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Com isso, recuperamos completamente a func¸a˜o f a partir do seu gra´fico.
Devido ao fato de o gra´fico conter uma informac¸a˜o completa sobre a func¸a˜o, e´
comum indica´-lo com a mesma letra que simboliza a func¸a˜o, exatamente como
fazemos na figura 6.3 que aparece a seguir.
109 CEDERJ
Gra´ficos do movimento
Exemplo 6.1
Um exercı´cio instrutivo para se fazer com o gra´fico de uma func¸a˜o f , do tipo (6.1),
consiste em imaginar a varia´vel u do domı´nio varrendo todos os seus valores e
acompanhar as variac¸o˜es correspondentes do valor w da func¸a˜o.
w1
w2
w3
w4
w
O u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 u
f
Fig. 6.3: Variac¸o˜es de u provocam variac¸o˜es de w.
Vamos usar a figura 6.3 para fazer um tal exercı´cio. Para identificar algumas
variac¸o˜es, marcamos 7 valores no domı´nio, u1, u2, u3, u4, u5, u6 e u7, bem como
4 valores no contradomı´nio, w1, w2, w3 e w4. Imaginemos u crescendo de u1 a u7
e vejamos como varia o valor da func¸a˜o nesse intervalo. Quando u vai de u1 a u2,
o valor da func¸a˜o cresce de w2 ate´ w3. Continuando u a crescer de u2 a u3, temos
agora o valor da func¸a˜o diminuindo, de w3 ate´ w1. De u3 a u4, o valor da func¸a˜o
volta a crescer e continua a crescer ate´ u chegar ao valor u6. Note que de u4 a u5 a
variac¸a˜o do valor da func¸a˜o e´ w3−w2, a mesma variac¸a˜o que ocorreu no intervalo
de u1 a u2. No entanto, a variac¸a˜o da func¸a˜o no intervalo [u1, u2] foi mais ra´pida
do que no intervalo [u4, u5], uma vez que o primeiro intervalo e´ menor do que o
segundo. Depois de atingir um valor ma´ximo w4, em u = u6, a func¸a˜o volta a
diminuir de valor, ate´ atingir novamente o valor w1 em u = u7. Escolhemos 7
pontos no domı´nio e 4 no contradomı´nio que julgamos interessantes. Voceˆ esta´
convidado a fazer sua pro´pria escolha nos diversos gra´ficos que forem surgindo.
Gra´fico da func¸a˜o-movimento
Para estudar o movimento retilı´neo, escolhemos um eixo ao longo de sua
trajeto´ria, por exemplo, o eixo OX . Nesse eixo, temos os pontos que a partı´cula
pode ocupar durante seu movimento. Esses pontos sa˜o as posic¸o˜es possı´veis da
partı´cula. Cada ponto do eixo tem uma coordenada x que determina a posic¸a˜o
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Gra´ficos do movimento
M ´ODULO 1 - AULA 6
da partı´cula quando ela se encontra nesse ponto. O movimento da partı´cula e´
dado pela func¸a˜o-movimento, que da´ a posic¸a˜o em cada instante do mesmo. Essa
func¸a˜o, que relaciona posic¸a˜o com tempo, pode ser representada por um gra´fico
cartesiano, com dois eixos ortogonais: o eixo das coordenadas de posic¸a˜o e o
eixo dos instantes do tempo. Esse u´ltimo costuma ser chamado de eixo dos tem-
pos. Para representar, nos desenhos, o eixo dos tempos, escrevemos o sı´mbolo de
tempo t pro´ximo ao eixo. O eixo dos tempos e´ o das abcissas e o eixo OX , onde
ocorre o movimento, o das ordenadas.
Os intervalos no eixo das ordenadas (eixo das posic¸o˜es) representam des-
locamentos e os intervalos no eixo das abcissas (eixo dos tempos) representam
durac¸o˜es. Uma vez que estamos usando o sistema SI de unidades, os desloca-
mentos sa˜o dados em metros e as durac¸o˜es em segundos, a menos que se diga
explicitamente que outras unidades esta˜o sendo usadas.
A figura 6.4 mostra um gra´fico de uma func¸a˜o-movimento fx. ´E interessante
observar como esta˜o representadas nessa figura os treˆs conceitos que aparecem na
equac¸a˜o x = fx(t). Um instante t e´ representado por um ponto no eixo dos
tempos, uma posic¸a˜o x e´ representada por um ponto no eixo OX e a func¸a˜o-
movimento fx e´ representada pela curva que chamamos de gra´fico da func¸a˜o.
X
x
O t t
fx
Fig. 6.4: Gra´fico de uma func¸a˜o-movimento fx.
Note que nesse gra´fico apenas o eixo vertical e´ um eixo de posic¸o˜es. O outro
eixo e´ o eixo dos tempos. A partı´cula se move no eixo das posic¸o˜es. A trajeto´ria da
partı´cula e´ retilı´nea e esta´ nesse eixo. Ela na˜o deve ser confundida com o gra´fico
da func¸a˜o-movimento, que e´ uma curva que representa a func¸a˜o-movimento e na˜o
a trajeto´ria da partı´cula. Embora o gra´fico seja desenhado em um plano, com
um eixo de posic¸o˜es e outro de tempos, ele representa um movimento retilı´neo no
eixo das posic¸o˜es. Uma outra coisa sa˜o os dois eixos de posic¸a˜o, digamos os eixos
OX e OY, usados para representar um movimento na˜o retilı´neo que se processa
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Gra´ficos do movimento
no plano OXY desses eixos, como o movimento descrito no exemplo 5 da Aula
2. Aqui na˜o estamos tratando dessa situac¸a˜o, ja´ que estamos considerando apenas
movimentos retilı´neos.
Vamos analisar o movimento representado na figura 6.5. Nesta figura, apa-
recem as posic¸o˜es x1, x2 e x3 em treˆs instantes respectivos t1, t2 e t3. Note que no
instante t1 a partı´cula esta´ avanc¸ando no sentido positivo do eixoOX e no instante
t2 ela esta´ recuando, movendo-se no sentido negativo do eixo. Ja´ no instante t3
a partı´cula esta´ na posic¸a˜o x3 e esta´ revertendo seu movimento. Ela se aproxima
da posic¸a˜o x3, movendo-se no sentido positivo e se afasta de x3 movendo-se no
sentido negativo. Essas e outras informac¸o˜es podem ser obtidas com um exame
atento do gra´fico da func¸a˜o-movimento.
X
x3
x2
x1
O t1 t2 t3 t
Fig. 6.5: O gra´fico mostra o sentido em que a partı´cula se move e os pontos de retorno, nos quais se inverte o sentido do
movimento.
O gra´fico da figura 6.6 representa um exemplo concreto de func¸a˜o-movi-
mento, a dada em (4.10). Se os seus conhecimentos de func¸o˜es de segundo grau
estiverem em dia, voceˆ na˜o tera´ dificuldades para entender como foi desenhado
o gra´fico a partir da func¸a˜o-movimento x = 2 + 5t2. Examinando-o, podemos
afirmar que, a` medida que o tempo foi passando, a partı´cula foi se aproximando
da origem, movendo-se no sentido negativo do eixo OX , atingiu uma distaˆncia
de 2 metros da origem, quando reverteu seu movimento e prosseguiu, a partir de
enta˜o, em um movimento no sentido positivo do eixo OX , afastando-se sempre
da origem.
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Gra´ficos do movimento
M ´ODULO 1 - AULA 6
X
O t
2m
Fig. 6.6: Gra´fico da func¸a˜o-movimento x = 2 + 5t2.
Gra´fico do MRU
Examinemos agora o gra´fico da func¸a˜o-movimento de um MRU. Ele e´
muito simples, mas tambe´m muito importante. Seja a func¸a˜o-movimento do
MRU:
x = x0 + vx0 t . (6.2)
O gra´fico dessa func¸a˜o e´ uma reta, como a que aparece na figura 6.7, pois e´
uma func¸a˜o linear do tempo (note que essa reta, que representa a func¸a˜o-movimento,
na˜o e´ a trajeto´ria da partı´cula, que se encontra no eixo OX ).
X
O tt
x
x0
Fig. 6.7: Gra´fico de x = x0 + vx0 t.
Se t = 0s, obtemos x = x0 e, portanto, x0 e´ o chamado coeficiente linear
da reta, isto e´, a ordenada do ponto em que ela corta o eixo vertical. Em um
gra´fico do MRU, o coeficiente linear da reta e´ a posic¸a˜o da partı´cula no instante
t = 0s. O coeficiente linear da reta pode ser positivo, indicando que no instante
t = 0s a partı´cula se encontra no semi-eixo positivo; negativo, indicando que
nesse instante ela se encontra no semi-eixo negativo e nulo, indicando que, nesse
instante, ela se encontra na origem.
113 CEDERJ
Gra´ficos do movimento
Coeficiente angular da reta e´ a constante que multiplica a varia´vel t, isto e´,
a velocidade vx0 do MRU, que tambe´m e´ igual a` sua velocidade me´dia (lembre-se
que no MRU as velocidades me´dia e instantaˆnea sa˜o constantes e iguais).
De fato, para calcular o coeficiente angular de uma reta, formamos em qual-
quer ponto dela um triaˆngulo retaˆngulo com um cateto horizontal, um cateto ver-
tical e uma hipotenusa dada por um segmento da reta, como o triaˆngulo P1QP2
indicado na figura 6.8. A medida do cateto horizontal e´ a durac¸a˜o t2 − t1, e a
medida do deslocamento vertical e´ o deslocamento correspondente x2 − x1. O
coeficiente angular da reta e´ dado pela raza˜o entre o cateto oposto e o adjacente:
(x2