Matrizes e Operações

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Matrizes
1 – Introdução
Uma matriz é um conjuntos de dados dispostos em linhas
e colunas. Os elementos de uma matriz podem ser
números (reais ou complexos), funções ou ainda outras
matrizes.
Exemplos:
Podemos representar uma matriz de m linhas e n colunas
como:
Serão usadas letras maiúsculas para denotar uma matriz e
para e para especificar sua ordem (número de linhas e
colunas) escreveremos Amxn.
Para localizar um elemento dentro da matriz, dizemos a
linha e a coluna (nesta ordem):
o elemento que está na primeira linha e terceira coluna é -4,
isto é, a13 = -4, ou ainda, a11 = 1, a12 = 0, a21 = 4, a22 = -3,
a23 = 2.
2 – Tipos especiais de matrizes
Consideremos uma matriz com m linhas e n colunas na
forma Amxn:
2.2 – Matriz quadrada: É aquela cujo números de linhas é
igual ao número de colunas (m = n). Exemplos:
2.2 – Matriz nula: É aquela em que todos os elementos da
matriz são 0 (zero). Exemplos:
2.3 – Matriz coluna: É aquela que possui uma única
coluna (n = 1). Exemplos:
2.4 – Matriz linha: É aquela que possui uma única linha
(m = 1). Exemplos:
2.5 – Matriz diagonal: É uma matriz quadrada (m = n)
onde aij = 0, para i ≠ j, ou seja, os elementos que não
estão na diagonal são nulos. Exemplos:
2.6 – Matriz identidade quadrada: É aquela em que aii = 1
e aij = 0, para i ≠ j. Exemplos:
2.7 – Matriz triangular superior: É uma matriz quadrada
(m = n), onde todos os elementos abaixo da diagonal são
nulos, ou seja, aij = 0 para i > j. Exemplos:
2.8 – Matriz triangular inferior: É aquela em que m = n
(matriz quadrada) e aij = 0 para i < j. Exemplos:
2.9 – Matriz simétrica: É aquela onde m = n e aij = aji.
Exemplos:
Observe que no caso da matriz simétrica, a parte superior
é uma reflexão da parte inferior, em relação à diagonal.
3 – Operações com matrizes
3.1 – Adição: A soma de duas matrizes de mesma ordem
Amxn e Bmxn, é uma matriz m x n, cujos elementos são a
soma dos elementos que se encontram na mesma posição
em cada matriz. Exemplo:
Propriedades:
1ª: A + B = B + A;
2ª: A + (B + C) = (A + B) + C;
3ª: A + 0 = A, onde 0 é a matriz nula m x n.
+ =
3.2 – Multiplicação por escalar: Seja A a matriz k um
número, então k.A equivale a:
Propriedades:
1ª: k.(A + B) = k.A + k.B;
2ª: (k1 + k2).A = k1.A + k2.A;
3ª: 0.A = 0;
4ª: k1.(k2.A) = (k1.k2).A.
=
3.3 – Transposição: Dada uma matriz A, podemos obter
uma outra matriz A’ ou AT, cujas linhas são as colunas de
A, ou seja, bij = aji. Essa matriz A’ ou A
T é chamada de
matriz transposta de A. Exemplo:
Propriedades:
1ª: Uma matriz é simétrica se, e somente se ela é igual à sua
transposta, ou seja, A = AT;
2ª: (AT)T = A;
3ª: (A + B)T = AT + BT;
4ª: (k.A)T = k.AT, onde k é um escalar.
3.4 – Multiplicação de matrizes: Seja Amxn e Blxp, só
podemos efetuar o produto dessas matrizes se o número
de colunas da primeira for igual ao número de linhas da
segunda, ou seja, n = l, e a ordem da matriz C será m x p.
Exemplo:
=
=
a11 a12
a21 a22
a31 a32
Propriedades:
1ª: Em geral A.B ≠ B.A;
2ª: A.I = I.A = A;
3ª: A.(B + C) = A.B + A.C (distributiva a esquerda);
4ª: (A + B).C = A.C + B.C (distributiva a direita);
5ª: (A.B).C = A.(B.C);
6ª: (A.B)T = BT.AT (Cuidado na ordem!);
7ª: 0.A = A.0 = 0.
Exemplo 1:
Determine a derivada direcional Du f (x,y) se
f(x,y) = x²y³ - 4y
No ponto (2,-1) na direção do vetor v = 2i + 5j
Identificando os termos:
Função f: f(x,y) = x²y³ - 4y
Vetor unitário: v = < a, b > = < 2, 5 >
Ponto P: P(x0,y0) = P(2,1)
Calcular a norma do vetor u:
||v|| = = =
Normalizar o vetor u :
Dividindo pela norma
u1 u2
v = 2i + 5j
Calcular as derivadas parciais:
Aplicando as coordenadas do ponto P nas derivadas parciais:
x = 2 e y = -1 
fx = fy = 
fx = 2.(2).(-1)³ = -4 
fy = 3.(2)².(-1)² - 4 = 8
Substituir os valores em Duf(x,y) = fx.u1 + fy.u2 :
Duf (2,-1) = -4. + 8. =