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ser capaz de fazer
todas as demonstrac¸o˜es propostas aqui. Voceˆ na˜o deve passar para a pro´xima aula
sem demonstra´-las, pois elas envolvem conceitos fundamentais que devem estar
bem entendidos por voceˆ antes de seguir em frente. Caso na˜o consiga fazeˆ-las,
procure a ajuda dos tutores locais. Quanto aos demais problemas, mesmo com
alguma dificuldade, voceˆ deve ser capaz de fazeˆ-los, exceto os problemas 8 e 9,
que sa˜o os mais difı´ceis dessa lista. No entanto, na˜o conseguir fazer esses dois
u´ltimos problemas na˜o deve impedi -lo de seguir em frente. Mas lembre-se, na˜o
e´ bom deixar para tra´s problemas na˜o resolvidos. Quando tiver um tempinho
sobrando, procure os colegas ou o tutor para tirar todas as suas du´vidas sobre a
aula e os problemas propostos.
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Velocidade instantaˆnea no movimento retilı´neo
M ´ODULO 1 - AULA 4
Aula 4 – Velocidade instantaˆnea no movimento
retilı´neo
Objetivo
• Adquirir as primeiras noc¸o˜es sobre o conceito de velocidade instantaˆnea.
Introduc¸a˜o
Na aula anterior, vimos o conceito de velocidade me´dia de uma partı´cula
em um dado intervalo de tempo. Ela indica a rapidez com que a posic¸a˜o dessa
partı´cula muda nesse intervalo. Nesta aula, estudaremos o conceito de velocidade
instantaˆnea no movimento retilı´neo. A velocidade instantaˆnea de uma partı´cula
em um dado instante da´, nesse preciso instante, a rapidez com que sua posic¸a˜o
muda. Quem usa a informac¸a˜o fornecida pelo velocı´metro de um automo´vel tem
uma noc¸a˜o intuitiva do que seja a velocidade instantaˆnea do carro. Entendemos
que o velocı´metro indica a velocidade do automo´vel em cada instante durante o
movimento. Se procurarmos investigar o mecanismo de funcionamento de um
velocı´metro, veremos que ele indica, na verdade, a velocidade me´dia do carro
em intervalos de tempo pequenos. No entanto, cada um desses intervalos e´ ta˜o
pequeno, que o consideramos como um u´nico instante. De qualquer modo, o ve-
locı´metro nos indica o que intuitivamente entendemos por velocidade instantaˆnea.
O conceito de velocidade instantaˆnea e´ um conceito sofisticado e importantı´ssimo
no estudo da mecaˆnica.
Velocidade instantaˆnea
Consideremos um movimento qualquer de uma partı´cula no eixo OX . Seja
fx sua func¸a˜o-movimento:
x = fx(t) . (4.1)
Como foi discutido na aula anterior, a velocidade me´dia da partı´cula em um
intervalo de tempo da´ pouca informac¸a˜o sobre o movimento nesse intervalo, ex-
ceto no caso em que o movimento e´ um MRU. Em um certo intervalo de tempo
[ta, tb] existe uma infinidade de movimentos possı´veis que teˆm a mesma veloci-
dade me´dia no intervalo. Isso e´ fa´cil de perceber considerando um exemplo sim-
ples de dois movimentos diferentes com a mesma velocidade me´dia em [ta, tb].
Considere o instante tm = (ta + tb)/2 no meio do intervalo. Imagine um primeiro
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Velocidade instantaˆnea no movimento retilı´neo
movimento que tem uma velocidade me´dia 〈V 〉 na primeira metade do intervalo,
isto e´, no subintervalo [ta, tm], e outra velocidade me´dia menor 〈v〉 na segunda
metade do intervalo, isto e´, no subintervalo [tm, tb]. ´E fa´cil calcular a velocidade
me´dia no intervalo inteiro [ta, tb]. Ela e´ igual a (〈V 〉+ 〈v〉)/2, como voceˆ mesmo
demonstrou em um exercı´cio proposto na aula anterior.
Imagine agora um outro movimento com a velocidade me´dia 〈v〉 na primeira
metade do intervalo e com a velocidade me´dia 〈V 〉 na segunda metade. Esse
segundo movimento e´ diferente do primeiro, pois sua velocidade me´dia maior
ocorre na segunda metade do intervalo, enquanto no primeiro movimento 〈V 〉
ocorre na primeira metade. Apesar de o segundo movimento ser diferente do
primeiro, sua velocidade me´dia no intervalo inteiro [ta, tb] e´ igual a` do primeiro,
como e´ fa´cil verificar. Ela tem o mesmo valor (〈V 〉+ 〈v〉)/2.
Na˜o seria possı´vel distinguir um movimento do outro se soube´ssemos ape-
nas as suas velocidades me´dias no intervalo [ta, tb], pois ambas sa˜o iguais a (〈V 〉+
〈v〉)/2. Podemos distinguir um movimento do outro porque sabemos as suas
velocidades nos dois subintervalos menores [ta, tm] e [tm, tb]. Um tem veloci-
dade me´dia maior no primeiro subintervalo e menor no segundo e com o outro
acontece o contra´rio. Concluı´mos enta˜o o seguinte: saber as velocidades me´dias
em va´rios subintervalos pequeninos que formam um intervalo [ta, tb] nos da´ mais
informac¸o˜es sobre o movimento do que saber apenas a velocidade me´dia no inter-
valo inteiro.
Vamos partir o intervalo [ta, tb] em n subintervalos. Consideramos enta˜o os
instantes intermedia´rios t′1, t′2,..., t′n−1, com ta < t′1 < t′2 < ... < t′n−1 < tb. O in-
tervalo total [ta, tb] e´ a unia˜o dos subintervalos menores [ta, t′1], [t1, t′2],..., [t′n−1, tb].
Calculando as n velocidades me´dias nesses subintervalos, obtemos mais informa-
c¸o˜es sobre o movimento do que calculando a velocidade me´dia apenas no inter-
valo inteiro [ta, tb]. Quanto maior o nu´mero n de subintervalos e quanto menor
a durac¸a˜o dos subintervalos, mais detalhada e´ a informac¸a˜o sobre o movimento.
Surge a pergunta: qua˜o longe podemos ir em nossa procura por mais informac¸a˜o?
Mais especificamente: qua˜o pequenino pode ser cada subintervalo? Qua˜o pe-
quena pode ser a durac¸a˜o de um intervalo no qual queremos obter a velocidade
me´dia? A resposta leva a uma das ide´ias mais profundas e u´teis da Matema´tica e
da Fı´sica: podemos tomar qualquer durac¸a˜o, na˜o importa qua˜o pequena ela seja,
desde que na˜o seja igual a zero. A seguir, examinamos em detalhe essa ide´ia.
Considere uma partı´cula em movimento e dois instantes t e t + ∆t durante
o movimento, onde ∆t e´ uma quantidade de tempo que vamos considerar cada
vez mais pro´xima de zero sem, contudo, jamais ser igual a zero. Nesses dois
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Velocidade instantaˆnea no movimento retilı´neo
M ´ODULO 1 - AULA 4
instantes as posic¸o˜es da partı´cula sa˜o dadas pela func¸a˜o-movimento: x = fx(t) e
x′ = fx(t + ∆t). Vamos chamar de ∆x a diferenc¸a entre x′ e x: ∆x = x′ − x.
Desse modo, a posic¸a˜o x′ no instante t+∆t pode ser escrita como x+∆x. Temos
enta˜o:
x = fx(t) e x + ∆x = fx(t + ∆t) . (4.2)
Uma vez que ∆t �= 0, podemos formar a frac¸a˜o:
∆x
∆t
=
fx(t + ∆t)− fx(t)
∆t
. (4.3)
No membro esquerdo dessa igualdade, temos o sı´mbolo abreviado ∆x/∆t
para a frac¸a˜o que aparece no membro direito da igualdade. Examinando com
cuidado a definic¸a˜o de velocidade me´dia dada em (3.6), podemos concluir que
essa frac¸a˜o e´ uma velocidade me´dia. Se ∆t > 0, o instante t + ∆t e´ posterior a
t, e a frac¸a˜o e´ a velocidade me´dia no intervalo [t, t + ∆t] que comec¸a no instante
t. Se ∆t < 0, o instante t + ∆t e´ anterior a t, e a frac¸a˜o e´ a velocidade me´dia no
intervalo [t + ∆t, t] que termina no instante t. Na˜o podemos tomar ∆t = 0, mas
podemos perguntar o que acontece quando ∆t se aproxima indefinidamente de
zero. O intervalo com extremos em t e t + ∆t torna-se cada vez mais pro´ximo de
um u´nico instante {t}. E quanto a` frac¸a˜o ∆x/∆t em (4.3)? Ela se aproxima de um
valor que chamamos de velocidade instantaˆnea no instante t. Vamos representa´-
la por vx. A velocidade instantaˆnea vx e´ o valor do qual a frac¸a˜o ∆x/∆t em (4.3)
aproxima-se quando ∆t se aproxima de zero. Para expressar esse fato, usamos a
seguinte simbologia:
vx = lim
∆t→0
fx(t + ∆t)− fx(t)
∆t
, (4.4)
ou, empregando o sı´mbolo abreviado da frac¸a˜o (4.3):
vx = lim
∆t→0
∆x
∆t
. (4.5)
A velocidade instantaˆnea no instante t mede a rapidez com que a posic¸a˜o da
partı´cula esta´ mudando nesse instante. O nome velocidade instantaˆnea e´ bem des-
critivo. De fato, o nome velocidade e´ apropriado para vx em (4.4) ou (4.5), pois vx
e´ obtida dividindo-se o deslocamento em um intervalo de tempo pela durac¸a˜o do
intervalo, como fizemos para obter a velocidade me´dia. Pore´m, no caso da velo-
cidade instantaˆnea, tomamos