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CÁLCULO II

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= k é uma curva c no plano-
xy. A curva C pode ser escrita em termo de
componentes x =h(t) e y = m(t), em que t é um
parâmetro, como o tempo em problemas de
mecânica, mas que, em geral, pode ser um
ângulo ou outra grandeza conveniente.
Seja 
→
r (t) = x^x + y^ y = h(t)^ x + m(t)^ y o vetor
posição do ponto P(x,y) vem C (veja a figura
24, acima), e suponhamos que o ponto Po(xo,yo),
em que f(x,y) tem um extremo, corresponda a 
t = to, isto é, 
→
r (to) = xo^ x + yo^ y = h(to)^ x +
m(to)^ y. Definindo F de uma variável t por 
F(t) =f(h(t),m(t)),
vemos que, quando t varia, obtemos valores
f(x,y) correspondem a (x,y) em C, isto é, f está
sujeita ao vínculo g(x,y) = k; dessa forma, esta-
mos considerando apenas os valores de f(x,y)
que estão sobre pontos da curva C. Como
f(xo,yo) é um extremo de f, segue-se que F(to) =
f(h(to),m(to)) é um extremo deF(t). Assim, F’(to)
= 0. Se encaramos F como uma função com-
posta, então, pela regra da cadeia, 
Fazendo t = to, temos:
Isso mostra que o vetor ∇→f(xo,yo) é perpen-
dicular ao vetor 
→
r’(to) tangente a C.
Entretanto ∇→g(xo,yo) também é perpendicular a
→
r’(to) porque C é uma curva de nível para g.
Como ∇→f(xo,yo) e ∇
→
g(xo,yo) são perpendicula-
res ao mesmo vetor, são paralelos entre si, isto
é, ∇→f(xo,yo) = λ∇
→
g(xo,yo) para algum λ. O
número λ é chamado multiplicador de Lagran-
ge. Voltemos, agora, ao problema da caixa com
que abrimos esta discussão: sejam x, y e z o
comprimento, a largura e a altura, respectiva-
mente, da caixa em metros. 
Exemplo 1
Achar a caixa sem tampa de maior volume com
superfície total de 12m2.
Solução:
Buscamos maximizar o volume V= xyz sujeito
à restrição g(x,y,z) = 2xz+2yz+xy =12.
32
UEA – Licenciatura em Matemática
Utilizando os multiplicadores de Lagrange, pro-
curamos os valores de x, y, z e tais que ∇→V =
λ∇→g e g(x,y,z) = 12. Partindo dessas condi-
ções, geramos as equações:
e 2xz+2yz+xy = 12,
ou seja:
(1) yz = (2z+y)
(2) xz = (2z+x)
(3) xy = (2x+2y)
(4) 2xz+2yz+xy =12
Para resolver esse sistema de equações, va-
mos lançar mão de alguns truques: observe
que se multiplicarmos (2) por x, (3) por y e (4)
por z, os lados esquerdos dessas equações
ficam iguais. Assim temos que:
(5) xyz = (2xz+xy)
(6) xyz = (2yz+xy)
(7) xyz = (2xz+2yz)
Vê-se que 0 porque = 0 implicaria em ter yz =
xz = xy = 0 em (1), (2) e (3), contradizendo a
equação (4). De (5) e (6) temos: 2xz+xy =
2yz+xy que nos dá x = y. De (6) e (7) temos:
2yz+xy = 2xz+2yz, que dá 2xz = xy e portan-
to y = 2z. Se substituirmos 
x = y =2z em (4), teremos:
4z2+4z2+4z2 = 12
sabendo que x, y, e z são todos positivos,
temos que z =1, x = 2 e y = 2.
Exemplo 2
Determine os valores extremos da função 
f(x,y) = x2 + 2y2 no círculo x2 + y2 = 1.
Solução:
Devemos achar os valores extremos de f (x,y)
sujeita à restrição g(x,y) = x2 + y2 = 1.
Utilizando os multiplicadores de Lagrange, re-
solvemos as equações ∇→f = λ∇→g, g(x,y) = 1,
que podem ser escritas como:
,
,
e x2+y2 = 1
Elas resultam em:
(8) 2x = 2x
(9) 4y = 2y
(10) x2+y2 = 1
A equação (8) dá-nos x = 0 ou =1. Se x = 0,
então a equação (10) y = ±1. Se = 1, então a
equação (9) dá-nos y = 0; assim, a equação
(10) fornece x = ±1. Portanto os valores
extremos de f(x,y) ocorrem nos pontos (0,1),
(0,-1),(1,0), e (-1,0). Calculando f(x,y) nesses
quatro pontos, temos:
f (0,1) = 2
f(0,–1) = –2
f(1,0) = 1
f(–1,0) = 1
Portanto o valor máximo de f(x,y) no círculo
x2+y2 = 1 é f(0,±1) = 2, o valor mínimo é
f(±1,0) = 1.
1. Utilize os multiplicadores de Lagrange para
determinar os valores máximo e mínimo da
função sujeita à restrição dada:
a) f(x,y) = x2-y2 ; x2+y2 =1
b) f(x,y,z) = xyz; x+y+z =100
c) f(x,y) = x2y ; x2+ 2y2 = 6
d) f(x,y,z) = x+y+z ; x2+ y2+z2 = 25
e) f(x,y,z) = x2+ y2+z2; x-y+z =1
f) f(x,y,z) = 2x+ 6y+10z; x2+ y2+z2 = 35
2. Deve-se construir uma caixa retangular fechada
de 2m3 de volume. Se o custo por metro qua-
drado do material para os lados, o fundo e a
tampa é R$ 200, R$ 400,00 e R$ 300,00,
33
Cálculo II – Derivada direcional
respectivamente, ache as dimensões que mini-
mizam o custo.
3. Deve-se construir um depósito com tampa, em
forma de cilindro circular reto e com área de
superfície fixa. Mostre que o volume é máximo
quando h = 2R.
4. Utilize multiplicadores de Lagrange para provar
que o retângulo com área máxima, com perí-
metro constante p, é um quadrado.
5. Determine as dimensões de uma caixa retan-
gular de volume máximo tal que a soma de
suas doze arestas seja um constante c.
6. Determine as dimensões da uma caixa retan-
gular de maior volume se sua superfície total é
dada como 64m2.
UNIDADE III
Integrais de linha
37
Cálculo II – Integrais de linha
INTRODUÇÃO
A integral de linha é uma generalização natural 
da integral definida , em que o intervalo
[a, b] é substituído por uma curva, e a função
integranda é um campo escalar ou um campo
vetorial definido e limitado nessa curva.
As integrais de linha são de uma importância
fundamental em inúmeras aplicações, nomea-
damente, em ligação com energia potencial,
fluxo do calor, circulação de fluidos, etc.
No que se segue, começaremos por apresen-
tar os conceitos de curva e de comprimento de
uma curva; em seguida, daremos a definição
de integral de linha. Depois de enunciarmos as
propriedades fundamentais da integral de linha,
veremos a sua aplicação ao cálculo do trabal-
ho realizado por uma força.
TEMA 01
CAMINHOS E CURVAS
Seja g uma função vectorial que toma valores
em IRn e cujo domínio é um intervalo I ⊂ IR. À
medida que a variável independente t percorre I,
os correspondentes valores da função g(t) per-
correm um conjunto de pontos de IRn, que con-
stitui o contradomínio da função. Se a função
tomar valores em IR2 ou em IR3, é possível visu-
alizar, geometricamente, esse contradomínio.
Exemplo 1 
Seja g : IR → IR2 a função definida por:
g(t) = (1 – 2t,1 +t) = (1, 1) + t(–2, 1)
O contradomínio de g é a reta que passa pelo
ponto (1, 1) e tem a direção do vetor (–2, 1).
Se a função g é contínua em I, o contradomínio
de g chama-se uma curva, mais concreta-
mente, a curva descrita por g.
Exemplo 2 
A função f : IR → IR3 definida por:
f (t) = (2t – 2 sent, 2 – 2 cos t, t) é contínua em IR.
Temos apresenta a hélice descrita por f , isto é,
o seu contradomínio.
38
UEA – Licenciatura em Matemática
Exemplo 3 
O traço da curva é
o segmento de reta de extremidade inicial
(–1,0,2) e final (7,6,4).
Exemplo 4
O arco de parábola y = x2, x∈[0,2] pode ser
representado, parametricamente, por
, ou seja, é o traço da
curva γ : [0,2] → IR2, dada por γ(t) = (t,t2).
Exemplo 5
A curva
Tem por traço a cúbica
Observe que, elimidando-se o parâmetro t,
obtemos , logo (x,y) pertence ao traço
de γ se, e só se, .
Definição 1 
Chama-se caminho em IRn qualquer função
contínua definida num intervalo (limitado ou
não) de números reais I e com valores em IRn.
O contradomínio de um caminho chama-se cur-
va ou arco.
Se g : I → IRn é um caminho, diz–se que C =
g (I) é a curva representada por g, e que g é
uma representação paramétrica da curva C;
como os pontos da curva são da forma g (t),
com t ∈ I, a variável t é, habitualmente, designa-
da por parâmetro da representação paramétri-
ca considerada. Se g é um caminho definido
num intervalo fechado e limitado I = [a, b], os
pontos g (a) e g (b) chamam-se extremos do
caminho g, respectivamente, o ponto inicial e o
ponto final do caminho g.
As propriedades da função g podem ser uti-
lizadas para investigar as propriedades geo-
métricas do seu gráfico. Em particular, a deri-
vada g’ = (g’1,g’2,g’2,...g’n) está relacionada
com o conceito de tangência, tal como no caso