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17405_Fisica1A_Aulas_1a12_modulo_1_Volume_01

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terminar sua posic¸a˜o em qualquer outro instante. Por exemplo, suponha que em
t = (π/4)s a partı´cula esteja na origem. Com isso, podemos determinar o valor
de x0:
0 = x0 + 4 sen(π/2) =⇒ x0 = −4m .
99 CEDERJ
De volta a`s func¸o˜es-movimento
Substituindo esse valor na expressa˜o anterior para o deslocamento, encon-
tramos:
x = −4 + 4 sen(2t) = 4[sen(2t)− 1] .
Uma vez que |sen(2t)| ≤ 1, concluı´mos que a partı´cula oscila entre as
posic¸o˜es−8m e 0m. Analisando as func¸o˜es de posic¸a˜o e de velocidade da partı´cula,
concluı´mos tambe´m que a cada π segundos ela retorna a` mesma posic¸a˜o com
a mesma velocidade (pense na periodicidade das func¸o˜es seno e cosseno). O
perı´odo do movimento e´, nesse caso, igual a π segundos.
Exemplo 5.4
Nesse exemplo, vamos ilustrar movimentos de partı´culas cujas velocidades va˜o
diminuindo, mas de um modo cada vez mais lento. Especificamente, vamos con-
siderar um decaimento exponencial para a velocidade, dado por:
vx = v0 e
−t/τ ,
onde a constante v0 corresponde a` velocidade inicial da partı´cula e τ e´ uma cons-
tante com dimensa˜o de tempo caracterı´stica do problema.
Esse tipo de movimento pode
simular com boa aproximac¸a˜o,
por exemplo, o movimento
retilı´neo de um barco num lago
que, devido a` resisteˆncia
oferecida pela a´gua, diminui
gradativamente a sua velocidade.
Novamente, para na˜o confundirmos as constantes conhecidas do problema
(v0 e τ ) com a constante desconhecida que surge no processo de integrac¸a˜o, vamos
dar valores nume´ricos para v0 e τ . Considere enta˜o que v0 = 5m/s e τ = 10s, de
modo que:
vx = 5 e
−t/10 .
Para determinarmos o deslocamento da partı´cula num intervalo qualquer,
devemos encontrar uma primitiva da func¸a˜o exponencial. Usando enta˜o o fato de
que:
d
dt
(
eAt
)
= AeAt ,
onde A e´ uma constante, obtemos para o deslocamento no intervalo [0, t]:
x− x0 =
∫ t
0
5 e−t
′/10 dt′ = 5× (−10)
{
e−t
′/10
} ∣∣∣t
0
= 50
{
1− e−t/10} .
O deslocamento total da partı´cula, supondo que o movimento tenha iniciado
em t = 0s, e´ de 50m, pois quando t −→∞, a exponencial escrita acima se anula.
A determinac¸a˜o da constante x0 (posic¸a˜o inicial da partı´cula) so´ e´ possı´vel
se a sua posic¸a˜o em algum instante for dada. Por exemplo, se em t = ∞ a
partı´cula estiver na origem, temos:
0− x0 = 50
{
1− e−∞/10} = 50 =⇒ x0 = −50m .
CEDERJ 100
De volta a`s func¸o˜es-movimento
M ´ODULO 1 - AULA 5
Nesse caso, a func¸a˜o-movimento da partı´cula e´ dada por:
x = −50 e−t/10 .
Exemplo 5.5
Nesse exemplo, vamos utilizar o teorema fundamental do ca´lculo para resolver
explicitamente uma integral e aproveitar a oportunidade para verificar uma impor-
tante propriedade do processo de integrac¸a˜o. Consideremos a integral
∫ 3
0
(
2
3
t + 4t3
)
dt .
Pelo teorema fundamental do ca´lculo, para resolveˆ-la devemos encontrar
uma func¸a˜o primitiva da func¸a˜o que esta´ sendo integrada. Em outras palavras, de-
vemos encontrar alguma func¸a˜o F cuja derivada nos fornec¸a a func¸a˜o
f : t �−→ f(t) = (2/3)t + 4t3. Na˜o e´ difı´cil perceber que uma possibilidade e´
a seguinte (voceˆ saberia encontrar uma outra?):
F : t �−→ F (t) = t
2
3
+ t4 .
Consequ¨entemente, o valor da integral e´ dado por:
∫ 3
0
(
2
3
t + 4t3
)
dt =
{
t2
3
+ t4
} ∣∣∣∣∣
3
0
= 3 + 81 = 84 .
Vamos agora recalcular essa integral, mas usando uma de suas propriedades
enunciadas no texto, a saber:
∫ 3
0
(
2
3
t + 4t3
)
dt =
∫ 1
0
(
2
3
t + 4t3
)
dt +
∫ 3
1
(
2
3
t + 4t3
)
dt
Resolvendo cada uma das integrais que aparece no lado direito da u´ltima
equac¸a˜o de modo ana´logo ao que acabamos de fazer, obtemos:
101 CEDERJ
De volta a`s func¸o˜es-movimento
∫ 3
0
(
2
3
t + 4t3
)
dt =
{
t2
3
+ t4
} ∣∣∣∣∣
1
0
+
{
t2
3
+ t4
} ∣∣∣∣∣
3
1
=
=
1
3
+ 1 +
9− 1
3
+ 81− 1 =
= 84 , (5.56)
de acordo com o ca´lculo anterior. Note que essa propriedade da integrac¸a˜o fica
completamente o´bvia se, em lugar de pensar na integral como o limite de uma
soma, utilizarmos o teorema fundamental do ca´lculo.
Resumo
Dada a func¸a˜o-velocidade de uma partı´cula e a sua posic¸a˜o em um instante
particular, e´ possı´vel obter a sua func¸a˜o-movimento, ou seja, e´ possı´vel descobrir
o seu movimento. A passagem da func¸a˜o-velocidade para a func¸a˜o-movimento
e´ feita por meio do conceito matema´tico de integral. Ter a mesma velocidade
me´dia em qualquer intervalo de tempo e ter velocidade instantaˆnea constante sa˜o
propriedades equivalentes que determinam ser o movimento retilı´neo e uniforme.
Obtivemos a func¸a˜o-movimento do MRU e do MRUV usando explicitamente o
conceito matema´tico de integral. Finalizamos a aula com uma sec¸a˜o sobre deriva-
das e integral, onde, entre outras coisas, apresentamos o teorema fundamental do
ca´lculo.
Questiona´rio
1. A partir da func¸a˜o-movimento de uma partı´cula, podemos obter a sua fun-
c¸a˜o-velocidade. E a recı´proca e´ verdadeira, ou seja, conhecendo-se a func¸a˜o-
velocidade de uma partı´cula podemos obter a sua func¸a˜o-movimento?
2. Duas partı´culas que tenham func¸o˜es-movimento ideˆnticas tera˜o obrigato-
riamente func¸o˜es-velocidade tambe´m ideˆnticas. Mas se duas partı´culas
possuirem func¸o˜es-velocidade ideˆnticas tera˜o obrigatoriamente as mesmas
func¸o˜es-movimento?
3. O que significa, do ponto de vista matema´tico, a integral de uma func¸a˜o
F : t �−→ F (t) de t1 a t2?
4. Como o deslocamento de uma partı´cula entre os instantes t1 e t2 pode ser
obtido a partir de sua func¸a˜o-velocidade?
CEDERJ 102
De volta a`s func¸o˜es-movimento
M ´ODULO 1 - AULA 5
5. Qual e´ a definic¸a˜o de MRU usando o conceito de velocidade me´dia e qual e´
a sua definic¸a˜o usando o conceito de velocidade instantaˆnea?
6. Defina func¸a˜o primitiva de uma func¸a˜o f e crie voceˆ mesmo dois exem-
plos, isto e´, defina duas func¸o˜es f1 e f2 e encontre para cada uma delas
uma primitiva.
7. Quantas func¸o˜es primitivas de uma dada func¸a˜o f existem?
8. Enuncie o teorema fundamental do ca´lculo e utilize-o para calcular as inte-
grais:
∫ 3
1
5 dt e
∫ 7
2
10t dt.
Problemas propostos
1. Duas partı´culas, 1 e 2, possuem a mesma func¸a˜o-velocidade f˙x, mas suas
posic¸o˜es num mesmo instante, t0, sa˜o dadas, respectivamente, por 10m e
15m. Embora seja bastante intuitivo perceber que a distaˆncia entre
elas permanec¸a inalterada com o passar do tempo, demonstre esse
fato matematicamente.
2. Considere a func¸a˜o-velocidade de uma partı´cula vx = 4 + 2t. Sabendo
que a sua posic¸a˜o inicial e´ x0 = 10m, determine a sua func¸a˜o-movimento
utilizando os me´todos sugeridos:
(a) Por integrac¸a˜o direta da func¸a˜o-velocidade.
(b) Usando o fato de que no MRUV a velocidade me´dia num dado in-
tervalo e´ a me´dia dos valores que a velocidade possui nos extremos
desse intervalo.
3. A func¸a˜o-velocidade de uma partı´cula e´ dada por vx = −2 + 3t2. Sabe-se
ainda que em t = 2s a sua posic¸a˜o e´ −16m.
(a) Encontre a sua func¸a˜o-movimento.
(b) Determine as posic¸o˜es da partı´cula nos instantes t = 0s e t = 3s.
4. Considere a mesma func¸a˜o-velocidade do problema anterior. Encontre a
correspondente func¸a˜o-movimento supondo que a posic¸a˜o da partı´cula em
t = 3s e´ −7m. Verifique que o seu resultado coincide com o encontrado no
item (a) do problema anterior e explique o porqueˆ.
103 CEDERJ
De volta a`s func¸o˜es-movimento
5. Para cada uma das func¸o˜es-velocidade escritas abaixo, encontre os respec-
tivos deslocamentos no intervalo [0, t].
(a) vx = 5 + t.
(b) vx = 3− 2t.
(c) vx = −5 + 4t.
(d) vx = 1 + t + t2.
6. A func¸a˜o-velocidade de uma partı´cula num certo movimento perio´dico e´
dada por vx = 20[cos(4t) − sen(4t)].