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17405_Fisica1A_Aulas_1a12_modulo_1_Volume_01

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− x1)/(t2 − t1).O cateto oposto e´ um intervalo no
eixo vertical das posic¸o˜es; e´ um
deslocamento dado em unidade
de comprimento, digamos em
metros. O cateto adjacente e´ um
intervalo no eixo horizontal dos
tempos; e´ dado em unidades de
tempo, digamos em segundos.
Portanto, o coeficiente angular
tem unidade de metro por
segundo.
Ora, essa raza˜o e´ exatamente a velocidade me´dia do MRU, que na func¸a˜o-
movimento (6.2) e´ representada por vx0. ´E o´bvio que o valor do coeficiente an-
gular na˜o depende do particular triaˆngulo utilizado no seu ca´lculo. Na figura 6.8,
aparecem outros triaˆngulos que poderiam ser utilizados.
X
x2
x1
O t1 t2 t
P1
P2
Q
Fig. 6.8: Alguns triaˆngulos utiliza´veis no ca´lculo do coeficiente angular do gra´fico do MRU.
Para representar o coeficiente angular, e´ comum usar um par de catetos pe-
queninos, como o que aparece a` direita na figura 6.9. Ao lado dos catetos pe-
queninos, podemos exibir o valor do coeficiente angular, no caso, o valor vx0 da
velocidade do MRU. Na figura 6.9, esta˜o especificados os coeficientes linear e an-
gular da do gra´fico do MRU (6.2). O coeficiente angular da reta pode ser positivo,
negativo ou nulo. Se o coeficiente angular e´ nulo, a reta e´ paralela ao eixo dos
tempos. Nesse caso, a velocidade da partı´cula e´ sempre nula e ela se encontra
em repouso no ponto x0. Se girarmos essa reta no sentido anti-hora´rio, sem que
CEDERJ 114
Gra´ficos do movimento
M ´ODULO 1 - AULA 6
ela chegue a ficar perpendicular ao eixo dos tempos, o coeficiente angular vai au-
mentando e tem valores sempre positivos. Nesse caso, temos sempre um MRU no
sentido positivo do eixo OX , tanto mais ra´pido quanto mais girarmos a reta.
No questiona´rio, pede-se o
motivo pelo qual a reta na˜o pode
ser perpendicular ao eixo dos
tempos.
Imaginando novamente que o gra´fico e´ uma reta paralela ao eixo dos tem-
pos, se a girarmos no sentido hora´rio, sem que ela fique perpendicular ao eixo dos
tempos, teremos o seu coeficiente angular negativo e aumentando em mo´dulo. O
MRU e´, nesse caso, no sentido negativo do eixo OX , tanto mais ra´pido quanto
maior for o mo´dulo do coeficiente angular, isto e´, quanto mais girarmos a reta no
sentido hora´rio.
X
x0
tO
vx0
Fig. 6.9: No gra´fico da func¸a˜o-movimento do MRU, x = x0 + vx0 t, a velocidade vx0 e´ o coeficiente angular da reta;
nesta figura esta˜o indicados o coeficiente angular vx0 e o coeficiente linear x0.
Exemplo 6.2
A figura 6.10 mostra os gra´ficos de cinco movimentos retilı´neos uniformes. Le-
vando em conta as informac¸o˜es adquiridas anteriormente sobre o sinal do coefici-
ente angular e o fato de que a velocidade de cada MRU e´ o coeficiente angular de
seu gra´fico, vejamos o que podemos concluir sobre esses movimentos.
Examinando enta˜o os gra´ficos da figura 6.10, podemos dizer que os movi-
mentos fxA e fxB se processam no sentido positivo do eixo OX , sendo fxA mais
ra´pido do que fxB; os movimentos fxC e fxD ocorrem no sentido negativo do eixo
OX , com fxC mais ra´pido do que fxD. Finalmente, o gra´fico de fxE descreve uma
partı´cula em repouso no ponto PE do eixo OX .
115 CEDERJ
Gra´ficos do movimento
X
PE
fxD
tO
fxE
fxC
fxA
fxB
Fig. 6.10: Gra´ficos de cinco movimentos retilı´neos uniformes: fxA, fxB , fxC , fxD e fxE .
Note que o coeficiente angular de uma reta e´ comumente chamado de inclinac¸a˜o
da reta. Devemos guardar esse nome porque e´ muito usado, mas na˜o e´ um nome
muito bom. De fato, inclinac¸a˜o significa primariamente desvio em relac¸a˜o a` ver-
tical, que e´ bem diferente de um desvio em relac¸a˜o a` horizontal (embora no lin-
guajar comum digamos que uma rua tem grande inclinac¸a˜o para significar que sua
direc¸a˜o se desvia muito da horizontal e pouco da vertical). Seria talvez mais apro-
priado chamar o coeficiente angular da reta de elevac¸a˜o da reta, mas infelizmente
esse termo na˜o e´ comum. Em nossas aulas, daremos prefereˆncia a` designac¸a˜o
coeficiente angular.
Resumindo nossa ana´lise do gra´fico do MRU:
dada a func¸a˜o-movimento x = x0 + vx0 t para um MRU, podemos di-
zer que seu gra´fico e´ uma reta cujo coeficiente linear e´ igual a` posic¸a˜o
inicial x0 e o coeficiente angular e´ igual a` velocidade vx0.
Velocidade no gra´fico da func¸a˜o-movimento
Consideremos agora um movimento retilı´neo arbitra´rio, digamos o que tem
func¸a˜o-movimento fx dada no gra´fico da figura 6.11.
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Gra´ficos do movimento
M ´ODULO 1 - AULA 6
X
fx
O
x1
x2
P1
t1
P2
t2
secan(P1, P2)
t
Fig. 6.11: Reta secante que passa pelos pontos P1 e P2 do gra´fico da func¸a˜o-movimento fx.
Ela tambe´m mostra um intervalo [t1, t2] com durac¸a˜o t2 − t1 e o deslocamento
x2 − x1 que a partı´cula sofre nesse intervalo. O ponto P1 do gra´fico relaciona
o instante t1 com a posic¸a˜o x1 da partı´cula nesse instante. Analogamente, ponto
P2 diz que no instante t2 a partı´cula esta´ em x2. Por P1 e P2 passa uma reta
secante. Vamos chamar secan(P1, P2) a reta secante que passa pelos pontos P1
e P2 de uma curva; esse sı´mbolo aparece na figura 6.11. Usando a definic¸a˜o de
velocidade me´dia, e´ fa´cil verificar que o coeficiente angular dessa secante e´ a
velocidade me´dia da partı´cula no intervalo [t1, t2].
Para encontrar no gra´fico da func¸a˜o-movimento a velocidade me´dia
em um certo intervalo, passamos um reta secante pelos pontos do
gra´fico que correspondem aos extremos do intervalo. A velocidade
me´dia e´ o coeficiente angular da reta secante.
A definic¸a˜o (4.4) de velocidade instantaˆnea tambe´m pode ser representada
no gra´fico da func¸a˜o-movimento fx. A figura 6.12 ilustra o caso em que ∆t e´
positivo; voceˆ pode fazer uma figura ana´loga para ilustrar o caso em que ∆t e´
negativo.
O ponto P do gra´fico relaciona o instante t com a posic¸a˜o da partı´cula nesse
instante. O ponto P ′ do gra´fico relaciona o instante t + ∆t com a posic¸a˜o da
partı´cula nesse instante posterior. O ponto P ′ pode ficar ta˜o pro´ximo do ponto P
quanto quisermos; basta para isso tomar o intervalo de tempo ∆t suficientemente
pequeno. Vemos que, quando ∆t tende a zero, o ponto P ′ tende para o ponto P e
a reta secante secan(P, P ′), que passa por P e P ′, transforma-se na reta tangente
ao gra´fico de fx no ponto P . Vamos chamar tang(P ) a reta tangente a uma curva
117 CEDERJ
Gra´ficos do movimento
tang(P )
P ′ secan(P, P ′)
P
∆t
t+∆t ttO
x
X
Fig. 6.12: No limite em que P ′ tende para P a reta secante secan(P, P ‘) se transforma na reta tangente ao gra´fico de fx
no ponto P .
no ponto P ; esse sı´mbolo e´ usado na figura 6.12. O coeficiente angular da reta
secante e´ a raza˜o
∆x
∆t
=
fx(t + ∆t)− fx(t)
∆t
, (6.3)
que aparece na definic¸a˜o (4.4). Quando ∆t tende a zero, temos, por um lado,
que esse coeficiente angular ∆x/∆t se transforma no coeficiente angular da reta
tangente. Por outro lado, quando ∆t tende a zero na definic¸a˜o (4.4), a raza˜o (6.3)
se torna a velocidade da partı´cula no instante t.
Para encontrar no gra´fico da func¸a˜o-movimento a velocidade ins-
tantaˆnea em um certo instante, passamos uma reta tangente pelo
ponto do gra´fico que corresponde a esse instante. A velocidade ins-
tantaˆnea e´ o coeficiente angular da reta tangente.
O coeficiente angular da reta tangente a uma curva e´ chamado tambe´m de
coeficiente angular da curva no ponto de tangeˆncia. Sabendo o coeficiente angu-
lar da curva em um ponto, podemos de imediato dizer, no instante correspondente,
qual o sentido e a rapidez do movimento nesse instante. O sentido e´ dado pelo si-
nal do coeficiente angular, e a rapidez, pelo mo´dulo do coeficiente angular.
Exemplo 6.3
Tomemos o exemplo da figura 6.13 e analisemos as velocidades instantaˆneas em
alguns instantes.
A figura 6.13 mostra as retas tangentes ao gra´fico