17405_Fisica1A_Aulas_1a12_modulo_1_Volume_01

Seu corpo sentira´ pouca diferenc¸a entre uma velocidade mais alta, mais
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Acelerac¸a˜o no movimento retilı´neo
baixa ou nula. Ja´ as mudanc¸as de velocidade, isto e´, as acelerac¸o˜es sera˜o facil-
mente percebidas. Se o carro acelera, voceˆ sente o banco do carro pressionando
as suas costas. Se a acelerac¸a˜o e´ negativa, isto e´, se o carro desacelera, voceˆ sente
agora o cinto de seguranc¸a pressionando o seu peito para tra´s (sendo uma pessoa
inteligente, voceˆ certamente estara´ usando o cinto de seguranc¸a).
Para entender o conceito de acelerac¸a˜o em Fı´sica, que em sua formulac¸a˜o
precisa e´ um conceito tambe´m matema´tico, voceˆ deve ter entendido muito bem o
conceito de velocidade, e isto por dois motivos. O primeiro ja´ deve estar claro:
acelerac¸a˜o e´ rapidez na variac¸a˜o de velocidade; voceˆ na˜o pode entender variac¸a˜o
de velocidade sem entender o que e´ velocidade. O segundo e´ que a pro´pria ve-
locidade e´ uma rapidez de variac¸a˜o: e´ a rapidez com que varia a posic¸a˜o. Por
analogia, voceˆ entendera´ como a acelerac¸a˜o descreve a rapidez da variac¸a˜o da ve-
locidade se voceˆ ja´ entendeu como a velocidade descreve a rapidez com que varia
a posic¸a˜o.
Faremos a suposic¸a˜o de que voceˆ ja´ tenha estudado e entendido bem os
conceitos de velocidade e de derivada para apresentarmos aqui um tratamento
mais ra´pido do conceito de acelerac¸a˜o. Por esse motivo, pode ser necessa´rio ler
o texto mais de uma vez. Voceˆ devera´ trabalhar com atenc¸a˜o os exemplos dados,
tentar resolver os problemas propostos e voltar a ler o texto da aula. Seguindo
essa sequ¨eˆncia uma ou mais vezes, voceˆ devera´ atingir os objetivos desta aula e
resolver a maioria dos problemas propostos.
Acelerac¸o˜es me´dia e instantaˆnea
Consideremos um movimento qualquer de uma partı´cula no eixo OX . Seja
fx sua func¸a˜o-movimento:
x = fx(t) . (7.1)
Derivando essa func¸a˜o, achamos a func¸a˜o-velocidade
.
fx, que da´ a veloci-
dade vx da partı´cula em um instante qualquer t do movimento:
vx =
.
fx (t) . (7.2)
Considere um intervalo de tempo [t1, t2] com t2 �= t1. Seja vx1 a velocidade
da partı´cula no instante t1 e vx2 sua velocidade no instante t2. A variac¸a˜o da
velocidade da partı´cula no intervalo de t1 a t2 e´
∆vx = vx2 − vx1 (7.3)
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Acelerac¸a˜o no movimento retilı´neo
M ´ODULO 1 - AULA 7
e o tempo gasto nessa variac¸a˜o e´
∆t = t2 − t1 . (7.4)
A raza˜o entre a variac¸a˜o da velocidade no intervalo de t1 a t2 e o tempo
gasto nessa variac¸a˜o e´ chamada de acelerac¸a˜o me´dia da partı´cula no intervalo
[t1, t2]. Vamos representar a acelerac¸a˜o me´dia da partı´cula no intervalo de t1 a t2
pelo sı´mbolo 〈ax〉[t1, t2]. Temos enta˜o:
〈ax〉[t1, t2] = ∆vx
∆t
=
vx2 − vx1
t2 − t1 (t2 �= t1) . (7.5)
Uma variac¸a˜o de velocidade e´ expressa, naturalmente, em unidade de velo-
cidade, isto e´, em unidade de comprimento dividida por unidade de tempo. Sendo
a acelerac¸a˜o me´dia a raza˜o entre uma variac¸a˜o de velocidade e um intervalo de
tempo, a sua unidade sera´ a de velocidade dividida pela unidade de tempo. Por-
tanto, a unidade de acelerac¸a˜o me´dia e´ uma unidade de comprimento dividida
pelo quadrado de uma unidade de tempo. No SI a unidade de acelerac¸a˜o me´dia e´
o metro por segundo por segundo, isto e´, m/s2.
Sendo a durac¸a˜o t2 − t1 do intervalo uma grandeza positiva, concluı´mos
que a acelerac¸a˜o me´dia e´ positiva se, e somente se, a variac¸a˜o da velocidade da
partı´cula no intervalo de t1 a t2 e´ positiva, isto e´, se a velocidade aumenta nesse
intervalo de tempo. A acelerac¸a˜o me´dia e´ negativa se, e somente se, a velocidade
diminui no intervalo. Finalmente, o caso de acelerac¸a˜o me´dia nula no intervalo t1
a t2 corresponde a` situac¸a˜o em que a velocidade da partı´cula em t2 e´ exatamente
igual a` sua velocidade em t1. Observe, pore´m, que isso na˜o significa necessari-
amente que durante esse intervalo a velocidade da partı´cula tenha permanecido
constante. Isso pode ou na˜o ter acontecido, mas apenas com a informac¸a˜o da
acelerac¸a˜o me´dia nesse intervalo nada podemos afirmar.
Usando a definic¸a˜o de acelerac¸a˜o me´dia (7.5) e o conceito de func¸a˜o-velocidade
(7.2), vemos que a acelerac¸a˜o me´dia em um intervalo de t1 a t2 e´ dada por:
〈ax〉[t1, t2] =
.
fx (t2)−
.
fx (t1)
t2 − t1 . (7.6)
Exemplo 7.1
Para ilustrar o conceito de acelerac¸a˜o me´dia definido anteriormente, considere um
carro que, partindo do repouso no instante inicial, atinge a velocidade de 72km/h
apo´s 10s e retorna ao repouso meio minuto apo´s ter iniciado a sua arrancada.
Calculemos a acelerac¸a˜o me´dia desse carro em diversos intervalos.
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Acelerac¸a˜o no movimento retilı´neo
Deliberadamente, utilizamos nesse exemplo inicial unidades variadas, de
modo que para expressar nossas respostas no SI teremos de fazer mudanc¸as de
unidades. Uma unidade muito comum para a velocidade, e utilizada nos ve-
locı´metros dos automo´veis em geral, e´ o km/h. Vejamos enta˜o como converter
essa unidade para m/s. Como 1km=1.000m e 1h=3.600s, temos:
1km/h = 1.000
3.600
m/s = 1, 0
3, 6
m/s ou seja 1, 0m/s = 3, 6km/h .
Desse modo, temos 72km/h=20m/s. A acelerac¸a˜o me´dia nos primeiros dez
segundos e´ dada enta˜o por:
〈ax〉[0, 10] = 20− 0
10− 0 =
20m/s
10s
= 2m/s2 .
Ja´ no intervalo que vai de 10s ate´ o instante em que o carro retorna ao re-
pouso, isto e´, o instante 30s (lembre-se que 1min=60s), temos:
〈ax〉[10, 30] = 0− 20
30− 10 = −
20m/s
20s
= −1m/s2 .
O sinal negativo indica que o carro desacelerou para atingir o repouso. Fi-
nalmente, a acelerac¸a˜o me´dia no intervalo total [0, 30] e´ nula, ja´ que a variac¸a˜o
da velocidade nesse intervalo e´ nula (o carro saiu do repouso no instante inicial e
retornou ao repouso no instante 30s).
A acelerac¸a˜o me´dia da´ apenas uma ide´ia global de como varia a velocidade
em um intervalo. Relembrando, uma acelerac¸a˜o me´dia nula em um intervalo na˜o
significa necessariamente que a velocidade tenha permanecido constante no inter-
valo. Ela pode ter variado de modo a voltar, no final do intervalo, ao valor que
tinha no inı´cio, como foi ilustrado em nosso primeiro exemplo (neste exemplo
o carro acelerou ate´ atingir uma velocidade de 72km/h e depois desacelerou ate´
atingir o repouso novamente, mas mesmo assim sua acelerac¸a˜o me´dia no intervalo
de tempo total foi nula).
Para ter uma informac¸a˜o mais detalhada sobre a rapidez de variac¸a˜o da ve-
locidade, devemos considerar o conceito de acelerac¸a˜o instantaˆnea. Para definir
esse conceito, consideremos um instante t durante o movimento e a velocidade
que a partı´cula tem nesse instante. Ela e´ dada por
.
fx (t). Seja um outro instante
t + ∆t durante o movimento, diferente de t, isto e´, com ∆t �= 0. Nesse outro ins-
tante, a velocidade e´ dada por
.
fx (t + ∆t). A variac¸a˜o da velocidade que ocorre
entre esses dois instantes e´:
∆vx =
.
fx (t + ∆t)−
.
fx (t) . (7.7)
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Acelerac¸a˜o no movimento retilı´neo
M ´ODULO 1 - AULA 7
A rapidez com que tal variac¸a˜o ocorre e´ dada por
∆vx
∆t
=
.
fx (t + ∆t)−
.
fx (t)
∆t
. (7.8)
Acelerac¸a˜o instantaˆnea da partı´cula no instante t e´ o limite dessa raza˜o
quando ∆t tende a zero. Representando a acelerac¸a˜o instantaˆnea por ax, temos
enta˜o:
ax = lim
∆t→0
∆vx
∆t
= lim
∆t→0
.
fx (t + ∆t)−
.
fx (t)
∆t
. (7.9)
A acelerac¸a˜o instantaˆnea e´, em geral, chamada simplesmente acelerac¸a˜o.
Pelo que ja´ sabemos sobre velocidade e derivadas, fica claro que a acele-
rac¸a˜o em um instante t e´ a derivada da func¸a˜o-velocidade nesse instante. De
acordo com a simbologia usual, podemos enta˜o escrever (7.9) como:
ax =
dvx
dt
=
d
dt
.
fx (t) . (7.10)
Essa definic¸a˜o de acelerac¸a˜o instantaˆnea permite obter a acelerac¸a˜o em qual-