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São soluções:
⎧⎨⎩𝑦𝑟(𝑥) = |𝑥|𝜆 cos(𝜇 ln |𝑥|)𝑦𝑟(𝑥) = |𝑥|𝜆 sin(𝜇 ln |𝑥|) .
iii) Real repetida 𝑘 vezes (𝑘 ≥ 1), ie, de multiplicidade 𝑘 + 1.
São soluções:
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
𝑦𝑟0(𝑥) = |𝑥|𝑟
𝑦𝑟1(𝑥) = |𝑥|𝑟 ln |𝑥|
𝑦𝑟2(𝑥) = |𝑥|𝑟(ln |𝑥|)2
...
𝑦𝑟𝑘(𝑥) = |𝑥|𝑟(ln |𝑥|)𝑘
.
iv) Complexa repetida 𝑘 vezes (𝑘 ≥ 1), ie, de multiplicidade 𝑘 + 1 da forma
⎧⎨⎩𝑟 = 𝜆+ 𝑖𝜇𝑟 = 𝜆− 𝑖𝜇 .
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São soluções:
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
𝑦𝑟0(𝑥) = |𝑥|𝜆 cos(𝜇 ln |𝑥|)
𝑦𝑟0(𝑥) = |𝑥|𝜆 sin(𝜇 ln |𝑥|)
𝑦𝑟1(𝑥) = |𝑥|𝜆 cos(𝜇 ln |𝑥|)(ln |𝑥|)
𝑦𝑟1(𝑥) = |𝑥|𝜆 sin(𝜇 ln |𝑥|)(ln |𝑥|)
...
𝑦𝑟𝑘(𝑥) = |𝑥|𝜆 cos(𝜇 ln |𝑥|)(ln |𝑥|)𝑘
𝑦𝑟𝑘(𝑥) = |𝑥|𝜆 sin(𝜇 ln |𝑥|)(ln |𝑥|)𝑘
.
3) Pelo Princípio da Superposição, a solução geral será da forma:
𝑦(𝑥) = 𝑐1𝑦𝑟1(𝑥) + · · ·+ 𝑐𝑛𝑦𝑟𝑛(𝑥)
onde os 𝑐′𝑖𝑠 são constantes arbitrárias reais e 𝑦′𝑖𝑠 são soluções relativas às raizes ∀1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛.
Obs: Note a semelhança com as soluções fundamentais de uma equação homogênea com coeficientes
constantes (3.1.1), trocando 𝑥 por ln |𝑥|.
3.2. Não-homogêneas
(𝑦(𝑛)(𝑥) + 𝑝𝑛−1(𝑥)𝑦(𝑛−1)(𝑥) + · · ·+ 𝑝1(𝑥)𝑦′(𝑥) + 𝑝0(𝑥)𝑦(𝑥) = 𝑞(𝑥) � 0)
A solução geral será da forma: 𝑦(𝑥) = 𝑦ℎ(𝑥) + 𝑦𝑝, onde 𝑦ℎ é solução geral da homogênea
associada (𝑦(𝑛)(𝑥) + 𝑝𝑛−1(𝑥)𝑦(𝑛−1)(𝑥) + · · ·+ 𝑝1(𝑥)𝑦′(𝑥) + 𝑝0(𝑥)𝑦(𝑥) = 0) e 𝑦𝑝 é solução particular
dependendo do termo não homogêneo 𝑞(𝑥).
∙ Método dos Coeficientes Indeterminados
F Restrições:
• A edo tem que ter coeficientes constantes, ie, 𝑦(𝑛)(𝑥)+𝑐𝑛−1𝑦(𝑛−1)(𝑥)+ · · ·+𝑐1𝑦′(𝑥)+𝑐0𝑦(𝑥) =
𝑞(𝑥), com 𝑐𝑖 ∈ R, ∀0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛− 1.
• 𝑞(𝑥) tem que ser ESPECIFICAMENTE produtos e/ou somas de: polinômios (𝑎𝑛𝑥𝑛 + · · · +
𝑎1𝑥+ 𝑎0), exponenciais (𝑒𝑎𝑥), senos (sin(𝑎𝑥)) ou cossenos (cos(𝑎𝑥)).
Método:
1) Calcule a solução geral da homogênea associada 𝑦ℎ(𝑥). (Ver (3.1.1))
2) Caso o termo não homogêneo seja uma soma de 𝑘 funções, ie, 𝑞(𝑥) = 𝑞1(𝑥) + · · · + 𝑞𝑘(𝑥),
estime uma solução separadamente para cada parcela 𝑞𝑖:
(i) Tentativa inicial:
• Se 𝑞𝑖(𝑥) = (𝑎𝑛𝑥𝑛 + · · ·+ 𝑎1𝑥+ 𝑎0), assuma 𝑦𝑝𝑖 = (𝑐𝑛𝑥𝑛 + · · ·+ 𝑐1𝑥+ 𝑐0)
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• Se 𝑞𝑖(𝑥) = (𝑎𝑛𝑥𝑛 + · · ·+ 𝑎1𝑥+ 𝑎0)𝑒𝑎𝑥, assuma 𝑦𝑝𝑖 = (𝑐𝑛𝑥𝑛 + · · ·+ 𝑐1𝑥+ 𝑐0)𝑒𝑎𝑥
• Se 𝑞𝑖(𝑥) = (𝑎𝑛𝑥𝑛 + · · ·+ 𝑎1𝑥+ 𝑎0)𝑒𝑎𝑥 sin(𝑏𝑥) (ou cos(𝑏𝑥)), assuma 𝑦𝑝𝑖 = (𝑐𝑛𝑥𝑛 + · · ·+ 𝑐1𝑥+
𝑐0)𝑒𝑎𝑥 sin(𝑏𝑥) + (𝑑𝑛𝑥𝑛 + · · ·+ 𝑑1𝑥+ 𝑑0)𝑒𝑎𝑥 cos(𝑏𝑥)
(ii) Compare a estimativa 𝑦𝑝𝑖 com a solução da homogênea 𝑦ℎ:
(*) (Iterativo) Caso não haja termos iguais de 𝑦𝑝𝑖 e 𝑦ℎ(𝑥), temos que 𝑦𝑝𝑖 é solução particular
relativa à 𝑞𝑖. Porém, se algum termo de 𝑦𝑝𝑖 é igual à algum termo de 𝑦ℎ(𝑥), desconsiderando
constantes, multiplique 𝑦𝑝𝑖 por 𝑥 e escreva agora 𝑦𝑝𝑖 = 𝑥𝑦𝑝𝑖 . Vá para (*).
3) Temos que a solução particular é da forma 𝑦𝑝 = 𝑦𝑝1 + · · ·+ 𝑦𝑝𝑘 .
4) Para encontrar os coeficientes de 𝑦𝑝, substitua na equação juntamente com suas derivadas
em 𝑦(𝑛)(𝑥) + 𝑐𝑛−1𝑦(𝑛−1)(𝑥) + · · ·+ 𝑐1𝑦′(𝑥) + 𝑐0𝑦(𝑥) e compare os coeficientes com os de 𝑞(𝑥).
∙ Método da Variação de Parâmetros
É um método geral, para: 𝑦(𝑛)(𝑥) + 𝑝𝑛−1(𝑥)𝑦(𝑛−1)(𝑥) + · · ·+ 𝑝1(𝑥)𝑦′(𝑥) + 𝑝0(𝑥)𝑦(𝑥) = 𝑞(𝑥) � 0
Notação:
• 𝑊 (𝑦1, · · · , 𝑦𝑛)(𝑥) é o Wronskiano de 𝑦1, · · · , 𝑦𝑛, ie:
𝑊 (𝑦1, · · · , 𝑦𝑛)(𝑥) = 𝑑𝑒𝑡
⎡⎢⎢⎢⎢⎣
𝑦1(𝑥) · · · 𝑦𝑛(𝑥)
𝑦′1(𝑥) · · · 𝑦′𝑛(𝑥)
... ...
𝑦
(𝑛−1)
1 (𝑥) · · · 𝑦(𝑛−1)𝑛 (𝑥)
⎤⎥⎥⎥⎥⎦ .
• 𝑊𝑖(𝑦1, · · · , 𝑦𝑛)(𝑥) é o determinante da matriz associada à 𝑊 (𝑦1, · · · , 𝑦𝑛)(𝑥) com a i-ésima
coluna substituída por (0, · · · , 0, 1), ie:
𝑊 (𝑦1, · · · , 𝑦𝑛)(𝑥) = 𝑑𝑒𝑡
⎡⎢⎢⎢⎢⎣
𝑦1(𝑥) · · · 𝑦𝑖−1(𝑥) 0 𝑦𝑖+1(𝑥) · · · 𝑦𝑛(𝑥)
𝑦′1(𝑥) · · · 𝑦′𝑖−1(𝑥) 0 𝑦′𝑖+1(𝑥) · · · 𝑦′𝑛(𝑥)
... ... ... ... ...
𝑦
(𝑛−1)
1 (𝑥) · · · 𝑦(𝑛−1)𝑖−1 (𝑥) 1 𝑦(𝑛−1)𝑖+1 (𝑥) · · · 𝑦(𝑛−1)𝑛 (𝑥)
⎤⎥⎥⎥⎥⎦ .
Método:
1) Encontre a solução geral da homogênea associada, digamos 𝑦ℎ(𝑥) = 𝑐1𝑦1 + · · · + 𝑐𝑛𝑦𝑛. (Ver
(3.1.1))
2) Suponha uma solução particular da forma 𝑦𝑝(𝑥) = 𝑢1(𝑥)𝑦1 + · · · + 𝑢𝑛(𝑥)𝑦𝑛. Queremos
determinar os 𝑢𝑖’s.
3) Calcule 𝑊 (𝑦1, · · · , 𝑦𝑛)(𝑥) e 𝑊𝑖(𝑦1, · · · , 𝑦𝑛)(𝑥), ∀1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛.
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4) Calcule ∀1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛,
𝑢𝑖 =
∫︁ 𝑞(𝑥)𝑊𝑖(𝑦1, · · · , 𝑦𝑛)(𝑥)
𝑊 (𝑦1, · · · , 𝑦𝑛)(𝑥)
Obs: Importante! Lembre que esta fórmula é válida para 𝑞(𝑥) na edo com a forma 𝑦(𝑛)(𝑥) +
𝑝𝑛−1(𝑥)𝑦(𝑛−1)(𝑥) + · · ·+ 𝑝1(𝑥)𝑦′(𝑥) + 𝑝0(𝑥)𝑦(𝑥) = 𝑞(𝑥).
5) Substitua os 𝑢𝑖’s para obter assim, a solução particular 𝑦𝑝(𝑥) = 𝑢1(𝑥)𝑦1 + · · ·+ 𝑢𝑛(𝑥)𝑦𝑛.
3.3. Transformada de Laplace (ℒ{𝑓(𝑡)} =
∫︁ ∞
0
𝑒−𝑠𝑡𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 𝐹 (𝑠))
OBS: a tabela “Transformada de Laplace” (tabela referência) foi retirada de
http://www.ime.unicamp.br/∼msantos/tab-laplace.pdf
Considere uma função 𝑓(𝑡) contínua por partes em [0, 𝐴] para algum 𝐴 > 0, tal que |𝑓(𝑡)| ≤
𝐾𝑒𝑎𝑡, para 𝑡 ≥ 𝑀 , 𝑎,𝑀,𝐾 ∈ R constantes e 𝐾,𝑀 > 0. Então para 𝑠 > 𝑎, existe ℒ{𝑓(𝑡)} =∫︁ ∞
0
𝑒−𝑠𝑡𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 𝐹 (𝑠).
Seguem algumas propriedades e ferramentas envolvendo a transformada de Laplace e complementa
a tabela de referência ao final.
∙ Propriedades
Suponha que todas as funções consideradas abaixo, satisfazem as hipóteses necessárias.
• Linearidade:
ℒ{𝑐1𝑓1(𝑡) + · · ·+ 𝑐𝑛𝑓𝑛(𝑡)} = 𝑐1ℒ{𝑓1(𝑡)}+ · · ·+ 𝑐𝑛ℒ{𝑓𝑛(𝑡)}}, ∀𝑐1, · · · , 𝑐𝑛 ∈ R
• Transformada da derivada de uma função:
ℒ{𝑓 (𝑛)(𝑡)} = 𝑠𝑛ℒ{𝑓(𝑡)} − 𝑠𝑛−1𝑓(0)− · · · − 𝑠𝑓 (𝑛−2)(0)− 𝑓 (𝑛−1)(0)
• Transformada da integral de uma função:
ℒ{
∫︁ 𝑡
0
𝑓(𝜏)𝑑𝜏} = 𝐹 (𝑠)
𝑠
• Translação em 𝑠:
ℒ{𝑒𝑐𝑡𝑓(𝑡)} = 𝐹 (𝑠− 𝑐) ∼ ℒ−1{𝐹 (𝑠− 𝑐)} = 𝑒𝑐𝑡𝑓(𝑡)
• Translação em 𝑡:
𝑢𝑐(𝑡)𝑓(𝑡− 𝑐) = ℒ−1{𝑒−𝑐𝑠𝐹 (𝑠)} ∼ ℒ{𝑢𝑐(𝑡)𝑓(𝑡− 𝑐)} = 𝑒−𝑐𝑠𝐹 (𝑠)
• Transformada inversa de derivadas de uma 𝐹 (𝑠):
ℒ−1{𝐹 (𝑛)(𝑠)} = (−𝑡)𝑛𝑓(𝑡)
• Transformada de uma função periódica:
(𝑓(𝑡) é periódica com período 𝑇 > 0 se 𝑓(𝑡+ 𝑇 ) = 𝑓(𝑡), ∀𝑡)
ℒ{𝑓(𝑡)} = 11− 𝑒−𝑇𝑠
∫︁ 𝑇
0
𝑒−𝑠𝑡𝑓(𝑡)𝑑𝑡
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∙ Ferramentas
• Função Gama: (Γ(𝑝+ 1) =
∫︁ ∞
0
𝑒−𝑥𝑥𝑝𝑑𝑥)
– para 𝑝 > 0, Γ(𝑝+ 1) = 𝑝Γ(𝑝)
– Γ(1) = 1, Γ(12) =
√
𝜋
– Se 𝑝 > −1, ℒ{𝑡𝑝} = Γ(𝑝+ 1)
𝑠𝑝+1
• Função Degrau unitário: 𝑢𝑐(𝑡) =
⎧⎨⎩0 𝑡 < 𝑐1 𝑡 ≥ 𝑐
• Função Impulso unitário (𝛿 de Dirac): se 𝑡 ̸= 0, 𝛿(𝑡) = 0;
∫︁ +∞
−∞
𝛿(𝑡)𝑑𝑡 = 1
ℒ{𝛿(𝑡− 𝑡0)𝑓(𝑡)} = 𝑒−𝑠𝑡0𝑓(𝑡0)
• Convolução ((𝑓 * 𝑔)(𝑡) =
∫︁ 𝑡
0
𝑓(𝜏)𝑔(𝑡− 𝜏)𝑑𝜏)
– 𝑓 * 𝑔 = 𝑔 * 𝑓
– 𝑓 * (𝑔1 + 𝑔2) = 𝑓 * 𝑔1 + 𝑓 * 𝑔2
– (𝑓 * 𝑔) * ℎ = 𝑓 * (𝑔 * ℎ)
– ℒ{𝑓 * 𝑔} = ℒ{𝑓}ℒ{𝑔}
∙ Encontrando a solução de um pvi
Considere o pvi
⎧⎨⎩𝑎𝑛𝑦(𝑛)(𝑡) + · · ·+ 𝑎1𝑦′(𝑡) + 𝑎0𝑦(𝑡) = ℎ(𝑡)𝑦(𝑖)(0) = 𝑦𝑖 ∀0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛− 1
1) Aplique a transformada de Laplace ℒ à edo.
2) Isole ℒ{𝑦(𝑡)} = 𝐹 (𝑠)
3) Aplique a transformada inversa ℒ−1 à 𝐹 (𝑠) para obter a solução 𝑦(𝑡).
∙ Observações para encontrar a transformada inversa ℒ−1{𝐹 (𝑠)} = 𝑓(𝑡)
• Verifique se 𝐹 (𝑠) não é resultado de translações, por exemplo, caso 𝐹 (𝑠) = 𝑒−𝑐𝑠𝐺(𝑠), para
algum 𝐺(𝑠) = ℒ{𝑔(𝑡)}, sabemos que ℒ−1{𝐹 (𝑠)} = 𝑢𝑐(𝑡)𝑔(𝑡 − 𝑐); ou caso 𝐹 (𝑠) = 𝐺(𝑠 − 𝑐),
temos ℒ−1{𝐹 (𝑠)} = 𝑒𝑐𝑡𝑔(𝑡).
• No caso 𝐹 (𝑠) = 𝐺(𝑠)
𝐻(𝑠) , para algum 𝐺(𝑠) polinômio ou produto de exponencial com polinômio
e 𝐻(𝑠) polinômio. Tente fatorar 𝐻(𝑠) em fatores lineares, potências de fatores lineares ou
fatores do tipo (𝑠2 + 𝑎2) e use frações parciais para simplificar 𝐹 (𝑠).
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• Sempre simplifique o seu problema para utilizar a tabela de referência, que contém transfor-
madas elementares, a menos de translações. Caso 𝐹 (𝑠) não tenha uma cara suficientemente
simples (como no item acima), pode-se tentar derivar 𝐹 𝑛 vezes