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distaˆncias que ele percorre e qual a precisa˜o
que desejamos ou de que dispomos para medir distaˆncias e intervalos de tempo.
Por esse motivo e´ que na˜o dizemos simplesmente que uma partı´cula e´ um corpo de
dimenso˜es desprezı´veis, mas que partı´cula e´ um corpo de dimenso˜es desprezı´veis
em um dado problema. Um outro exemplo que ilustra bem o conceito de partı´cula
e´ o da Terra. Se o problema que desejamos estudar e´ o do movimento de rotac¸a˜o
da Terra em torno de seu eixo, movimento que causa a sucessa˜o de dias e noites,
na˜o podemos considerar a Terra como uma partı´cula, pois uma partı´cula na˜o tem
partes que possam girar umas em torno das outras. Ja´ para considerar o movi-
mento anual da Terra em torno do sol, a mesma Terra pode ser considerada como
uma partı´cula, pois ela tem um diaˆmetro que e´ oito cente´simos de mile´simos de
sua distaˆncia ao sol e um mile´simo da distaˆncia que percorre em um ano; seu ta-
manho e´ de fato desprezı´vel no estudo de seu movimento anual. Para encerrar essa
discussa˜o do conceito de partı´cula conve´m notar que para dizermos que um corpo
tem ou na˜o dimenso˜es desprezı´veis e´ necessa´rio o uso de uma re´gua para avaliar
as ditas dimenso˜es no problema em considerac¸a˜o. Esse e´ um motivo, entre outros,
que faz com que seja necessa´rio supor, no estudo da Mecaˆnica, que dispomos de
re´guas para a medic¸a˜o de comprimentos.
Sistemas de partı´culas e corpos rı´gidos
Na sec¸a˜o anterior definimos o conceito de partı´cula. Considere agora um
corpo qualquer cujas dimenso˜es na˜o sejam desprezı´veis no problema em conside-
rac¸a˜o . Ele na˜o pode ser considerado como uma partı´cula. Ele pode, no entanto,
ser considerado como um conjunto de partes ta˜o pequenas, que cada uma delas
pode ser considerada como uma partı´cula. Desse modo podemos dizer que todo
corpo pode ser considerado como um conjunto de partı´culas. Olhe para uma fo-
lha de papel. Voceˆ pode mentalmente quadricular a folha em quadradinhos de
um milı´metro de lado. Pode ser que no problema que vamos estudar tais qua-
dradinhos de papel possam ser considerados como partı´culas e teremos enta˜o que
a folha de papel sera´, nesse problema, o conjunto dessas partı´culas. Por outro
lado, consideremos a folha de papel em um problema mais delicado, no qual um
milı´metro e´ uma distaˆncia importante, embora um comprimento de, por exemplo,
um cente´simo de milı´metro, ja´ seja desprezı´vel. Nesse caso consideramos a folha
mentalmente dividida em quadradinhos de lados menores do que um cente´simo
de milı´metro, para termos certeza de que suas dimenso˜es sejam efetivamente des-
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Noc¸o˜es ba´sicas sobre o movimento
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prezı´veis no problema em tela. Novamente poderemos considerar a folha como
um conjunto de partı´culas.
Qualquer parte do universo bem definida e´ chamada de sistema fı´sico. Por
bem definida entendemos que esta´ exatamente estabelecido o que pertence a essa
parte e o que na˜o pertence. Em mecaˆnica, um sistema fı´sico e´ sempre constituı´do
por um ou va´rios corpos. Como cada corpo e´ um conjunto de partı´culas, todo
sistema fı´sico em mecaˆnica e´ um conjunto de partı´culas. O conjunto de partı´culas
que forma um sistema qualquer e´ chamado tambe´m de sistema de partı´culas.
Desse modo, em mecaˆnica, estaremos sempre lidando com sistemas de partı´culas.
Quando o sistema fı´sico que
estamos considerando e´
constituı´do por apenas uma
partı´cula, a rigor ele e´ um sistema
de partı´culas com uma u´nica
partı´cula. No entanto, quando
nos referimos a um sistema de
partı´culas, o que normalmente
estamos querendo dizer e´ que ha´
mais de uma partı´cula no sistema.
Usando a ide´ia de que qualquer corpo e´ um conjunto de partı´culas vamos
definir um corpo rı´gido como sendo um conjunto de partı´culas com a seguinte
propriedade: a distaˆncia entre qualquer par de partı´culas do conjunto permanece
sempre a mesma. Certamente essa definic¸a˜o esta´ de acordo com o conceito que
todos fazemos de um corpo rı´gido. A folha de papel que consideramos no exem-
plo anterior na˜o e´ um corpo rı´gido. ´E fa´cil mudar a distaˆncia entre os diversos
pontos da folha enrolando-a e dobrando-a. Um corpo perfeitamente rı´gido e´ uma
idealizac¸a˜o que na˜o existe na natureza, pois qualquer corpo pode ser forc¸ado a
sofrer alguma deformac¸a˜o que altere a distaˆncia entre algum par de seus pon-
tos. Na pra´tica encontramos corpos que sa˜o aproximadamente rı´gidos, isto e´, a
distaˆncia entre qualquer par de partı´culas do corpo permanece aproximadamente
a mesma. Um pedac¸o de granito, por exemplo, e´ praticamente um corpo rı´gido
em um imenso nu´mero de situac¸o˜es, embora possa, em situac¸o˜es extremas, ser de-
formado ou quebrado e, portanto, deixar de ser um bom exemplo de corpo rı´gido.
O importante e´ que dispomos na natureza de corpos cuja rigidez e´ boa o bas-
tante para as finalidades de nosso estudo de mecaˆnica. Um automo´vel na˜o e´ um
corpo rı´gido, pois podemos, por exemplo, abrir suas portas ou mesmo poˆr suas
rodas em movimento. Nesses casos ha´ variac¸a˜o das distaˆncias entre partı´culas do
automo´vel. Em contrapartida ele tem uma carcac¸a central razoavelmente rı´gida.
Quando nos referirmos a objetos como automo´veis, oˆnibus, trens ou avio˜es di-
zendo que sa˜o rı´gidos, estaremos considerando apenas as suas partes que sa˜o pro-
priamente rı´gidas.
Um sistema qualquer de partı´culas, mesmo envolvendo va´rios corpos, e´ dito
um sistema rı´gido se a distaˆncia entre qualquer par de suas partı´culas permanece
sempre a mesma. O Cruzeiro do Sul, por exemplo, e´ constituı´do por cinco estrelas
bem separadas. No entanto, elas manteˆm distaˆncias relativas invaria´veis (pelo
menos ha´ milhares de anos). Desse modo, o Cruzeiro do Sul pode ser chamado
de um sistema rı´gido.
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Noc¸o˜es ba´sicas sobre o movimento
Fig. 1.2: Cruzeiro do Sul.
Talvez voceˆ fique surpreso em saber que e´ comum chamar um sistema rı´gido
de partı´culas de corpo rı´gido, mesmo quando o sistema e´ constituı´do por va´rias
partes, separadas umas das outras, como no caso do Cruzeiro do Sul.
Veremos que os conceitos de corpo rı´gido e de sistema rı´gido de partı´culas
desempenham um papel importante na mecaˆnica. Na pro´xima sec¸a˜o, por exemplo,
o conceito de rigidez sera´ usado na definic¸a˜o de referencial.
Deve ser mais fa´cil estudar o movimento de uma partı´cula do que o de um
corpo extenso ou de um sistema com va´rias partı´culas. Tambe´m deve ser mais
fa´cil estudar o movimento de um corpo rı´gido do que o de um corpo deforma´vel
como os ela´sticos, pla´sticos e fluidos. Pretendemos estudar primeiramente o mo-
vimento de uma partı´cula e mais tarde o de um corpo rı´gido. Em disciplinas mais
avanc¸adas estudaremos tambe´m o movimento de corpos deforma´veis, um assunto
bem mais complicado.
Eixos coordenados e posic¸a˜o
Recordemos da geometria o conceito de eixo coordenado. Ele e´ definido
da seguinte maneira: primeiramente, consideramos uma reta e escolhemos nela
um ponto, que chamamos de origem. A reta fica dividida em duas semi-retas que
comec¸am na origem.
O
Fig. 1.3: Eixo coordenado.
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Noc¸o˜es ba´sicas sobre o movimento
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Escolhemos uma das semi-retas (pode ser qualquer uma das duas) para ser
chamada de semi-eixo positivo e nela marcamos uma setinha para indicar nossa
escolha, tal como esta´ indicado na figura 1.3, na qual a origem esta´ representada
pela letra O. A outra semi-reta e´ chamada de semi-eixo negativo. A cada ponto
do semi-eixo positivo associamos o nu´mero dado por sua distaˆncia ate´ a origem.
A cada ponto de semi-eixo negativo associamos o nu´mero dado por menos a sua
distaˆncia ate´ a origem e a` pro´pria origem O associamos o nu´mero zero. Desse
modo, estabelecemos uma correspondeˆncia biunı´voca entre os pontos da reta e os
nu´meros reais: a cada ponto corresponde um u´nico nu´mero