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17405_Fisica1A_Aulas_1a12_modulo_1_Volume_01

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−10m, ou que em t = 2s
ela se encontra na origem. O importante a ser enfatizado aqui e´ que dada a func¸a˜o-
velocidade da partı´cula e apenas a sua posic¸a˜o ocupada em um u´nico instante, na˜o
importa qual, sua func¸a˜o-movimento estara´ univocamente determinada (verifique,
a tı´tulo de exercı´cio, que com as posic¸o˜es dadas em t = 0s ou t = 2s obterı´amos
a mesma func¸a˜o-movimento).
CEDERJ 88
De volta a`s func¸o˜es-movimento
M ´ODULO 1 - AULA 5
MRUV: o movimento da velocidade uniformemente varia´vel
Consideramos agora o movimento retilı´neo no qual a velocidade varia uni-
formemente com o tempo. Dito de outro modo: a velocidade e´ uma func¸a˜o do
tempo da forma: vx = a t+b, onde a e b sa˜o duas constantes. Para simplificar, va-
mos primeiramente considerar a situac¸a˜o em que a constante b e´ zero. Nesse caso,
a velocidade e´ proporcional ao tempo decorrido e a func¸a˜o-velocidade e´ dada por:
.
fx (t) = a t . (5.18)
Note que a constante a tem
dimensa˜o de comprimento pelo
quadrado de tempo; isso para
que, ao ser multiplicada por um
tempo t, resulte em uma
quantidade com dimensa˜o de
comprimento dividido por tempo,
que e´ a dimensa˜o da velocidade
.
fx (t) no lado esquerdo da
equac¸a˜o (5.18). No SI a e´ dada
em m/s2.
Vamos aplicar a definic¸a˜o de integral (5.5) a` func¸a˜o dada em (5.18), para
descobrir qual a func¸a˜o-movimento que leva a partı´cula a ter as velocidades dadas
por (5.18). Comecemos por calcular a soma em (5.5). Devemos nos recordar de
que o valor do limite em (5.5) na˜o depende da maneira como sa˜o feitas as partic¸o˜es
do intervalo [t0, t] em subintervalos. Tambe´m na˜o depende de quais instantes t1,
t2,..., tn foram escolhidos dentro dos subintervalos para formar as somas em (5.5).
Vamos nos aproveitar dessa propriedade para escolher os mencionados intervalos
e instantes de um modo bem simples. Os n subintervalos sera˜o todos de mesma
durac¸a˜o ∆t,
∆t1 = ∆t , ∆t2 = ∆t , ∆t3 = ∆t , . . . , ∆tn = ∆t , (5.19)
de modo que ∆t = (t− t0)/n, ou seja:
t− t0 = n∆t . (5.20)
Os instantes t1, t2,..., tn sera˜o escolhidos como os instantes finais dos res-
pectivos intervalos, como indicado na figura 5.4:
t0
∆t ∆t ∆t ∆t ∆t ∆t
tn = tt1 t2 t3 t4 tn−2 tn−1
Fig. 5.4: Subintervalos usados no ca´lculo da integral da func¸a˜o (5.18).
Temos enta˜o:
t1 = ∆t , t2 = 2∆t , t3 = 3∆t , tn = n∆t . (5.21)
Nesses instantes, a func¸a˜o (5.18) assume os valores:
.
fx (t1) = a∆t ,
.
fx (t2) = a 2∆t ,
.
fx (t3) = a 3∆t , . . . ,
.
fx (tn) = a n∆t .
(5.22)
89 CEDERJ
De volta a`s func¸o˜es-movimento
Substituindo (5.19) e (5.22) na soma (5.5), que define a integral, obtemos:
.
fx (t1)∆t1+
.
fx (t2)∆t2 + · · · +
.
fx (tn)∆tn =
= a∆t∆t + a2∆t∆t + a3∆t∆t + · · ·+ an∆t∆t =
= a(∆t)2[1 + 2 + 3 + · · ·+ n] . (5.23)
No lado direito da u´ltima igualdade, aparece a soma da progressa˜o aritme´tica
1, 2, 3,..., n, cujo valor e´ n (1+n)/2. Levando esse resultado em (5.23), obtemos:
.
fx (t1)∆t1+
.
fx (t2)∆t2 + · · · +
.
fx (tn)∆tn =
= a(∆t)2 n
(
1 + n
2
)
=
=
1
2
a (∆t)2(n2 + n) =
=
1
2
a
[
(n∆t)2 + (n∆t)∆t)
]
. (5.24)
Levando em conta, nessa u´ltima expressa˜o, a igualdade n∆t = t − t0,
conforme estabelecemos em (5.20), podemos escrever:
.
fx (t1)∆t1+
.
fx (t2)∆t2 + · · ·
.
fx (tn)∆tn =
=
1
2
a
[
(t− t0)2 + (t− t0)∆t
]
. (5.25)
Substituimos finalmente essa soma na definic¸a˜o de integral (5.5), para obter
a integral de
.
fx (t) = a t, que e´ dada por:∫ t
t0
.
fx (t
′) dt′ =
∫ t
t0
a t′ dt′ = lim
n→∞
∆t→0
1
2
a
[
(t− t0)2 + (t− t0)∆t
]
. (5.26)
Nessa expressa˜o, a e´ uma constante dada e t − t0 e´ a durac¸a˜o do intervalo
total; essas grandezas nada teˆm a ver com as subdiviso˜es que fazemos do intervalo.
Consequ¨entemente, permanecem fixas ao tomarmos o limite indicado em (5.26).
Por outro lado, ao tomarmos o limite em que ∆t vai a zero, o u´ltimo termo em
(5.26) desaparece. Consequ¨entemente, obtemos:∫ t
t0
.
fx (t
′) dt′ =
∫ t
t0
a t′ dt′ =
1
2
a (t− t0)2 . (5.27)
Essa integral nos diz qual a func¸a˜o-movimento que corresponde a` func¸a˜o-
velocidade (5.18). De fato, substituindo (5.27) em (5.7), obtemos a func¸a˜o-movimento:
x = x0 +
1
2
a (t− t0)2 . (5.28)
CEDERJ 90
De volta a`s func¸o˜es-movimento
M ´ODULO 1 - AULA 5
Agora voceˆ sabe como pode ser calculada a integral (5.10). Ela e´ o caso
particular de (5.27) em que a = 10 e t0 = 0.
Vamos agora voltar a` situac¸a˜o na qual a velocidade e´ uma func¸a˜o do tempo
da forma:
vx = a t + b , (5.29)
e a constante b pode ser diferente de zero. Chamando de vx0 a velocidade no
instante t = t0, obtemos: vx0 = a t0 + b, isto e´, a constante b e´ dada por:
b = vx0 − a t0. (5.30)
Substituindo (5.30) em (5.29), podemos escrever a func¸a˜o-velocidade na
forma:
vx =
.
fx (t) = v0x + a (t− t0) . (5.31)
A integral dessa func¸a˜o-velocidade e´:∫ t
t0
.
fx (t
′) dt′ =
∫ t
t0
[
vx0 + a (t
′ − t0)
]
dt′ =
= vx0 (t− t0) + 1
2
a (t− t0)2 . (5.32)
Deixaremos a obtenc¸a˜o dessa integral como um exercı´cio para voceˆ fazer.
Voceˆ simplificara´ o seu trabalho seguindo algumas recomendac¸o˜es. A primeira e´
que voceˆ deve usar a expressa˜o da velocidade em termos da constante b, como na
equac¸a˜o (5.29). Calcule, portanto, a integral:∫ t
t0
.
fx (t
′) dt′ =
∫ t
t0
(b + a t′) dt′ . (5.33)
Na resposta final, use (5.30) para eliminar a constante b em favor de v0x e
t0 e chegar ao resultado (5.32). A segunda recomendac¸a˜o e´ que voceˆ deve tomar
como modelo para seus ca´lculos o procedimento que seguimos para obter (5.16)
e (5.27). Finalmente, observe que, ao calcular (5.33), voceˆ pode organizar os seus
resultados de modo a obter duas somas: uma igual a` que aparece no ca´lculo de
(5.27) e outra igual a` que aparece no ca´lculo de (5.16).
Substituindo (5.33) em (5.7), obtemos a func¸a˜o-movimento que correspon-
de a` func¸a˜o-velocidade (5.31):
x = x0 + vx0 (t− t0) + 1
2
a (t− t0)2 . (5.34)
Observe que as duas primeiras integrais que calculamos sa˜o casos particu-
lares da (5.32). De fato, fazendo a = 0 em (5.32), obtemos o resultado (5.16), e
fazendo vx0 = 0 em (5.32), obtemos o resultado (5.27).
91 CEDERJ
De volta a`s func¸o˜es-movimento
A func¸a˜o-movimento dada em (5.34) descreve o movimento retilı´neo no
qual as velocidades sa˜o dadas pela func¸a˜o (5.31). O movimento retilı´neo descrito
pela func¸a˜o (5.34) e´ chamado de movimento retilı´neo uniformemente variado,
ou de MRUV. Quando uma pedra cai de uma altura na˜o muito grande, ou quando
uma bolinha rola abaixo em um plano inclinado, os movimentos observados sa˜o,
pelo menos aproximadamente, do tipo MRUV. Na equac¸a˜o (5.34), que especifica
esse movimento, temos, ale´m de t e x, as seguintes constantes: t0, x0, vx0 e a.
Sabemos que t0 e´ o instante que escolhemos para chamar de instante inicial e x0
e vx0 sa˜o, respectivamente, a posic¸a˜o e a velocidade no instante inicial t0. Para
entender o significado da constante a voltemos a` equac¸a˜o (5.31). Dela obtemos
o fato de que, durante um tempo t − t0, a velocidade da partı´cula no MRUV tem
uma variac¸a˜o vx − vx0 dada por a(t − t0). Quanto maior o mo´dulo da constante
a, maior a variac¸a˜o da velocidade no intervalo de t0 a t. Desse modo, a determina
qua˜o ra´pido varia a velocidade da partı´cula. Na aula 7, estudaremos como se
descreve a rapidez com que varia a velocidade de um movimento. Voltaremos
enta˜o a considerar o significado da constante a da func¸a˜o-movimento (5.34), que
descreve o MRUV.
Para finalizar esta sec¸a˜o, note que tomando o instante inicial t0 = 0, a
func¸a˜o-movimento (5.34) do MRUV assume a forma:
x = x0 + vx0 t +
1
2
a t2 . (5.35)
Exemplo 5.2
Suponha que a func¸a˜o-velocidade de uma partı´cula seja dada por vx