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CÁLCULO II

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na integral de linha
será nulo, e se tiver componente nessa dire-
ção, haverá um acréscimo na integral de linha
de valor igual ao módulo dessa componente
do campo. Ela mede também a soma das pro-
jeções da força na direção da curva.
Ora, dado um campo de vetores F = (f(x, y),
g(x, y)), podemos procurar suas curvas inte-
grais, isto é, as curvas que são sempre tan-
gentes ao campo. Procuramos curvas (x(s),
y(s)) tais que o vetor tangente 
ou, na prática, procuramos soluções do sis-
tema de equações diferenciais e
. Se |F| = 1 então a curva sai para-
metrizada por comprimento de arco e F.v
→ 
= 1.
Assim, a integral de linha de um campo unitário
em cima de uma curva integral mede o compri-
mento desta curva, pois
Relação entre a integral de linha e a
medição realizada pelo Planímetro
As figuras a seguir, realizadas usando o soft-
ware Maple, mostram o campo gerado pelo
Planímetro, no primeiro quadrante, e algumas
curvas integrais e ortogonais desse campo.
83
Cálculo II – Teorema de Green
Traduzindo para o funcionamento físico do Pla-
nímetro, quando este percorre uma curva inte-
gral do campo, a rodinha fixada perpendicular-
mente na extremidade do braço móvel, roda
perfeitamente livre. O contador acoplado a
essa rodinha mede o número de voltas que ela
dá ao se deslocar sobre a curva. Seja k esta
medida e d o diâmetro da rodinha. O compri-
mento total da curva integral será então kπd.
Chamando novamente de F = (f, g) o campo
associado ao Planímetro e de C a curva inte-
gral, temos:
∫∫C f dx + g dy = comprimento de C = kπd
Quando o Planímetro percorre uma curva orto-
gonal, a rodinha não roda nada; logo, o medi-
dor acoplado na rodinha indicará zero, ou seja,
o valor da integral de linha do campo sobre a
curva ortogonal.
Assim, em qualquer um dos casos, 
∫∫C fdx + g dy = kπd
em que k é o número medido pelo contador
acoplado à rodinha.
Qualquer curva fechada C, contida no primeiro
quadrante, pode ser aproximada por vários seg-
mentos de curvas integrais e ortogonais inter-
caladas, que denotaremos por C1, C2, ...,Cn.
Então,
∫∫C f dx + g dy ≈ ∫∫C1 f dx + g dy + 
+ ∫∫C2 f dx + g dy + ... + ∫∫Cn f dx + g dy 
= (k1 + k2 + ... + kn)πd
em que k é o número dado pelo contador ao
percorrermos a curva C.
Funcionamento do Planímetro
Chamemos de r o comprimento de cada braço
do Planímetro, d o diâmetro da rodinha coloca-
da perpendicularmente ao braço móvel e de k
o número dado pelo contador ao se percorrer
C no sentido anti-horário. O campo determina-
do pelo Planímetro é F = (f, g). Então
área cercada por C ou
seja:
Área cercada por 
De todo o conteúdo colocado, podemos ver o
quão interessante é esse instrumento que, ba-
seado num teorema relativamente simples, tem
aplicações extensas e extremamente úteis na
engenharia, na geologia, etc.
Respostas dos Exercícios
87
Cálculo II – Respostas dos exercícios
UNIDADE I
Funções de várias variáveis
TEMA 01
INTRODUÇÃO
Pág. 12
1. 25m
2. –7,34oC .
TEMA 02
DOMÍNIO E IMAGEM
Pág. 15
a)
b)
c) Todos reais (todo plano xy)
d) y ≥ x 
y > –x
e)
f)
88
UEA – Licenciatura em Matemática
g)
h) x2 + y2 ≤ 3 
i) y > u
j) y ≥ –x
l) x2 + y2 ≠ 1
m) x2 + y2 ≠ 4
TEMA 03
GRÁFICOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS
Pág. 19
1. a–4 b–3 c–1 d–2
2. a) As isotérmicas são círculos centrados na
origem 
b) x2 + y2 = 100
3. A soma das distâncias entre um ponto perten-
cente à elipse e cada um de seus focos é con-
stante. A usina estará sobre uma elipse que tem
tenha uma da cidades em cada um de seus
focos, de forma que a soma das distâncias entre
a usina e cada cidade seja igual a M.
TEMA 04
LIMITES E CONTINUIDADE PARA 
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Pág. 21
Demonstrações
TEMA 05
DERIVADAS PARCIAIS
Pág. 24
Demontrações
TEMA 06
DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR
Pág. 25
Demonstrações
UNIDADE II
Derivada direcional
TEMA 01
VETOR GRADIENTE 
E DERIVADAS DIRECIONAIS
Pág. 30
Demonstrações
TEMA 02
MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
Pág. 32
1. a) máximos: f(±1,0) =1, mínimos f(0,±1) =–1
b) x = 100/3, y = 100/3, z = 100/3
c) máximos: f(± 2,1) = 4, mínimos f(± 2,–1) = –4
d) máximo: 
mínimo :
e) mínimo:
f) máximo: f(1,3,5) = 70, 
mínimo: f(–1,–3,–5) = – 70
2. Base quadrada de lado , altura 
3. Demonstração
4. Demonstração.
5. Cubo, aresta de comprimento c/12.
6. x = y 4,62 m e z 2,31 m.
89
Cálculo II – Respostas dos exercícios
UNIDADE III
Integrais de linha
TEMA 01
CAMINHOS E CURVAS
pág. 41
Demonstrações
TEMA 02
COMPRIMENTO DE CURVAS E CAMINHOS
pág. 44
1. a) 
b)
c) 8a
d)
e) 14
TEMA 03
DEFINIÇÃO DE INTEGRAIS DE LINHA 
Pág. 48
1. a)
b)
2. a)
b)
c)
3.
4.
5. 56 
6. 2π
90
UEA – Licenciatura em Matemática
UNIDADE IV
Integrais múltiplas
TEMA 02
INTEGRAIS REPETIDAS
Pág. 58
1. a) 1. ;
b) 2. ;
c) 3.0; 
d) 4.0; 
e) 5. 0; 
f) ; 
g)
2. –24
3. 21,5
4. 8 / 3
5. 42
6.
7. un. Cúbicas
TEMA 03
INTEGRAIS TRIPLAS
Pág. 61
1. a)
b)
2.
3.
4.
5. a) – 
b)
c)
6.
7.
8.
9.
10.
11. unid.cúbicas 
12. unid.cúbicas
13. 4πunid. Cúbicas
14. unid. cúbicas
15. 
16. 
17. 
TEMA 04
MUDANÇA DE VARIÁVEIS 
NAS INTEGRAIS DUPLAS
Pág. 64
1 πR2
2. π(1 – e–R2)
91
Cálculo II – Respostas dos exercícios
3.
4. (b4 – a4)/8
5. 0
TEMA 05
A PLICAÇÕES DA INTEGRAL 
DUPLA E TRIPLA
Pág. 67
1. 12kg, (2, )
2.
3. )
4.
5.
6. 9ρkg–m2
7.
8. 
Pág. 72
1. unid. quadradas
2. 9 unid. quadradas
3. 8π unid. quadradas
4. 12πunid. quadradas. 
5. unid. quadradas
6. unid. quadradas
UNIDADE V
Teorema de Greenn
Pág. 79
1. a) 
b)
c) π
d) – 3
e) –3π
2. a) 
b)
c) 
92
UEA – Licenciatura em Matemática