A maior rede de estudos do Brasil

Grátis
273 pág.
17405_Fisica1A_Aulas_1a12_modulo_1_Volume_01

Pré-visualização | Página 19 de 50

CEDERJ 80
De volta a`s func¸o˜es-movimento
M ´ODULO 1 - AULA 5
O C ´ALCULO
Para resolver esse problema tomamos um instante arbitra´rio t e um intervalo
de tempo [t0, t]. Sabemos a posic¸a˜o x0 no instante t0 e desejamos descobrir qual
e´ a posic¸a˜o x em um instante arbitra´rio t. Vamos dividir esse intervalo em subin-
tervalos suficientemente pequenos para que, em cada um deles, possamos fazer a
aproximac¸a˜o (4.36). Consequ¨entemente, em cada subintervalo, o movimento sera´
aproximadamente um MRU. Vamos partir o intervalo [t0, t] em n subintervalos,
como indicado na figura 5.1. Para isso, consideramos os instantes intermedia´rios
t′1, t
′
2,..., t
′
n−1, com t0 < t
′
1 < t
′
2 < ... < t
′
n−1 < t.
t0
∆t1
t′1
∆t2
t′2
∆t3
t′3 t′n−2
∆tn−1
t′n−1
∆tn
t t
Fig. 5.1: Uma partic¸a˜o do intervalo [t0, t] em n subintervalos.
Lembre-se que particionar um
conjunto significa subdividi-lo
em subconjuntos tais que a
intersec¸a˜o entre quaisquer dois
deles seja nula e a unia˜o de todos
eles deˆ o conjunto original.
O intervalo total [t0, t] e´ a unia˜o dos subintervalos menores [t0, t′1], [t′1, t′2],... [t′n−1, t].
As durac¸o˜es desses subintervalos sa˜o dadas, respectivamente,por:
∆t1 = t
′
1 − t0 ; ∆t2 = t′2 − t′1 ; ... ; ∆tn = t− t′n−1 .
As posic¸o˜es nos instantes intermedia´rios t′1, t′2,... e t′n−1 sera˜o chamadas
de x′1, x′2,... e x′n−1, respectivamente. Note que x0, x′1, x′2,... e x′n−1 sa˜o as
posic¸o˜es nos instantes iniciais de cada subintervalo. Por hipo´tese, a partic¸a˜o do
intervalo foi feita de modo que os subintervalos tenham durac¸o˜es ∆t1, ∆t2,...,
∆tn suficientemente pequenas, a fim de que possamos usar, em cada subintervalo,
a aproximac¸a˜o de que o movimento e´ um MRU, tal como descrito em (4.36).
Comecemos pelo subintervalo [t0, t′1]. Nele, [t0, t′1] escolhemos algum ins-
tante t1 e nesse instante designamos a velocidade da partı´cula por vx1. Temos, e´
claro, vx1 =
.
fx (t1). Lembre-se que supomos conhecida a func¸a˜o
.
fx e que, por-
tanto, conhecemos a velocidade da partı´cula no instante t1 ou em qualquer outro
instante. Uma vez que o subintervalo e´ suficientemente pequeno, a velocidade e´
nele aproximadamente constante e, consequ¨entemente, se escolheˆssemos um ou-
tro instante dentro de [t0, t′1], obterı´amos aproximadamente a mesma velocidade
vx1. Portanto, na˜o e´ importante qual o instante t1 que e´ escolhido dentro de [t0, t′1].
81 CEDERJ
De volta a`s func¸o˜es-movimento
t0
t1
t′1
t2
t′2
t3
t′3 t′n−2
↖
tn−1
t′n−1
tn
t t
Fig. 5.2: Escolha de um instante t1 dentro do subintervalo [t0, t′1] e de instantes t2,... tn dentro dos demais subintervalos.
Usando enta˜o em [t0, t′1] a aproximac¸a˜o (4.36), escrevemos:
x′1 ≈ x0 + vx1(t′1 − t0) = x0 + vx1 ∆t1 ,
onde vx1 =
.
fx (t1) e x0 e´ a posic¸a˜o inicial no primeiro subintervalo. De modo
semelhante, escolhemos no segundo subintervalo [t′1, t′2] um instante t2. Temos
nesse instante a velocidade vx2 =
.
fx (t2) e aplicamos a aproximac¸a˜o (4.36) para
obter:
x′2 ≈ x′1 + vx2(t′2 − t′1) = x′1 + vx2 ∆t2 ,
onde vx2 =
.
fx (t2) e x
′
1 e´ a posic¸a˜o inicial no segundo subintervalo. Prosseguimos
com o terceiro subintervalo e os seguintes, sucessivamente, ate´ o u´ltimo subinter-
valo, o n-e´simo, para o qual obtemos:
x ≈ x′n−1 + vxn(t− t′n−1) = x′n−1 + vxn ∆tn ,
onde vxn =
.
fx (tn) e x
′
n−1 e´ a posic¸a˜o inicial nesse u´ltimo subintervalo. Desse
modo, chegamos ao seguinte conjunto de n igualdades aproximadas:

x′1 ≈ x0 + vx1 ∆t1 ,
x′2 ≈ x′1 + vx2 ∆t2 ,
·
·
·
x ≈ x′n−1 + vxn ∆tn .
(5.1)
Agora somamos essas equac¸o˜es e, ao fazeˆ-lo, todas as posic¸o˜es intermedia´rias
x′1, x
′
2,... x
′
n−1 se cancelam. Temos enta˜o:
x− x0 ≈ vx1∆t1 + vx2∆t2 + · · ·vx n∆tn , (5.2)
onde x0 foi passado para o primeiro membro da igualdade aproximada. Nessa
soma, vx1, vx2,... vxn sa˜o as velocidades nos instantes t1, t2,..., tn, respectiva-
mente, que escolhemos dentro dos subintervalos. Ou seja, temos: vx1 =
.
fx (t1),
vx2 =
.
fx (t2),... vxn =
.
fx (tn). Desse modo, (5.2) pode ser escrita como:
x− x0 ≈
.
fx (t1)∆t1+
.
fx (t2)∆t2 + · · ·
.
fx (tn)∆tn . (5.3)
CEDERJ 82
De volta a`s func¸o˜es-movimento
M ´ODULO 1 - AULA 5
Pois bem, sabemos que as aproximac¸o˜es (5.1) se tornam igualdades exatas
somente no limite em que as durac¸o˜es dos intervalos tendem a zero. Para tornar
exato o resultado (5.3), as durac¸o˜es ∆t1, ∆t2,...,∆tn devem todas tender a zero.
Ao mesmo tempo, a durac¸a˜o total do intervalo ja´ esta´ fixada como sendo t− t0 e,
portanto, devemos ter sempre: ∆t1+∆t2+ · · ·+∆tn = t−t0. A u´nica maneira de
diminuir a durac¸a˜o de todos os subintervalos mantendo a soma deles igual a t− t0
e´ aumentando o nu´mero de subintervalos, isto e´, considerando n cada vez maior.
Enta˜o fazemos o seguinte: consideramos que o intervalo e´ “particionado” em um
nu´mero n cada vez maior de subintervalos com durac¸o˜es cada vez menores, como
indicado na figura 5.3.
t0
t0
t0
t
t
t
Fig. 5.3: Intervalo [t0, t] “particionado” em um nu´mero cada vez maior de subintervalos; tais subintervalos, por sua vez,
sa˜o cada vez menores.
Para que a durac¸a˜o de cada intervalo va´ a zero, e´ necessa´rio que o nu´mero de
subdiviso˜es cresc¸a indefinidamente, ou como se diz em matema´tica, e´ necessa´rio
que o nu´mero n va´ a infinito. No limite em que n vai a infinito e a durac¸a˜o ∆ti de
cada subintervalo vai a zero, obtemos de (5.3) uma igualdade exata:
x− x0 = lim
n→∞
∆t→0
[ .
fx (t1)∆t1+
.
fx (t2)∆t2 + · · ·
.
fx (tn)∆tn
]
, (5.4)
onde o sı´mbolo em frente a` soma indica o processo de limite que tomamos. Para
as func¸o˜es-velocidade, esse processo de limite leva a um resultado bem determi-
nado. Ele na˜o depende da maneira como sa˜o feitas as partic¸o˜es do intervalo [t0, t]
em subintervalos e tambe´m na˜o depende de quais instantes t1, t2,..., tn foram es-
colhidos dentro dos subintervalos para formar as somas em (5.4). O limite de
somas no lado direito de (5.4) e´ expresso da seguinte maneira:
lim
n→∞
∆t→0
[ .
fx (t1)∆t1+
.
fx (t2)∆t2 + · · ·
.
fx (tn)∆tn
]
=
∫ t
t0
.
fx (t
′) dt′ (5.5)
83 CEDERJ
De volta a`s func¸o˜es-movimento
e e´ chamado de integral da func¸a˜o
.
fx no intervalo de t0 a t. Desse modo, o
resultado (5.4) e´ escrito como:
x− x0 =
∫ t
t0
.
fx (t
′) dt′ (5.6)
e dizemos que o deslocamento no intervalo de tempo de t0 a t e´ igual a` integral
da func¸a˜o-velocidade no intervalo de t0 a t. Tambe´m dizemos, de modo mais
simplificado, que o deslocamento no intervalo de tempo de t0 a t e´ igual a` integral
da velocidade no intervalo de t0 a t.
COMENT ´ARIOS
• No sı´mbolo de integral usado em (5.5), ∫ t
t0
.
fx (t
′) dt′ , o
∫
e´ a letra “S”
estilizada da palavra soma, para lembrar que a integral e´ obtida como o
limite de somas;
• os instantes t0 e t, que representam, naturalmente, os extremos do inter-
valo de tempo, sa˜o chamados de limite inferior e limite superior da integral,
respectivamente;
• o t′ e´ na verdade um sı´mbolo sem muita necessidade, mas que e´ normal-
mente usado. Ele representa os instantes no interior do intervalo de t0 a
t. Do mesmo modo, o dt′ serve para lembrar que nas somas os valores da
velocidade no interior do intervalo sa˜o multiplicados pelas durac¸o˜es ∆t1,
∆t2,..., sendo que o ∆ e´ substituı´do pelo d para indicar que tomamos o
limite expresso em (5.5);
• o
.
fx (t
′) representa o valor da velocidade no instante t′ dentro do intervalo.
Note que usamos t′ para representar um instante no interior do intervalo de
tempo [t0, t], porque a letra t ja´ esta´ sendo usada para representar o extremo
superior desse intervalo. Na verdade, voceˆ pode representar