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CÁLCULO II

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forte ênfase em línguas
estrangeiras. O pequeno Hamilton, aos 5 anos
de idade, lia e recitava Homero em grego; aos
8 anos, já falava fluentemente o italiano e o
francês. Aos 10 anos de idade, aprendeu a lín-
gua árabe. Seu interesse pela matemática
surgiu aos quinze anos de idade, ao conhecer
um jovem norte-americano chamado Zertah
Colburn, que possuía fantástica habilidade para
realizar cálculos mentais. Ingressou no Trinity
College, em 1824, tendo sido o primeiro coloca-
do entre 100 candidatos no concurso de admis-
são. Aos 22 anos, ainda estudante, já era dire-
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Cálculo II – Funções de várias variáveis
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UEA – Licenciatura em Matemática
tor de um observatório. Hamilton dedicou-se à
leitura das obras de Newton e de Laplace, e
criou sua própria formulação da mecânica, con-
hecida hoje como mecânica hamiltoniana, que
é tremendamente importante em todos os cam-
pos da física moderna, notadamente na física
quântica. Sua vida particular não foi das mais
tranqüilas; ele teve sérios problemas com o
alcoolismo. Após terrível luta contra o vício,
convence-se de que a única solução seria
nunca mais ingerir nenhum tipo de bebida
alcoólica. 
Por dois anos, Hamilton manteve-se sóbrio,
mas durante uma discussão com o astrônomo
George Airy, que debochou de seu hábito de
beber apenas água durante festas e
solenidades, Hamilton voltou a beber e caiu,
afundando-se ainda mais no vício. Apesar da
desordem em que estava mergulhada sua vida
privada, Hamilton ainda se mantinha firme na
competição matemática. Contribuiu para o
desenvolvimento do cálculo, sendo de sua
autoria o termo gradiente para designar o vetor
que aponta na direção de maior variação de
uma função escalar. Hamilton também realizou
pesquisas em ótica e soluções numéricas de
equações diferenciais. O homem que amava os
animais e que foi chamado “o novo Newton”
morreu em 1865, deixando uma obra inacaba-
da, que foi publicada por seu filho no ano
seguinte.
TEMA 01
INTRODUÇÃO
O conceito de função de várias variáveis está
intimamente ligado aos fenômenos mais com-
plexos no campo da matemática aplicada à fí-
sica e à engenharia. Se um meteorologista, por
exemplo, tiver de determinar o comportamento
futuro da temperatura de uma região, ele preci-
sará de um conjunto de dados atmosféricos,
como pressão do ar, velocidade dos ventos e
umidade do ar. 
Podemos ver, claramente, que a temperatura
do ar depende de várias outras grandezas, de
forma que, quando esse conjunto de variáveis
se altera, ela também se altera, ou seja, ela é
uma função que depende de várias outras var-
iáveis. 
Ainda como exemplo, podemos enxergar o
preço de um produto com sendo dependente
do preço da matéria-prima, do preço de mão-
de-obra e do custo do transporte, pois se esses
elementos variam, o preço final do produto va-
riará também.
Matematicamente, uma função de N variáveis é
representada como sendo uma função
f = f(x1, x2, x3,..., xN). O domínio dessas funções
é o RN, sendo que N pode variar desde N = 1
até N = ∞. Vejamos, a seguir, alguns exemplos
de funções de várias variáveis, começando com
o caso mais simples, a função de duas variá-
veis.
Exemplo 1
Volume de um cilindro
Figura 1 – O volume de um 
cilindro é função de duas variáveis, r e h.
O volume de um cilindro, de altura h e raio de
base r, é expresso por VCIL = πr2h. Como o
valor do volume muda se mudarmos um dos
valores de r e h, fica clara a dependência do
volume com as variáveis r e h. Podemos, então,
classificar VCIL como uma função de duas va-
riáveis. 
Em razão disso, podemos simbolizar o volume
de um cilindro como:
VCIL = VCIL(r,h)
Exemplo 2
Área de um retângulo
Figura 2 – A área de um retângulo 
é função de duas variáveis, a e b.
Outro exemplo de função de duas variáveis
que podemos buscar nos domínios da geo-
metria é a área de um retângulo de lados a e b.
sabendo que a área da superfície retangular é
dada por:
S = ab,
em que a e b são as varáveis, pois podem
assumir valores arbitrários, determinando um
único valor de S para cada par de valores (a,b).
Podemos escrever s como uma função de duas
variáveis:
S = S(a,b).
Continuando nossa seqüência de exemplos,
vamos analisar alguns casos de função de três
variáveis. Elas são essenciais em problemas
que descrevem fenômenos tridimensionais,
como o volume de um paralelepípedo, o es-
coamento de um gás ou a distribuição de tem-
peraturas em uma sala.
Exemplo 3
Volume de um paralelepípedo
Figura 3 – O volume de um 
paralelepípedo é função de três variáveis, x,y e z.
O volume do paralelepípedo de largura x, pro-
fundidade y e altura z é dado por 
V = xyz
Assim como nos exemplos anteriores, pode-
mos ver que a mudança do conjunto de valo-
res (x,y,z) tem como conseqüência a mudança
do valor do volume do paralelepípedo, uma
vez que ele é função das dimensões deste sóli-
do. Ou seja:
V=V(x,y,z)
Exemplo 4: 
Potencial elétrico de uma carga elétrica pun-
tiforme
Considere uma carga elétrica puntiforme Q,
posicionada na origem de um sistema de três
eixos coordenados. A intensidade do potencial
elétrico em qualquer ponto do espaço depen-
derá das coordenadas (x, y, z) deste ponto, ou
seja, de sua posição. A figura 4 abaixo ilustar
essa situação.
Figura 4 – Potencial elétrico gerado em 
todos os pontos do espaço por uma carga elétrica Q.
Vemos que cada valor de U(x,y,z) depende de
um conjunto de três coordenadas (x,y,z), que
localizam o ponto P no espaço.
Para resumir as idéias expostas, vamos con-
ceituar as funções de duas e três variáveis.
Função de duas variáveis
Uma função de duas variáveis é uma regra que
associa a cada par ordenado (x,y) de um con-
junto D um único valor real designado por 
z = f (x,y). O conjunto D é o domínio da
função, e o conjunto imagem é o conjunto dos
valores possíveis de f.
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Cálculo II – Funções de várias variáveis
Função de três variáveis
Uma função de três variáveis é uma regra que
associa a cada tripla ordenada (x,y,z) de um
conjunto D um único valor real designado por
z = f (x,y,z). O conjunto D é o domínio da fun-
ção, e o conjunto imagem é o conjunto dos va-
lores possíveis de f.
Essas definições são facilmente extensíveis ao
caso de várias variáveis:
Função de várias variáveis
Uma função de várias variáveis é uma regra
que associa a cada N–upla ordenada
(x1,x2,...,xN), de um conjunto D, um único valor
real designado por de f = f (x1,x2,...,xN). O con-
junto D é o domínio da função, e o conjunto
imagem é o conjunto dos valores possíveis de
f.
Exemplo 5
O potencial elétrico U no ponto 
P(x,y,z) é dado por , ache o valor
do potencial elétrico no ponto P(1,5,4).
Solução: 
Para achar o valor da função U(x,y,z) em
P(1,5,4), basta substituir os valores das coor-
denadas do ponto P, na equação da função, e
achar U(1,5,4).
Exemplo 6
Uma chapa de metal plana está em um
plano–xy, de modo que a temperatura T em
(x,y) seja dada T em (x,y) seja dada por T =
0,01(x2 + y2)2 em que T é expresso em oC , e x
e y em centímetros. Ache o valor da temperatu-
ra no pontos A(0,1; ,3), B(2,7) ,C(4,1) e D(
, ).
Solução:
Como no problema anterior, basta substituir os
valores das coordenadas de cada ponto na
equação da função T(x,y), e achar os valores
correspondentes.
a) No ponto A(1,3): T(1,3) = 0,01 (12 + 32)2 =
0,01 (1+ 9)2 =1 oC ∴ T(1,3) = 1 oC.
b) No ponto B(2,7): T(2,7) = 0,01 (22 + 72)2 =
0,01 (4+49)2 =28,09 oC ∴ T(21,3) = 28,09
oC.
c) No ponto C(4,1): T(4,1) = 0,01 (42 + 12)2 =
0,01 (16+1)2 =2,89 oC ∴ T(4,1) = 2,89 oC.
d) No ponto D( , ): T( , )= 0,01(( )2+ 
( )2)2 = 0,01(3+2)2 = 0,25 oC ∴ T( , )=
0,25oC.
1. A superfície de um lago é representada por
uma região D em um plano –xy, de modo que
a profundidade sob o ponto correspondente a
(x,y) é dada por f(x,y) = 300 –2x2 – 3y2, em que
x, y e f(x,y)