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sem a necessidade do qualificativo ins- tantaˆnea. Ele foi usado para enfatizar que a velocidade instantaˆnea e´ associada a um dado instante do tempo, enquanto a velocidade me´dia e´ associada a um dado intervalo de tempo com durac¸a˜o diferente de zero. Func¸a˜o-velocidade Voltemos ao exemplo 4.1. Nele, calculamos a velocidade em um instante particular, t = 3s. No entanto, ao inve´s de calcular a velocidade em qualquer instante particular, podemos calcula´-la em um instante arbitra´rio t. Nesse caso, a frac¸a˜o (4.3) e´ igual a: fx(t + ∆t)− fx(t) ∆t = [2 + 5(t + ∆t)2]− [2 + 5t2] ∆t = 10 t∆t + 5(∆t)2 ∆t = 10 t + 5∆t . (4.15) Se ∆t se aproxima de zero, essa expressa˜o se aproxima de 10 t: lim ∆t→0 fx(t + ∆t)− fx(t) ∆t = lim ∆t→0 (10 t + 5∆t) = 10 t . (4.16) Desse modo, no movimento (4.10), a velocidade instantaˆnea vx no instante t e´ dada, de acordo com a definic¸a˜o (4.4), por: vx = 10 t . (4.17) Temos enta˜o a velocidade instantaˆnea em um instante arbitra´rio t, o que e´ um resultado bem mais completo do que saber apenas a velocidade instantaˆnea em 67 CEDERJ Velocidade instantaˆnea no movimento retilı´neo um instante particular. Com a expressa˜o (4.17), podemos saber qual e´ a velocidade instantaˆnea em qualquer instante particular. Por exemplo, no instante t = 3s temos, a partir de (4.17): vx = 10 × 3 = 30, que e´ a resposta que havı´amos encontrado em (4.14). A expressa˜o (4.17) de fato nos da´ uma func¸a˜o que, para cada instante t, fornece a velocidade instantaˆnea vx nesse instante. O que fizemos nesse exemplo particular pode ser feito para qualquer mo- vimento. Dada qualquer func¸a˜o-movimento fx, podemos usar (4.4) para calcular a velocidade instantaˆnea em um instante t arbitra´rio. A definic¸a˜o (4.4) associa a cada instante t o valor da velocidade nesse instante. Com efeito, ao tomarmos o limite quando ∆t tende a zero na expressa˜o (4.4), o membro direito da igualdade se torna uma func¸a˜o apenas do instante t, o ∆t desaparece. Desse modo, a veloci- dade instantaˆnea vx e´ dada em (4.4) como func¸a˜o do tempo t. Vamos representar essa func¸a˜o, que da´ a velocidade instantaˆnea, por . fx (observe o ponto sobre a letra f ). Assim, a equac¸a˜o (4.4) pode ser escrita como vx = . fx (t) , (4.18) onde . fx (t) representa o valor dado no lado direito de (4.4), isto e´: . fx (t) = lim ∆t→0 fx(t + ∆t)− fx(t) ∆t . (4.19) Vemos que a func¸a˜o . fx, que da´ a velocidade instantaˆnea vx em qualquer instante t do movimento, e´ obtida a partir da func¸a˜o-movimento fx. Vamos cha- mar a func¸a˜o . fx de func¸a˜o-velocidade do movimento considerado. No exemplo que discutimos acima, obtivemos em (4.17) a func¸a˜o-velocidade vx = 10t, ou seja . fx (t) = 10t. Exemplo 4.2 Vamos calcular a func¸a˜o velocidade do movimento dado por fx(t) = 2t 3 + 5 . (4.20) Usando a expansa˜o binomial de Newton, podemos escrever: fx(t + ∆t)− fx(t) = [2(t + ∆t)3 + 5]− [2t3 + 5] = = 2[3t2∆t + 3t(∆t)2 + (∆t)3] . CEDERJ 68 Velocidade instantaˆnea no movimento retilı´neo M ´ODULO 1 - AULA 4 Substituindo esse resultado em (4.19), obtemos: . fx (t) = lim ∆t→0 2[3t2∆t + 3t(∆t)2 + (∆t)3] ∆t = = lim ∆t→0 2[3t2 + 3t∆t + (∆t)2] = = 6t2 , isto e´: . fx (t) = 6t 2 . (4.21) Da func¸a˜o-movimento fx(t) = at 3 + b, (4.22) onde a e b sa˜o constantes, voceˆ obte´m a seguinte func¸a˜o-velocidade: . fx (t) = 3at 2 . (4.23) Naturalmente, (4.20) e (4.21) sa˜o apenas casos particulares de (4.22) e (4.23). No lado direito da equac¸a˜o (4.19) esta´ indicado um processo de limite a ser realizado com uma func¸a˜o fx. O resultado desse processo e´ uma func¸a˜o que em matema´tica e´ chamada de func¸a˜o derivada de fx. A equac¸a˜o (4.19) afirma, portanto, que a func¸a˜o-velocidade . fx e´ a derivada da func¸a˜o-movimento fx. No exemplo 4.1, obtivemos o fato de que . fx (t) = 10 t da´ a func¸a˜o derivada da func¸a˜o fx(t) = 2 + 5 t 2 . Agora ja´ temos duas func¸o˜es para estudar um movimento. A primeira e´ a func¸a˜o-movimento fx, que e´ a mais fundamental e especifica exatamente qual e´ o movimento. A segunda e´ a func¸a˜o-velocidade, que e´ obtida da func¸a˜o-movimento e que especifica a velocidade da partı´cula a cada instante. Vamos escreveˆ-las juntas: { x = fx(t) , vx = . fx (t) . (4.24) No caso do movimento dado em (4.10), partimos de x = 2+5t2 e obtivemos vx = 10t em (4.17), de modo que temos o exemplo:{ x = 2 + 5 t2 , vx = 10 t . (4.25) Um outro exemplo do par de func¸o˜es (4.24) e´ dado por{ x = 3t2 + 5 t , vx = 6 t + 5 . (4.26) 69 CEDERJ Velocidade instantaˆnea no movimento retilı´neo Usando a definic¸a˜o (4.4), voceˆ obtera´ a segunda func¸a˜o a partir da primeira. Ma˜os a` obra! Para finalizar essa sec¸a˜o, vamos considerar novamente o MRU. A func¸a˜o- movimento e´ nesse caso dada pela equac¸a˜o (3.13) da aula anterior, na qual usamos a letra v para representar a velocidade me´dia constante do MRU. Para enfatizar o fato de que se trata de velocidade me´dia, vamos escreveˆ-la aqui como 〈vx〉, de modo que a equac¸a˜o (3.13) toma a forma: x = x0 + 〈vx〉t. Usando nessa func¸a˜o- movimento a definic¸a˜o de velocidade instantaˆnea (4.4), vemos que, no MRU, a velocidade instantaˆnea vx em qualquer instante t e´ dada por: vx = lim ∆t→0 [x0 + 〈vx〉(t + ∆t)]− [x0 + 〈vx〉t] ∆t = lim ∆t→0 〈vx〉 . (4.27) A velocidade me´dia 〈vx〉 no MRU e´ uma constante, isto e´, na˜o depende do tempo e, consequ¨entemente, na˜o se altera ao tomarmos o limite em que ∆t tende a zero. Obtemos enta˜o: vx = 〈vx〉 , (4.28) ou seja, a velocidade instantaˆnea no MRU e´ constante e tem o mesmo valor que a velocidade me´dia do MRU. Temos, pois, para o MRU: { x = x0 + 〈vx〉t , vx = 〈vx〉 . (4.29) Memorizemos o resultado: “no MRU a velocidade instantaˆnea e´ igual a` velocidade me´dia”. Movimento em pequenos intervalos de tempo Vimos que a velocidade instantaˆnea vx e´ dada em qualquer instante t pela func¸a˜o-velocidade . fx, o que e´ expresso pela igualdade: vx = . fx (t) . (4.30) A func¸a˜o-velocidade . fx determina a maneira como varia a velocidade ins- tantaˆnea com o passar do tempo. Vamos considerar um intervalo de tempo [t1, t2]. Sua durac¸a˜o e´, portanto, t2−t1. De um modo geral, a velocidade varia quando pas- samos de um instante a outro dentro desse intervalo. Acontece que os movimen- tos teˆm normalmente uma propriedade muito importante, que pode ser expressa CEDERJ 70 Velocidade instantaˆnea no movimento retilı´neo M ´ODULO 1 - AULA 4 de modo informal: se a durac¸a˜o de um intervalo e´ muito pequena, a velocidade praticamente na˜o varia no intervalo, isto e´, ela e´ praticamente constante no inter- valo. Podemos expressar esse fato de modo pitoresco, dizendo que um intervalo pode ter durac¸a˜o ta˜o pequena que nele a partı´cula na˜o “tem tempo” para mudar sua velocidade de modo significativo. Uma maneira mais precisa de expressar essa propriedade e´ a seguinte: a variac¸a˜o da velocidade em um intervalo de tempo pode ser ta˜o pequena quanto se desejar, se tomarmos o intervalo de tempo com uma durac¸a˜o t2 − t1 suficientemente pequena. Temos enta˜o: vx ≈ constante em um intervalo de tempo suficientemente pequeno. (4.31) Embora vx na˜o seja exatamente constante no intervalo, mas apenas aproxi- madamente constante, e´ importante notar que o erro cometido em considerar vx constante pode ser ta˜o pequeno quanto se queira, bastando para isso tomar o in- tervalo com durac¸a˜o suficientemente pequena. Na verdade, o erro desaparece no limite em que a durac¸a˜o do intervalo tende a zero. De fato, no intervalo [t1, t2], o fato de a durac¸a˜o tender a zero significa que t2 vai para t1 e nesse limite o in- tervalo se resume a um u´nico instante t1: [t1, t1] = {t1}. Nesse instante t1, a