MODULO 10 LIVRO RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

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AT 1
2 3
S
U
M
Á
R
IO
2
3 INTRODUÇÃO
5 UNIDADE 1 - Notas históricas e revisão de conceitos fundamentais
5 1.1 Notas históricas envolvendo a resistência dos materiais
9 1.2 Conceitos fundamentais da mecânica dos corpos rígidos
9 1.2.1 Módulo e direção da força resultante 
10 1.2.2 Equilíbrio de um ponto e resultante das forças igual a zero
15 1.2.3 Descrevendo o equilíbrio de corpo rígido 
20 1.3 Caracterizando as forças internas
21 1.3.1 Descrevendo nas entrelinhas as forças internas
24 UNIDADE 2 - Tensão normal e de cisalhamento, deformação e diagramas associados
26 2.1 Tensão normal média em uma barra com carga axial
28 2.2 Tensão de cisalhamento média
30 2.2.1 Cisalhamento duplo
30 2.3 Tensão admissível e fator de segurança
34 2.4 Deformação
36 2.5 Tensão x Deformação
36 2.6 Diagrama tensão-deformação
40 2.7 Materiais dúcteis e frágeis
41 2.8 Lei de Hooke
43 2.9 Energia de deformação
46	 2.10	Coeficiente	de	Poisson
48 2.11 Diagrama tensão-deformação de cisalhamento
50 REFERÊNCIAS
2 3
INTRODUÇÃO
3
Salientamos que o estudo da resis-
tência dos materiais traz para os enge-
nheiros, de forma geral, a segurança de 
empregabilidade dos materiais e tipos de 
perfis mais adequados para um dado pro-
jeto, seja ele relacionado a uma constru-
ção ou até mesmo uma máquina. Especi-
ficamente falando, os engenheiros civis a 
utilizam para trabalhos em pontes, edifí-
cios e rodovias, já os engenheiros mecâ-
nicos utilizam para projetos de máquinas, 
estruturas metálicas e tanques diversos. 
E ela se espalha pra todas as áreas da En-
genharia sem grandes dificuldades.
Segundo Hibbeler (2010), quando se 
fala de modo peculiar da Engenharia dos 
Materiais, salienta-se que a resistência 
dos materiais nada mais é do que a capa-
cidade que o material possui com relação 
à resistência de uma dada força a ele dire-
cionada. 
Assim, a resistência de um material é 
dada em função de seu processo de fabri-
cação, e os pesquisadores empregam uma 
variedade de processos para alterar essa 
resistência posteriormente. Tais proces-
sos incluem encruamento (deformação a 
frio), adição de elementos químicos, tra-
tamento térmico e alteração do tamanho 
dos grãos, dentre outros fatores. Esses 
métodos podem ser mensurados nos míni-
mos detalhes, seja de modo quantitativo 
ou qualitativo. Todavia, tornar materiais 
mais fortes pode estar associado a uma 
deterioração de outras propriedades me-
cânicas relacionadas. Exemplificando, na 
alteração do tamanho dos grãos, embora 
o limite de escoamento seja maximizado 
com a diminuição do tamanho dos grãos, 
grãos muito grandes tornam o material 
quebradiço. Geralmente, o limite de es-
coamento de um material é um indicador 
adequado de sua resistência mecânica. 
Além disso, segundo Hibbeler (2010), 
no contexto mecânico, o dimensionamen-
to de peças, que é um dos grandes obje-
tivos da resistência dos materiais, resu-
me-se em descrever as forças atuantes 
na peça, para que a inércia da mesma con-
tinue existindo e para que ela suporte os 
esforços empregados. Para isso, é preciso 
conhecer o limite do material. Isso pode 
ser obtido através de experimentos que, 
em termos básicos, submetem a peça ao 
esforço que ela deverá sofrer onde será 
empregada, a condições padrão, para que 
se possa analisar o seu comportamento. 
Esses dados são demonstrados em grá-
ficos de tensão x deformação. A tensão 
em que nos baseamos é o limite entre o 
regime elástico e o plástico. Mas para fins 
de segurança, é utilizado um c.s. (coefi-
ciente de segurança) que faz com que di-
mensionemos a peça para suportar uma 
tensão maior que a tensão limite mencio-
nada acima.
A disciplina de Resistência dos Mate-
riais é um momento que envolve a aplica-
ção dos conceitos da Física em relação a 
projetos de construções e peças diversas, 
voltados para o dimensionamento da ten-
são, deformação, entre outros. 
Várias situações do dia a dia do enge-
nheiro serão analisadas, com o objetivo de 
fixarmos a teoria de uma forma bem mais 
simples e prática. Sem abrir mão da com-
plexidade dos temas propostos, o conte-
4 54
údo foi cuidadosamente selecionado e 
apresentado de modo a permitir que sua 
aprendizagem aconteça de forma simples 
e agradável. Sugerimos que leia atenta-
mente cada parte deste material de apoio. 
Nesse sentido, o objetivo geral da nos-
sa disciplina é apresentar um aparato teó-
rico e prático envolvendo a aplicabilidade 
da Resistência dos Materiais no contexto 
da Engenharia e, em particular, no contex-
to da Engenharia Civil, desde definições e 
métodos utilizados para a resolução de 
problemas práticos destas áreas. 
Pois bem, as palavras acima são nossa 
justificativa para o módulo em estudo.
 Desde já, desejamos sucesso, não só 
nesta disciplina, mas em todo o curso.
 
4 5
UNIDADE 1 - Notas históricas e revisão de 
conceitos fundamentais
5
1.1 Notas históricas envol-
vendo a resistência dos ma-
teriais
Em um primeiro momento, da literatura 
sabemos que a resistência dos materiais 
é a parte da Mecânica que estuda nas en-
trelinhas a deformação dos corpos a partir 
da aplicação de um determinado esforço, 
bem como o seu comportamento em re-
lação a estas cargas. Grosso modo, a Me-
cânica pode ser dividida de acordo com o 
esquema gráfico apresentado na Figura 1 
a seguir.
Figura 1: Esquema gráfico.
Fonte: Elaborado pelo próprio autor.
6 7
É interessante salientarmos que quan-
do é criado um projeto de um maquinário 
qualquer ou até mesmo de uma estrutura, 
é de fundamental importância a definição 
dos esforços aplicados, sejam eles rela-
cionados ao interior quanto ao exterior do 
corpo em questão, princípios estes abor-
dados na estática ou mecânica dos corpos 
rígidos. Além disso, é importante conside-
rarmos o tipo de material do qual o corpo é 
feito, esses fatores são considerados fun-
damentais para a precisa compreensão do 
comportamento dos materiais e para o 
desenvolvimento das equações que serão 
usadas para determinar a resistência dos 
materiais.
Em termos históricos, desde os tempos 
mais remotos, desde que o homem iniciou 
a tratativa da arte e ciência relacionadas 
às construções, sempre existiu a neces-
sidade de obtenção de conhecimentos da 
resistência dos materiais. Especificamen-
te falando, foi notado que apenas com tais 
conhecimentos haveria a possibilidade de 
gerar regras, padrões e procedimentos 
para determinar quais dimensões seriam 
seguras para atuar como elementos em 
dispositivos e estruturas. As civilizações 
mais antigas da humanidade já haviam se 
lançado no estudo dos materiais. 
Com relação à cultura egípcia, esta já 
tinha grandes conhecimentos dessa área, 
pois sem eles com certeza suas famosas 
pirâmides não existiriam. Já na Grécia an-
tiga, os gregos trariam mais um avanço 
na área da construção, através da criação 
e utilização dos princípios de estática, a 
qual corresponde ao alicerce fundamental 
da resistência dos materiais. 
Segundo Hibbeler (2010), Arquimedes 
(287 – 212 a.C.) contribuiu de forma signi-
ficativa com relação às condições de equi-
líbrio, quando se utilizou de uma alavan-
ca, descrevendo métodos de verificação 
de centro de gravidade dos corpos. Além 
disso, aplicou também sua teoria na cons-
trução de grandes dispositivos, tais como 
guinchos e guindastes. 
Um pouco mais tarde, os romanos tam-
bém contribuíram para a fundamentação 
da resistência dos materiais. Em verda-
de, tornaram-se grandes construtores, já 
que elaboravam monumentos e templos, 
muitas de suas estradas e pontes estão 
sendo mantidas até o cotidiano atual. Sua 
contribuição fundamental na resistência 
dos materiais foram os arcos. Segundo Hi-
Figura 2: Exemplificando a aplicabilidade das equaçõesda resistência dos materiais.
Fonte: Hibbeler (2010).
6 7
bbeler (2010), embora, comparando-se a 
proporção dos arcos romanos com os uti-
lizados atualmente, podemos notar que 
hoje as estruturas são muito mais leves. 
Os romanos não possuíam ainda conhe-
cimentos de análise dos esforços, assim, 
não tinham a base necessária para a esco-
lha do formato correto de apoio, utilizan-
do-se geralmente de arcos semicirculares 
de vãos relativamente pequenos.
Segundo Hibbeler (2010), com rela-
ção à Idade Média, grande parte do que 
foi estudado e descoberto fora perdido, 
sendo recuperado apenas com a chegada 
do período do Renascimento, principal-
mente com a participação de Leonardo da 
Vinci. Sabe-se que Leonardo da Vinci era 
fascinado especialmente pela parte da 
mecânica, tendo em suas anotações: “A 
Mecânica é o paraíso da Ciência Ma-
temática porque é onde colhemos os 
frutos da Matemática”. É interessante 
observarmos que ele se utilizava da técni-
ca de analisar os momentos para a solução 
de diversos problemas, e ainda, aplicava 
a noção de deslocamento virtual para a 
análise de sistemas que envolviam polias 
e alavancas. Contrariamente aos roma-
nos, tinha uma visão mais sensata sobre a 
utilização dos arcos. 
Leonardo da Vinci estudou a resistên-
cia dos materiais de forma empírica. Assim 
sendo, a partir de sua análise de resistên-
cia de vigas, ele declarou: “Em todo ob-
jeto que é apoiado, mas que pode se 
curvar, e que apresenta seção trans-
versal e material uniformes, a parte 
que está mais distante dos apoios 
será a que mais vai se curvar”. Dessa 
maneira, concluiu que a resistência de vi-
gas apoiadas em ambas extremidades va-
ria inversamente com o comprimento e di-
retamente com a largura. De outra forma, 
realizou um procedimento investigativo 
em vigas tendo uma extremidade fixa e 
outra livre, bem como, investigou algo so-
bre resistência de colunas, afirmando que 
esta varia inversamente com seus com-
primentos, mas diretamente com o raio de 
suas secções transversais. 
Curiosidade! Segundo Hibbeler 
(2010), os estudos de Leonardo da Vin-
ci comprovam a primeira tentativa de 
aplicar a estática para determinar as 
forças atuantes em elementos de estru-
turas. Além disso, seria ele o responsá-
vel pelos primeiros experimentos para 
averiguar a resistência de materiais 
estruturais.
Na sequência, por volta do século XVII, 
aconteceriam as primeiras tentativas 
de mensurar dimensões seguras de ele-
mentos de estruturas, de modo analítico. 
Neste sentido, o famoso livro “The New 
Sciences”, de Galileu Galilei, apresenta o 
esforço do mesmo em organizar métodos 
aplicáveis às análises de esforços em se-
quências lógicas. Assim, tem o início da 
Resistência dos Materiais como Ciência. 
Cabe ressaltar, que os primeiros dois di-
álogos de seu livro apresentam o trabalho 
de Galileu na área da Mecânica. Ele inicia 
com várias observações feitas durante 
uma visita sua a um arsenal veneziano e 
discute geometricamente estruturas pa-
recidas, afirmando que se construirmos 
estruturas geometricamente similares, 
todavia, com aumento gradativo de suas 
dimensões, elas se tornam cada vez mais 
fracas. Para comprovar sua afirmação, 
começou com uma consideração quanto 
à resistência de materiais submetidos a 
8 9
tensões simples e atesta que a resistên-
cia de uma barra é referente à sua secção 
transversal, não a seu comprimento. Gali-
leu denomina esta resistência da barra de 
“resistência absoluta à ruptura”. Além dis-
so, trabalhou com a resistência de barras 
engastadas em apenas uma das extremi-
dades e com uma carga na outra. 
Importante! Segundo Hibbeler 
(2010), os esforços mecânicos são o 
principal foco da resistência dos mate-
riais, pois todo o estudo gira em torno 
de como dimensionar uma peça ou ele-
mento de máquina para que suporte os 
efeitos que os esforços mecânicos ge-
rados por uma estrutura geral ou espe-
cífica estarão atuando sobre a mesma. 
Cada tipo de esforço possui uma forma 
específica de ser analisado, estudado e 
calculado. 
Dessa forma, para o entendimento dos 
conhecimentos da resistência dos ma-
teriais, temos que nos atentar para os 
fundamentos da estática e de cálculos 
de esforços mecânicos, cálculos geomé-
tricos, envolvendo estudos de secções 
transversais de materiais, direcionados 
ao momento de inércia, ao módulo de re-
sistência e ao raio de giração. Tais con-
ceitos estão intimamente ligados com os 
cálculos de análise de tensões, sendo a 
junção de conceitos geométricos, está-
tica e dados referentes ao material que 
surge o cálculo de dimensionamento, no 
qual se procura desenvolver um elemento 
capaz de resistir a todos os esforços que 
estarão sendo aplicados nele durante o 
funcionamento da máquina, estrutura ou 
em qualquer lugar onde ele seja submeti-
do a esforços.
Figura 3: Avanço das soluções para Engenharia através da resistência dos materiais.
Fonte: Blog da Engenharia – Resistência dos Materiais.
8 9
1.2 Conceitos fundamentais 
da mecânica dos corpos rí-
gidos
É interessante iniciarmos a nossa dis-
cussão específica a respeito da resistên-
cia dos materiais, a partir dos procedi-
mentos relacionados às cargas que são 
comumente aplicadas em corpos a partir 
de peculiares reações que tais corpos es-
tão sujeitos. 
Segundo Hibbeler (2010), em diversos 
casos nos quais existem forças aplica-
das, torna-se mais viável a decomposição 
dessas forças a fim de obter duas compo-
nentes, dessa forma fica mais fácil aplicar 
tendo como base os efeitos de “puxão” e 
“empurrão”. Para iniciar a análise de de-
composição de forças, vamos começar 
com os cálculos para determinar a força 
resultante entre um sistema de forças 
aplicadas em um ponto.
1.2.1 Módulo e direção da força resul-
tante 
É sabido que a força resultante tem o 
efeito de substituir a todas as forças de 
um sistema, feito isso, a análise daquele 
ponto no qual as forças estão aplicadas, 
torna-se mais clara e precisa. Vejamos a 
situação ilustrativa a seguir.
Exemplo: O gancho na Figura 4 está 
sujeita a duas forças F1 e F2. Determine a 
intensidade e a direção da força resultan-
te.
Solução: neste caso, podemos seguir a 
sequência de passos descritos a seguir.
Passo 1: realizamos o somatório das 
componentes das forças em “X” e “Y” 
como segue:
Passo 2: aplicamos a fórmula de força 
resultante e em seguida o cálculo para 
determinar o ângulo como segue:
Figura 4: Interpretação geométrica do exemplo.
Fonte: Hibbeler (2010).
10 11
Exemplo: Determinar a Resultante 
das duas forças P e Q que agem sobre o 
parafuso A e sua direção.
Solução: neste caso, temos que:
1.2.2 Equilíbrio de um ponto e resultan-
te das forças igual a zero
Segundo Hibbeler (2010), quando 
dizemos que um ponto, ou partícula, 
está em repouso, não quer dizer 
necessariamente parado, mas sim, leva-
se em consideração o estado inicial da 
partícula. Exemplificando, se um ponto 
está com velocidade zero, podemos 
afirmar que o corpo está parado, mas 
se ele está em movimento, mas a sua 
velocidade é constante, significa que 
não há adição de força neste sistema, e 
podemos afirmar também que o ponto 
está em equilíbrio.
Para determinarmos se um ponto está 
em equilíbrio, a somatória de todas as 
forças em um determinado eixo do plano 
onde estão as forças devem ser iguais a 
zero, ou seja, elas irão se anular umas com 
as outras, quando isso ocorre, dizemos 
que há o equilíbrio. Observe a Figura 6 a 
seguir.
Figura 5: Interpretação geométrica do exemplo.
Fonte: Hibbeler (2010).
10 11
Segundo Hibbeler (2010), para 
utilizarmos as equações de equilíbrio 
de maneira mais coerente e correta, 
devemos levar em consideração todas as 
forças empregadas naquele ponto, tanto 
as conhecidas como as desconhecidas. 
Para tal, bastautilizarmos o diagrama 
de corpo livre (DCL), que consiste em 
isolar a partícula esboçando as forças 
empregadas, bem como a sua direção. 
As equações de equilíbrio mencionadas 
anteriormente são:
Observe a seguir um diagrama de corpo 
livre conforme Figura 7 abaixo.
Dessa forma, quando se aplica as 
equações de equilíbrio, se em duas 
dimensões, devemos considerar que para 
qualquer tipo de problema só poderemos 
resolver duas incógnitas, ou seja, duas 
variáveis desconhecidas, se o problema for 
em três dimensões, essa situação também 
irá se modificar para três variáveis. Além 
disso, é necessário sempre considerar o 
sinal na qual a força está representada no 
DCL; se para “x” o vetor força está para a 
direita, sinal positivo, se para esquerda, 
negativo. Para “y” vetor acima da origem, 
positivo, abaixo, negativo.
Se ao acaso não for possível conhecer 
alguma das forças aplicada no ponto, 
este deverá ter o seu sentido no DCL 
assumido, de tal forma que se o valor no 
final dos cálculos for negativo, significa 
que ele deverá ter o seu sentido alterado. 
Conforme dito por Hibbeler (2010), os 
procedimentos que devem ser adotados 
quando queremos determinar se um ponto 
está em equilíbrio ou não são descritos na 
sequência.
Figura 6: Equilíbrio de um ponto.
Fonte: Adaptado de http://eletronicanoel.blogspot.
com.br
Figura 7: A interpretação geométrica de um diagrama 
de corpo livre.
Fonte: Adaptado de http://www.engbrasil.eng.br/pp/mt/
aula6.pdf
12 13
PROCEDIMENTOS
A) Para diagrama de corpo livre
 Estabeleça os eixos x e y, com 
qualquer orientação adequada.
 Identifique todas as intensidades 
e direções das forças conhecidas e 
desconhecidas no diagrama.
 O sentido de uma força que tenha 
intensidade desconhecida é assumido.
B) Para as equações de equilíbrio
 Aplicação das equações de 
equilíbrio e 
 As componentes devem ter os seus 
sinais considerados, a partir da definição 
de sentidos adotados.
 Como a intensidade de uma força 
é sempre uma quantidade positiva, 
então, se a solução produzir um resultado 
negativo, isso indica que o sentido da 
força é oposto ao mostrado do diagrama 
de corpo livre (que foi assumido).
Vejamos a resolução de algumas 
situações problemas envolvendo 
os aspectos teóricos discutidos 
anteriormente.
Problema – Verificar se o sistema de 
forças indicado está em equilíbrio
Solução: neste caso, observando 
inicialmente a Figura 7, temos que a força 
F2 não possui componente de força em 
X, ela está integralmente em Y, o mesmo 
acontece com a força F1, porém ela está 
em X, e não possui componente em Y.
Começamos somando todas as 
componentes e verificando se o resultado 
é igual a zero. 
Os resultados nos mostram que o ponto 
está em equilíbrio tanto para o eixo X 
quanto para o Y.
Problema – Determine a tração nos 
cabos BA e BC necessária para sustentar 
o cilindro de 60Kg, conforme figura 
abaixo.
Figura 8: Interpretação geométrica do exemplo.
Fonte: Hibbeler (2010).
12 13
Solução: primeiramente aqui, temos 
que definir que quando tratamos de uma 
MASSA de 60Kg, isso ainda não é o valor 
da força para efeito de cálculos, bastando 
apenas multiplicarmos pela aceleração 
da gravidade, para assim termos a força 
peso P.
Agora, desenharemos o diagrama de 
corpo livre com todas as forças presentes.
Logo:
Quando unimos as equações, 
poderemos calcular o valor de Tba. E, logo 
depois Tbc.
 420,6 N
Se usarmos a equação 1, teremos:
Figura 9: Interpretação geométrica do exemplo.
Fonte: Hibbeler (2010).
Figura 10: Interpretação geométrica do exemplo.
Fonte: Elaborado pelo próprio autor
(1ª Equação)
14 15
Problema – A caixa de 200Kg é sus-
pensa usando as cordas AB e AC. Cada 
corda pode suportar uma força máxima 
de 10 KN antes de se romper. Se AB sem-
pre permanece na horizontal, determine o 
menor ângulo para o qual a caixa pode 
ser suspensa antes que uma das cordas se 
rompa.
Solução: neste caso, temos que:
Podemos afirmar que a corda que liga 
a caixa no anel A, não se romperá, pois 
está abaixo da resistência da corda, que é 
10KN.
Agora, temos que determinar se as 
demais cordas sustentarão o peso sem se 
romper.
Logo:
Podemos perceber com a equação 
acima, que AB sempre será menor que AC, 
visto que , com isso, 
podemos adotar que AC terá a carga limite 
suportada pela corda, porque saberemos 
que AB sempre será um valor menor, 
não rompendo o cabo. Fazendo isso, 
encontraremos o valor máximo de . Daí: 
Para constatarmos o valor de AB, basta 
aplicar a equação de somatório em X:
Figura 11: Interpretação geométrica do exemplo.
Fonte: Hibbeler (2010).
Figura 12: Interpretação geométrica do exemplo.
Fonte: Elaborado pelo próprio autor.
14 15
1.2.3 Descrevendo o equilíbrio de corpo 
rígido 
É interessante observarmos que dife-
rentemente do que foi visto em equilíbrio 
de um ponto ou partícula, quando falamos 
em corpo, devemos nos atentar para não 
cometermos erros considerados fatais 
nos cálculos.
A maior diferença que se tem nestes 
dois assuntos, é que no equilíbrio de um 
ponto, todas as forças visíveis e invisíveis 
que atuam no corpo devem ser considera-
das, e não mais as que atuam apenas em 
um determinado ponto do corpo. Observe 
a Figura 13 a seguir.
Conforme podemos perceber na 
imagem acima, não haveria condições 
de ser calcular os apoios das vigas, se 
as mesmas não fizessem parte de um 
corpo só, no qual seriam considerados os 
pesos das vigas mais as cargas que elas 
deveriam suportar, com esses dados, os 
apoios poderiam ser calculados com base 
em um corpo. Nesse exemplo, não há 
como estipular as reações de apoio, tendo 
somente como base as leis adotadas no 
equilíbrio de um ponto.
A) Caracterizando as reações de 
apoio 
Antes de começarmos a efetuar os 
cálculos para o equilíbrio de um corpo, 
é necessário que entendamos como 
esses corpos podem ser apoiados, de 
forma a estabelecer a quantidade de 
incógnitas que deveremos encontrar para 
determinar o equilíbrio. Na maioria dos 
casos, segundo Hibbeler (2010), utiliza-
se apoios que impedem o movimento do 
corpo em três situações, são elas:
1ª Situação – Movimento em “x”
Nesta situação, os apoios promovem 
uma força de reação ao movimento na 
horizontal. Para se determinar essa 
reação, utiliza-se a equação do somatório 
de forças em “x” iguais a zero, ou seja:
2ª Situação – Movimento em “y”
Nesta situação, os apoios promovem 
uma força de reação ao movimento na 
vertical. Para se determinar essa reação, 
utiliza-se a equação do somatório de 
forças em “y” iguais a zero, ou seja:
Para essas três situações, os tipos 
de conexões empregados nos apoios 
fornecem o número de incógnitas pelas 
quais o apoio é empregado, ou seja, 
impedirá o movimento em uma das 
situações descritas. 
Para ter uma maior compreensão, 
segue alguns dos apoios mais usuais e 
suas características.
Figura 13: Viaduto Georgina Erismann.
Fonte: Adaptado de http://reginaldotracaja.blogspot.
com.br
16 17
Um método consiste de um rolete 
ou cilindro. Como esse suporte apenas 
impede que a viga translade na direção 
vertical, o rolete só exercerá uma força 
sobre a viga nessa direção.
A viga pode ser apoiada de uma forma 
mais restritiva por meio de um pino. Logo, 
fica restringida o movimento em ambas as 
direções. Observe a Figura 15 a seguir.
Por fim, a maneira mais restritiva de 
apoiar a viga seria usar um apoio fixo. Esse 
apoio impedirá tanto a translação quanto 
a rotação da viga. Vejamos a Figura 16 na 
sequência.
A viga pode ser apoiada de uma forma 
mais restritiva por meio de um pino. Logo, 
fica restringida o movimento em ambas as 
direções. Observe a Figura 15 a seguir.
Figura 14: Apoio tipo rolete.
Fonte: Hibbeler (2010).
Figura 15: Apoiopor Pino.
Fonte: Hibbeler (2010).
Figura 14: Apoio tipo rolete.
Fonte: Hibbeler (2010).
16 17
Por fim, a maneira mais restritiva de 
apoiar a viga seria usar um apoio fixo. Esse 
apoio impedirá tanto a translação quanto 
a rotação da viga. Vejamos a Figura 16 na 
sequência.
A Figura 17 a seguir nos mostra outras 
variedades de apoios, bem como as suas 
características.
Figura 15: Apoio por Pino.
Fonte: Hibbeler (2010).
Figura 16: Apoio Fixo.
Fonte: Hibbeler (2010).
18 19
Figura 17: Tabela Tipos de Apoio.
Fonte: Hibbeler (2010).
18 19
Problema – Determine as componen-
tes horizontal e vertical da reação sobre 
a viga, causada pelo pino em B e o apoio 
oscilante em A. Despreze o peso da viga.
Solução: neste caso, o primeiro passo 
a ser realizado, é a utilização do diagrama 
de corpo livre, conforme figura abaixo, o 
diagrama nos permite observar as forças 
que já estão aplicadas ao corpo, mas 
também a observar as que não aparecem, 
que são exatamente as reações nos 
apoios A e B.
Após o desenho do DCL, basta aplicar as 
equações de equilíbrio para se determinar 
as reações.
Importante! Note que existem 
cargas tanto na direção “X” quanto 
na “Y”, isso já nos mostra que em 
nenhumas reações encontradas nos 
apoios, podem ser iguais a zero.
Além disso, a equação mais utilizada 
para simplificar os cálculos é a de 
somatório de momento, pois sabemos 
que o ponto onde se aplica uma ou mais 
forças não geram momento, com isso, 
fica fácil definir que no apoio onde está 
presente o maior número de incógnitas, 
deve ser o primeiro a ser tomado como 
referência. Para o cálculo temos três 
equações disponíveis:
Para determinar a reação Ay
Para determinar a reação By
Figura 18: Interpretação geométrica do exemplo.
Fonte: Adaptado de http://www.engbrasil.eng.br/pp/
mt/aula16.pdf
Figura 19: Interpretação geométrica da resolução do 
exemplo.
Fonte: Adaptado de http://www.engbrasil.eng.br/pp/
mt/aula16.pdf
20 21
Para determinar a reação Bx
Dica! Deve-se recordar que no 
desenho do diagrama de corpo livre, 
como não conhecemos as reações, 
os seus sentidos devem ser adotados 
de forma aleatória, caso no decorrer 
do cálculo os seus resultados forem 
valores negativos, devemos voltar no 
DCL e modificar o seu sentido. Não 
existem reações com sinal negativo. 
1.3 Caracterizando as for-
ças internas
Quando pretendemos construir algum 
elemento estrutural, é de grande valia que 
saibamos encontrar os esforços internos 
presentes nestes elementos quando 
são expostos a cargas, podendo ser até 
mesmo o peso do próprio elemento.
Para isso, precisaremos atribuir o 
método das seções, que consiste em 
“cortar” o elemento em um ponto e expor 
essas forças. 
A imagem apresentada na Figura 20 a 
seguir, mostra-nos uma viga, com o seu 
carregamento, bem como o DCL.
 
Depois que o diagrama de corpo livre 
é feito, é preciso que escolhamos um 
dos lados do ponto “C” para fazer as 
análises. Via de regra, costuma ser mais 
fácil escolher o lado que possua o menor 
número de forças desconhecidas. Quando 
fazemos isso, o corte feito no ponto “C” 
irá expor as cargas internas; que são 
o Esforço Cortante, Esforço Normal e 
Momento Fletor.
Figura 20: Viga carregada.
Fonte: Adaptado de http://www.engbrasil.eng.br/pp/
mt/aula16.pdf
20 21
Podemos perceber que as cargas Vc 
(Esforço cortante), Nc (Esforço Normal) e 
Mc (Momento Fletor) são as únicas cargas 
que não apareciam no DCL. Essas cargas 
são os Esforços Internos.
1.3.1 Descrevendo nas en-
trelinhas as forças internas
Segundo Hibbeler (2010), o método das 
seções pode ser usado para determinar as 
cargas internas sobre a seção transversal 
de um membro usando o procedimento a 
seguir.
A) REAÇÕES DE SUPORTE
 Antes que o membro seja cortado, 
pode ser preciso primeiro determinar 
suas reações de apoio, de modo que 
as equações de equilíbrio possam ser 
usadas para solucionar as cargas internas 
somente depois que o membro for 
seccionado.
B) DIAGRAMA DE CORPO LIVRE
 Mantenha todas as cargas 
distribuídas, momentos de binário e forças 
que atuam sobre o membro em seus locais 
exatos, depois faça uma secção imaginária 
pelo membro, perpendicular ao seu eixo, 
no ponto onde as cargas internas devem 
ser determinadas.
 Depois que a secção for feita, 
desenhe um diagrama de corpo livre do 
segmento que tem o menor número de 
cargas sobre ele e indique as componentes 
das resultantes da força e do momento 
de binário na seção transversal que atua 
em suas direções positivas, conforme a 
convenção de sinal estabelecida.
C) EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO
 Os momentos devem ser somados 
na seção. Desse modo, as forças normal 
e cortante na seção são eliminadas, e 
podemos obter uma solução direta para o 
momento.
 Se a solução das equações de 
equilíbrio der um número negativo, 
o sentido da força é contrário ao 
estabelecido do DCL.
Problema – Determine a força normal, 
o esforço cortante interno e o momento 
fletor nos pontos C e D da viga. Assuma 
que o apoio em B seja um rolete. O ponto 
C está localizado logo à direita da carga de 
40 kN.
Figura 21: Cargas internas de uma viga.
Fonte: Adaptado de http://www.engbrasil.eng.br/pp/
mt/aula16.pdf
22 23
Solução: neste caso, temos que o pri-
meiro passo é o desenho do DCL:
Para este problema, necessariamente 
teremos que determinar as reações de 
apoio antes de seccionar a viga, para isso, 
temos que usar as equações de equilíbrio.
Note que usamos primeiramente 
a equação de momento no ponto “A”, 
pois dispensa conhecer os valores das 
reações presentes neste ponto, isso 
ocorre porque a força não gera momento 
quando aplicada no ponto onde se calcula 
o momento, a distância entre ela e a 
origem vai ser zero. Dessa forma, o valor 
de By passa a ser conhecido diretamente 
por esse cálculo. Depois de calculado um 
dos pontos, basta efetuar a aplicação das 
outras equações.
Determinação das cargas internas (Mc, 
Vc e Nc) no ponto “C”:
Para o cálculo de Nc, torna-se bem 
fácil, pois como não existe nenhuma 
força atuando nesta seção na horizontal, 
logicamente que seu valor não poderia 
ser diferente de zero.
Para Vc, repare que entram na equação 
em “Y” somente os valores presentes na 
seção de “c” para a esquerda.
O mesmo ocorre para o Mc, as forças 
que geram este momento só podem ser 
consideradas as que estão presentes 
Figura 22: Interpretação geométrica do problema.
Fonte: Adaptado de http://www.eletrica.ufpr.br/ufpr2
Figura 23: Interpretação geométrica da resolução do 
problema.
Fonte: Elaborado pelo próprio autor.
22 23
na seção, de modo específico, a força Vc 
não gera momento, pois está aplicada no 
mesmo ponto. 
Para realizar os cálculos no ponto “D”, 
as etapas e considerações são as mesmas 
para o ponto “C”. Lembrando apenas que 
agora existe um momento de binário igual 
a 60 kN.m
de By passa a ser conhecido diretamente 
por esse cálculo. Depois de calculado um 
dos pontos, basta efetuar a aplicação das 
outras equações.
Determinação das cargas internas (Mc, 
Vc e Nc) no ponto “C”:
Para o cálculo de Nc, torna-se bem 
fácil, pois como não existe nenhuma 
força atuando nesta seção na horizontal, 
logicamente que seu valor não poderia 
ser diferente de zero.
Para Vc, repare que entram na equação 
em “Y” somente os valores presentes na 
seção de “c” para a esquerda.
O mesmo ocorre para o Mc, as forças 
que geram este momento só podem ser 
consideradas as que estão presentes 
Figura 24: Determinação das cargas internas (Md, Vd e 
Nd) no ponto “D”.
Fonte: Elaborado pelo próprio autor
24 25
UNIDADE 2 - Tensão normal e de cisalha-
mento, deformação e diagramas associados
24
Até o presente momento, foi destaca-
do que a força e o momento que atuam 
em determinadoponto na área da seção 
de um corpo representam os efeitos re-
sultantes da distribuição de forças que 
atua na área secionada. Assim, determi-
nar a distribuição das cargas internas é de 
primordial importância na resistência dos 
materiais. 
Segundo Hibbeler (2010), é de funda-
mental importância para resolvermos tal 
situação problema a descrição do conceito 
de tensão. Vale ressaltar que se pode fa-
zer um comparativo entre tensão e pres-
são. Geralmente utilizamos os conceitos 
de Pressão em fluidos, e de Tensão para 
os sólidos. Temos que ambos obedecem a 
mesma expressão:
Para pressão: 
Para Tensão: 
Em relação à unidade de medida será Pa 
(Pascal) = . Como 1 Pascal, representa 
um valor muito pequeno, costuma-se uti-
lizar prefixos do tipo “k” quilo ( ( , “M” 
mega( ou “G” giga ( Dando con-
tinuidade a tal aparato, comumente nos 
deparamos diante de uma dúvida ou in-
dagação: Qual a razão da existência da 
pressão? A resposta é fácil, sempre se 
movimenta um fluido e existem restrições 
ao deslocamento, surgem as pressões. No 
caso de uma panela de pressão, se não 
houvesse a tampa da panela exercendo 
essa restrição, a água evaporaria e com 
isso não teríamos pressão no interior do 
recipiente. Para trazer esse comparativo 
para o estudo de tensão, basta analisar-
mos a Figura 25 a seguir.
Analisando este sólido com a força 
sendo aplicada, fica fácil entender que 
se este sólido de alguma forma oferecer 
resistência à deformação, ocasionada 
pela aplicação da força “F”, então começa a 
surgir as tensões das quais iremos discutir 
neste momento.
Vejamos um exemplo ilustrativo sobre 
tensão. 
Problema – Considere a estrutura 
colocada na Figura 26 a seguir, que 
consiste em barras AB e BC, nos propomos 
a verificar se essa estrutura pode suportar 
com segurança a carga de 30 kN, aplicada 
no ponto B.
Figura 25: Resistência dos Materiais.
Fonte: Elaborado pelo próprio autor.
24 2525
Solução: neste caso, temos que a 
partir da aplicação das regras da estática, 
obtemos a descrição geométrica seguindo 
a Figura 27 a seguir.
Logo:
Note que podemos concluir que a barra 
BC está sob tração e a barra BA está sob 
compressão. Além disso, se cortar essas 
barras em um determinado ponto, iremos 
constatar que, para elas permanecerem 
em equilíbrio, é necessário que as mesmas 
forneçam uma reação, da qual a maior 
força será de 50 kN. 
Os dados encontrados até aqui, 
representam o primeiro passo para se 
determinar o projeto desta estrutura. O 
fato de encontrarmos os esforços internos 
não garante que a barra irá suportar o peso 
ou não, mas sim essa condição depende 
em muito da área transversal da barra e do 
material a ser utilizado na sua construção. 
Seguindo essa premissa, vamos imaginar 
que a barra em questão tem 20 mm e é 
feita de aço. Temos a seguinte condição 
para a fórmula de tensão:
F = Força
A = Área
Figura 26: Interpretação geométrica do exemplo.
Fonte: Adaptado de Hibbeler (2010).
Figura 27: Interpretação geométrica do exemplo.
Fonte: Elaborado pelo próprio autor.
26 27
Para efeito de entendimento, podemos 
comparar esse valor com o máximo acei-
tável pelo aço, se ele estiver abaixo do es-
pecificado, então a estrutura será aceita 
e suportará os efeitos da carga com segu-
rança.
Em tabelas que contenham as carac-
terísticas dos materiais, podemos extrair 
a informação sobre a tensão máxima ad-
missível para o aço, que é igual a .
Como o valor encontrado nos cálculos 
foi de 159 Mpa, podemos afirmar que a es-
trutura não se romperá com o peso. Claro 
que estamos tratando para o momento, 
somente as barras, mas existem outros 
elementos que dever ser considerados, 
como a compressão da barra AB, e as ten-
sões existentes nos pinos e suportes.
Saiba mais! A tensão mecânica é 
uma medida de força interna por uni-
dade de área de um corpo deformável 
em uma superfície imaginária interna 
ao corpo.
2.1 Tensão normal média 
em uma barra com carga 
axial
Na grande parte dos membros utiliza-
dos em elementos mecânicos ou estrutu-
rais possuem um comprimento maior do 
que a largura, ou diâmetro, que é o caso 
de eixos, parafusos e barras de treliças. 
Assim sendo, para que começamos o nos-
so estudo a cerca desse assunto, é impor-
tante analisarmos inicialmente duas hipó-
teses:
1ª Hipótese – É relevante que a barra 
fique reta durante todo o procedimen-
to de aplicação e retirada de uma carga. 
Além desse critério, a barra também pre-
cisa permanecer com a sua seção trans-
versal plana durante a deformação. Se-
guindo essas duas condições, as linhas 
de grade que estão inscritas na figura a 
seguir, permanecerão constantes duran-
te a aplicação da carga, fazendo com que 
a deformação seja uniforme. Para tanto, 
devemos desconsiderar as extremidades 
das barras, pois essas deformam mais.
2ª Hipótese – Segundo Hibbeler 
(2010), para que se consiga uma deforma-
ção mais homogênea, é importante que a 
carga seja aplicada no centroide da seção 
transversal da barra. Além disso, é neces-
sário que a barra a ser submetida à carga 
tenha na sua construção um material ho-
mogêneo* e isotrópico.
Saiba mais! O material Homogêneo 
é aquele que possui as mesmas pro-
priedades físicas e mecânicas. Contra-
riamente, o material Isotrópico é aque-
le que possui as mesmas propriedades 
em todas as direções. 
Observe a Figura 28 a seguir.
Figura 28: Exemplo de barra submetida à tração com 
as linhas de deformação.
Fonte: Hibbeler (2010).
26 27
Problema – A barra da figura abaixo 
tem largura constante de 35 mm e es-
pessura de 10 mm. Determinar a tensão 
normal média máxima na barra quando 
submetida ao carregamento mostrado. 
Observe a Figura 29 a seguir.
Solução: neste caso, para as cargas in-
ternas, podemos perceber nas seções aci-
ma, que os esforços internos, apesar de 
diferentes, são constantes. Podemos ve-
rificar no desenho do diagrama de esforço 
normal (c) que a maior carga está presente 
no segmento BC, visto que nesse trecho, 
concentra-se a maior carga, sendo que a 
área da seção é a mesma.
Problema – A luminária de 80 kg é su-
portada por duas hastes AB e BC como 
mostra a Figura 30. Se AB tem diâmetro 
10 mm, e BC tem diâmetro de 8 mm, de-
terminar a tensão normal média em cada 
haste. Observe as Figuras 30 e 31 a seguir.
Figura 29: Interpretação geométrica do exemplo.
Fonte: Hibbeler (2010).
Figura 30: Interpretação geométrica do exemplo.
Fonte: Hibbeler (2010).
28 29
Solução: primeiramente, devemos 
encontrar as cargas internas em cada 
membro proposto como segue.
Como é do conhecimento de todos, pela 
aplicação da terceira lei de Newton, essas 
barras ofereceram uma reação de sentido 
oposto em todo o segmento da barra. 
Podemos assim calcular a tensa normal 
média pela expressão:
Logo:
2.2 Tensão de cisalhamento 
média
O que foi visto anteriormente, baseava-
se em tensões ocasionadas por esforços 
normais a uma seção transversal, ou seja, 
forças axiais. Segundo, Hibbeler (2010), 
porém quando duas forças são aplicadas 
na direção transversal a uma barra, produz 
um tipo de tensão que denominamos de 
tensão de cisalhamento. 
Figura 31: Diagrama de corpo livre.
Fonte: Hibbeler (2010).
Figura 32: Interpretando a tensão de cisalhamento.
Fonte: Hibbeler (2010).
28 29
Salientamos que se passarmos uma 
seção transversal no ponto C, iremos per-
ceber que existem forças internas que se 
devem igualar a P. Essas forças internas 
levam o nome de forças cortantes, que 
já vimos anteriormente. A força cortante 
gera a tensão de cisalhamento, que é indi-
cada pela letra grega (tau).
Logo:
 
Sendo:
 = Tensão de Média de Cisalhamento
P= Carga
A= Área da seção transversal
Podemos citar ainda que esse tipo de 
cisalhamento é considerado simples, poisa carga está aplicada diretamente sobre 
a seção. Existem outros exemplos na 
Engenharia que se assemelham com este 
tipo de cisalhamento, como o encontrado 
em juntas parafusadas, pinos, material 
soldado, entre outros:
Figura 33: Interpretando a força cortante.
Fonte: Adaptado de Hibbeler (2010).
Figura 34: Cisalhamento Simples.
Fonte: Hibbeler (2010).
30 31
Por consequência a este cisalhamento 
duplo, teremos a força V=F/2.
2.3 Tensão admissível e fa-
tor de segurança
Salientamos que em diversos projetos 
de Engenharia, não se pode considerar, 
para efeitos de projetos, a tensão máxi-
ma que um determinado material e peça 
estão submetidos. Por questões de segu-
rança, o projeto deve ter um fator de se-
gurança e trabalhar com uma tensão ad-
missível. Seja para projetos de máquinas 
ou peças.
Consiste basicamente em determinar 
uma carga segura em que o elemento 
possa estar submetido, logicamente, essa 
carga deverá ser menor do que a carga 
que o elemento suportaria integralmente.
Tal procedimento se faz necessário, 
pois não se pode garantir a integralidade 
de um material durante toda a sua vida 
útil. Ele pode sofrer avarias por corrosão, 
desgastes por agentes atmosféricos ou 
algo do tipo. Além disso, o elemento pode 
vir a sofrer cargas acidentais, que não es-
tão especificadas no projeto inicial. Todas 
essas variáveis não podem ser mensu-
radas, por isso, estipula-se um fator de 
segurança, a fim de obter uma tensão 
admissível para o elemento, garantindo 
maior segurança.
Um método de definir o fator de segu-
rança é fazer a razão entre a carga de rup-
tura pela carga admissível.
Outro exemplo:
 
2.2.1 Cisalhamento duplo
Um exemplo que pode ser dado para ci-
salhamento duplo é o encontrado em jun-
tas de dupla sobreposição, que constitui 
de duas superfícies de cisalhamento uni-
das por um elemento de fixação.
A Figura 36 a seguir, mostra-nos exem-
plos dessa aplicação, bem como as carac-
terísticas da força cortante que está apli-
cada em cada elemento.
Figura 35: Cisalhamento simples em um para-
fuso.
Fonte: Elaborado pelo próprio autor.
Figura 36: Cisalhamento duplo.
Fonte: Hibbeler (2010).
30 31
 
Se a carga de ruptura estiver alinhada 
na mesma direção do elemento, ela irá 
gerar uma tensão admissível normal ao 
elemento, e na direção perpendicular, irá 
gerar uma tensão de cisalhamento. Nesse 
conceito, podemos estender o fator de 
segurança para uma análise voltada às 
tensões:
FS = rup
adm
σ
σ
FS = rup
adm
τ
τ
Os valores dos fatores de segurança 
estão associados em grande parte na 
utilização do elemento estrutural ou de 
máquinas, um exemplo são os carros de 
fórmula 1, seus fatores de segurança 
estão próximos de 1, o mínimo, pois quanto 
menor é o fator de segurança, menor 
é o peso destes componentes e assim 
aumenta o rendimento nas pistas. O que 
não ocorre numa usina hidrelétrica, por 
exemplo, que precisa ter uma barragem 
muito resistente e está exposta a ação de 
vários fatores que causam deterioração 
e precisa ter um fator de segurança de 
aproximadamente 3.
Problema – Os dois elementos estão 
acoplados por pinos em B, conforme 
Figura 37. A Figura 37 a seguir nos mostra 
também o topo dos acoplamentos em A e 
B. Supondo que os pinos tenham tensão 
de cisalhamento admissível de e o esforço 
de tração admissível da haste CB seja , 
determinar o menor diâmetro dos pinos 
A e B, com aproximação de , e o diâmetro 
da haste CB necessário para suportar a 
carga.
Figura 37: Interpretação do exemplo.
Fonte: Hibbeler (2010).
32 33
Logo:
 
 
 
 
 
 
A força que causa cisalhamento em B é 
de 3,33kip, mas a que causa cisalhamento 
em A, será a somatória dos vetores das 
componentes Ax e Ay. E a direção será 
arco tangente da razão entre Ay e Ax.
 
 
 
 
 
Solução: devemos observar inicialmen-
te que o segmento BC possui duas com-
ponentes de força. Precisamos primei-
ramente calcular as reações de apoio e 
depois a carga que causa cisalhamento ao 
parafuso:
DCL
Figura 38: Interpretação geométrica do exemplo.
Fonte: Hibbeler (2010).
Figura 39: Interpretação geométrica do 
exemplo.
32 33
Para determinarmos os diâmetros dos 
pinos em cada ponto, basta analisar as 
forças que geram as tensões de cisalha-
mento. Perceba que em A há um cisalha-
mento duplo, por isso utiliza-se a metade 
da força.
Figura 40: Interpretação geométrica do exemplo.
Fonte: Hibbeler (2010).
21, 425 0,1139 ² .
12,5 / ² 4
A A
A
adm
V dkipA pol
kip pol
π
τ
 
= = = =  
 
logo Ad = 0,381 pol
23,333 0,2667 ² .
12,5 / ² 4
B B
B
adm
V dkipA pol
kip pol
π
τ
 
= = = =  
  logo Bd = 0,583 pol
Conforme estabelecido no enunciado, os tamanhos dos pinos que mais se aproximam 
com os valores encontrados nos cálculos são:
 7
16A
d =
 
pol = 0,4375 pol
 5
8B
d =
 
pol = 0,625 pol
Para encontrarmos esses valores, bas-
ta pegarmos o valor encontrado e multi-
plicarmos por 16 e mantermos o denomi-
nador 16. Assim sendo, por exemplo :
 
Portanto, como é um elemento de 
carga, nunca podemos arredondar para 
baixo, sempre para casa inteira superior, 
no caso 7.
Cálculo na haste:
O diâmetro requerido na haste ao longo 
de seu corte central é caracterizado como 
segue:
 
23,33 .
( ) 16,2 / ² 4
BC
BC
t adm
dP kipA
kip pol
π
σ
 
= = =  
 
 
34 35
9
16BC
d =
 
pol
Escolhemos:
9
16BC
d =
 
pol = 0,5625 pol
2.4 Deformação
Agora estaremos interessados na 
descrição do conceito de deformação. 
Segundo Hibbeler (2010), quando uma 
força é aplicada a um corpo, tende a 
mudar a forma e o tamanho dele. Tais 
mudanças são denominadas deformação 
e podem ser perfeitamente visíveis ou 
praticamente imperceptíveis sem o uso 
de equipamento para fazer medições 
precisas. Por exemplo, uma tira de borracha 
sofre deformação muito grande quando 
esticada. Por outro lado, ocorrem apenas 
pequenas deformações de membros 
estruturais quando um edifício é ocupado 
por pessoas movimentando-se. O corpo 
também pode sofrer deformação quando 
sua temperatura muda. Um exemplo típico 
é a expansão ou a contração de um telhado 
provocada pelas condições atmosféricas.
 
Importante! Quando se pretende 
fazer análises em um material 
submetido a uma carga, é necessário 
que se tenha equipamentos que façam 
as medições de maneira cada vez mais 
precisas. Segundo Hibbeler (2010), a 
deformação normal é a deformação do 
segmento de reta AB, conforme figura 
42.
 
Figura 41: Exemplificando a 
deformação.
Fonte: Hibbeler (2010).
34 35
 
Devemos considerar a reta AB, quando 
o corpo é submetido a uma força, essa 
linha se tona curva, originando um 
deslocamento A’ até B’, em que podemos 
perceber que A’ poderá se aproximar de 
B’. Podemos perceber que iremos gerar 
um comprimento final A mudança 
de comprimento da reta, dar-se-á por 
. A deformação normal média será 
escrita com a letra grega epsílon ( 
dada por:
 
'
médio
s s
s
ε ∆ −∆=
∆
A) DEFORMAÇÃO POR CISALHAMENTO
Consideremos os dois segmentos de 
retas da imagem abaixo.
Figura 42: Exemplificando a defor-
mação.
Fonte: Hibbeler (2010).
Figura 42: Exemplificando a deformação.
Fonte: Hibbeler (2010).
36 37
Quando as retas estão perpendicularese deformam criando um ângulo entre elas, 
isso gera a deformação por cisalhamento. 
Este ângulo é denominado (gama) e me-
dido em radianos.
2.5 Tensão x Deformação
Após utilizarmos os conceitos de ten-
são e deformação, vamos analisar o que 
a tensão pode causar no material e como 
ele se deforma.
Através de testes experimentais, po-
de-se obter dados que são necessários 
para os estudos da resistência dos mate-
riais.
2.6 Diagrama tensão-defor-
mação
Segundo Hibbeler (2010), a relação en-
tre tensão e deformação de certo mate-
rial é uma característica importante para 
se determinar se um material pode ser 
utilizado em um projeto.
Essas características são obtidas atra-
vés de ensaios de tração e compressão.
O ensaio de tração consiste em um cor-
po de prova construído com o mesmo ma-
terial a ser utilizado. No corpo de prova 
são feitas marcações a fim de obter a real 
deformação quando a carga vai aumen-
tando, e a partir daí, o diagrama de tensão 
x deformação é construído. 
Figura 43: Máquina de ensaio de materiais.
Fonte: Hibbeler (2010).
Figura 44: Máquina de ensaio de materiais.
Fonte: Hibbeler (2010).
36 37
Os corpos de provas devem possuir o di-
âmetro inicial de aproximadamente 13mm 
e comprimento de 50 mm. Percebem que 
o corpo de prova deve ter um diâmetro re-
duzido na região onde está instalado o ex-
tensômetro, isso porque a ruptura deve 
ocorrer nessa região, como sabemos, 
onde a seção tem área reduzida, a tensão 
ali será maior.
Além disso, a máquina que realiza a tra-
ção no corpo de prova deve aplicar uma 
carga crescente até o corpo de prova rom-
per, o correto é que essa carga seja aplica-
da lentamente, para garantir que o corpo 
se deforme de maneira mais homogênea.
Conforme cita o livro do Hibbeler, os 
dados da carga aplicada são registrados 
a intervalos frequentes à medida que 
são lidos no mostrador da máquina ou em 
mostrador digital. Além disso, mede-se o 
alongamento entre as marcas de punção 
no corpo de prova por meio de um calibre 
ou dispositivo óptico, denominado de 
extensômetro. O valor (delta) é então 
usado para calcular a deformação normal 
média do corpo de prova.
Com os dados extraídos destes 
testes, pode-se então construir um 
gráfico que identifica todas as regiões e 
as respectivas tensões e deformações 
aplicadas ao corpo de prova, através 
deste diagrama, pode, por exemplo, 
identificar se o material quando exposto a 
uma tensão X, se comportará numa região 
elástica ou plástica, que discutiremos 
posteriormente.
Desse modo, quando dividimos a carga 
aplicada na máquina, pela área da seção do 
corpo de prova, adotando que essa seção 
permanecerá a mesma, então podemos 
medir a tensão como:
 
Assim como, para identificar a 
deformação, basta visualizar no 
extensômetro ou dividir a variação do 
comprimento pelo comprimento inicial 
Lo.
 
Figura 45: Máquina de ensaio de materiais.
Fonte: Hibbeler (2010).
Figura 46: Máquina de ensaio de materiais.
Fonte: Hibbeler (2010).
38 39
Se adicionarmos essas duas grandezas 
em eixos cartesianos, nos quais o eixo X 
seria a deformação e o eixo Y fosse . E 
a partir daí traçarmos um gráfico, a curva 
deste gráfico é o chamado diagrama de 
tensão por deformação.
Temos que considerar que para todo 
material, submetido a um ensaio de tra-
ção ou compressão, possuirá um gráfico 
deste, mas como a nossa finalidade é o 
estudo em torno do aço, que é um mate-
rial utilizado tanto para elementos estru-
turais, quanto de máquinas. Observe a Fi-
gura 45 a seguir.
Figura 47: Diagramas associados a tensão de deformação.
Fonte: Hibbeler (2010).
38 39
Comportamento Elástico: na região 1, 
podemos perceber que não se trata tecni-
camente de uma curva, mais sim de uma 
reta, isso ocorre porque nessa região, o 
tratamento da tensão e formação, com-
porta-se linearmente, ou seja, toda vez 
que o material for submetido a uma ten-
são, dentro dessa região, ela se deforma-
rá, mas quando a carga for retirada, o ma-
terial volta às condições normais.
Podemos perceber que logo no fim 
dessa reta inclinada, existe um limite de 
proporcionalidade, ou seja, mesmo que 
a tensão ultrapasse um pouco o limite 
de proporcionalidade, o material pode se 
comportar como elástico, mas tenderá a 
uma curva que indica o início do regime 
plástico.
A) REGIME DE ESCOAMENTO
Quando a tensão ultrapassa o limite 
de elasticidade, ele começa a iniciar um 
processo em que a sua forma não voltará 
mais ao do inicial, esse comportamento é 
registrado na região 2, a de Regime de es-
coamento. Nessa região de escoamento, 
o corpo de prova irá se deformar de 10 a 
40 vezes mais do que no regime elástico, 
quando ele está nessa região, podemos 
dizer que o material está perfeitamente 
plástico.
B) ENDURECIEMTO POR DEFORMAÇÃO
Quando o corpo de prova para de se 
deformar, ele começa a entrar na região 3 
de endurecimento por deformação, neste 
estágio, o material começa a ficar mais re-
sistente à tensão, deformando-se menos, 
contudo, essa característica vai a um limi-
te, o que denomina-se de limite de resis-
tência, qualquer carga acima desse ponto, 
levará o corpo de prova a ruptura.
C) ESTRICÇÃO
Ao atingir o limite de resistência, o cor-
po de prova começa a ter sua área de se-
ção transversal reduzida, com isso o corpo 
de prova não pode resistir mais às tensões 
que eram impostas, e começa a diminuir a 
tensão e fazer com que o gráfico decresça 
ao limite de ruptura. Vejamos a Figura 48 
na sequência.
 
Figura 48: Interpretando a ruptura de 
materiais.
Fonte: Hibbeler (2010).
40 41
2.7 Materiais dúcteis e frágeis
A) MATERIAIS DÚCTEIS
Todos os materiais se comportam bem 
a grandes deformações antes da ruptura, 
são materiais dúcteis. O aço apresentado 
no exemplo anterior é um bom material 
dúctil. 
Vários profissionais da área de Enge-
nharia escolhem este tipo de material, 
pois resistem bem à deformação, choques 
ou energia. Podem apresentar grande de-
formação antes da falha ou ruptura.
Existem duas maneiras em geral de es-
pecificar se um material é dúctil. A primei-
ra é a relação de alongamento do corpo 
de prova, do instante em que se inicia o 
teste, até a ruptura. Esse cálculo deve ser 
expresso como porcentagem:
Porcentagem de alongamento =
0
0
rupL L
L
−
 (100%)
A outra forma e a relação de redução da 
área transversal do corpo de prova no re-
gime de estricção.
Porcentagem de redução de área = 
0
0
rupA A
A
−
 
(100%)
B) MATERIAIS FRÁGEIS
Os materiais frágeis são o outro extre-
mo dos materiais dúcteis, pois suportam 
pouquíssima deformação, ou quase ne-
nhuma. O ferro fundido é um exemplo cla-
ro desse tipo de material. Geralmente, os 
materiais frágeis são extremamente du-
ros, porém quebradiços, por isso, o ferro 
fundido entra nessa classe, além dele, o 
vidro também é um material frágil.
Podemos ainda chegar a uma conclusão 
sob análise do diagrama tensão – defor-
mação do ferro fundido, que ele se com-
porta muito melhor sobre compressão do 
que com tração, observe a Figura 50 a se-
guir.
Figura 49: Interpretando a ruptura de materiais.
Fonte: Hibbeler (2010).
40 41
Na Engenharia, a procura do maior ideal 
é o que se comporte bem sob ambas as si-
tuações, de modo que o aço pode ser sub-
metido a estas situações e reage bem. Um 
aço com teor de carbono alto, pode resis-
tir bem a ensaios de dureza, material com 
menor teor de carbono são mais dúcteis e 
fáceis de serem conformados. Além dis-
so, o aço pode variar as suas propriedades 
quando são expostos a grandes tempera-
turas.
2.8 Lei de Hooke
Segundo Hibbeler (2010), a Lei de 
Hooke consiste na relação linear entre 
tensãoe deformação na região de elasti-
cidade. Foi descoberta por Robert Hooke, 
em 1676, com o auxílio de molas (UFF-Vol-
ta Redonda).
Robert Hooke percebeu, com o auxílio 
de molas, que quando o material estava 
na região elástica, sua deformação era li-
near em relação à tensão aplicada. Tal re-
gra obedece a seguinte regra:
 
 Sendo E a constante de proporcionali-
dade, módulo de elasticidade ou módulo 
de Young, nome derivado de Thomas You-
ng que explicou a Lei em 1807.
Um material é chamado de linear-elás-
tico se a tensão for proporcional à de-
formação dentro da região elástica. Essa 
condição é denominada Lei de Hooke e o 
declive da curva é chamado de módulo de 
elasticidade E (HIBBELER, 2010).
Para entender melhor, vamos analisar 
novamente o diagrama de tensão-defor-
mação do aço:
Sendo E a constante de proporcionali-
dade, módulo de elasticidade ou módulo 
de Young, nome derivado de Thomas You-
ng que explicou a Lei em 1807.
Figura 50: Interpretando um diagrama de tensão-deformação. 
Fonte: Hibbeler (2010).
42 43
Repare que a: 
 
Sabemos, entretanto, que a forma 
como o material reage nas regiões elásti-
ca e plástica, está vinculada na composi-
ção deste material em relação ao teor de 
carbono, isso para os aços. Observe o dia-
grama mostrado na Figura 52 a seguir:
 
 
Sabemos, entretanto, que a forma 
como o material reage nas regiões elástica 
e plástica, está vinculada na composição 
deste material em relação ao teor de 
carbono, isso para os aços. Observe o 
diagrama mostrado na Figura 52 a seguir:
Um material é chamado de linear-elás-
tico se a tensão for proporcional à de-
formação dentro da região elástica. Essa 
condição é denominada Lei de Hooke e o 
declive da curva é chamado de módulo de 
elasticidade E (HIBBELER, 2010).
Para entender melhor, vamos analisar 
novamente o diagrama de tensão-defor-
mação do aço:
Figura 51: Interpretando a lei de Hooke.
Fonte: Hibbeler (2010).
42 43
2.9 Energia de deformação
Segundo Hibbeler (2010), a energia por 
deformação representa a energia que um 
material pode armazenar quando é defor-
mado. Podemos definir como a força que 
promove um deslocamento no material, 
quando multiplicados, gera o trabalho ex-
terno, esse trabalho é igual ao interno.
 
Pela definição de trabalho, chegamos à 
seguinte equação:
 
Se a região em questão, for linear e 
elástica, então podemos aplicar a lei de 
Hooke para estes casos, onde 
 
Quando a tensão no material atinge a 
região de proporcionalidade, a energia 
acumulada no material passa a ser 
denominada como módulo de resiliência:
 
2
1 1
2 2
p
p p
l
r l lu E
σ
σ ε= =
Figura 52: Interpretando a lei de Hooke.
Fonte: Hibbeler (2010).
Figura 53: Interpretando a energia de deformação.
Fonte: Hibbeler (2010).
44 45
 
A) MÓDULO DE TENACIDADE
Consiste em toda a área sob o gráfico, 
uma propriedade muito importante para 
as análises. Ela indica toda a energia 
absorvida pelo material, imediatamente, 
antes da ruptura. Essa informação é muito 
importante quando se pensa que cargas 
acidentais podem atuar nesses materiais, 
com o valor do módulo de tenacidade, 
é possível mensurar como o material se 
comportará até a ruptura.
Por exemplo, materiais com módulo 
de tenacidade alto, distorcem muito com 
a sobrecarga. No entanto, ainda assim, 
são preferidos em relação a materiais 
com pouca tenacidade, isso porque como 
possui pouca tenacidade, eles rompem 
subitamente, sem apresentar falhas. 
Observe a Figura 55 na sequência.
 
Problema – O teste de tração para uma 
liga de aço resulta no diagrama tensão-
deformação da figura abaixo. Calcular o 
módulo de elasticidade e a resistência 
ao escoamento com base em uma 
deformação residual de 0,2%. Identificar 
no gráfico o limite de resistência e a 
tensão de ruptura.
Figura 54: Interpretando a energia de defor-
mação.
Fonte: Hibbeler (2010).
Figura 55: Interpretando a tenacidade.
Fonte: Hibbeler (2010).
44 45
Figura 56: Interpretando geometricamente o exemplo.
Fonte: Hibbeler (2010).
46 47
Solução: neste caso, devemos encon-
trar o módulo de elasticidade, aplicando a 
fórmula abaixo. Além disso, vamos traçar 
um outro gráfico utilizando escalas am-
pliadas, como já está descrito no próprio 
diagrama, de modo que as coordenadas 
que vamos extrair no gráfico será da es-
cala ampliada. Para isso, basta identificar 
no gráfico os valores das coordenadas da 
reta:
 
 
 
Limite de escoamento – para isso, 
utilizaremos a deformação de 0,2%, ou 
0,002, e traçaremos uma reta tracejada 
até que ela intercepte o gráfico, lembrando 
que essa reta deve ter a mesma inclinação 
da reta OA no desenho. O limite de 
escoamento é de aproximadamente:
 LEσ = 68 ksi
Limite de resistência – definido como 
a maior tensão no diagrama tensão-
deformação, este pico ocorre no ponto B:
 rσ = 108 ksi
Tensão de ruptura – ocorre na maior 
deformação, a tensão chega no ponto de 
ruptura em C:
 rupσ = 90 ksi
2.10 Coeficiente de Poisson
Quando aplicamos uma carga de tração 
em um corpo, ele tende a se deformar. Essa 
deformação é percebida, principalmente, 
na diminuição da largura e espessura e 
alongamento do comprimento. No caso 
da compressão, a deformação é percebida 
ao contrário, aumentando-se a largura 
e diminuindo o comprimento. Observe a 
Figura 56 a seguir.
 
Figura 57: Interpretando geometricamente o 
coeficiente de Poisson.
Fonte: Hibbeler (2010).
46 47
Quando é aplicado o carregamento, a 
barra muda o seu comprimento na quan-
tidade e se raio na quantidade (HIBBE-
LER, 2010).
Dessa forma, pode-se definir a equa-
ção como sendo a razão entre a quantida-
de alongada pelo comprimento, com isso, 
obtém-se a deformação na direção anali-
sada.
 
 
O cientista que conduziu estes estudos 
descobriu que na região elástica, a 
razão entre as deformações era sempre 
constante. Essa constante então foi 
chamada de coeficiente de Poasson 
(Nu), e terá valor exclusivo se o material 
for homogêneo e isotrópico. Veja a 
expressão:
 
O sinal negativo é indicado para as 
deformações negativas, que podem 
ocorrer tanto para o alongamento do 
comprimento diminuindo a largura, ou vice-
versa. O valor indicado para sólidos não 
porosos é de 1/4 a 1/3 para o coeficiente 
de Poasson, que é adimensional. Além 
disso, iremos verificar que o valor máximo 
do coeficiente é 0,5.
Figura 58: Interpretando geometricamente o coeficiente de Poisson.
48 49
2.11 Diagrama tensão-de-
formação de cisalhamento
Como no teste de tração, o material, 
quando submetido a cisalhamento, exibi-
rá comportamento linear-elástico e terá 
limite de proporcionalidade bem defi-
nido.
Segundo Hibbeler (2010), o diagrama 
também possuirá um limite de resistência 
, causa pelo endurecimento por deforma-
ção. E, por fim, chegará a um ponto que 
o material se romperá que é a tensão de 
ruptura 
 
 
 
Para a maioria dos materiais na 
Engenharia, o comportamento elástico é 
linear e, desse modo, a lei de Hooke para 
cisalhamento é expressa como:
 
Nesse caso, G é o módulo de elasticidade 
ao cisalhamento, ou módulo de rigidez 
e possui as mesmas unidades de E, seu 
valor é medido pelo declive da reta do 
diagrama . Ou seja, . O é o 
ângulo gerado pelo cisalhamento, medidoem radianos.
Com a aplicação dos experimentos, foi 
possível criar uma equação que possui 
as três variáveis, e com isso facilitar 
na definição de alguns dados, sem a 
necessidade dos experimentos:
 
Como E e G são conhecidos, o valor de 
pode ser determinado por essa equação. 
Figura 59: Interpretando geometricamen-
te tensão, deformação e cisalhamento.
Fonte: Hibbeler (2010).
Figura 60: Interpretando geometricamente tensão, 
deformação e cisalhamento.
Fonte: Hibbeler (2010).
48 49
Por exemplo, no caso do aço A-36, 
 de 
modo que, por essa equação .
50 AT
BEER, Ferdinand P.; JOHNSTON, Jr., E. 
Russell. Mecânica Vetorial para engenhei-
ros: estática. 5 ed. Ver. São Paulo: Pear-
son, 1994.
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 
Resistência dos Materiais. 3. ed. . São Pau-
lo: Makron Books Ltda, 1995.
HIBBELER, R. C. Estática: mecânica para 
engenharia. 10. Ed. São Paulo: Pearson, 
2005.
LANDAU, L.LIFCHITZ, E. Mecânica. São 
Paulo: Hemus – Livraria Editora.
MAIA, L.P.M. Mecânica Vetorial. Rio de 
Janeiro: Editora UFRJ.
MERIAM, J. L.; KRAIGE, L. G. Estática: 
mecânica para engenharia. Volume 1. 6. 
Ed Rio de Janeiro: LTC, 2009.
RICARDO, Octavio Gaspar de Souza. Te-
oria das estruturas. SP: Mcgraw-hill, 1978.
SHAMES, I. H., Estática: mecânica para 
engenharia. 4. Ed. São Paulo: Ed. Prentice 
Hall, 2002. V.1. (BV).
SILVA, Larissa. Mecânica estática. São 
Paulo: Pearson Prentice Hall. 2011 (BV).
SYMON, K. R. Mecânica. Rio de Janeiro: 
Ed. Campus, 1982.
REFERÊNCIAS
51 AT
	INTRODUÇÃO
	1.1 Notas históricas envolvendo a resistência dos materiais
	1.2 Conceitos fundamentais da mecânica dos corpos rígidos
	1.2.1 Módulo e direção da força resultante 
	1.2.2 Equilíbrio de um ponto e resultante das forças igual a zero
	1.2.3 Descrevendo o equilíbrio de corpo rígido 
	1.3 Caracterizando as forças internas
	1.3.1 Descrevendo nas entrelinhas as forças internas
	UNIDADE 2 - Tensão normal e de cisalhamento, deformação e diagramas associados
	2.1 Tensão normal média em uma barra com carga axial
	2.2 Tensão de cisalhamento média
	2.3 Tensão admissível e fator de segurança
	2.4 Deformação
	2.5 Tensão x Deformação
	2.6 Diagrama tensão-deformação
	2.7 Materiais dúcteis e frágeis
	2.8 Lei de Hooke
	2.9 Energia de deformação
	2.10 Coeficiente de Poisson
	2.11 Diagrama tensão-deformação de cisalhamento
	REFERÊNCIAS