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17405_Fisica1A_Aulas_1a12_modulo_1_Volume_01

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ao contra´rio de w. Nesse caso, temos:
d
du
(c w) = c
dw
du
, (5.44)
isto e´, a derivada de uma constante vezes uma func¸a˜o e´ igual a` constante vezes a
derivada da func¸a˜o. Por exemplo:
d
du
(5 u3) = 5
d
du
u3 = 5 · 3u2 = 15 u2 . (5.45)
Consideremos duas func¸o˜es f1 e f2 da mesma varia´vel u e representemos
os seus valores, para um mesmo u, por w1 e w2, respectivamente: w1 = f1(u)
w2 = f2(u). Temos enta˜o:
d
du
(w1 + w2) =
dw1
du
+
dw2
du
, (5.46)
isto e´, a derivada da soma de duas func¸o˜es e´ a soma das derivadas das func¸o˜es.
Por exemplo:
d
du
(u3 + u5) =
d
du
u3 +
d
du
u5 = 3u2 + 5u4 . (5.47)
Se em vez de somar as duas func¸o˜es no´s as multiplicarmos, obtemos:
d
du
(w1 · w2) = dw1
du
· w2 + w1 · dw2
du
, (5.48)
isto e´, a derivada do produto de duas func¸o˜es e´ igual a` derivada da primeira vezes
a segunda, mais a primeira vezes a derivada da segunda.
Voceˆ na˜o deve se preocupar em decorar essas regras. Recorra a elas no
futuro, a` medida que se fizerem necessa´rias.
Passemos agora a` integral de uma func¸a˜o gene´rica, como f , definida em
(5.36). ´E oportuno, nesse momento, dar uma olhada na definic¸a˜o de integral
da func¸a˜o-movimento, a equac¸a˜o (5.5) desta aula. Podemos, tambe´m, para uma
func¸a˜o f arbitra´ria, definir integral de f , no intervalo de u0 a u, como sendo o
limite:∫ u
u0
f(u′) du′ = lim
n→∞
∆u→0
[
f(u1)∆u1 + f(u2)∆u2 + · · ·+ f(un)∆un
]
, (5.49)
onde todos os sı´mbolos teˆm significados similares aos da definic¸a˜o (5.5).
Isso significa que foram dados quatro passos. Em primeiro lugar, o intervalo
[u0, u] foi “particionado” em n subintervalos de comprimentos ∆u1, ∆u2,... ∆un.
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De volta a`s func¸o˜es-movimento
M ´ODULO 1 - AULA 5
Em segundo lugar, dentro dos subintervalos, foram escolhidos os respectivos va-
lores u1, u2,... un. Em terceiro lugar, formou-se a soma:
f(u1)∆u1 + f(u2)∆u2 + · · ·+ f(un)∆un .
Finalmente, tomou-se o limite dessa soma, quando o nu´mero n de subdi-
viso˜es cresce indefinidamente e o comprimento de cada intervalo da partic¸a˜o vai
a zero. Quando esses passos nos levam a um valor bem determinado, na˜o impor-
tando a maneira como foram realizados (por exemplo, como os valores u1, u2, ...,
un foram escolhidos dentro de cada subintervalo), dizemos que existe a integral
de f no intervalo [u0, u].
Um exemplo e´ dado pela integral da func¸a˜o f(u) = u no intervalo de 0 a u:
∫ u
0
f(u′) du′ =
∫ u
0
u′ du′ =
u2
2
. (5.50)
Na verdade, ja´ calculamos essa integral, como voceˆ pode verificar tomando,
na equac¸a˜o (5.32), vx0 = 0, t0 = 0 e a = 1.
Partindo-se da definic¸a˜o de integral (5.49), e´ possı´vel demonstrar diversas
propriedades que sa˜o muito u´teis para fazer ca´lculos. Vamos citar algumas dessas
propriedades.
• Se u1, u2 e u3 sa˜o treˆs nu´meros no domı´nio da func¸a˜o f , enta˜o:
∫ u2
u1
f(u′) du′ +
∫ u3
u2
f(u′) du′ =
∫ u3
u1
f(u′) du′ . (5.51)
• Se c e´ uma constante, enta˜o:
∫ u2
u1
c f(u′) du′ = c
∫ u2
u1
f(u′) du′ , (5.52)
em qualquer intervalo [u1, u2] no domı´nio de f , isto e´, a integral de uma
constante vezes uma func¸a˜o e´ igual a` constante vezes a integral da func¸a˜o.
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De volta a`s func¸o˜es-movimento
• Se f e g sa˜o duas func¸o˜es da mesma varia´vel u, enta˜o:∫ u2
u1
[f(u′) + g(u′)] du′ =
∫ u2
u1
f(u′) du′ +
∫ u2
u1
g(u′) du′ , (5.53)
em qualquer intervalo [u1, u2] contido nos domı´nios de f e g, isto e´, a inte-
gral da soma de duas func¸o˜es e´ a soma das integrais das func¸o˜es.
Deixamos por u´ltimo a propriedade mais importante da integral, por isso
mesmo chamada teorema fundamental do ca´lculo integral. Para entender o que
afirma esse teorema, comecemos por considerar como dada a func¸a˜o f em (5.36).
Uma func¸a˜o F e´ chamada de primitiva de f se a sua derivada e´ igual a f :
F ′(u) = f(u) . (5.54)
Por exemplo: uma primitiva de f(u) = u2 e´ F (u) = u3/3, pois a derivada
de F e´ f : F ′(u) = u2. Note que uma func¸a˜o nunca tem apenas uma primitiva, pois
somando-se uma constante a uma primitiva, a func¸a˜o resultante tambe´m e´ primi-
tiva. No caso de f(u) = u2 e sua primitiva
F (u) = u3/3, que acabamos de considerar, note que F1(u) = 1 + u3/3 tambe´m e´
primitiva de f , pois a derivada de F1 e´ igual a f . Pois bem, o teorema fundamental
do ca´lculo integral afirma que, se F e´ uma primitiva de f , enta˜o a integral de f no
intervalo [u1, u2] e´ igual a` variac¸a˜o da primitiva F nesse intervalo:∫ u2
u1
f(u′) du′ = F (u2)− F (u1) . (5.55)
Em geral, esse teorema simplifica enormemente o ca´lculo de uma integral,
pois a obtenc¸a˜o de uma primitiva e´ normalmente mais simples do que o ca´lculo
do limite de somas que aparece na definic¸a˜o (5.49) de integral. Um exemplo desse
teorema e´ dado na equac¸a˜o (5.50). Nesse caso, uma primitiva da func¸a˜o f(u) = u
e´ a func¸a˜o F (u) = u2/2, de modo que a equac¸a˜o (5.50) e´ a aplicac¸a˜o do teorema
(5.55) ao caso dessas func¸o˜es.
Voceˆ vera´ as demonstrac¸o˜es dessas propriedades da integral em seu curso de
ca´lculo. Prestando bastante atenc¸a˜o no resultado que obtivemos em (5.8), vemos
que, de algum modo, ja´ demonstramos o teorema fundamental do ca´lculo integral.
De fato, isso fica claro apo´s mudarmos em (5.8) alguns sı´mbolos. Primeiramente,
note que, em (5.8), x0 e´ igual a fx(t0). Reescreva enta˜o (5.8) substituindo x0
por fx(t0). Agora observe que, sendo fx a func¸a˜o-movimento, sua derivada da´
a func¸a˜o-velocidade
.
fx, isto e´, a func¸a˜o-movimento e´ uma primitiva da func¸a˜o-
velocidade. Substitua enta˜o, em (5.8),
.
fx por f e fx por F . Finalmente, troque
o nome da varia´vel t para u. A fo´rmula final e´ o teorema fundamental do ca´lculo
integral (5.55)!
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De volta a`s func¸o˜es-movimento
M ´ODULO 1 - AULA 5
Exemplo 5.3
´E muito comum encontrar sistemas fı´sicos com movimentos vibrato´rios, como
por exemplo: as cordas de um viola˜o ou de um piano; os peˆndulos de relo´gios
de parede, as grandes pontes ou grandes arranha-ce´us, ou mesmo os a´tomos de
um cristal devido a` agitac¸a˜o te´rmica. Alguns dentre os movimentos vibrato´rios
sa˜o perio´dicos, ou seja, se repetem com perfeita regularidade. Um movimento
perio´dico de extrema importaˆncia e´ o chamado movimento harmoˆnico (voceˆ es-
tudara´ detalhadamente esse movimento mais adiante, no curso de Fı´sica II). Esse
exemplo ilustra alguns aspectos do movimento harmoˆnico em uma dimensa˜o.
Seja a velocidade de uma partı´cula dada por vx = B cos(ωt), onde B e ω
sa˜o constantes reais (a constante B, nesse caso, nada mais e´ do que a velocidade
inicial da partı´cula). Considere ainda que ω esteja dada em radianos por segundo,
de modo que ωt seja uma quantidade adimensional, cujo valor corresponda ao
argumento do cosseno em radianos. Para calcular o deslocamento da partı´cula no
intervalo [0, t], temos de encontrar uma primitiva da func¸a˜o:f : t �−→ f(t) =
B cos(ωt). Usando enta˜o o fato de que:
d
dt
[B sen(ωt)] = ωB cos(ωt) ,
podemos escrever para o deslocamento:
x− x0 =
∫ t
0
B cos(ωt′) dt′ =
{
B
ω
sen(ωt′)
} ∣∣∣∣∣
t
0
=
B
ω
sen(ωt) .
Para determinarmos a func¸a˜o de movimento, necessitamos ainda dar a posi-
c¸a˜o da partı´cula em algum instante. Vale enfatizar aqui que as constantes B e
ω sa˜o consideradas como dados do problema. Apenas a constante x0 na˜o foi
especificada ainda. Para que na˜o haja du´vidas quanto a isso, vamos dar valores
nume´ricos para as constantes B e ω. Por exemplo, consideremos que B = 8m e
ω = 2rad/s. Com isso, temos:
x− x0 = 4 sen(2t) .
Novamente ficou claro que o conhecimento da func¸a˜o-velocidade determina
somente os deslocamentos da partı´cula, mas na˜o a sua func¸a˜o-movimento. No
entanto, se dermos a sua posic¸a˜o em um u´nico instante, seremos capazes