17405_Fisica1A_Aulas_1a12_modulo_1_Volume_01

velocidade tem, e´ claro, um u´nico valor e torna-se o´bvio dizer que a velocidade
na˜o muda nesse intervalo, isto e´, que ela e´ constante. Desse modo, se a durac¸a˜o
do intervalo vai a zero, a afirmac¸a˜o (4.31), de que vx e´ constante, deixa de ser uma
aproximac¸a˜o e passa a ser exata. Em resumo:
a velocidade pode ser considerada aproximadamente
constante em um intervalo de tempo suficientemente pequeno. Essa
aproximac¸a˜o e´ tanto melhor quanto menor for o intervalo e pode ser
ta˜o boa quanto se queira, bastando tomar o intervalo suficientemente
pequeno. Se o intervalo e´ de durac¸a˜o nula, essa aproximac¸a˜o vira
uma igualdade exata.
Para analisar o movimento, podemos usar a aproximac¸a˜o (4.31) e, poste-
riormente, tomar o limite em que a durac¸a˜o do intervalo tende a zero para que
o resultado final na˜o seja apenas aproximado, mas exato. Veremos em alguns
exemplos mais adiante como fazer isso.
O fato de a variac¸a˜o da velocidade vx em um intervalo de tempo ser arbi-
trariamente pequena, desde que o intervalo seja suficientemente pequeno, e´ uma
propriedade da func¸a˜o
.
fx, que relaciona a velocidade com o tempo: vx =
.
fx (t).
Essa propriedade e´ chamada de continuidade da func¸a˜o-velocidade
.
fx. Qual-
quer func¸a˜o e´ chamada de contı´nua se tem essa propriedade: a variac¸a˜o de seu
71 CEDERJ
Velocidade instantaˆnea no movimento retilı´neo
valor em um intervalo do domı´nio pode ser arbirtrariamente pequena, tomando-
se o intervalo suficientemente pequeno. Postulamos que a func¸a˜o-movimento fx
tambe´m e´ contı´nua. De fato, ela da´ a relac¸a˜o x = fx(t) entre a posic¸a˜o e o
tempo, e supomos que em qualquer movimento a variac¸a˜o de posic¸a˜o em um in-
tervalo de tempo pode ser arbitrariamente pequena, desde que o intervalo seja
suficientemente pequeno. Como dissemos para a func¸a˜o-velocidade, a func¸a˜o-
movimento “na˜o tem tempo”para mudar significativamente seu valor em um in-
tervalo de tempo muito pequeno.
Dissemos anteriormente que normalmente a func¸a˜o-velocidade e´ contı´nua.
Contudo, em certas situac¸o˜es especiais, pode ser conveniente fazer uma idea-
lizac¸a˜o na qual a func¸a˜o-velocidade na˜o e´ contı´nua em um dado instante singular.
A partir desse instante, terı´amos, enta˜o, o fato de que a variac¸a˜o da func¸a˜o em
um intervalo na˜o e´ pequena, mesmo que o intervalo seja arbitrariamente pequeno.
Um exemplo desse instante singular seria o instante em que ocorre o choque en-
tre dois corpos muito rı´gidos. Essa idealizac¸a˜o sera´ explicada em mais detalhes
no momento oportuno. Normalmente, as func¸o˜es que estudamos em Fı´sica sa˜o
contı´nuas e avisamos os casos excepcionais em que na˜o sa˜o.
Vamos agora examinar a relac¸a˜o entre velocidade instantaˆnea e velocidade
me´dia em um intervalo arbitrariamente pequeno. Voltemos a nossa atenc¸a˜o nova-
mente para a definic¸a˜o de velocidade instantaˆnea dada em (4.5):
vx = lim
∆t→0
∆x
∆t
. (4.32)
Nessa expressa˜o, a frac¸a˜o ∆x/∆t vai se aproximando do valor vx a` medida
que ∆t vai se aproximando de zero. O valor da frac¸a˜o pode ficar ta˜o pro´ximo de
vx quanto quisermos, desde que tomemos ∆t suficientemente pro´ximo de zero.
Isso significa que temos uma aproximac¸a˜o
vx ≈ ∆x
∆t
em um intervalo ∆t suficientemente pequeno. (4.33)
Essa aproximac¸a˜o e´ tanto melhor quanto menor for ∆t. A igualdade so´
ocorre no limite em que ∆t tende a zero. Para analisar o movimento, tambe´m
podemos usar essa aproximac¸a˜o (4.33) e posteriormente tomar o limite em que
∆t tende a zero para que o resultado final na˜o seja apenas aproximado, mas exato.
Uma vez que ∆x/∆t e´ a velocidade me´dia no intervalo de durac¸a˜o ∆t, a equac¸a˜o
(4.33) pode ser descrita do seguinte modo:
a velocidade me´dia em um dado intervalo de tempo e´ aproximada-
mente igual a` velocidade instantaˆnea em um instante qualquer desse
intervalo, desde que o intervalo seja suficientemente pequeno.
CEDERJ 72
Velocidade instantaˆnea no movimento retilı´neo
M ´ODULO 1 - AULA 4
Vamos agora tomar um intervalo de tempo ∆t pequeno o bastante para que
ambas aproximac¸o˜es (4.31) e (4.33) sejam va´lidas. Nesse intervalo a velocidade e´
aproximadamente constante e e´ aproximadamente igual a` velocidade me´dia, isto
e´:
∆x
∆t
≈ vx ≈ constante , (4.34)
em um intervalo ∆t suficientemente pequeno. Vamos representar por t0 e t o
inı´cio e o final do intervalo de tempo, respectivamente. Representamos por x0 e x
as respectivas posic¸o˜es no inı´cio e no final do intervalo. Temos enta˜o: x0 = fx(t0)
e x = fx(t). Com esses sı´mbolos, a equac¸a˜o (4.34) assume a forma:
x− x0
t− t0 ≈ vx ≈ constante , (4.35)
ou seja,
x ≈ x0 + vx (t− t0) e vx ≈ constante , (4.36)
se t − t0 e´ suficientemente pequeno. Essas equac¸o˜es dizem que em um intervalo
de tempo pequeno o movimento da partı´cula e´ aproximadamente um MRU com
velocidade me´dia vx. Uma vez que estamos considerando um movimento retilı´neo
qualquer da partı´cula, esse resultado e´ muito importante. ´E ta˜o importante que
vamos repeti-lo detalhadamente:
em um intervalo de tempo suficientemente pequeno, qualquer movi-
mento retilı´neo e´ aproximadamente igual a um MRU, cuja velocidade
me´dia e´ igual a` velocidade da partı´cula em algum instante do inter-
valo (o instante na˜o e´ importante, pois a velocidade e´ aproximada-
mente constante no intervalo).
Sabemos que a aproximac¸a˜o se torna tanto melhor quanto menor for o inter-
valo, e no limite em que o intervalo tende a zero todo erro desaparece. ´E claro que
nesse limite, quando t tende para t0, o intervalo se torna um u´nico instante e ob-
temos em (4.36) o resultado x = x0, que e´ exato, mas sem utilidade. Isso mostra
que tal limite, em que a igualdade aproximada se torna uma igualdade exata, tem
de ser tomado de um modo apropriado para obtermos algo que seja interessante.
Na pro´xima aula, daremos um exemplo de como se faz isso. Agora, ao inve´s de
considerarmos o limite matema´tico em que a durac¸a˜o do intervalo ∆t vai a zero,
vamos considerar, no exemplo que segue, algo mais concreto, como intervalos de
um de´cimo ou um cente´simo de segundo.
73 CEDERJ
Velocidade instantaˆnea no movimento retilı´neo
Exemplo 4.3
Consideremos o movimento retilı´neo dado pela func¸a˜o-movimento
fx(t) = 10 + 5t + 2t
2 . (4.37)
A func¸a˜o-velocidade dessa partı´cula e´ dada por
.
fx (t) = 5+4t. ´E claro que
a velocidade na˜o e´ constante e, portanto, o movimento na˜o e´ um MRU. Conside-
remos um intervalo de tempo com durac¸a˜o de um de´cimo de segundo, digamos
de t1 = 1, 0 segundo ate´ t2 = 1, 1 segundos. Vejamos de que modo o movimento
nesse intervalo e´ aproximadamente um MRU. A posic¸a˜o no inı´cio do intervalo e´
fx(1, 0) = 17m e a velocidade
.
fx (1, 0) = 9m/s. Se essa velocidade permane-
cesse constante no intervalo [t1, t2], terı´amos como movimento o MRU:
fMRU (t) = 8 + 9t . (4.38)
De fato, uma partı´cula que possuı´sse esse MRU teria a velocidade de 9m/s
e estaria no instante 1, 0 s na posic¸a˜o fMRU(1, 0) = 17m. Para verificar se no
intervalo [t1, t2] o movimento fx e´ aproximadamente o fMRU , calculemos o des-
locamento total no intervalo [t1, t2]. No movimento verdadeiro, temos o desloca-
mento:
∆x = fx(1, 1)− fx(1, 0) =
= [10 + 5× 1, 1 + 2(1, 1)2]− [10 + 5× 1, 0 + 2(1, 0)2] =
= 0, 92 m . (4.39)
Ja´ no MRU, que simula esse movimento, temos o deslocamento:
∆x′ = fMRU(1, 1)− fMRU (1, 0) =
= [8 + 9× 1, 1]− [8 + 9× 1, 0] =
= 9× 0, 1 = 0, 90 m . (4.40)
CEDERJ 74
Velocidade instantaˆnea no movimento retilı´neo
M ´ODULO 1 - AULA 4
A diferenc¸a entre o deslocamento verdadeiro e o deslocamento calculado,
supondo que no pequeno intervalo o movimento e´ aproximadamente um MRU, e´
∆x−∆x′ = 0, 02 m, de modo que o erro relativo e´ de:
∆x−∆x′
∆x
=
0, 02
0, 92
≈ 2% . (4.41)
Se voceˆ repetir essa ana´lise em um intervalo de tempo de t1 = 1,