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17405_Fisica1A_Aulas_1a12_modulo_1_Volume_01

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tempo da partı´cula no problema 5.
6. A Figura 6.25 mostra o gra´fico da func¸a˜o-movimento versus tempo de uma
certa partı´cula. Nele esta˜o marcados os instantes t1, t2, t3, t4 e t5. Os coe-
ficientes angulares das retas tangentes ao gra´fico sa˜o ma´ximos, em mo´dulo,
nos instantes t1, t3 e t5 e valem, respectivamente, v0, −v0 e v0 (v0 > 0).
x
t2 t3 tt4t1 t5
Fig. 6.25: Gra´fico da posic¸a˜o versus tempo da partı´cula no problema 6.
Esboce o gra´fico de velocidade versus tempo dessa partı´cula. Marque nesse
gra´fico os instantes t1, t2, t3, t4 e t5, assim como os respectivos valores para
a velocidade da partı´cula nesses instantes.
7. A Figura 6.26 mostra o gra´fico da velocidade versus tempo de uma partı´cula.
Nesse gra´fico esta˜o marcados os instantes t1 = 10s e t2 = 20s, assim como
os respectivos valores da velocidade da partı´cula nesses instantes. Sabe-se
ainda que a posic¸a˜o inicial da partı´cula e´ dada por x0 = 0m.
CEDERJ 132
Gra´ficos do movimento
M ´ODULO 1 - AULA 6
vx(m/s)
10 t(s)20
20
Fig. 6.26: Gra´fico da velocidade versus tempo da partı´cula no problema 7.
(a) Determine as posic¸o˜es da partı´cula nos instantes t1 e t2.
(b) Trace o gra´fico da posic¸a˜o da partı´cula versus tempo.
8. A Figura 6.27 mostra o gra´fico da velocidade versus tempo de uma partı´cula.
Nesse gra´fico esta˜o marcados os instantes t1 = 5s, t2 = 15s, t3 = 20s,
t4 = 25s e t5 = 30s, assim como os respectivos valores da velocidade da
partı´cula nesses instantes. Sabe-se ainda que a partı´cula em t = 0 se encon-
tra na origem.
vx(m/s)
15 t(s)
20
5 30
7
−7
Fig. 6.27: Gra´fico da velocidade versus tempo da partı´cula no problema 8.
133 CEDERJ
Gra´ficos do movimento
(a) Determine as posic¸o˜es da partı´cula nos instantes t1, t2, t3, t4 e t5.
(b) Trace o gra´fico da posic¸a˜o da partı´cula versus tempo.
9. Considere o gra´fico da velocidade de uma partı´cula versus tempo ilustrado
na figura a seguir. Nele esta˜o marcados os instantes t1 = 10s, t2 = 20s,
t3 = 30s, t4 = 50s, t5 = 60s, t6 = 70s e t7 = 80s.
vx(m/s)
t(s)10 20
30 50 60
70 80
7
−7
Fig. 6.28: Gra´fico da velocidade versus tempo da partı´cula no problema 9.
(a) Em quais intervalos de tempo a partı´cula esta´ em repouso, em MRU
com velocidade diferente de zero e em MRUV?
(b) Sabendo que em t = 0s a partı´cula esta´ na posic¸a˜o 10m, determine as
posic¸o˜es da partı´cula nos instantes t1, t2, t3, t4, t5, t6 e t7.
(c) Trace o gra´fico da posic¸a˜o versus tempo da partı´cula, indicando nele
as posic¸o˜es calculadas no item anterior.
10. Dado o gra´fico da velocidade versus tempo de uma partı´cula ilustrado na
Figura 6.29, determine em quais instantes a partı´cula volta a` posic¸a˜o ini-
cial. Para resolver esse problema na˜o e´ necessa´rio saber a posic¸a˜o inicial
da partı´cula. Em particular, com o gra´fico de velocidade versus tempo que
foi dado, sequer e´ necessa´rio o valor de v0. Explique por queˆ.
CEDERJ 134
Gra´ficos do movimento
M ´ODULO 1 - AULA 6
vx(m/s)
t(s)4 8 12 16
20
24
28 32
Fig. 6.29: Gra´fico da velocidade versus tempo da partı´cula no problema 10.
11. Suponha que no problema anterior v0 = −10m/s e que x0 = 20m.
(a) Calcule a posic¸a˜o da partı´cula no instante t = 32s.
(b) Calcule a posic¸a˜o da partı´cula em todos os instantes marcados no
gra´fico do problema anterior.
(c) Trace o gra´fico da posic¸a˜o versus tempo indicando, nesse gra´fico, as
posic¸o˜es da partı´cula nos instantes marcados no gra´fico mostrado no
problema anterior.
12. Considere as func¸o˜es-movimento escritas abaixo:
(a) x = α e−β t, com α e β constantes.
(b) x = α[1− e−β t], com α e β constantes.
(c) x = α sen(2πt/β), com α e β constantes.
Em cada caso, deˆ o significado das constantes α e β, determine por derivac¸a˜o
direta as respectivas func¸o˜es-velocidade e esboce seus gra´ficos (velocidade
versus tempo).
13. Dois pa´ra-quedistas, Pedro e Raquel, saltam de um helico´ptero que se en-
contra em repouso a uma grande altitude do solo. Pedro salta no instante
t = 0s, enquanto Raquel, no instante t = t1. Por simplicidade, vamos supor
que o movimento dos dois seja retilı´neo. O sentido positivo das velocida-
des foi escolhido para baixo, por convenieˆncia. A Figura 6.30 mostra as
func¸o˜es-velocidade versus tempo tanto de Pedro quanto de Raquel. Nessa
figura, esta˜o marcadas as a´reas A, A′, a e a′, ale´m de va´rios instantes de
135 CEDERJ
Gra´ficos do movimento
tempo. O instante te corresponde ao instante em que Raquel atinge Pedro
em sua queda; o instante t3 e´ o instante em que ela atinge o solo e o instante
t4, aquele em que Pedro atinge o solo.
vx
tt1 t2 t3 t4te
A
A′ a
a′
Fig. 6.30: Gra´fico de velocidade versus tempo dos dois pa´ra-quedistas.
(a) Compare as a´reas A e A′.
(b) O que significa o instante t2?
(c) Em t = te, Pedro e Raquel possuem a mesma velocidade?
(d) Compare as a´reas a e a′.
(e) Qual o tipo de movimento dos pa´ra-quedistas quando esta˜o muito
pro´ximos ao solo?
Auto-avaliac¸a˜o
Voceˆ deve ser capaz de responder ao questiona´rio todo e resolver pelo me-
nos a` metade inicial dos problemas propostos. Um domı´nio completo dos gra´ficos
como instrumentos de ana´lise das func¸o˜es somente se adquire com o tempo, a` me-
dida que se vai praticando. Voceˆ podera´ adquirir mais pra´tica nas aulas seguintes.
CEDERJ 136
Acelerac¸a˜o no movimento retilı´neo
M ´ODULO 1 - AULA 7
Aula 7 – Acelerac¸a˜o no movimento retilı´neo
Objetivos
• Entender os conceitos de acelerac¸a˜o me´dia e acelerac¸a˜o instantaˆnea em um
movimento retilı´neo.
• Aprender a interpretar graficamente a acelerac¸a˜o me´dia e a acelerac¸a˜o ins-
tantaˆnea de uma partı´cula no gra´fico de sua velocidade versus tempo.
• Aprender a determinar a variac¸a˜o de velocidade de uma partı´cula num dado
intervalo de tempo a partir de seu gra´fico de acelerac¸a˜o versus tempo.
Introduc¸a˜o
Nesta aula, estudamos o conceito de acelerac¸a˜o em um movimento retilı´neo.
Como veremos, ele descreve qua˜o rapidamente varia a velocidade durante um tal
movimento. Ja´ estamos habituados ao uso coloquial desse conceito. Todos no´s
entendemos o que significa dizer que um automo´vel esta´ acelerando; significa que
a velocidade do automo´vel esta´ aumentando, isto e´, mudando para valores cada
vez maiores. Se dissermos que a acelerac¸a˜o e´ grande, entende-se que a velocidade
esta´ variando rapidamente, ou seja, em um certo intervalo de tempo a velocidade
varia em uma quantidade que esta´ sendo considerada grande. Se um automo´vel e´
freado, sua velocidade tambe´m varia, so´ que a valores menores. Nesse caso, diz-se
que o automo´vel foi desacelerado.Em linguagem coloquial, variac¸o˜es positivas de
Como veremos ainda nesse
primeiro mo´dulo, a acelerac¸a˜o e´
uma grandeza vetorial e, como
tal, na˜o tem sentido falar em
acelerac¸a˜o positiva ou negativa.
No entanto, num movimento
unidimensional, na˜o ha´ a
necessidade de trata´-la
vetorialmente. Esse comenta´rio
vale tambe´m para deslocamentos
e velocidades.
velocidade sa˜o chamadas de acelerac¸o˜es, e variac¸o˜es negativas, de desacelerac¸o˜es.
Em Fı´sica, o conceito de acelerac¸a˜o num movimento retilı´neo e´ de uma grandeza
que pode ser positiva, negativa ou nula. ´E positiva se descreve um aumento de
velocidade e negativa se descreve uma diminuic¸a˜o. Desse modo, o que usualmente
se chama de desacelerac¸a˜o, e´ chamado em Fı´sica de uma acelerac¸a˜o negativa. Por
acelerac¸a˜o nula entende-se, e´ claro, a auseˆncia de acelerac¸a˜o.
De um certo modo, percebemos acelerac¸o˜es com mais facilidade do que ve-
locidades. Imagine que voceˆ esteja de olhos fechados viajando em um automo´vel
de janelas fechadas, que percorre uma estrada horizontal e reta. Suponha, ale´m
disso, que a estrada esteja em bom estado, que o carro seja bom e o motorista
tambe´m.