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Seu corpo sentira´ pouca diferenc¸a entre uma velocidade mais alta, mais 137 CEDERJ Acelerac¸a˜o no movimento retilı´neo baixa ou nula. Ja´ as mudanc¸as de velocidade, isto e´, as acelerac¸o˜es sera˜o facil- mente percebidas. Se o carro acelera, voceˆ sente o banco do carro pressionando as suas costas. Se a acelerac¸a˜o e´ negativa, isto e´, se o carro desacelera, voceˆ sente agora o cinto de seguranc¸a pressionando o seu peito para tra´s (sendo uma pessoa inteligente, voceˆ certamente estara´ usando o cinto de seguranc¸a). Para entender o conceito de acelerac¸a˜o em Fı´sica, que em sua formulac¸a˜o precisa e´ um conceito tambe´m matema´tico, voceˆ deve ter entendido muito bem o conceito de velocidade, e isto por dois motivos. O primeiro ja´ deve estar claro: acelerac¸a˜o e´ rapidez na variac¸a˜o de velocidade; voceˆ na˜o pode entender variac¸a˜o de velocidade sem entender o que e´ velocidade. O segundo e´ que a pro´pria ve- locidade e´ uma rapidez de variac¸a˜o: e´ a rapidez com que varia a posic¸a˜o. Por analogia, voceˆ entendera´ como a acelerac¸a˜o descreve a rapidez da variac¸a˜o da ve- locidade se voceˆ ja´ entendeu como a velocidade descreve a rapidez com que varia a posic¸a˜o. Faremos a suposic¸a˜o de que voceˆ ja´ tenha estudado e entendido bem os conceitos de velocidade e de derivada para apresentarmos aqui um tratamento mais ra´pido do conceito de acelerac¸a˜o. Por esse motivo, pode ser necessa´rio ler o texto mais de uma vez. Voceˆ devera´ trabalhar com atenc¸a˜o os exemplos dados, tentar resolver os problemas propostos e voltar a ler o texto da aula. Seguindo essa sequ¨eˆncia uma ou mais vezes, voceˆ devera´ atingir os objetivos desta aula e resolver a maioria dos problemas propostos. Acelerac¸o˜es me´dia e instantaˆnea Consideremos um movimento qualquer de uma partı´cula no eixo OX . Seja fx sua func¸a˜o-movimento: x = fx(t) . (7.1) Derivando essa func¸a˜o, achamos a func¸a˜o-velocidade . fx, que da´ a veloci- dade vx da partı´cula em um instante qualquer t do movimento: vx = . fx (t) . (7.2) Considere um intervalo de tempo [t1, t2] com t2 �= t1. Seja vx1 a velocidade da partı´cula no instante t1 e vx2 sua velocidade no instante t2. A variac¸a˜o da velocidade da partı´cula no intervalo de t1 a t2 e´ ∆vx = vx2 − vx1 (7.3) CEDERJ 138 Acelerac¸a˜o no movimento retilı´neo M ´ODULO 1 - AULA 7 e o tempo gasto nessa variac¸a˜o e´ ∆t = t2 − t1 . (7.4) A raza˜o entre a variac¸a˜o da velocidade no intervalo de t1 a t2 e o tempo gasto nessa variac¸a˜o e´ chamada de acelerac¸a˜o me´dia da partı´cula no intervalo [t1, t2]. Vamos representar a acelerac¸a˜o me´dia da partı´cula no intervalo de t1 a t2 pelo sı´mbolo 〈ax〉[t1, t2]. Temos enta˜o: 〈ax〉[t1, t2] = ∆vx ∆t = vx2 − vx1 t2 − t1 (t2 �= t1) . (7.5) Uma variac¸a˜o de velocidade e´ expressa, naturalmente, em unidade de velo- cidade, isto e´, em unidade de comprimento dividida por unidade de tempo. Sendo a acelerac¸a˜o me´dia a raza˜o entre uma variac¸a˜o de velocidade e um intervalo de tempo, a sua unidade sera´ a de velocidade dividida pela unidade de tempo. Por- tanto, a unidade de acelerac¸a˜o me´dia e´ uma unidade de comprimento dividida pelo quadrado de uma unidade de tempo. No SI a unidade de acelerac¸a˜o me´dia e´ o metro por segundo por segundo, isto e´, m/s2. Sendo a durac¸a˜o t2 − t1 do intervalo uma grandeza positiva, concluı´mos que a acelerac¸a˜o me´dia e´ positiva se, e somente se, a variac¸a˜o da velocidade da partı´cula no intervalo de t1 a t2 e´ positiva, isto e´, se a velocidade aumenta nesse intervalo de tempo. A acelerac¸a˜o me´dia e´ negativa se, e somente se, a velocidade diminui no intervalo. Finalmente, o caso de acelerac¸a˜o me´dia nula no intervalo t1 a t2 corresponde a` situac¸a˜o em que a velocidade da partı´cula em t2 e´ exatamente igual a` sua velocidade em t1. Observe, pore´m, que isso na˜o significa necessari- amente que durante esse intervalo a velocidade da partı´cula tenha permanecido constante. Isso pode ou na˜o ter acontecido, mas apenas com a informac¸a˜o da acelerac¸a˜o me´dia nesse intervalo nada podemos afirmar. Usando a definic¸a˜o de acelerac¸a˜o me´dia (7.5) e o conceito de func¸a˜o-velocidade (7.2), vemos que a acelerac¸a˜o me´dia em um intervalo de t1 a t2 e´ dada por: 〈ax〉[t1, t2] = . fx (t2)− . fx (t1) t2 − t1 . (7.6) Exemplo 7.1 Para ilustrar o conceito de acelerac¸a˜o me´dia definido anteriormente, considere um carro que, partindo do repouso no instante inicial, atinge a velocidade de 72km/h apo´s 10s e retorna ao repouso meio minuto apo´s ter iniciado a sua arrancada. Calculemos a acelerac¸a˜o me´dia desse carro em diversos intervalos. 139 CEDERJ Acelerac¸a˜o no movimento retilı´neo Deliberadamente, utilizamos nesse exemplo inicial unidades variadas, de modo que para expressar nossas respostas no SI teremos de fazer mudanc¸as de unidades. Uma unidade muito comum para a velocidade, e utilizada nos ve- locı´metros dos automo´veis em geral, e´ o km/h. Vejamos enta˜o como converter essa unidade para m/s. Como 1km=1.000m e 1h=3.600s, temos: 1km/h = 1.000 3.600 m/s = 1, 0 3, 6 m/s ou seja 1, 0m/s = 3, 6km/h . Desse modo, temos 72km/h=20m/s. A acelerac¸a˜o me´dia nos primeiros dez segundos e´ dada enta˜o por: 〈ax〉[0, 10] = 20− 0 10− 0 = 20m/s 10s = 2m/s2 . Ja´ no intervalo que vai de 10s ate´ o instante em que o carro retorna ao re- pouso, isto e´, o instante 30s (lembre-se que 1min=60s), temos: 〈ax〉[10, 30] = 0− 20 30− 10 = − 20m/s 20s = −1m/s2 . O sinal negativo indica que o carro desacelerou para atingir o repouso. Fi- nalmente, a acelerac¸a˜o me´dia no intervalo total [0, 30] e´ nula, ja´ que a variac¸a˜o da velocidade nesse intervalo e´ nula (o carro saiu do repouso no instante inicial e retornou ao repouso no instante 30s). A acelerac¸a˜o me´dia da´ apenas uma ide´ia global de como varia a velocidade em um intervalo. Relembrando, uma acelerac¸a˜o me´dia nula em um intervalo na˜o significa necessariamente que a velocidade tenha permanecido constante no inter- valo. Ela pode ter variado de modo a voltar, no final do intervalo, ao valor que tinha no inı´cio, como foi ilustrado em nosso primeiro exemplo (neste exemplo o carro acelerou ate´ atingir uma velocidade de 72km/h e depois desacelerou ate´ atingir o repouso novamente, mas mesmo assim sua acelerac¸a˜o me´dia no intervalo de tempo total foi nula). Para ter uma informac¸a˜o mais detalhada sobre a rapidez de variac¸a˜o da ve- locidade, devemos considerar o conceito de acelerac¸a˜o instantaˆnea. Para definir esse conceito, consideremos um instante t durante o movimento e a velocidade que a partı´cula tem nesse instante. Ela e´ dada por . fx (t). Seja um outro instante t + ∆t durante o movimento, diferente de t, isto e´, com ∆t �= 0. Nesse outro ins- tante, a velocidade e´ dada por . fx (t + ∆t). A variac¸a˜o da velocidade que ocorre entre esses dois instantes e´: ∆vx = . fx (t + ∆t)− . fx (t) . (7.7) CEDERJ 140 Acelerac¸a˜o no movimento retilı´neo M ´ODULO 1 - AULA 7 A rapidez com que tal variac¸a˜o ocorre e´ dada por ∆vx ∆t = . fx (t + ∆t)− . fx (t) ∆t . (7.8) Acelerac¸a˜o instantaˆnea da partı´cula no instante t e´ o limite dessa raza˜o quando ∆t tende a zero. Representando a acelerac¸a˜o instantaˆnea por ax, temos enta˜o: ax = lim ∆t→0 ∆vx ∆t = lim ∆t→0 . fx (t + ∆t)− . fx (t) ∆t . (7.9) A acelerac¸a˜o instantaˆnea e´, em geral, chamada simplesmente acelerac¸a˜o. Pelo que ja´ sabemos sobre velocidade e derivadas, fica claro que a acele- rac¸a˜o em um instante t e´ a derivada da func¸a˜o-velocidade nesse instante. De acordo com a simbologia usual, podemos enta˜o escrever (7.9) como: ax = dvx dt = d dt . fx (t) . (7.10) Essa definic¸a˜o de acelerac¸a˜o instantaˆnea permite obter a acelerac¸a˜o em qual-