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o limite em que a durac¸a˜o vai a zero e o intervalo se
reduz a um instante. Daı´ ser apropriado dar o qualificativo instantaˆneo a` grandeza
obtida. O limite que aparece nas equac¸o˜es (4.4) e (4.5) sa˜o representados tambe´m
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Velocidade instantaˆnea no movimento retilı´neo
pelo sı´mbolo dx/dt, de modo que podemos escrever:
dx
dt
= lim
∆t→0
∆x
∆t
. (4.6)
Essa e´ uma notac¸a˜o muito comum. Note que nela cada letra ∆ e´ substituı´da
por um d quando se toma o limite em que o intervalo ∆t vai a zero. Usando essa
notac¸a˜o, podemos reescrever a equac¸a˜o (4.5) sob a forma:
vx =
dx
dt
. (4.7)
A velocidade instantaˆnea e´ igual ao valor limite de velocidades me´dias (em
intervalos de tempo cada vez menores) e a unidade de velocidade instantaˆnea sera´,
como a de velocidade me´dia, uma unidade de comprimento dividida por uma
de tempo. Assim como a velocidade me´dia, a velocidade instantaˆnea tambe´m e´
expressa em metros por segundo, ou em seus submu´ltiplos, pois tanto uma como
a outra teˆm de possuir a dimensa˜o fı´sica de velocidade.
Quando na frac¸a˜o ∆x/∆t, em (4.5), tomamos intervalos ∆t cada vez me-
nores, a frac¸a˜o se aproxima cada vez mais da velocidade instantaˆnea vx. Em
situac¸o˜es pra´ticas, os instrumentos de medida na˜o detectam durac¸o˜es menores
do que um certo tempo mı´nimo δt. Para os instrumentos, intervalos de durac¸a˜o
menores do que δt na˜o teˆm durac¸a˜o e sa˜o detectados como se fossem um u´nico
instante. Nessas situac¸o˜es pra´ticas, quando ∆t chega ao valor δt, consideramos
que a frac¸a˜o ∆x/∆t ja´ e´ a velocidade instantaˆnea, para as exigeˆncias de precisa˜o.
O rigor absoluto da matema´tica exige, contudo, que ∆t se torne menor do que δt
e continue diminuindo indefinidamente para que se obtenha o valor limite vx em
(4.5), que e´ a velocidade instantaˆnea para as exigeˆncias teo´ricas da matema´tica.
Embora uma definic¸a˜o pra´tica menos precisa de velocidade instantaˆnea seja su-
ficiente para fazermos medic¸o˜es, para formularmos a teoria da mecaˆnica e, com
isso, entendermos a natureza do movimento, torna-se necessa´ria a definic¸a˜o ma-
tema´tica de velocidade instantaˆnea, como dada em (4.5) .
O sı´mbolo
lim
∆t→0
(4.8)
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Velocidade instantaˆnea no movimento retilı´neo
M ´ODULO 1 - AULA 4
e´ chamado de sı´mbolo de limite e se leˆ da seguinte maneira: “limite quando ∆t
tende a zero de”e aı´ dizemos o que esta´ adiante do sı´mbolo. O membro es-
querdo da igualdade (4.5), por exemplo, se leˆ: “limite quando ∆t tende a zero
de delta x sobre delta t”. Esse sı´mbolo de limite indica que devemos considerar
∆t aproximando-se indefinidamente de 0, sem jamais atingir esse valor, e iden-
tificar de qual valor a frac¸a˜o em frente ao sı´mbolo se aproxima. Voceˆ pode se
perguntar: como e´ possı´vel saber de qual valor a frac¸a˜o se aproxima quando ∆t se
aproxima de zero, se na˜o podemos fazer ∆t = 0? ´E fa´cil ver que isso e´ possı´vel
se considerarmos um exemplo simples. Tomemos a quantidade 3 + h, onde h e´
um numero real. ´E claro que podemos fazer h = 0, de modo que 3 + h se torne
igual a 3. Agora, sem tomar h igual a zero vamos perguntar: se h se aproxima
de zero, a quantidade 3 + h se aproxima de queˆ? ´E claro que, intuitivamente,
vamos responder que se aproxima de 3. ´E isso que significa o sı´mbolo lim
∆t→0 . Essa
ide´ia, aplicada a` definic¸a˜o de velocidade instantaˆnea, como dada em (4.4), indica
que devemos perguntar: se ∆t se aproxima de zero, sem se tornar igual a zero, a
frac¸a˜o
∆x
∆t
=
fx(t + ∆t)− fx(t)
∆t
(4.9)
se aproxima de que valor?
O valor encontrado e´ o que representamos por vx e chamamos de velocidade
instantaˆnea no instante t. Note que, na frac¸a˜o anterior, se apenas o denominador
∆t se aproximasse de zero, a frac¸a˜o aumentaria indefinidamente de valor, sem se
aproximar de nenhum valor fixo. Se apenas o numerador ∆x se aproximasse de
zero, a frac¸a˜o se aproximaria indefinidamente de zero, sempre. O que acontece,
na verdade, e´ que ambos, numerador ∆x e denominador ∆t, se aproximam de
zero, pois quando o tempo disponı´vel tende a zero, o deslocamento que a partı´cula
sofre tambe´m tende a zero. Quando ambos, numerador e denominador, diminuem,
aproximando-se de zero, a frac¸a˜o se aproxima de algum valor limite, que depende
da maneira como eles diminuem. Para descobrir esse valor limite, e´ necessa´rio
fazer o ca´lculo. Para avanc¸armos na compreensa˜o desse conceito de limite, nada
melhor do que um exemplo.
Exemplo 4.1
Vamos tomar o movimento descrito por fx(t) = 2 + 5 t2, isto e´,
x = 2 + 5 t2 . (4.10)
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Velocidade instantaˆnea no movimento retilı´neo
Calculemos a velocidade da partı´cula no instante t = 3 segundos. Para cal-
cular a posic¸a˜o da partı´cula nesse instante, basta usar a func¸a˜o-movimento (4.10):
x = 2 + 5× 32 = 47, isto e´, a partı´cula esta´ a 47 metros da origem, no semi-eixo
positivo. Para calcular a velocidade da partı´cula nessa posic¸a˜o, no instante t = 3
segundos, comec¸amos pela frac¸a˜o (4.3) que sera´ usada na fo´rmula (4.4) para a
velocidade instantaˆnea. No instante t = 3 segundos, a frac¸a˜o e´ dada por:
fx(3 + ∆t)− fx(t)
∆t
=
[2 + 5(3 + ∆t)2]− [2 + 5× 32]
∆t
=
30∆t + 5(∆t)2
∆t
= 30 + 5∆t . (4.11)
Se ∆t se aproxima de zero, essa expressa˜o se aproxima de 30 metros:
lim
∆t→0
fx(t + ∆t)− fx(t)
∆t
= lim
∆t→0
(30 + 5∆t) = 30m . (4.12)
Desse modo, no movimento (4.10), a velocidade instantaˆnea vx no instante
t = 3s e´ dada, de acordo com a definic¸a˜o (4.4), por:
vx = lim
∆t→0
fx(t + ∆t)− fx(t)
∆t
= lim
∆t→0
(30 + 5∆t) = 30m , (4.13)
isto e´,
vx = 30 m/s no instante t = 3 s . (4.14)
Calculamos a velocidade instantaˆnea, no instante t = 3 segundos, usando
a definic¸a˜o (4.4). Essa definic¸a˜o permite, e´ claro, repetir o ca´lculo para qualquer
outro instante particular do tempo. Contudo, e´ mais pra´tico se obter de uma vez
a velocidade instantaˆnea em um instante arbitra´rio t, como veremos na sec¸a˜o inti-
tulada “Func¸a˜o-velocidade”.
O me´todo intuitivo que usamos para calcular a velocidade instantaˆnea e´ su-
ficiente para os nossos propo´sitos nessas aulas iniciais. Voceˆ aprendera´ a fazer
ca´lculos mais complicados e rigorosos envolvendo o conceito de limite na disci-
plina de Ca´lculo I.
O conceito de velocidade instantaˆnea e´ um conceito sofisticado. Normal-
mente, na˜o da´ para entendeˆ-lo de um dia para o outro. Desde as primeiras investi-
gac¸o˜es sobre o movimento ate´ se chegar ao conceito de velocidade instantaˆnea
passaram-se uns dois mil anos. Em geral, adquirimos uma compreensa˜o completa
depois de algum tempo, prosseguindo no estudo, fazendo exercı´cios, estudando
exemplos, aprendendo certas propriedades da velocidade instantaˆnea e, principal-
mente, meditando sobre a sua definic¸a˜o (4.4). Devemos insistir na ide´ia de que a
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velocidade instantaˆnea em um instante t mede a rapidez com que a posic¸a˜o esta´
mudando no exato instante t, devido ao movimento da partı´cula. Se no instante t
a velocidade instantaˆnea e´ zero, dizemos que a partı´cula esta´ instantaneamente
em repouso. Isso acontece, por exemplo, no ponto mais alto atingido por uma
pedra jogada verticalmente para cima em movimento retilı´neo. Se a velocidade
instantaˆnea e´ positiva no instante t, o movimento nesse instante ocorre no sentido
positivo do eixo OX . Se e´ negativa, o movimento nesse instante ocorre no sen-
tido negativo. Deixando de lado o sinal e considerando o mo´dulo da velocidade
instantaˆnea, podemos afirmar que o movimento da partı´cula e´ tanto mais ra´pido
no instante t quanto maior for o mo´dulo de sua velocidade instantaˆnea no instante
t.
A velocidade instantaˆnea e´ de tal modo importante no estudo do movimento
que e´ chamada simplesmente velocidade,