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17405_Fisica1A_Aulas_1a12_modulo_1_Volume_01

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um instante
no interior do intervalo por t′ ou por qualquer outra letra que na˜o cause
confusa˜o.
O sı´mbolo de integral pode
parecer esquisito a` primeira vista,
mas com o tempo ele se mostrara´
conveniente.
Se voceˆ esta´ achando complicado calcular a integral como o limite de somas
indicado em (5.5), voceˆ acertou em cheio: de um modo geral, o limite das somas
e´ muito difı´cil de ser calculado. Mas na˜o se preocupe com isso, pois no momento
temos apenas duas necessidades. Uma e´ ter sempre em mente a ide´ia de que
a integral obtida no trabalhoso processo de limite de somas da´ o valor exato do
deslocamento, como esta´ indicado na equac¸a˜o (5.6). A outra e´ saber obter o limite
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De volta a`s func¸o˜es-movimento
M ´ODULO 1 - AULA 5
das somas em alguns casos muito simples; nesses casos, o ca´lculo de (5.5) na˜o sera´
muito difı´cil. Ale´m do mais, voceˆ aprendera´ a calcular integrais mais complicadas
em suas aulas de Ca´lculo.
A SOLUC¸ ˜AO
Vamos reescrever a equac¸a˜o (5.6) na forma:
x = x0 +
∫ t
t0
.
fx (t
′) dt′ . (5.7)
Observe o lado direito dessa equac¸a˜o. Nele conhecemos, por hipo´tese, a
func¸a˜o-velocidade
.
fx e os valores fixos de t0 e x0, isto e´, o instante escolhido
como inicial e a posic¸a˜o da partı´cula nesse instante. No lado direito da equac¸a˜o,
temos o instante t arbitra´rio, que podemos escolher como sendo qualquer ins-
tante. Para qualquer instante t escolhido, o lado direito da equac¸a˜o da´ um valor
bem definido, igual a x0 mais a integral de
.
fx no intervalo de t0 a t, calculada
de acordo com (5.5). O resultado final, de acordo com (5.7), e´ a posic¸a˜o x da
partı´cula no instante t. Ora, o que da´ a posic¸a˜o da partı´cula em qualquer instante
t e´ a func¸a˜o-movimento e, consequ¨entemente, o lado direito da equac¸a˜o (5.7) de-
termina a func¸a˜o-movimento fx procurada:
fx(t) = x0 +
∫ t
t0
.
fx (t
′) dt′ . (5.8)
Logo, a func¸a˜o-movimento num instante gene´rico, fx(t), e´ dada pela soma
da func¸a˜o-movimento num dado instante t0, isto e´,fx(t0) = x0, com a integral
da func¸a˜o-velocidade de t0 a t. Esse resultado deve ser comparado com o da
equac¸a˜o (4.19) que afirma ser a func¸a˜o-velocidade dada pela derivada da func¸a˜o-
movimento.
Esta´, portanto, resolvido o problema que havı´amos enunciado no comec¸o
desta sec¸a˜o:
determinar a func¸a˜o-movimento conhecendo-se a func¸a˜o-velocidades
.
fx e a posic¸a˜o x0 em um instante t0 tem como soluc¸a˜o a equac¸a˜o
(5.8).
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De volta a`s func¸o˜es-movimento
UM EXEMPLO
Vejamos um exemplo de como funciona a fo´rmula (5.8). Na aula anterior,
apresentamos no Exemplo 7 a func¸a˜o-movimento x = 2 + 5t2 e encontramos a
func¸a˜o-velocidade vx = 10t. Suponhamos agora que a func¸a˜o-movimento seja
desconhecida e que desejemos encontra´-la a partir dos seguintes dados: a func¸a˜o-
velocidade vx = 10t e a posic¸a˜o da partı´cula no instante t0 = 0s, que e´ x0 =
2m. Como estamos supondo que a func¸a˜o-movimento ainda seja desconhecida, a
posic¸a˜o inicial x0 = 2m foi obtida de outras fontes, por exemplo, por observac¸a˜o
experimental. Usando esses dados na equac¸a˜o (5.8), obtemos:
fx(t) = x0 +
∫ t
t0
.
fx (t
′) dt′ = 2 +
∫ t
0
10t′ dt′ . (5.9)
Como aprenderemos mais adiante, nessa fo´rmula, a integral e´ dada por:∫ t
0
10t′ dt′ = 5t2 , (5.10)
de modo que (5.9) reduz-se a
fx(t) = 2 + 5t
2 , (5.11)
que da´ a func¸a˜o-movimento procurada. Como dissemos, na˜o e´ importante por ora
saber fazer o ca´lculo da integral que indicamos em (5.10). Basta agora entender
a ide´ia de que existe um processo para se obter a func¸a˜o-movimento a partir da
func¸a˜o-velocidade. De qualquer modo, voceˆ vera´ ainda nessa aula como obter o
resultado (5.10).
Dissemos anteriormente que, de um modo geral, e´ complicado o ca´lculo
de uma integral, como definida na expressa˜o (5.5). Tambe´m dissemos que ha´
situac¸o˜es em que o ca´lculo e´ relativamente simples. Vamos considerar essas
situac¸o˜es simples nas pro´ximas sec¸o˜es.
MRU: o movimento da velocidade invaria´vel
Uma situac¸a˜o na qual o ca´lculo da integral em (5.5) e´ extremamente sim-
ples e´ quando a velocidade instantaˆnea da partı´cula e´ constante, isto e´, invaria´vel.
Se a partı´cula tem uma velocidade vx0 no instante inicial t0 e a velocidade e´ in-
varia´vel, enta˜o ela tem em qualquer instante t a mesma velocidade vx0. Portanto,
sua func¸a˜o-velocidade e´ dada por:
.
fx (t) = vx0 = constante (5.12)
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De volta a`s func¸o˜es-movimento
M ´ODULO 1 - AULA 5
Para determinar a func¸a˜o-movimento, devemos aplicar a fo´rmula (5.7), que
nesse caso toma a forma:
x = x0 +
∫ t
t0
vx0 dt
′ . (5.13)
Nosso problema se resume, pois, em calcular essa integral e para isso dispomos da
definic¸a˜o (5.5). Na soma que aparece em (5.5), temos para os instantes escolhidos
no interior do intervalo:
.
fx (t1) =
.
fx (t2) = · · · =
.
fx (tn) = vx0, de modo que
(5.5), nesse caso, nos leva a:∫ t
t0
.
fx (t
′) dt′ =
∫ t
t0
vx0 dt
′ = lim
n→∞
∆t→0
(vx0∆t1 + vx0∆t2 + · · ·vx0∆tn)
= lim
n→∞
∆t→0
vx0(∆t1 + ∆t2 + · · ·∆tn)
= lim
n→∞
∆t→0
vx0 (t− t0) , (5.14)
onde a u´ltima igualdade foi obtida usando-se o fato de que as durac¸o˜es dos su-
bintervalos somadas, igualam a durac¸a˜o do intervalo total, que e´ t− t0. Notemos
agora que na u´ltima linha em (5.14) a quantidade vx0 (t− t0) e´ a velocidade cons-
tante da partı´cula vezes a durac¸a˜o do intervalo total. ´E um nu´mero fixo que nada
tem a ver com as subdiviso˜es que fizemos no intervalo. Consequ¨entemente, essa
quantidade e´ um valor que na˜o se altera com o limite que esta´ indicado:
lim
n→∞
∆t→0
vx0(t− t0) = vx0 (t− t0). (5.15)
Substituindo esse resultado em (5.14), obtemos enta˜o:∫ t
t0
.
fx (t
′) dt′ =
∫ t
t0
v0 dt
′ = v0 (t− t0) . (5.16)
Levando o resultado dessa integral em (5.13), obtemos, para o movimento
de velocidade constante, a seguinte func¸a˜o-movimento:
x = x0 + vx0 (t− t0) , (5.17)
que e´ a func¸a˜o-movimento de um MRU. Portanto, o movimento retilı´neo cuja ve-
locidade instantaˆnea e´ constante e´ o MRU. ´E importante recordar que havı´amos
definido o MRU como sendo o movimento retilı´neo cuja velocidade me´dia e´
a mesma em qualquer intervalo. Posteriormente, obtivemos o fato de que, no
MRU, a velocidade instantaˆnea e´ igual a` velocidade me´dia e, portanto, e´ cons-
tante. Chegamos enta˜o a: MRU =⇒ vx=constante. O que acabamos de ob-
ter em (5.17) e´ que a recı´proca dessa implicac¸a˜o tambe´m e´ verdadeira, ou seja:
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De volta a`s func¸o˜es-movimento
vx=constante =⇒ MRU . Juntando essas duas implicac¸o˜es lo´gicas, obtemos
MRU ⇐⇒ vx = constante. Sintetizando: o movimento retilı´neo de velocidade
me´dia constante em qualquer intervalo que se considere e o movimento retilı´neo
de velocidade instantaˆnea constante sa˜o a mesma coisa.
Exemplo 5.1
Suponha que a func¸a˜o-velocidade de uma partı´cula seja dada por
vx = 5m/s e que a sua posic¸a˜o no instante t = 4s seja 20m. Vamos supor, ainda,
que o movimento dessa partı´cula esteja definido para t ≥ 0. Determinemos, pois,
a sua func¸a˜o-movimento usando o conceito de integral.
A partir do que foi exposto acima, podemos escrever:
x = 10 +
∫ t
4
5 dt′ = 10 + 5(t− 4) ; =⇒ x = 5t− 10 .
Observe que se derivarmos essa expressa˜o obtemos, como esperado, a velo-
cidade da partı´cula:
vx =
dx
dt
=
d
dt
(5t− 10) = 5 m/s .
Note que o conhecimento da func¸a˜o-velocidade de uma partı´cula na˜o e´ su-
ficiente para obtermos a sua func¸a˜o-movimento. Foi necessa´rio tambe´m fornecer
a posic¸a˜o da partı´cula em um dado instante de tempo, no caso, em t = 4s. Po-
derı´amos ter dado a posic¸a˜o em um outro instante, por exemplo, poderı´amos ter
dito que para t = 0s a partı´cula se encontra na posic¸a˜o