273 pág.

Pré-visualização | Página 24 de 50
de de- terminar sua posic¸a˜o em qualquer outro instante. Por exemplo, suponha que em t = (π/4)s a partı´cula esteja na origem. Com isso, podemos determinar o valor de x0: 0 = x0 + 4 sen(π/2) =⇒ x0 = −4m . 99 CEDERJ De volta a`s func¸o˜es-movimento Substituindo esse valor na expressa˜o anterior para o deslocamento, encon- tramos: x = −4 + 4 sen(2t) = 4[sen(2t)− 1] . Uma vez que |sen(2t)| ≤ 1, concluı´mos que a partı´cula oscila entre as posic¸o˜es−8m e 0m. Analisando as func¸o˜es de posic¸a˜o e de velocidade da partı´cula, concluı´mos tambe´m que a cada π segundos ela retorna a` mesma posic¸a˜o com a mesma velocidade (pense na periodicidade das func¸o˜es seno e cosseno). O perı´odo do movimento e´, nesse caso, igual a π segundos. Exemplo 5.4 Nesse exemplo, vamos ilustrar movimentos de partı´culas cujas velocidades va˜o diminuindo, mas de um modo cada vez mais lento. Especificamente, vamos con- siderar um decaimento exponencial para a velocidade, dado por: vx = v0 e −t/τ , onde a constante v0 corresponde a` velocidade inicial da partı´cula e τ e´ uma cons- tante com dimensa˜o de tempo caracterı´stica do problema. Esse tipo de movimento pode simular com boa aproximac¸a˜o, por exemplo, o movimento retilı´neo de um barco num lago que, devido a` resisteˆncia oferecida pela a´gua, diminui gradativamente a sua velocidade. Novamente, para na˜o confundirmos as constantes conhecidas do problema (v0 e τ ) com a constante desconhecida que surge no processo de integrac¸a˜o, vamos dar valores nume´ricos para v0 e τ . Considere enta˜o que v0 = 5m/s e τ = 10s, de modo que: vx = 5 e −t/10 . Para determinarmos o deslocamento da partı´cula num intervalo qualquer, devemos encontrar uma primitiva da func¸a˜o exponencial. Usando enta˜o o fato de que: d dt ( eAt ) = AeAt , onde A e´ uma constante, obtemos para o deslocamento no intervalo [0, t]: x− x0 = ∫ t 0 5 e−t ′/10 dt′ = 5× (−10) { e−t ′/10 } ∣∣∣t 0 = 50 { 1− e−t/10} . O deslocamento total da partı´cula, supondo que o movimento tenha iniciado em t = 0s, e´ de 50m, pois quando t −→∞, a exponencial escrita acima se anula. A determinac¸a˜o da constante x0 (posic¸a˜o inicial da partı´cula) so´ e´ possı´vel se a sua posic¸a˜o em algum instante for dada. Por exemplo, se em t = ∞ a partı´cula estiver na origem, temos: 0− x0 = 50 { 1− e−∞/10} = 50 =⇒ x0 = −50m . CEDERJ 100 De volta a`s func¸o˜es-movimento M ´ODULO 1 - AULA 5 Nesse caso, a func¸a˜o-movimento da partı´cula e´ dada por: x = −50 e−t/10 . Exemplo 5.5 Nesse exemplo, vamos utilizar o teorema fundamental do ca´lculo para resolver explicitamente uma integral e aproveitar a oportunidade para verificar uma impor- tante propriedade do processo de integrac¸a˜o. Consideremos a integral ∫ 3 0 ( 2 3 t + 4t3 ) dt . Pelo teorema fundamental do ca´lculo, para resolveˆ-la devemos encontrar uma func¸a˜o primitiva da func¸a˜o que esta´ sendo integrada. Em outras palavras, de- vemos encontrar alguma func¸a˜o F cuja derivada nos fornec¸a a func¸a˜o f : t �−→ f(t) = (2/3)t + 4t3. Na˜o e´ difı´cil perceber que uma possibilidade e´ a seguinte (voceˆ saberia encontrar uma outra?): F : t �−→ F (t) = t 2 3 + t4 . Consequ¨entemente, o valor da integral e´ dado por: ∫ 3 0 ( 2 3 t + 4t3 ) dt = { t2 3 + t4 } ∣∣∣∣∣ 3 0 = 3 + 81 = 84 . Vamos agora recalcular essa integral, mas usando uma de suas propriedades enunciadas no texto, a saber: ∫ 3 0 ( 2 3 t + 4t3 ) dt = ∫ 1 0 ( 2 3 t + 4t3 ) dt + ∫ 3 1 ( 2 3 t + 4t3 ) dt Resolvendo cada uma das integrais que aparece no lado direito da u´ltima equac¸a˜o de modo ana´logo ao que acabamos de fazer, obtemos: 101 CEDERJ De volta a`s func¸o˜es-movimento ∫ 3 0 ( 2 3 t + 4t3 ) dt = { t2 3 + t4 } ∣∣∣∣∣ 1 0 + { t2 3 + t4 } ∣∣∣∣∣ 3 1 = = 1 3 + 1 + 9− 1 3 + 81− 1 = = 84 , (5.56) de acordo com o ca´lculo anterior. Note que essa propriedade da integrac¸a˜o fica completamente o´bvia se, em lugar de pensar na integral como o limite de uma soma, utilizarmos o teorema fundamental do ca´lculo. Resumo Dada a func¸a˜o-velocidade de uma partı´cula e a sua posic¸a˜o em um instante particular, e´ possı´vel obter a sua func¸a˜o-movimento, ou seja, e´ possı´vel descobrir o seu movimento. A passagem da func¸a˜o-velocidade para a func¸a˜o-movimento e´ feita por meio do conceito matema´tico de integral. Ter a mesma velocidade me´dia em qualquer intervalo de tempo e ter velocidade instantaˆnea constante sa˜o propriedades equivalentes que determinam ser o movimento retilı´neo e uniforme. Obtivemos a func¸a˜o-movimento do MRU e do MRUV usando explicitamente o conceito matema´tico de integral. Finalizamos a aula com uma sec¸a˜o sobre deriva- das e integral, onde, entre outras coisas, apresentamos o teorema fundamental do ca´lculo. Questiona´rio 1. A partir da func¸a˜o-movimento de uma partı´cula, podemos obter a sua fun- c¸a˜o-velocidade. E a recı´proca e´ verdadeira, ou seja, conhecendo-se a func¸a˜o- velocidade de uma partı´cula podemos obter a sua func¸a˜o-movimento? 2. Duas partı´culas que tenham func¸o˜es-movimento ideˆnticas tera˜o obrigato- riamente func¸o˜es-velocidade tambe´m ideˆnticas. Mas se duas partı´culas possuirem func¸o˜es-velocidade ideˆnticas tera˜o obrigatoriamente as mesmas func¸o˜es-movimento? 3. O que significa, do ponto de vista matema´tico, a integral de uma func¸a˜o F : t �−→ F (t) de t1 a t2? 4. Como o deslocamento de uma partı´cula entre os instantes t1 e t2 pode ser obtido a partir de sua func¸a˜o-velocidade? CEDERJ 102 De volta a`s func¸o˜es-movimento M ´ODULO 1 - AULA 5 5. Qual e´ a definic¸a˜o de MRU usando o conceito de velocidade me´dia e qual e´ a sua definic¸a˜o usando o conceito de velocidade instantaˆnea? 6. Defina func¸a˜o primitiva de uma func¸a˜o f e crie voceˆ mesmo dois exem- plos, isto e´, defina duas func¸o˜es f1 e f2 e encontre para cada uma delas uma primitiva. 7. Quantas func¸o˜es primitivas de uma dada func¸a˜o f existem? 8. Enuncie o teorema fundamental do ca´lculo e utilize-o para calcular as inte- grais: ∫ 3 1 5 dt e ∫ 7 2 10t dt. Problemas propostos 1. Duas partı´culas, 1 e 2, possuem a mesma func¸a˜o-velocidade f˙x, mas suas posic¸o˜es num mesmo instante, t0, sa˜o dadas, respectivamente, por 10m e 15m. Embora seja bastante intuitivo perceber que a distaˆncia entre elas permanec¸a inalterada com o passar do tempo, demonstre esse fato matematicamente. 2. Considere a func¸a˜o-velocidade de uma partı´cula vx = 4 + 2t. Sabendo que a sua posic¸a˜o inicial e´ x0 = 10m, determine a sua func¸a˜o-movimento utilizando os me´todos sugeridos: (a) Por integrac¸a˜o direta da func¸a˜o-velocidade. (b) Usando o fato de que no MRUV a velocidade me´dia num dado in- tervalo e´ a me´dia dos valores que a velocidade possui nos extremos desse intervalo. 3. A func¸a˜o-velocidade de uma partı´cula e´ dada por vx = −2 + 3t2. Sabe-se ainda que em t = 2s a sua posic¸a˜o e´ −16m. (a) Encontre a sua func¸a˜o-movimento. (b) Determine as posic¸o˜es da partı´cula nos instantes t = 0s e t = 3s. 4. Considere a mesma func¸a˜o-velocidade do problema anterior. Encontre a correspondente func¸a˜o-movimento supondo que a posic¸a˜o da partı´cula em t = 3s e´ −7m. Verifique que o seu resultado coincide com o encontrado no item (a) do problema anterior e explique o porqueˆ. 103 CEDERJ De volta a`s func¸o˜es-movimento 5. Para cada uma das func¸o˜es-velocidade escritas abaixo, encontre os respec- tivos deslocamentos no intervalo [0, t]. (a) vx = 5 + t. (b) vx = 3− 2t. (c) vx = −5 + 4t. (d) vx = 1 + t + t2. 6. A func¸a˜o-velocidade de uma partı´cula num certo movimento perio´dico e´ dada por vx = 20[cos(4t) − sen(4t)].