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Equações Diferenciais Ordinárias (Última atualização: 21/04/2014) Resumo dos conceitos vistos em MA311. O documento deve ser utilizado apenas como apoio ao estudo e não tem caráter de referência. OBS: a tabela ao final “Derivadas, Integrais e Identidades Trigonométricas” foi retirada de http://www.if.ufrgs.br/tex/fisica-4/tab-integrais.pdf 1. 1ª ordem 1.1. Caso linear: (𝑦′ + 𝑝(𝑥)𝑦 = 𝑞(𝑥)) 1) Calcule o fator integrante 𝜇(𝑥) = exp( ∫︁ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥) 2) Multiplique a edo por 𝜇(𝑥) para obter (𝜇(𝑥)𝑦(𝑥))′ = 𝜇(𝑥)𝑞(𝑥) 3) Integre esta nova equação com relação à 𝑥: 𝜇(𝑥)𝑦(𝑥) = ∫︁ 𝜇(𝑥)𝑞(𝑥)𝑑𝑥 4) A solução será: 𝑦(𝑥) = ∫︀ 𝜇(𝑥)𝑞(𝑥)𝑑𝑥 𝜇(𝑥) 1.2. Caso geral: (𝑦′ = 𝑓(𝑥, 𝑦) ≡ 𝑀(𝑥, 𝑦) +𝑁(𝑥, 𝑦)𝑦′ = 0) ∙ Equações Separáveis: (𝑀(𝑥, 𝑦) =𝑀(𝑥), 𝑁(𝑥, 𝑦) = 𝑁(𝑦)) Neste caso, temos: 𝑀(𝑥) = −𝑁(𝑦)𝑦′ → Basta integrar esta equação com relação à x.∫︁ 𝑀(𝑥)𝑑𝑥 = − ∫︁ 𝑁(𝑦)𝑑𝑦 1 2 ∙ Métodos de Substituição (𝑦(𝑥) 99K v(𝑥) 99K 𝑦(𝑥)) 1) Realize uma substituição 𝑣(𝑥). Deseja-se passar a edo em 𝑦 para uma mais simples em 𝑣. 2) Resolva a edo em 𝑣. 3) Retorne a substituição de 𝑣 para encontrar uma solução em 𝑦 da edo original. B Equações homogêneas: (︁ 𝑦′ = 𝑓( 𝑦 𝑥 ) )︁ • Tome 𝑣(𝑥) = 𝑦 𝑥 (truque: derive 𝑥𝑣(𝑥) = 𝑦 para encontrar 𝑦′ = 𝑣 + 𝑥𝑣′ e substituir na edo). B Equação de Bernoulli: (𝑦′ + 𝑝(𝑥)𝑦 = 𝑞(𝑥)𝑦𝑛) 1) Divida a equação por 𝑦𝑛 para obter: 𝑦−𝑛𝑦′ + 𝑝(𝑥)𝑦1−𝑛 = 𝑞(𝑥) 2) Tome 𝑣(𝑥) = 𝑦1−𝑛. (Logo, 𝑣′ = (1− 𝑛)𝑦−𝑛𝑦′) 3) Substituindo, temos a seguinte edo de 1ª ordem linear em 𝑣 (veja a seção 1.1.1):(︂ 1 1− 𝑛 )︂ 𝑣′ + 𝑝(𝑥)𝑣 = 𝑞(𝑥) ∙ Equações Exatas: (𝑀𝑦(𝑥, 𝑦) = 𝑁𝑥(𝑥, 𝑦)) Se a edo é exata, então ∃ 𝜑(𝑥, 𝑦) tal que ⎧⎨⎩𝜑𝑥(𝑥, 𝑦) =𝑀(𝑥, 𝑦) (𝑖)𝜑𝑦(𝑥, 𝑦) = 𝑁(𝑥, 𝑦) (𝑖𝑖) 1) Integre (𝑖) (ou (𝑖𝑖)) com relação à 𝑥 (ou à 𝑦). Temos: 𝜑(𝑥, 𝑦) = ∫︁ 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥+ 𝑔(𝑦) (𝑜𝑢 𝜑(𝑥, 𝑦) = ∫︁ 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 + 𝑔(𝑥)) 2) Derive esta 𝜑(𝑥, 𝑦) com respeito a 𝑦 (ou a 𝑥) e compare 𝜑𝑦(𝑥, 𝑦) com (𝑖𝑖) (ou 𝜑𝑥(𝑥, 𝑦) com (𝑖)) para obter 𝑔′(𝑦) (ou 𝑔′(𝑥)). 3) Integre 𝑔′(𝑦) (ou 𝑔′(𝑥)) para obter 𝑔(𝑦) (ou 𝑔(𝑥)). 4) A solução geral será dada implicitamente por 𝜑(𝑥, 𝑦) = 𝐶. 3 B Edo’s não exatas Podemos tentar obter uma edo exata, multiplicando a equação por um fator integrante 𝜇(𝑥, 𝑦). Podemos verificar se existe 𝜇(𝑥, 𝑦) dependente apenas de 𝑥 ou de 𝑦: 0) Teste de exatidão para um 𝜇(𝑥, 𝑦) = 𝜇(𝑥): Δ𝑥 = 𝑀𝑦−𝑁𝑥 𝑁 depende apenas de 𝑥. 0’) Teste de exatidão para um 𝜇(𝑥, 𝑦) = 𝜇(𝑦): Δ𝑦 = 𝑁𝑥−𝑀𝑦 𝑀 depende apenas de 𝑦. 1) Se 1) (ou 1′)) for satisfeita, tome o fator integrante: 𝜇(𝑥) = 𝑒𝑥𝑝 (︂∫︁ Δ𝑥𝑑𝑥 )︂ (𝑜𝑢 𝜇(𝑦) = 𝑒𝑥𝑝 (︂∫︁ Δ𝑦𝑑𝑦 )︂ ) 2) Multiplique a edo por 𝜇(𝑥) (ou 𝜇(𝑦)) para obter uma edo exata. 3) A solução desta nova edo será a solução da edo original. 1.3. Teorema de Existência e Unicidade de EDO’s Considere o p.v.i.: ⎧⎨⎩𝑦′ = 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑦(𝑥0) = 𝑦0 Se 𝑓 e 𝑓𝑦 forem contínuas em um aberto Ω = (𝑎, 𝑏)× (𝑐, 𝑑) ⊂ R2 com 𝑥0 ∈ (𝑎, 𝑏) e 𝑦0 ∈ (𝑐, 𝑑), então existe um intervalo (𝑎0, 𝑏0) ⊆ (𝑎, 𝑏) com 𝑥0 ∈ (𝑎0, 𝑏0) onde existe uma única solução do p.v.i. 2. 2ª ordem 2.1. Redução à 1ª ordem Aplicável quando não aparecem as variáveis 𝑥 ou 𝑦 explicitamente na edo. 1) Realize uma substituição 𝑣 que reduza a edo à uma de 1ª ordem. 2) Resolva esta nova edo de 1ª ordem em 𝑣. 3) Retorne a substituição de 𝑣 em 𝑦′. 4) Resolva esta edo de 1ª ordem em 𝑦. • Caso 1: 𝑥 não explícita. Substituição ⎧⎨⎩v(y(x)) = y’(x)𝑣′𝑦′ = 𝑦′′, 𝑖𝑒, 𝑣′𝑣 = 𝑦′′ • Caso 2: 𝑦 não explícita. Substituição ⎧⎨⎩v(x) = y’(x)𝑣′(𝑥) = 𝑦′′(𝑥) 4 3. n-ésima ordem lineares (𝑦(𝑛)(𝑥) + 𝑝𝑛−1(𝑥)𝑦(𝑛−1)(𝑥) + · · · + 𝑝1(𝑥)𝑦′(𝑥) + 𝑝0(𝑥)𝑦(𝑥) = 𝑞(𝑥)) 3.0. Existência e Unicidade; Independência Linear e Wronskiano Teorema (Existência e Unicidade). Considere o pvi.:⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 𝑦(𝑛)(𝑥) + 𝑝𝑛−1(𝑥)𝑦(𝑛−1)(𝑥) + · · ·+ 𝑝1(𝑥)𝑦′(𝑥) + 𝑝0(𝑥)𝑦(𝑥) = 𝑞(𝑥) 𝑦(𝑡0) = 𝑦0 𝑦(𝑖)(𝑡0) = 𝑦𝑖0 ∀1 ≤ 𝑖 ≤ (𝑛− 1) Se 𝑝𝑖 ∀0 ≤ 𝑖 ≤ (𝑛− 1) e 𝑞 forem contínuas em um aberto 𝐼 ∈ R, então existe uma única solução do pvi em 𝐼. Teorema (Wronskiano de Soluções). Sejam 𝑦1, · · · , 𝑦𝑛 são 𝑛 soluções da equação homogênea, 𝐿[𝑦](𝑥) = 0, onde 𝐿[𝑦](𝑥) = 𝑦(𝑛)(𝑥) + 𝑝𝑛−1(𝑥)𝑦(𝑛−1)(𝑥) + · · ·+ 𝑝1(𝑥)𝑦′(𝑥) + 𝑝0(𝑥)𝑦(𝑥) então 𝑦1, · · · , 𝑦𝑛 são: ⎧⎨⎩𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 ⇔ 𝑊 (𝑦1, · · · , 𝑦𝑛)(𝑥) = 0 ∀𝑥 ∈ 𝐼𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 ⇔ 𝑊 (𝑦1, · · · , 𝑦𝑛)(𝑥) ̸= 0 ∀𝑥 ∈ 𝐼 Teorema (Fórmula de Abel (geral)). Sejam 𝑦1, · · · , 𝑦𝑛 são 𝑛 soluções da equação homogênea, 𝐿[𝑦](𝑥) = 0, onde 𝐿[𝑦](𝑥) = 𝑦(𝑛)(𝑥) + 𝑝𝑛−1(𝑥)𝑦(𝑛−1)(𝑥) + · · ·+ 𝑝1(𝑥)𝑦′(𝑥) + 𝑝0(𝑥)𝑦(𝑥) então: 𝑊 (𝑦1, 𝑦2, · · · , 𝑦𝑛)(𝑥) = exp(− ∫︁ 𝑝𝑛−1(𝑥)𝑑𝑥) 3.1. Homogêneas (𝑦(𝑛)(𝑥) + 𝑝𝑛−1(𝑥)𝑦(𝑛−1)(𝑥) + · · ·+ 𝑝1(𝑥)𝑦′(𝑥) + 𝑝0(𝑥)𝑦(𝑥) = 0) 3.1.1 Com coeficientes constantes (𝑦(𝑛)(𝑥) + 𝑐𝑛−1𝑦(𝑛−1)(𝑥) + · · ·+ 𝑐1𝑦′(𝑥) + 𝑐0𝑦(𝑥) = 0, 𝑐0, · · · , 𝑐𝑛−1 ∈ R) 1) Resolva a equação característica associada à edo. 2) Verifique separadamente cada raiz 𝑟: i) Real não repetida: é solução fundamental: 𝑦𝑟(𝑥) = 𝑒𝑟𝑥 5 ii) Complexa: as raízes aparecem aos pares conjulgados: ⎧⎨⎩𝑟 = 𝜆+ 𝑖𝜇𝑟 = 𝜆− 𝑖𝜇 . São soluções fundamentais: ⎧⎨⎩𝑦𝑟(𝑥) = 𝑒𝜆𝑥 cos(𝜇𝑥)𝑦𝑟(𝑥) = 𝑒𝜆𝑥 sin(𝜇𝑥) iii) Real repetida 𝑘 vezes (𝑘 ≥ 1), ie, de multiplicidade 𝑘 + 1. São soluções fundamentais: ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ 𝑦𝑟0(𝑥) = 𝑒𝑟𝑥 𝑦𝑟1(𝑥) = 𝑥𝑒𝑟𝑥 𝑦𝑟2(𝑥) = 𝑥2𝑒𝑟𝑥 ... 𝑦𝑟𝑘(𝑥) = 𝑥𝑘𝑒𝑟𝑥 iv) Complexa repetida 𝑘 vezes (𝑘 ≥ 1), ie, de multiplicidade 𝑘 + 1 da forma ⎧⎨⎩𝑟 = 𝜆+ 𝑖𝜇𝑟 = 𝜆− 𝑖𝜇 . São soluções fundamentais: ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ 𝑦𝑟0(𝑥) = 𝑒𝜆𝑥 cos(𝜇𝑥) 𝑦𝑟0(𝑥) = 𝑒𝜆𝑥 sin(𝜇𝑥) 𝑦𝑟1(𝑥) = 𝑥𝑒𝜆𝑥 cos(𝜇𝑥) 𝑦𝑟1(𝑥) = 𝑥𝑒𝜆𝑥 sin(𝜇𝑥) ... 𝑦𝑟𝑘(𝑥) = 𝑥𝑘𝑒𝜆𝑥 cos(𝜇𝑥) 𝑦𝑟𝑘(𝑥) = 𝑥𝑘𝑒𝜆𝑥 sin(𝜇𝑥) 3) Pelo Princípio da Superposição, a solução geral será da forma: 𝑦(𝑥) = 𝑐1𝑦𝑟1(𝑥) + · · ·+ 𝑐𝑛𝑦𝑟𝑛(𝑥) onde os 𝑐′𝑖𝑠 são constantes arbitrárias reais e 𝑦′𝑖𝑠 são soluções fundamentais ∀1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛. 3.1.2 Redução de ordem dada uma solução 𝑦2(𝑥) = 𝑣(𝑥)𝑦1(𝑥) Para edo’s de 2ª ordem lineares homogêneas: 𝑦′′+ 𝑝(𝑥)𝑦′+ 𝑞(𝑥)𝑦 = 0, dada uma solução 𝑦1(𝑥). Objetivo: encontrar uma solução 𝑦2(𝑥) l.i. à 𝑦1(𝑥). 1) Suponha 𝑦2(𝑥) = 𝑣(𝑥)𝑦1(𝑥) solução. Queremos descobrir 𝑣(𝑥). 2) Derive 𝑦2(𝑥) = 𝑣(𝑥)𝑦1(𝑥), ie, ⎧⎨⎩𝑦′2(𝑥) = 𝑣′(𝑥)𝑦1(𝑥) + 𝑣(𝑥)𝑦′1(𝑥)𝑦′′2(𝑥) = 𝑣′′(𝑥)𝑦1(𝑥) + 2𝑣′(𝑥)𝑦′1(𝑥) + 𝑣(𝑥)𝑦′′1(𝑥) . e substitua na edo. 6 3) Obteremos uma edo em 𝑣, com 𝑣′ e 𝑣′′ explícitas e não aparecendo 𝑣. Logo podemos usar a redução de (2.1) com 𝑣 não explícito, ie, tome ⎧⎨⎩𝑧(𝑥) = 𝑣′(𝑥)𝑧′(𝑥) = 𝑣′′(𝑥) para obter uma edo em 𝑧 de 1ª ordem. 4) Resolva esta edo em 𝑧, e retorne à 𝑣 (𝑧(𝑥) = 𝑣′(𝑥)). Temos uma edo em 𝑣 de 1ª ordem. 5) Resolva esta edo em 𝑣. (Pronto! Achamos 𝑣!) 6) Substitua em 𝑣 em 𝑦2(𝑥) = 𝑣(𝑥)𝑦1(𝑥) para encontrar 𝑦2(𝑥). 3.1.3 Equações de Euler-Cauchy (𝑥𝑛𝑦(𝑛) + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1𝑦(𝑛−1) + · · ·+ 𝑎1𝑥𝑦′ + 𝑎0𝑦 = 0) 1) Suponha 𝑦(𝑥) = 𝑥𝑟 solução. Queremos determinar 𝑟. 2) Derive 𝑦 n vezes e substitua na equação. Teremos: 𝑥𝑟(𝑟(𝑟 − 1) · · · (𝑟 − 𝑛 + 1) + 𝑎𝑛−1𝑟(𝑟 − 1) · · · (𝑟 − 𝑛+ 2) + · · ·+ 𝑎1𝑟 + 𝑎0) = 0. Logo (𝑟(𝑟 − 1) · · · (𝑟 − 𝑛+ 1) + · · ·+ 𝑎1𝑟 + 𝑎0) = 0. 3) Ache as raízes 𝑟1, · · · , 𝑟𝑛 desta equação e analise separadamente: i) Real não repetida: é solução 𝑦𝑟(𝑥) = |𝑥|𝑟. ii) Complexa: as raízes aparecem aos pares conjulgados: ⎧⎨⎩𝑟 = 𝜆+ 𝑖𝜇𝑟 = 𝜆− 𝑖𝜇 .São soluções: ⎧⎨⎩𝑦𝑟(𝑥) = |𝑥|𝜆 cos(𝜇 ln |𝑥|)𝑦𝑟(𝑥) = |𝑥|𝜆 sin(𝜇 ln |𝑥|) . iii) Real repetida 𝑘 vezes (𝑘 ≥ 1), ie, de multiplicidade 𝑘 + 1. São soluções: ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ 𝑦𝑟0(𝑥) = |𝑥|𝑟 𝑦𝑟1(𝑥) = |𝑥|𝑟 ln |𝑥| 𝑦𝑟2(𝑥) = |𝑥|𝑟(ln |𝑥|)2 ... 𝑦𝑟𝑘(𝑥) = |𝑥|𝑟(ln |𝑥|)𝑘 . iv) Complexa repetida 𝑘 vezes (𝑘 ≥ 1), ie, de multiplicidade 𝑘 + 1 da forma ⎧⎨⎩𝑟 = 𝜆+ 𝑖𝜇𝑟 = 𝜆− 𝑖𝜇 . 7 São soluções: ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ 𝑦𝑟0(𝑥) = |𝑥|𝜆 cos(𝜇 ln |𝑥|) 𝑦𝑟0(𝑥) = |𝑥|𝜆 sin(𝜇 ln |𝑥|) 𝑦𝑟1(𝑥) = |𝑥|𝜆 cos(𝜇 ln |𝑥|)(ln |𝑥|) 𝑦𝑟1(𝑥) = |𝑥|𝜆 sin(𝜇 ln |𝑥|)(ln |𝑥|) ... 𝑦𝑟𝑘(𝑥) = |𝑥|𝜆 cos(𝜇 ln |𝑥|)(ln |𝑥|)𝑘 𝑦𝑟𝑘(𝑥) = |𝑥|𝜆 sin(𝜇 ln |𝑥|)(ln |𝑥|)𝑘 . 3) Pelo Princípio da Superposição, a solução geral será da forma: 𝑦(𝑥) = 𝑐1𝑦𝑟1(𝑥) + · · ·+ 𝑐𝑛𝑦𝑟𝑛(𝑥) onde os 𝑐′𝑖𝑠 são constantes arbitrárias reais e 𝑦′𝑖𝑠 são soluções relativas às raizes ∀1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛. Obs: Note a semelhança com as soluções fundamentais de uma equação homogênea com coeficientes constantes (3.1.1), trocando 𝑥 por ln |𝑥|. 3.2. Não-homogêneas (𝑦(𝑛)(𝑥) + 𝑝𝑛−1(𝑥)𝑦(𝑛−1)(𝑥) + · · ·+ 𝑝1(𝑥)𝑦′(𝑥) + 𝑝0(𝑥)𝑦(𝑥) = 𝑞(𝑥) � 0) A solução geral será da forma: 𝑦(𝑥) = 𝑦ℎ(𝑥) + 𝑦𝑝, onde 𝑦ℎ é solução geral da homogênea associada (𝑦(𝑛)(𝑥) + 𝑝𝑛−1(𝑥)𝑦(𝑛−1)(𝑥) + · · ·+ 𝑝1(𝑥)𝑦′(𝑥) + 𝑝0(𝑥)𝑦(𝑥) = 0) e 𝑦𝑝 é solução particular dependendo do termo não homogêneo 𝑞(𝑥). ∙ Método dos Coeficientes Indeterminados F Restrições: • A edo tem que ter coeficientes constantes, ie, 𝑦(𝑛)(𝑥)+𝑐𝑛−1𝑦(𝑛−1)(𝑥)+ · · ·+𝑐1𝑦′(𝑥)+𝑐0𝑦(𝑥) = 𝑞(𝑥), com 𝑐𝑖 ∈ R, ∀0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛− 1. • 𝑞(𝑥) tem que ser ESPECIFICAMENTE produtos e/ou somas de: polinômios (𝑎𝑛𝑥𝑛 + · · · + 𝑎1𝑥+ 𝑎0), exponenciais (𝑒𝑎𝑥), senos (sin(𝑎𝑥)) ou cossenos (cos(𝑎𝑥)). Método: 1) Calcule a solução geral da homogênea associada 𝑦ℎ(𝑥). (Ver (3.1.1)) 2) Caso o termo não homogêneo seja uma soma de 𝑘 funções, ie, 𝑞(𝑥) = 𝑞1(𝑥) + · · · + 𝑞𝑘(𝑥), estime uma solução separadamente para cada parcela 𝑞𝑖: (i) Tentativa inicial: • Se 𝑞𝑖(𝑥) = (𝑎𝑛𝑥𝑛 + · · ·+ 𝑎1𝑥+ 𝑎0), assuma 𝑦𝑝𝑖 = (𝑐𝑛𝑥𝑛 + · · ·+ 𝑐1𝑥+ 𝑐0) 8 • Se 𝑞𝑖(𝑥) = (𝑎𝑛𝑥𝑛 + · · ·+ 𝑎1𝑥+ 𝑎0)𝑒𝑎𝑥, assuma 𝑦𝑝𝑖 = (𝑐𝑛𝑥𝑛 + · · ·+ 𝑐1𝑥+ 𝑐0)𝑒𝑎𝑥 • Se 𝑞𝑖(𝑥) = (𝑎𝑛𝑥𝑛 + · · ·+ 𝑎1𝑥+ 𝑎0)𝑒𝑎𝑥 sin(𝑏𝑥) (ou cos(𝑏𝑥)), assuma 𝑦𝑝𝑖 = (𝑐𝑛𝑥𝑛 + · · ·+ 𝑐1𝑥+ 𝑐0)𝑒𝑎𝑥 sin(𝑏𝑥) + (𝑑𝑛𝑥𝑛 + · · ·+ 𝑑1𝑥+ 𝑑0)𝑒𝑎𝑥 cos(𝑏𝑥) (ii) Compare a estimativa 𝑦𝑝𝑖 com a solução da homogênea 𝑦ℎ: (*) (Iterativo) Caso não haja termos iguais de 𝑦𝑝𝑖 e 𝑦ℎ(𝑥), temos que 𝑦𝑝𝑖 é solução particular relativa à 𝑞𝑖. Porém, se algum termo de 𝑦𝑝𝑖 é igual à algum termo de 𝑦ℎ(𝑥), desconsiderando constantes, multiplique 𝑦𝑝𝑖 por 𝑥 e escreva agora 𝑦𝑝𝑖 = 𝑥𝑦𝑝𝑖 . Vá para (*). 3) Temos que a solução particular é da forma 𝑦𝑝 = 𝑦𝑝1 + · · ·+ 𝑦𝑝𝑘 . 4) Para encontrar os coeficientes de 𝑦𝑝, substitua na equação juntamente com suas derivadas em 𝑦(𝑛)(𝑥) + 𝑐𝑛−1𝑦(𝑛−1)(𝑥) + · · ·+ 𝑐1𝑦′(𝑥) + 𝑐0𝑦(𝑥) e compare os coeficientes com os de 𝑞(𝑥). ∙ Método da Variação de Parâmetros É um método geral, para: 𝑦(𝑛)(𝑥) + 𝑝𝑛−1(𝑥)𝑦(𝑛−1)(𝑥) + · · ·+ 𝑝1(𝑥)𝑦′(𝑥) + 𝑝0(𝑥)𝑦(𝑥) = 𝑞(𝑥) � 0 Notação: • 𝑊 (𝑦1, · · · , 𝑦𝑛)(𝑥) é o Wronskiano de 𝑦1, · · · , 𝑦𝑛, ie: 𝑊 (𝑦1, · · · , 𝑦𝑛)(𝑥) = 𝑑𝑒𝑡 ⎡⎢⎢⎢⎢⎣ 𝑦1(𝑥) · · · 𝑦𝑛(𝑥) 𝑦′1(𝑥) · · · 𝑦′𝑛(𝑥) ... ... 𝑦 (𝑛−1) 1 (𝑥) · · · 𝑦(𝑛−1)𝑛 (𝑥) ⎤⎥⎥⎥⎥⎦ . • 𝑊𝑖(𝑦1, · · · , 𝑦𝑛)(𝑥) é o determinante da matriz associada à 𝑊 (𝑦1, · · · , 𝑦𝑛)(𝑥) com a i-ésima coluna substituída por (0, · · · , 0, 1), ie: 𝑊 (𝑦1, · · · , 𝑦𝑛)(𝑥) = 𝑑𝑒𝑡 ⎡⎢⎢⎢⎢⎣ 𝑦1(𝑥) · · · 𝑦𝑖−1(𝑥) 0 𝑦𝑖+1(𝑥) · · · 𝑦𝑛(𝑥) 𝑦′1(𝑥) · · · 𝑦′𝑖−1(𝑥) 0 𝑦′𝑖+1(𝑥) · · · 𝑦′𝑛(𝑥) ... ... ... ... ... 𝑦 (𝑛−1) 1 (𝑥) · · · 𝑦(𝑛−1)𝑖−1 (𝑥) 1 𝑦(𝑛−1)𝑖+1 (𝑥) · · · 𝑦(𝑛−1)𝑛 (𝑥) ⎤⎥⎥⎥⎥⎦ . Método: 1) Encontre a solução geral da homogênea associada, digamos 𝑦ℎ(𝑥) = 𝑐1𝑦1 + · · · + 𝑐𝑛𝑦𝑛. (Ver (3.1.1)) 2) Suponha uma solução particular da forma 𝑦𝑝(𝑥) = 𝑢1(𝑥)𝑦1 + · · · + 𝑢𝑛(𝑥)𝑦𝑛. Queremos determinar os 𝑢𝑖’s. 3) Calcule 𝑊 (𝑦1, · · · , 𝑦𝑛)(𝑥) e 𝑊𝑖(𝑦1, · · · , 𝑦𝑛)(𝑥), ∀1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛. 9 4) Calcule ∀1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 𝑢𝑖 = ∫︁ 𝑞(𝑥)𝑊𝑖(𝑦1, · · · , 𝑦𝑛)(𝑥) 𝑊 (𝑦1, · · · , 𝑦𝑛)(𝑥) Obs: Importante! Lembre que esta fórmula é válida para 𝑞(𝑥) na edo com a forma 𝑦(𝑛)(𝑥) + 𝑝𝑛−1(𝑥)𝑦(𝑛−1)(𝑥) + · · ·+ 𝑝1(𝑥)𝑦′(𝑥) + 𝑝0(𝑥)𝑦(𝑥) = 𝑞(𝑥). 5) Substitua os 𝑢𝑖’s para obter assim, a solução particular 𝑦𝑝(𝑥) = 𝑢1(𝑥)𝑦1 + · · ·+ 𝑢𝑛(𝑥)𝑦𝑛. 3.3. Transformada de Laplace (ℒ{𝑓(𝑡)} = ∫︁ ∞ 0 𝑒−𝑠𝑡𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 𝐹 (𝑠)) OBS: a tabela “Transformada de Laplace” (tabela referência) foi retirada de http://www.ime.unicamp.br/∼msantos/tab-laplace.pdf Considere uma função 𝑓(𝑡) contínua por partes em [0, 𝐴] para algum 𝐴 > 0, tal que |𝑓(𝑡)| ≤ 𝐾𝑒𝑎𝑡, para 𝑡 ≥ 𝑀 , 𝑎,𝑀,𝐾 ∈ R constantes e 𝐾,𝑀 > 0. Então para 𝑠 > 𝑎, existe ℒ{𝑓(𝑡)} =∫︁ ∞ 0 𝑒−𝑠𝑡𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 𝐹 (𝑠). Seguem algumas propriedades e ferramentas envolvendo a transformada de Laplace e complementa a tabela de referência ao final. ∙ Propriedades Suponha que todas as funções consideradas abaixo, satisfazem as hipóteses necessárias. • Linearidade: ℒ{𝑐1𝑓1(𝑡) + · · ·+ 𝑐𝑛𝑓𝑛(𝑡)} = 𝑐1ℒ{𝑓1(𝑡)}+ · · ·+ 𝑐𝑛ℒ{𝑓𝑛(𝑡)}}, ∀𝑐1, · · · , 𝑐𝑛 ∈ R • Transformada da derivada de uma função: ℒ{𝑓 (𝑛)(𝑡)} = 𝑠𝑛ℒ{𝑓(𝑡)} − 𝑠𝑛−1𝑓(0)− · · · − 𝑠𝑓 (𝑛−2)(0)− 𝑓 (𝑛−1)(0) • Transformada da integral de uma função: ℒ{ ∫︁ 𝑡 0 𝑓(𝜏)𝑑𝜏} = 𝐹 (𝑠) 𝑠 • Translação em 𝑠: ℒ{𝑒𝑐𝑡𝑓(𝑡)} = 𝐹 (𝑠− 𝑐) ∼ ℒ−1{𝐹 (𝑠− 𝑐)} = 𝑒𝑐𝑡𝑓(𝑡) • Translação em 𝑡: 𝑢𝑐(𝑡)𝑓(𝑡− 𝑐) = ℒ−1{𝑒−𝑐𝑠𝐹 (𝑠)} ∼ ℒ{𝑢𝑐(𝑡)𝑓(𝑡− 𝑐)} = 𝑒−𝑐𝑠𝐹 (𝑠) • Transformada inversa de derivadas de uma 𝐹 (𝑠): ℒ−1{𝐹 (𝑛)(𝑠)} = (−𝑡)𝑛𝑓(𝑡) • Transformada de uma função periódica: (𝑓(𝑡) é periódica com período 𝑇 > 0 se 𝑓(𝑡+ 𝑇 ) = 𝑓(𝑡), ∀𝑡) ℒ{𝑓(𝑡)} = 11− 𝑒−𝑇𝑠 ∫︁ 𝑇 0 𝑒−𝑠𝑡𝑓(𝑡)𝑑𝑡 10 ∙ Ferramentas • Função Gama: (Γ(𝑝+ 1) = ∫︁ ∞ 0 𝑒−𝑥𝑥𝑝𝑑𝑥) – para 𝑝 > 0, Γ(𝑝+ 1) = 𝑝Γ(𝑝) – Γ(1) = 1, Γ(12) = √ 𝜋 – Se 𝑝 > −1, ℒ{𝑡𝑝} = Γ(𝑝+ 1) 𝑠𝑝+1 • Função Degrau unitário: 𝑢𝑐(𝑡) = ⎧⎨⎩0 𝑡 < 𝑐1 𝑡 ≥ 𝑐 • Função Impulso unitário (𝛿 de Dirac): se 𝑡 ̸= 0, 𝛿(𝑡) = 0; ∫︁ +∞ −∞ 𝛿(𝑡)𝑑𝑡 = 1 ℒ{𝛿(𝑡− 𝑡0)𝑓(𝑡)} = 𝑒−𝑠𝑡0𝑓(𝑡0) • Convolução ((𝑓 * 𝑔)(𝑡) = ∫︁ 𝑡 0 𝑓(𝜏)𝑔(𝑡− 𝜏)𝑑𝜏) – 𝑓 * 𝑔 = 𝑔 * 𝑓 – 𝑓 * (𝑔1 + 𝑔2) = 𝑓 * 𝑔1 + 𝑓 * 𝑔2 – (𝑓 * 𝑔) * ℎ = 𝑓 * (𝑔 * ℎ) – ℒ{𝑓 * 𝑔} = ℒ{𝑓}ℒ{𝑔} ∙ Encontrando a solução de um pvi Considere o pvi ⎧⎨⎩𝑎𝑛𝑦(𝑛)(𝑡) + · · ·+ 𝑎1𝑦′(𝑡) + 𝑎0𝑦(𝑡) = ℎ(𝑡)𝑦(𝑖)(0) = 𝑦𝑖 ∀0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛− 1 1) Aplique a transformada de Laplace ℒ à edo. 2) Isole ℒ{𝑦(𝑡)} = 𝐹 (𝑠) 3) Aplique a transformada inversa ℒ−1 à 𝐹 (𝑠) para obter a solução 𝑦(𝑡). ∙ Observações para encontrar a transformada inversa ℒ−1{𝐹 (𝑠)} = 𝑓(𝑡) • Verifique se 𝐹 (𝑠) não é resultado de translações, por exemplo, caso 𝐹 (𝑠) = 𝑒−𝑐𝑠𝐺(𝑠), para algum 𝐺(𝑠) = ℒ{𝑔(𝑡)}, sabemos que ℒ−1{𝐹 (𝑠)} = 𝑢𝑐(𝑡)𝑔(𝑡 − 𝑐); ou caso 𝐹 (𝑠) = 𝐺(𝑠 − 𝑐), temos ℒ−1{𝐹 (𝑠)} = 𝑒𝑐𝑡𝑔(𝑡). • No caso 𝐹 (𝑠) = 𝐺(𝑠) 𝐻(𝑠) , para algum 𝐺(𝑠) polinômio ou produto de exponencial com polinômio e 𝐻(𝑠) polinômio. Tente fatorar 𝐻(𝑠) em fatores lineares, potências de fatores lineares ou fatores do tipo (𝑠2 + 𝑎2) e use frações parciais para simplificar 𝐹 (𝑠). 11 • Sempre simplifique o seu problema para utilizar a tabela de referência, que contém transfor- madas elementares, a menos de translações. Caso 𝐹 (𝑠) não tenha uma cara suficientemente simples (como no item acima), pode-se tentar derivar 𝐹 𝑛 vezescom relação à 𝑠 e utilizar que a transformada inversa de derivada é ℒ−1{𝐹 (𝑛)(𝑠)} = (−𝑡)𝑛ℒ−1{𝐹 (𝑠)}. Por exemplo, 𝐹 (𝑠) = 𝑙𝑛(𝑠) ⇒ 𝐹 ′(𝑠) = 1 𝑠 ⇒ Como ℒ−1{𝐹 ′(𝑠)} = (−𝑡)ℒ−1{𝐹 (𝑠)}, então ℒ−1{𝐹 (𝑠)} = −ℒ −1{𝐹 ′(𝑠)} 𝑡 = −ℒ−1{1 𝑠 } 𝑡 = −1 𝑡 . • Dependendo do caso, ao invés de usar frações parciais, lembre que podemos usar convolução ou a propriedade da transformada da integral. Tabela: Transformada de Laplace 1 1 s eat 1 s− a tn n! sn+1 senat a s2 + a2 cos at s s2 + a2 senh at a s2 − a2 cosh at s s2 − a2 eatsenbt b (s− a)2 + b2 eat cos bt s− a (s− a)2 + b2 tneat n! (s− a)n+1 Uc(t) e−cs s Uc(t)f(t− c) e−csF (s) ectf(t) F (s− c) f(ct) 1 c F (s c ) ∫ t 0 f(t− τ)g(τ)dτ F (s)G(s) δ(t− c) e−cs f (n)(t) snF (s)− s(n−1)f(0)− . . .− f (n−1)(0) (−t)nf(t) F (n)(s) TABELA: Derivadas, Integrais e Identidades Trigonome´tricas • Derivadas Sejam u e v func¸o˜es deriva´veis de x e n con- stante. 1. y = un ⇒ y′ = nun−1u′. 2. y = uv ⇒ y′ = u′v + v′u. 3. y = uv ⇒ y′ = u ′v−v′u v2 . 4. y = au ⇒ y′ = au(ln a) u′, (a > 0, a 6= 1). 5. y = eu ⇒ y′ = euu′. 6. y = loga u ⇒ y′ = u ′ u loga e. 7. y = lnu ⇒ y′ = 1uu′. 8. y = uv ⇒ y′ = v uv−1 u′ + uv(lnu) v′. 9. y = sen u ⇒ y′ = u′ cos u. 10. y = cos u ⇒ y′ = −u′sen u. 11. y = tg u ⇒ y′ = u′ sec2 u. 12. y = cotg u ⇒ y′ = −u′cosec2u. 13. y = sec u ⇒ y′ = u′ sec u tg u. 14. y = cosec u ⇒ y′ = −u′cosec u cotg u. 15. y = arc sen u ⇒ y′ = u′√ 1−u2 . 16. y = arc cos u ⇒ y′ = −u′√ 1−u2 . 17. y = arc tg u ⇒ y′ = u′ 1+u2 . 18. y = arc cot g u ⇒ −u′ 1+u2 . 19. y = arc sec u, |u| > 1 ⇒ y′ = u′|u|√u2−1 , |u| > 1. 20. y = arc cosec u, |u| > 1 ⇒ y′ = −u′|u|√u2−1 , |u| > 1. • Identidades Trigonome´tricas 1. sen2x+ cos2 x = 1. 2. 1 + tg2x = sec2 x. 3. 1 + cotg2x = cosec2x. 4. sen2x = 1−cos 2x2 . 5. cos2 x = 1+cos 2x2 . 6. sen 2x = 2 sen x cos x. 7. 2 sen x cos y = sen (x− y) + sen (x+ y). 8. 2 sen x sen y = cos (x− y)− cos (x+ y). 9. 2 cos x cos y = cos (x− y) + cos (x+ y). 10. 1± sen x = 1± cos (pi2 − x). • Integrais 1. ∫ du = u+ c. 2. ∫ undu = u n+1 n+1 + c, n 6= −1. 3. ∫ du u = ln |u|+ c. 4. ∫ audu = a u ln a + c, a > 0, a 6= 1. 5. ∫ eudu = eu + c. 6. ∫ sen u du = − cos u+ c. 7. ∫ cos u du = sen u+ c. 8. ∫ tg u du = ln |sec u|+ c. 9. ∫ cotg u du = ln |sen u|+ c. 10. ∫ sec u du = ln |sec u+ tg u|+ c. 11. ∫ cosec u du = ln |cosec u− cotg u|+ c. 12. ∫ sec u tg u du = sec u+ c. 13. ∫ cosec u cotg u du = −cosec u+ c. 14. ∫ sec2 u du = tg u+ c. 15. ∫ cosec2u du = −cotg u+ c. 16. ∫ du u2+a2 = 1aarc tg u a + c. 17. ∫ du u2−a2 = 1 2a ln ∣∣∣u−au+a ∣∣∣+ c, u2 > a2. 18. ∫ du√ u2+a2 = ln ∣∣∣u+√u2 + a2∣∣∣+ c. 19. ∫ du√ u2−a2 = ln ∣∣∣u+√u2 − a2∣∣∣+ c. 20. ∫ du√ a2−u2 = arc sen u a + c, u 2 < a2. 21. ∫ du u √ u2−a2 = 1 aarc sec ∣∣u a ∣∣+ c. • Fo´rmulas de Recorreˆncia 1. ∫ sennau du = − senn−1au cos auan + ( n−1 n ) ∫ senn−2au du. 2. ∫ cosn au du = sen au cos n−1 au an + ( n−1 n ) ∫ cosn−2 au du. 3. ∫ tgnau du = tg n−1au a(n−1) − ∫ tgn−2au du. 4. ∫ cotgnau du = − cotgn−1aua(n−1) − ∫ cotgn−2au du. 5. ∫ secn au du = sec n−2 au tg au a(n−1) + ( n−2 n−1 ) ∫ secn−2 au du. 6. ∫ cosecnau du = − cosecn−2au cotg aua(n−1) + ( n−2 n−1 ) ∫ cosecn−2au du.
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