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velocidade tem, e´ claro, um u´nico valor e torna-se o´bvio dizer que a velocidade na˜o muda nesse intervalo, isto e´, que ela e´ constante. Desse modo, se a durac¸a˜o do intervalo vai a zero, a afirmac¸a˜o (4.31), de que vx e´ constante, deixa de ser uma aproximac¸a˜o e passa a ser exata. Em resumo: a velocidade pode ser considerada aproximadamente constante em um intervalo de tempo suficientemente pequeno. Essa aproximac¸a˜o e´ tanto melhor quanto menor for o intervalo e pode ser ta˜o boa quanto se queira, bastando tomar o intervalo suficientemente pequeno. Se o intervalo e´ de durac¸a˜o nula, essa aproximac¸a˜o vira uma igualdade exata. Para analisar o movimento, podemos usar a aproximac¸a˜o (4.31) e, poste- riormente, tomar o limite em que a durac¸a˜o do intervalo tende a zero para que o resultado final na˜o seja apenas aproximado, mas exato. Veremos em alguns exemplos mais adiante como fazer isso. O fato de a variac¸a˜o da velocidade vx em um intervalo de tempo ser arbi- trariamente pequena, desde que o intervalo seja suficientemente pequeno, e´ uma propriedade da func¸a˜o . fx, que relaciona a velocidade com o tempo: vx = . fx (t). Essa propriedade e´ chamada de continuidade da func¸a˜o-velocidade . fx. Qual- quer func¸a˜o e´ chamada de contı´nua se tem essa propriedade: a variac¸a˜o de seu 71 CEDERJ Velocidade instantaˆnea no movimento retilı´neo valor em um intervalo do domı´nio pode ser arbirtrariamente pequena, tomando- se o intervalo suficientemente pequeno. Postulamos que a func¸a˜o-movimento fx tambe´m e´ contı´nua. De fato, ela da´ a relac¸a˜o x = fx(t) entre a posic¸a˜o e o tempo, e supomos que em qualquer movimento a variac¸a˜o de posic¸a˜o em um in- tervalo de tempo pode ser arbitrariamente pequena, desde que o intervalo seja suficientemente pequeno. Como dissemos para a func¸a˜o-velocidade, a func¸a˜o- movimento “na˜o tem tempo”para mudar significativamente seu valor em um in- tervalo de tempo muito pequeno. Dissemos anteriormente que normalmente a func¸a˜o-velocidade e´ contı´nua. Contudo, em certas situac¸o˜es especiais, pode ser conveniente fazer uma idea- lizac¸a˜o na qual a func¸a˜o-velocidade na˜o e´ contı´nua em um dado instante singular. A partir desse instante, terı´amos, enta˜o, o fato de que a variac¸a˜o da func¸a˜o em um intervalo na˜o e´ pequena, mesmo que o intervalo seja arbitrariamente pequeno. Um exemplo desse instante singular seria o instante em que ocorre o choque en- tre dois corpos muito rı´gidos. Essa idealizac¸a˜o sera´ explicada em mais detalhes no momento oportuno. Normalmente, as func¸o˜es que estudamos em Fı´sica sa˜o contı´nuas e avisamos os casos excepcionais em que na˜o sa˜o. Vamos agora examinar a relac¸a˜o entre velocidade instantaˆnea e velocidade me´dia em um intervalo arbitrariamente pequeno. Voltemos a nossa atenc¸a˜o nova- mente para a definic¸a˜o de velocidade instantaˆnea dada em (4.5): vx = lim ∆t→0 ∆x ∆t . (4.32) Nessa expressa˜o, a frac¸a˜o ∆x/∆t vai se aproximando do valor vx a` medida que ∆t vai se aproximando de zero. O valor da frac¸a˜o pode ficar ta˜o pro´ximo de vx quanto quisermos, desde que tomemos ∆t suficientemente pro´ximo de zero. Isso significa que temos uma aproximac¸a˜o vx ≈ ∆x ∆t em um intervalo ∆t suficientemente pequeno. (4.33) Essa aproximac¸a˜o e´ tanto melhor quanto menor for ∆t. A igualdade so´ ocorre no limite em que ∆t tende a zero. Para analisar o movimento, tambe´m podemos usar essa aproximac¸a˜o (4.33) e posteriormente tomar o limite em que ∆t tende a zero para que o resultado final na˜o seja apenas aproximado, mas exato. Uma vez que ∆x/∆t e´ a velocidade me´dia no intervalo de durac¸a˜o ∆t, a equac¸a˜o (4.33) pode ser descrita do seguinte modo: a velocidade me´dia em um dado intervalo de tempo e´ aproximada- mente igual a` velocidade instantaˆnea em um instante qualquer desse intervalo, desde que o intervalo seja suficientemente pequeno. CEDERJ 72 Velocidade instantaˆnea no movimento retilı´neo M ´ODULO 1 - AULA 4 Vamos agora tomar um intervalo de tempo ∆t pequeno o bastante para que ambas aproximac¸o˜es (4.31) e (4.33) sejam va´lidas. Nesse intervalo a velocidade e´ aproximadamente constante e e´ aproximadamente igual a` velocidade me´dia, isto e´: ∆x ∆t ≈ vx ≈ constante , (4.34) em um intervalo ∆t suficientemente pequeno. Vamos representar por t0 e t o inı´cio e o final do intervalo de tempo, respectivamente. Representamos por x0 e x as respectivas posic¸o˜es no inı´cio e no final do intervalo. Temos enta˜o: x0 = fx(t0) e x = fx(t). Com esses sı´mbolos, a equac¸a˜o (4.34) assume a forma: x− x0 t− t0 ≈ vx ≈ constante , (4.35) ou seja, x ≈ x0 + vx (t− t0) e vx ≈ constante , (4.36) se t − t0 e´ suficientemente pequeno. Essas equac¸o˜es dizem que em um intervalo de tempo pequeno o movimento da partı´cula e´ aproximadamente um MRU com velocidade me´dia vx. Uma vez que estamos considerando um movimento retilı´neo qualquer da partı´cula, esse resultado e´ muito importante. ´E ta˜o importante que vamos repeti-lo detalhadamente: em um intervalo de tempo suficientemente pequeno, qualquer movi- mento retilı´neo e´ aproximadamente igual a um MRU, cuja velocidade me´dia e´ igual a` velocidade da partı´cula em algum instante do inter- valo (o instante na˜o e´ importante, pois a velocidade e´ aproximada- mente constante no intervalo). Sabemos que a aproximac¸a˜o se torna tanto melhor quanto menor for o inter- valo, e no limite em que o intervalo tende a zero todo erro desaparece. ´E claro que nesse limite, quando t tende para t0, o intervalo se torna um u´nico instante e ob- temos em (4.36) o resultado x = x0, que e´ exato, mas sem utilidade. Isso mostra que tal limite, em que a igualdade aproximada se torna uma igualdade exata, tem de ser tomado de um modo apropriado para obtermos algo que seja interessante. Na pro´xima aula, daremos um exemplo de como se faz isso. Agora, ao inve´s de considerarmos o limite matema´tico em que a durac¸a˜o do intervalo ∆t vai a zero, vamos considerar, no exemplo que segue, algo mais concreto, como intervalos de um de´cimo ou um cente´simo de segundo. 73 CEDERJ Velocidade instantaˆnea no movimento retilı´neo Exemplo 4.3 Consideremos o movimento retilı´neo dado pela func¸a˜o-movimento fx(t) = 10 + 5t + 2t 2 . (4.37) A func¸a˜o-velocidade dessa partı´cula e´ dada por . fx (t) = 5+4t. ´E claro que a velocidade na˜o e´ constante e, portanto, o movimento na˜o e´ um MRU. Conside- remos um intervalo de tempo com durac¸a˜o de um de´cimo de segundo, digamos de t1 = 1, 0 segundo ate´ t2 = 1, 1 segundos. Vejamos de que modo o movimento nesse intervalo e´ aproximadamente um MRU. A posic¸a˜o no inı´cio do intervalo e´ fx(1, 0) = 17m e a velocidade . fx (1, 0) = 9m/s. Se essa velocidade permane- cesse constante no intervalo [t1, t2], terı´amos como movimento o MRU: fMRU (t) = 8 + 9t . (4.38) De fato, uma partı´cula que possuı´sse esse MRU teria a velocidade de 9m/s e estaria no instante 1, 0 s na posic¸a˜o fMRU(1, 0) = 17m. Para verificar se no intervalo [t1, t2] o movimento fx e´ aproximadamente o fMRU , calculemos o des- locamento total no intervalo [t1, t2]. No movimento verdadeiro, temos o desloca- mento: ∆x = fx(1, 1)− fx(1, 0) = = [10 + 5× 1, 1 + 2(1, 1)2]− [10 + 5× 1, 0 + 2(1, 0)2] = = 0, 92 m . (4.39) Ja´ no MRU, que simula esse movimento, temos o deslocamento: ∆x′ = fMRU(1, 1)− fMRU (1, 0) = = [8 + 9× 1, 1]− [8 + 9× 1, 0] = = 9× 0, 1 = 0, 90 m . (4.40) CEDERJ 74 Velocidade instantaˆnea no movimento retilı´neo M ´ODULO 1 - AULA 4 A diferenc¸a entre o deslocamento verdadeiro e o deslocamento calculado, supondo que no pequeno intervalo o movimento e´ aproximadamente um MRU, e´ ∆x−∆x′ = 0, 02 m, de modo que o erro relativo e´ de: ∆x−∆x′ ∆x = 0, 02 0, 92 ≈ 2% . (4.41) Se voceˆ repetir essa ana´lise em um intervalo de tempo de t1 = 1,