17405_Fisica1A_Aulas_1a12_modulo_1_Volume_01

sem a necessidade do qualificativo ins-
tantaˆnea. Ele foi usado para enfatizar que a velocidade instantaˆnea e´ associada a
um dado instante do tempo, enquanto a velocidade me´dia e´ associada a um dado
intervalo de tempo com durac¸a˜o diferente de zero.
Func¸a˜o-velocidade
Voltemos ao exemplo 4.1. Nele, calculamos a velocidade em um instante
particular, t = 3s. No entanto, ao inve´s de calcular a velocidade em qualquer
instante particular, podemos calcula´-la em um instante arbitra´rio t. Nesse caso, a
frac¸a˜o (4.3) e´ igual a:
fx(t + ∆t)− fx(t)
∆t
=
[2 + 5(t + ∆t)2]− [2 + 5t2]
∆t
=
10 t∆t + 5(∆t)2
∆t
= 10 t + 5∆t . (4.15)
Se ∆t se aproxima de zero, essa expressa˜o se aproxima de 10 t:
lim
∆t→0
fx(t + ∆t)− fx(t)
∆t
= lim
∆t→0
(10 t + 5∆t) = 10 t . (4.16)
Desse modo, no movimento (4.10), a velocidade instantaˆnea vx no instante
t e´ dada, de acordo com a definic¸a˜o (4.4), por:
vx = 10 t . (4.17)
Temos enta˜o a velocidade instantaˆnea em um instante arbitra´rio t, o que e´
um resultado bem mais completo do que saber apenas a velocidade instantaˆnea em
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Velocidade instantaˆnea no movimento retilı´neo
um instante particular. Com a expressa˜o (4.17), podemos saber qual e´ a velocidade
instantaˆnea em qualquer instante particular. Por exemplo, no instante t = 3s
temos, a partir de (4.17): vx = 10 × 3 = 30, que e´ a resposta que havı´amos
encontrado em (4.14). A expressa˜o (4.17) de fato nos da´ uma func¸a˜o que, para
cada instante t, fornece a velocidade instantaˆnea vx nesse instante.
O que fizemos nesse exemplo particular pode ser feito para qualquer mo-
vimento. Dada qualquer func¸a˜o-movimento fx, podemos usar (4.4) para calcular
a velocidade instantaˆnea em um instante t arbitra´rio. A definic¸a˜o (4.4) associa a
cada instante t o valor da velocidade nesse instante. Com efeito, ao tomarmos o
limite quando ∆t tende a zero na expressa˜o (4.4), o membro direito da igualdade
se torna uma func¸a˜o apenas do instante t, o ∆t desaparece. Desse modo, a veloci-
dade instantaˆnea vx e´ dada em (4.4) como func¸a˜o do tempo t. Vamos representar
essa func¸a˜o, que da´ a velocidade instantaˆnea, por
.
fx (observe o ponto sobre a letra
f ). Assim, a equac¸a˜o (4.4) pode ser escrita como
vx =
.
fx (t) , (4.18)
onde
.
fx (t) representa o valor dado no lado direito de (4.4), isto e´:
.
fx (t) = lim
∆t→0
fx(t + ∆t)− fx(t)
∆t
. (4.19)
Vemos que a func¸a˜o
.
fx, que da´ a velocidade instantaˆnea vx em qualquer
instante t do movimento, e´ obtida a partir da func¸a˜o-movimento fx. Vamos cha-
mar a func¸a˜o
.
fx de func¸a˜o-velocidade do movimento considerado. No exemplo
que discutimos acima, obtivemos em (4.17) a func¸a˜o-velocidade vx = 10t, ou seja
.
fx (t) = 10t.
Exemplo 4.2
Vamos calcular a func¸a˜o velocidade do movimento dado por
fx(t) = 2t
3 + 5 . (4.20)
Usando a expansa˜o binomial de Newton, podemos escrever:
fx(t + ∆t)− fx(t) = [2(t + ∆t)3 + 5]− [2t3 + 5] =
= 2[3t2∆t + 3t(∆t)2 + (∆t)3] .
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Velocidade instantaˆnea no movimento retilı´neo
M ´ODULO 1 - AULA 4
Substituindo esse resultado em (4.19), obtemos:
.
fx (t) = lim
∆t→0
2[3t2∆t + 3t(∆t)2 + (∆t)3]
∆t
=
= lim
∆t→0
2[3t2 + 3t∆t + (∆t)2] =
= 6t2 ,
isto e´:
.
fx (t) = 6t
2 . (4.21)
Da func¸a˜o-movimento
fx(t) = at
3 + b, (4.22)
onde a e b sa˜o constantes, voceˆ obte´m a seguinte func¸a˜o-velocidade:
.
fx (t) = 3at
2 . (4.23)
Naturalmente, (4.20) e (4.21) sa˜o apenas casos particulares de (4.22) e (4.23).
No lado direito da equac¸a˜o (4.19) esta´ indicado um processo de limite a
ser realizado com uma func¸a˜o fx. O resultado desse processo e´ uma func¸a˜o que
em matema´tica e´ chamada de func¸a˜o derivada de fx. A equac¸a˜o (4.19) afirma,
portanto, que a func¸a˜o-velocidade
.
fx e´ a derivada da func¸a˜o-movimento fx. No
exemplo 4.1, obtivemos o fato de que
.
fx (t) = 10 t da´ a func¸a˜o derivada da func¸a˜o
fx(t) = 2 + 5 t
2
.
Agora ja´ temos duas func¸o˜es para estudar um movimento. A primeira e´ a
func¸a˜o-movimento fx, que e´ a mais fundamental e especifica exatamente qual e´ o
movimento. A segunda e´ a func¸a˜o-velocidade, que e´ obtida da func¸a˜o-movimento
e que especifica a velocidade da partı´cula a cada instante. Vamos escreveˆ-las
juntas: {
x = fx(t) ,
vx =
.
fx (t) .
(4.24)
No caso do movimento dado em (4.10), partimos de x = 2+5t2 e obtivemos
vx = 10t em (4.17), de modo que temos o exemplo:{
x = 2 + 5 t2 ,
vx = 10 t .
(4.25)
Um outro exemplo do par de func¸o˜es (4.24) e´ dado por{
x = 3t2 + 5 t ,
vx = 6 t + 5 .
(4.26)
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Velocidade instantaˆnea no movimento retilı´neo
Usando a definic¸a˜o (4.4), voceˆ obtera´ a segunda func¸a˜o a partir da primeira.
Ma˜os a` obra!
Para finalizar essa sec¸a˜o, vamos considerar novamente o MRU. A func¸a˜o-
movimento e´ nesse caso dada pela equac¸a˜o (3.13) da aula anterior, na qual usamos
a letra v para representar a velocidade me´dia constante do MRU. Para enfatizar
o fato de que se trata de velocidade me´dia, vamos escreveˆ-la aqui como 〈vx〉, de
modo que a equac¸a˜o (3.13) toma a forma: x = x0 + 〈vx〉t. Usando nessa func¸a˜o-
movimento a definic¸a˜o de velocidade instantaˆnea (4.4), vemos que, no MRU, a
velocidade instantaˆnea vx em qualquer instante t e´ dada por:
vx = lim
∆t→0
[x0 + 〈vx〉(t + ∆t)]− [x0 + 〈vx〉t]
∆t
= lim
∆t→0
〈vx〉 . (4.27)
A velocidade me´dia 〈vx〉 no MRU e´ uma constante, isto e´, na˜o depende do
tempo e, consequ¨entemente, na˜o se altera ao tomarmos o limite em que ∆t tende
a zero. Obtemos enta˜o:
vx = 〈vx〉 , (4.28)
ou seja, a velocidade instantaˆnea no MRU e´ constante e tem o mesmo valor que a
velocidade me´dia do MRU. Temos, pois, para o MRU:
{
x = x0 + 〈vx〉t ,
vx = 〈vx〉 .
(4.29)
Memorizemos o resultado: “no MRU a velocidade instantaˆnea e´ igual a`
velocidade me´dia”.
Movimento em pequenos intervalos de tempo
Vimos que a velocidade instantaˆnea vx e´ dada em qualquer instante t pela
func¸a˜o-velocidade
.
fx, o que e´ expresso pela igualdade:
vx =
.
fx (t) . (4.30)
A func¸a˜o-velocidade
.
fx determina a maneira como varia a velocidade ins-
tantaˆnea com o passar do tempo. Vamos considerar um intervalo de tempo [t1, t2].
Sua durac¸a˜o e´, portanto, t2−t1. De um modo geral, a velocidade varia quando pas-
samos de um instante a outro dentro desse intervalo. Acontece que os movimen-
tos teˆm normalmente uma propriedade muito importante, que pode ser expressa
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Velocidade instantaˆnea no movimento retilı´neo
M ´ODULO 1 - AULA 4
de modo informal: se a durac¸a˜o de um intervalo e´ muito pequena, a velocidade
praticamente na˜o varia no intervalo, isto e´, ela e´ praticamente constante no inter-
valo. Podemos expressar esse fato de modo pitoresco, dizendo que um intervalo
pode ter durac¸a˜o ta˜o pequena que nele a partı´cula na˜o “tem tempo” para mudar
sua velocidade de modo significativo. Uma maneira mais precisa de expressar
essa propriedade e´ a seguinte: a variac¸a˜o da velocidade em um intervalo de tempo
pode ser ta˜o pequena quanto se desejar, se tomarmos o intervalo de tempo com
uma durac¸a˜o t2 − t1 suficientemente pequena. Temos enta˜o:
vx ≈ constante em um intervalo de tempo suficientemente pequeno. (4.31)
Embora vx na˜o seja exatamente constante no intervalo, mas apenas aproxi-
madamente constante, e´ importante notar que o erro cometido em considerar vx
constante pode ser ta˜o pequeno quanto se queira, bastando para isso tomar o in-
tervalo com durac¸a˜o suficientemente pequena. Na verdade, o erro desaparece no
limite em que a durac¸a˜o do intervalo tende a zero. De fato, no intervalo [t1, t2],
o fato de a durac¸a˜o tender a zero significa que t2 vai para t1 e nesse limite o in-
tervalo se resume a um u´nico instante t1: [t1, t1] = {t1}. Nesse instante t1, a