.
TEMA 02
COMPRIMENTO DE CURVAS E CAMINHOS
Como aplicação da integral definida em IR, já
foi visto que o comprimento do gráfico C de
uma função y = f(x), definida no intervalo [a, b],
pode obter-se pela fórmula
desde que f tenha derivada contínua em [a, b].
O objetivo desta seção é formalizar a noção de
comprimento de uma curva. Esse conceito
pode ser facilmente introduzido a partir da
noção de comprimento de uma linha poligonal,
definida como a soma dos comprimentos dos
segmentos de reta que a constituem.
Como a figura abaixo sugere, um valor aproxi-
mado do comprimento da curva aí representa-
da pode ser obtido marcando-se na curva um
certo número de pontos e calculando-se o com-
primento da linha poligonal cujos extremos são
precisamente esses pontos.
A intuição leva a supor que, se for inscrita na
curva uma nova linha poligonal, pela adição de
mais vértices, ter-se-á uma melhor aproxima-
ção do comprimento da curva.
Por outro lado, também é claro que o compri-
mento de qualquer linha poligonal inscrita não
deverá exceder o da curva, visto que uma linha
reta é o caminho mais curto entre dois pontos!
É, pois, natural, definir o comprimento de uma
curva como o supremo do conjunto dos com-
primentos de todas as linhas poligonais inscri-
tas na curva.
Definição 7
Seja g : [a, b] → IRn um caminho. Chama–se
42
UEA – Licenciatura em Matemática
linha poligonal inscrita no caminho g a uma
união de segmentos de reta cujos extremos são
pontos consecutivos g(t0),g(t1),...,g(tn+1), com
t0<t1<...<tn< tn+1. Diz-se que o caminho é reti-
ficável se o conjunto dos comprimentos de li-
nhas poligonais nele inscritas é majorado e,
nesse caso, chama-se comprimento do cami-
nho g ao supremo (isto é, ao menor dos majo-
rantes) desse conjunto.
Diz-se que uma curva é retificável se pode ser
representada parametricamente por um cami-
nho retificável e, nesse caso, chama-se com-
primento da curva ao ínfimo dos comprimentos
de todos os caminhos retificáveis que a repre-
sentam parametricamente.
O teorema seguinte estabelece uma condição
suficiente para que um caminho seja retificávele indica a forma de calcular o seu comprimen-
to. Deve-se referir, contudo, que a mencionada
condição é igualmente necessária para que
um caminho seja retificável.
Teorema 1
Um caminho g: [a, b] → IRn de classe C1 é reti-
ficável se ||g’|| é uma função integrável em
[a, b]. Nesse caso, o comprimento de g entre
g(a) e g(t) (a = t = b) é dado por
Em particular, o comprimento de g é 
S = s(b) = ∫∫ba ||g’(t)||dt.
Observação:
A função ||g’(t)||representa a norma euclidiana
de g’(t)(t∈[a, b]). Ter-se-á, portanto,
.
Demonstração:
Para cada decomposição Δ do intervalo [a, b],
a = t0 < t1 < · · · < ti–1 < ti < · · · < tn = b,
o comprimento da linha poligonal inscrita na
curva definida por g é dado por
||g(ti) – g(ti–1)|| é o comprimento do segmento
da linha poligonal entre os pontos g(ti–1) e g(ti).
Se o caminho for de classe C1, pode escrever-
se, qualquer que seja a decomposição Δ,
(1)
A segunda igualdade é justificada pela apli-
cação da fórmula de Barrow a cada uma das
funções componentes de g. A desigualdade
que lhe segue justifica-se pela seguinte pro-
priedade: se f é um campo vetorial integrável
no intervalo [a, b], então
Note-se que quer g_(t) quer g_(t) são funções
integráveis em no intervalo [a, b].
De (1),sai, então, que é um majorante
dos comprimentos das linhas poligonais ins-
critas em g, o que implica que o caminho g é
retificável.
Vejamos, agora, que o comprimento de g entre 
g(a) e g(t) (a = t = b) é dado por .
43
Cálculo II – Integrais de linha
Seja o ponto A = O+g(a) a “origem dos arcos”
e s(τ) o comprimento do arco de curva que vai
desde o ponto A até ao ponto Q(τ) = O + g(τ),
com τ,τ0∈[a,b] (ver figura acima). Supondo
τ >τ0, tem-se
donde
(2)
caso τ < τ0, tem-se
e as desigualdades 2 mantêm-se válidas.
Por outro lado, uma vez que a norma é uma
função contínua, tem-se
(3)
adicionalmente é válida a igualdade
(4)
pois, pelo teorema da média,
Consequentemente, o enquadramento (2) e as
igualdades (3) e (4) implicam que
e, como τ0é qualquer valor do intervalo [a, b],
conclui-se que s é uma função derivável do
parâmetro t que verifica
(5)
s’(t) = ||g’(t)||, ∀t∈[a,b]. 
Assim, para a ≤ t ≤ b,
e, em particular, o comprimento de toda a
curva é dado por
Deve-se referir que o comprimento de uma cur-
va de classe C1 é independente da respectiva
parametrização. Com efeito sejam α : I = [a, b]
→ IRn e β : J = [c, d] → IRn duas parametriza-
ções equivalentes de uma mesma curva.
Seja φ : I → J uma função bijetiva e continua-
mente diferenciável tal que φ’ (t) ≠ 0 em todos,
com exceção dum número finito de pontos t ∈I
e α(t) = β[φ(t)], em todos os pontos de I. Note-
se que se φ é bijetiva, então, ou φ’(t) ≥ 0 ou φ’(t)
≤ 0 ∀t ∈I. Suponha-se, por exemplo, que φ’(t)
= 0. Então, tendo em conta o teorema da mu-
dança de variável na integral definida, deduz-
se sucessivamente,
Note-se que ||β’(u)|| é uma função contínua e
φ é continuamente diferenciável, tal que φ (a) ≤
φ (b).
Observação 1
s(t) diz-se a função comprimento de arco. O
diferencial de s, dado por ds = ||g’(t)||dt.
Observação 2
No caso de um caminho g : [a, b] → IR2 com
g(t) = (x(t), y(t)) e t ∈[a, b], tem–se 
e .
Observação 3
No caso de um caminho g : [a, b] → IR3 com
g(t) = (x(t), y(t), z(t)) e t ∈[a, b], tem-se
e
Então, o comprimento s do caminho g é dado
por
44
UEA – Licenciatura em Matemática
.
Observação 4
No caso de uma curva em IR2 ser dada explici-
tamente por uma função real de variável real
y=f(x), com a = x = b, pode parametrizar-se a
curva por meio das equações
.
Nesse caso, admitindo que f tem derivada con-
tínua em [a, b], tem-se 
, 
donde o comprimento s da curva é dado por
,
que é precisamente o resultado apresentado
no início desta seção.
Exemplo 12
Calcular o comprimento do arco da catenária
definido parametricamente pela função 
g : [0, 1] → IR2 com g(t) = (t, cosh t).
Como g’(t) = (1, senh t), o comprimento do
arco da catenária será
Exemplo 13
Determinar o comprimento do arco da hélice
helicoidal definido parametricamente pela
função f : IR → IR3 com f (t) = (2et cos t, 2et sen
t, 2et), desde (2, 0, 2) até (–2eπ, 0, 2eπ).
Nesse caso, é fácil verificar que as extremida-
des da curva correspondem aos valores 0 e π
do parâmetro t. De fato, f(0) = (2, 0, 2) e 
f(π) = (–2eπ, 0, 2eπ).
Por outro lado, 
f’(t) = (2et(cos t – sen t), 2et(sen t + cos t), 2et)
e, portanto, 
. O comprimento pedido é então:
Hélice helicoidal.
1. Determinar o comprimento dos seguintes ar-
cos de curvas:
a) g(t) = (et cos t, et sen t), t∈[0,2]
b) y = ln x, x∈⎣ , ⎦
c) γ(t) = [a(t – sent), a(1 – cost)], t∈[0,2π]
d) γ(t) = (t cost, sent,t), t∈⎣0, ⎦
e) 
45
Cálculo II – Integrais de linha
TEMA 03
DEFINIÇÃO DE INTEGRAIS DE LINHA 
Para tornar mais clara a definição de integral
de linha, tenha-se em atenção o que segue.
Seja C uma curva do plano unindo dois pontos
A e B, definida parametricamente por um cami-
nho g : [a, b] → IR2 seccionalmente de classe
C1. Considerem-se em C os pontos A = P0, P1,
. . . , Pi–1, Pi, . . . , Pn = B, correspondentes a
uma partição do intervalo [a, b], a = t0 < t1 < ..
. < ti–1 < ti < .. . < tn = b, isto é, tais que Pi =
g(ti), i = 0, 1, . . . , n. Seja ainda ϕ um campo
escalar contínuo definido num domínio D ⊂ IR2,
contendo a curva C, e suponhamos que aque-
la função é positiva em D, ou seja, ϕ(x,y) ≥ 0,
∀(x, y)∈D.
Considere-se, agora, a soma Σni=1ϕ(Qi)Δsi em
que ΔSi = s(ti) – s(ti – 1) com (i = 1,2,3,...,n) é o
comprimento do arco Pi–1Pi e Qi é um ponto
arbitrário escolhido nesse arco. Como a figura
a seguir mostra, ϕ(Qi)ΔSi é a área de uma
“faixa” com base do arco Pi–1Pi no plano XOY e
altura ϕ(Qi). É, então, evidente que Σni=1ϕ(Qi)Δsi
constitui uma proximação da área da superfície
cilíndrica S de diretriz C e geratriz paralela ao
eixo OZ, situada entre o plano XOY e o gráfico
de ϕ (ver figura abaixo). Intuitivamente, é fácil
aceitar que, no caso de existir e ser finito o li-
mite de Σni=1ϕ(Qi)Δsi quando n → ∞ e σ = maxi
|ti – ti–1| ? 0, esse limite deverá coincidir com a
área de S. Ora, caso não dependa da decom-
posição de [a, b] nem da escolha dos Qi, esse
limite é precisamente a integral de linha de ϕ
sobre a curva C relativamente ao comprimento
de arco s. Essa integral é designada, habitual-
mente, por integral de linha de 1.a espécie e re-
presenta-se por , isto é,
.
Interpretação Geométrica da Integral de linha.
Admitindo-se que a integral de linha
existe, vejamos como o seu cálculo se pode
fazer, recorrendo a uma integral definida no
intervalo [a, b].
Uma vez que função comprimento de arco s(t)
é contínua e derivável em [a, b], o teorema de
Lagrange implica que
(6)
ΔSi = s(ti) – s(ti–1) = s’(ξi)(ti – ti–1), para algum
ξi∈]ti–1 , ti[.
Considerando a soma conclui-se
de (6) que
(7)
,
sendo de notar que o 2.o membro dessa igual-
dade é uma soma de Riemann da função ϕ.s’
no intervalo [a,b] relativamente à decom-
posição considerada. 
Como essa função é contínua, pode-se garan-
tir a existência da sua integral de Riemann no
intervalo [a, b], tendo-se, portanto,
atendendo a (5). Passando ao limite ambos os
membros de (7), deduz-se que
Como o limite do 1.o membro não pode deixar
46
UEA – Licenciatura em Matemática
de ser , conclui-se que para calcular essa
última integral bastará calcular a integral definida
Vimos atrás que, sendo ϕ uma função positiva
definida em IR2 e C uma curva do plano XOY, a 
integral de linha pode ser interpretada geo-
metricamente como a área de uma superfície.
Mas, geralmente, supondo que ϕ é um qual-
quer campo escalar definido em IRn e C uma
qualquer linha do mesmo espaço, a integral de
linha de 1.a espécie define-secomo segue:
Definição 8
Seja ϕ um campo escalar contínuo cujo domí-
nio contém uma curva C representada para-
metricamente por um caminho g : [a, b] → IRn,
seccionalmente de classe C1. A integral, 
, dado por
diz-se a integral de linha de ϕ sobre C relativo
ao comprimento de arco s definido pelo cami-
nho g. 
Exemplo 14
Calcular a área da superfície lateral do sólido
limitado superiormente pelo plano de equação
z = 1–x–y e inferiormente pelo círculo 
do plano z = 0.
Solução:
A curva que no plano XOY limita a superfície é 
a circunferência
.
Designando essa curva por C e representando-
a parametricamente pelas equações
, tem-se que a área pe-
dida é igual a
As integrais de linha relativos ao comprimento
de arco surgem, muitas vezes, ligadas a pro-
blemas relacionados com a distribuição de
uma grandeza escalar (massa, carga elétrica,
etc) ao longo de uma curva.
Supondo, por exemplo, que um filamento com
a configuração de uma curva em IR3 tem den-
sidade de massa por unidade de comprimento
dada por um campo escalar ϕ (isto é, ϕ(x,y,z),
que é a massa por unidade de comprimento
no ponto (x,y,z) de C), então a massa total do
filamento é definida por 
O centro de massa do filamento é definido
como o ponto (x,y,z), cujas coordenadas são
determinadas pelo sistema de equações:
Exemplo 15 
Calcular o centro de gravidade do arco de semi-
circunferência C = {(x,y): x2 + y2 = r2, y ≥ 0}
supondo que em todos os pontos de C a den-
sidade de massa por unidade de comprimento
é constante (ver figura a seguir).
Solução:
Seja ϕ(x,y) = ρ = const. a densidade de mas-
sa por unidade de comprimento em cada pon-
to (x,y) do arco de semicircunferência C.
Considerando a parametrização de C,
g(t) = (r cos t, rsen t), t∈[0,π], tem-se que a
massa de C é dada por
47
Cálculo II – Integrais de linha
Centro de gravidade de semicircunferência.
Então, as coordenadas do centro de gravidade 
são dadas por:
Isto é, .
A definição de integral de linha que agora se
apresenta é relativa a campos vetoriais e intro-
duz a habitualmente designada integral de linha
de 2.a espécie.
Definição 9
Seja C uma curva representada parametrica-
mente por um caminho g : [a, b] → IRn, sec-
cionalmente de classe C1, e f um campo veto-
rial definido em C, que toma valores em IRn.
Chama-se integral de linha de f ao longo do
caminho g à integral
(8)
sempre que a integral da direita exista. (Na
igualdade anterior, “.” representa a operação
de produto interno.)
Observação 5
Se A = g(a) e B = g(b), a integral pode
ser expressa por ∫BAf.dg; quando
essa notação é usada, há de se ter em conta
que a integral depende não só dos seus
extremos, mas também do caminho que os
liga! Se A = B, isto é, se C é fechado, é cos-
tume representar a integral de linha de f ao 
longo de g pelo símbolo .
Quando f e g são expressos pelas suas com-
ponentes, isto é, f = (f1, f2,...,fn) e g = (g1,
g2,...,gn), a igualdade (8) escreve-se na forma
No caso bidimensional, a curva C é habitual-
mente descrita por um par de equações para-
métricas do tipo
,
e a integral de linha escreve-se na forma
No caso tridimensional, a curva C é habitual-
mente descrita por três equações paramétricas
do tipo
,
e a integral de linha escreve-se na forma
Exemplo 16 
Seja f o campo vetorial definido por
para todos os pares
(x,y)∈IR2 tais que y ≥ 0. 
48
UEA – Licenciatura em Matemática
Calcular a integral de linha de f de (0,0) até
(1,1), ao longo de cada um dos seguintes ca-
minhos:
1. o segmento de reta de equações paramétri-
cas x = t, y = t, 0 ≤ t ≤ 1;
2. o caminho com equações paramétricas x =
t2, y = t3, 0 ≤ t ≤ 1.
Solução:
No caso da alínea (a), tem-se g’(t) = (1,1) e
. Então, o produto interno 
f[g(t)].g’(t) é igual a , donde
No caso da alínea (b), tem-se g’(t) = (2t, 3t2), 
e
A integral pedida será, portanto,
Esse exemplo mostra que a integral, desde um
ponto até outro, pode depender do caminho
que liga os dois pontos. Repare, no entanto,
que se efetuar o cálculo do segundo integral,
utilizando a mesma curva, mas com uma outra
representação paramétrica, por exemplo, 
, com 0 = t = 1, tem-se 
, e a integral é igual 
a como anteriormente. Esse fato ilustra a
independência do valor da integral de linha re-
lativamente à representação paramétrica uti-
lizada para descrever a curva. Recordemos
que tal propriedade já tinha sido observada
quando se definiu a noção de comprimento de
arco.
Seja C uma curva de classe C1 parametrizada
por g:[a,b] → IRn tal que g’(t) ≠ 0, para qualquer
t∈[a,b] (uma curva nessas condições diz-se
regular). Mostra-se seguidamente que a inte-
gral de linha de um campo vetorial ao longo de
uma curva regular não é mais do que a integral
de linha de um certo campo escalar relativo ao
comprimento de arco. Seja, então, f um campo
vetorial, e ϕ o campo escalar definido por
ϕ[g(t)] = f[g(t)].T(t), isto é, pelo produto inter-
no de um campo vetorial f definido em C com 
o vetor unitário tangente . Então, 
Interpretemos fisicamente : se f caracteri-
zar o escoamento de um fluido (ou seja, se f for
um campo de velocidades), f. T traduzirá a com-
ponente tangencial desse escoamento em
cada ponto da linha C, constituindo uma medi-
da do escoamento do fluido na direção de T,
em cada ponto da referida linha; assim, se C
for uma curva fechada, a integral de linha
∫Cf.dg = ∫Cf . Tds representará uma medida do
escoamento do fluido ao longo da linha C,
medida essa que se designa por circulação.
1. Calcule ∫Cf(x,y)ds, ∫Cf(x,y)dx e ∫Cf(x,y)dy em que:
a) e C é a curva parametrizada
por , com t∈[0,4]
b) f(x,y) = x3 + y e C é a curva y = x3, com
0 < x < 1.
2. Calcule as áreas das superfícies cilíndricas si-
tuadas entre as curvas do plano XOY e as
superfícies indicadas:
a) Curva y = x2, x∈[0,2] e superfície .
b) Curva e superfície .
c) Curva x2 + y2 = ax(a > 0) e superfície
z = x – z. 
3. Considere um fio com a forma da hélice de
equações
49
Cálculo II – Integrais de linha
Calcule a massa do fio, sabendo que em cada
ponto (x,y,z) a densidade linear do fio é dada 
por .
4. Calcule a massa do segmento de curva 
y = ln x que une os pontos (1,0) e (e,1) se a
densidade linear em cada ponto for igual ao
quadrado da abscissa do ponto.
5. Calcule ∫C4(xy2)dx – 3x4dy, em que C é a linha
poligonal que une os pontos (0,1),(–2,1) e
(–2,0).
6. Calcule , em que C é a
circunferência x2 + y2 = 4, orientada no senti-
do positivo.
UNIDADE IV
Integrais múltiplas
53
Cálculo II – Integrais múltiplas
UM BREVE HISTÓRICO
RIEMANN
Nasceu no dia 17 de setembro de 1826, em
Breselenz, Alemanha. Era filho de um ministro
luterano e teve uma boa instrução, estudando
em Berlim e Göttingen, mas em condições
muito modestas por causa de sua saúde frágil
e de sua timidez. 
Aos 19 anos, Riemann foi, com todo o apoio do
pai, para a Universidade de Göttingen, estudar
teologia com o objetivo de tornar-se clérigo.
Mais tarde, pediu permissão ao pai e mudou o
foco dos seus estudos para a Matemática,
transferindo-se, um ano depois, para a Univer-
sidade de Berlim, onde atraiu o interesse de e
Jacobi.
Em 1849, retornou a Göttingen, onde obteve o
grau de doutor em 1851. Sua brilhante tese foi
desenvolvida no campo da teoria das funções
complexas. Nessa tese, encontram-se as cha-
madas equações diferenciais de Cauchy-
Riemann – conhecidas, porém, antes do tempo
de Riemann – que garantem a analiticidade de
uma função de variável complexa e o produti-
vo conceito de superfície de Riemann, que
introduziu considerações topológicas na aná-
lise. 
Três anos mais tarde, foi nomeado
Privatdozent, cargo considerado o primeiro
degrau para a escalada acadêmica. Com a
morte de Gauss em 1855, Dirichlet foi

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