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quer instante t do movimento. Isso significa que temos uma func¸a˜o que asso- cia a cada instante t o valor ax da acelerac¸a˜o nesse instante, chamada func¸a˜o- acelerac¸a˜o e a representamos por .. fx: ax = .. fx (t) . (7.11) Desse modo, a acelerac¸a˜o da partı´cula em um instante t e´ o valor da func¸a˜o- acelerac¸a˜o nesse instante. De acordo com a definic¸a˜o (7.10), a func¸a˜o-acelerac¸a˜o e´ dada pela derivada da func¸a˜o-velocidade: .. fx (t) = d dt . fx (t) . (7.12) 141 CEDERJ Acelerac¸a˜o no movimento retilı´neo Exemplo 7.2 Consideremos os movimentos retilı´neos de duas partı´culas (1 e 2), cujas func¸o˜es- movimento esta˜o escritas abaixo, e calculemos as suas respectivas func¸o˜es-acelerac¸a˜o:{ f1x : t �−→ x1 = 5t2 f2x : t �−→ x2 = 8t + 5t2 . Como a func¸a˜o-acelerac¸a˜o e´ a derivada temporal da func¸a˜o-velocidade, de- vemos inicialmente calcular as func¸o˜es-velocidade das partı´culas. Calculando enta˜o as derivadas necessa´rias, temos:{ f˙1x : t �−→ v1x = 10t f˙2x : t �−→ v2x = 8 + 10t . De posse das func¸o˜es-velocidade, basta derivar uma vez mais para obtermos as respectivas func¸o˜es-acelerac¸a˜o das partı´culas:{ f¨1x : t �−→ a1x = 10m/s2 f¨2x : t �−→ a2x = 10m/s2 . Note que as func¸o˜es-acelerac¸a˜o das duas partı´culas sa˜o as mesmas, muito embora suas func¸o˜es-movimento e suas func¸o˜es-velocidade sejam diferentes uma da outra. Exemplo 7.3 Consideremos nesse exemplo algumas func¸o˜es-movimento um pouco mais com- plicadas, a saber (note que tais func¸o˜es ja´ foram consideradas na aula anterior, num dos problemas propostos): x1 = α e −β t ; x2 = α [ 1− e−β t] ; x3 = α sen(2π/β t) , onde α e β sa˜o constantes. Calculemos, pois, as respectivas func¸o˜es de acele- rac¸a˜o. Para isso, devemos derivar cada uma dessas func¸o˜es-movimento duas vezes em relac¸a˜o ao tempo. Apo´s a primeira derivada, obtemos as respectivas func¸o˜es- velocidade: v1 = −β α e−β t ; v2 = +β α e −β t ; v3 = 2π β α cos(2π/β t) , CEDERJ 142 Acelerac¸a˜o no movimento retilı´neo M ´ODULO 1 - AULA 7 Observe que esse e´ um bom momento para voceˆ verificar se fez correta- mente o exercı´cio proposto na aula anteiror, pelo menos no que diz respeito ao ca´lculo das derivadas. Calculando enta˜o a derivada temporal das func¸o˜es-velocidade escritas acima, obtemos finalmente as acelerac¸o˜es nos treˆs casos desejados: a1 = +β 2 α e−β t ; a2 = −β2 α e−β t ; a3 = − ( 2π β )2 α sen(2π/β t) . Na aula 4, vimos que a func¸a˜o-velocidade e´ obtida como a derivada da func¸a˜o-movimento, e na aula 5, vimos que a func¸a˜o-movimento pode ser recu- perada a partir da func¸a˜o-velocidade, se dispusermos de uma informac¸a˜o suple- mentar: a posic¸a˜o da partı´cula em um instante particular. Para recuperar a func¸a˜o- movimento, temos de integrar a func¸a˜o-velocidade, conforme o que foi visto na equac¸a˜o (5.7). Agora que obtivemos a func¸a˜o-acelerac¸a˜o como a derivada da func¸a˜o-velocidade, podemos perguntar: sera´ que podemos recuperar a func¸a˜o- velocidade a partir da func¸a˜o de acelerac¸a˜o? A resposta e´ sim. Se soubermos a func¸a˜o-acelerac¸a˜o e o valor da velocidade em algum instante fixo, podemos obter a velocidade em um instante qualquer, isto e´, podemos obter a func¸a˜o-velocidade. O me´todo para recuperar a func¸a˜o-velocidade a partir da func¸a˜o-acelerac¸a˜o e´ exa- temente igual ao me´todo que desenvolvemos, na aula 5, para recuperar a func¸a˜o- movimento a partir da func¸a˜o-velocidade. Por isso na˜o ha´ necessidade de repeti-lo aqui, vamos apenas dar a resposta final: dada a func¸a˜o-acelerac¸a˜o .. fx e a velocidade vx0 da partı´cula em um instante particular t0, a velocidade da partı´cula em um instante t qualquer e´ dada por: vx = vx0 + ∫ t t0 .. fx (t ′) dt′ . (7.13) Essa fo´rmula deve ser atentamente comparada com a fo´rmula (5.7). Uma vez que a velocidade vx em um instante arbitra´rio t e´ dada pela func¸a˜o- velocidade: vx = . fx (t), a equac¸a˜o (7.13) nos conduz a . fx (t) = vx0 + ∫ t t0 .. fx (t ′) dt′ , (7.14) que mostra a func¸a˜o-velocidade . fx obtida a partir da func¸a˜o-acelerac¸a˜o .. fx. 143 CEDERJ Acelerac¸a˜o no movimento retilı´neo Nesse ponto, conve´m repetir que na˜o se espera que voceˆ seja um perito em calcular derivadas e integrais; essa perı´cia voceˆ ira´ adquirir com a pra´tica e o tempo. Esperamos que voceˆ entenda que existem operac¸o˜es matema´ticas para ob- ter derivadas e integrais, que voceˆ entenda o significado ba´sico dessas operac¸o˜es, tais como explicadas nas aulas 4 e 5, e que voceˆ saiba calcular algumas derivadas e integrais muito simples. De fato, aquelas que ja´ foram dadas como exemplos e problemas propostos. Com isso, voceˆ estara´ apto a lidar com os conceitos de mo- vimento, velocidade e acelerac¸a˜o ao longo desse curso introduto´rio de mecaˆnica. Exemplo 7.4 O objetivo desse exemplo e´ enfatizar uma vez mais que, conhecida a func¸a˜o- acelerac¸a˜o de uma partı´cula e a sua velocidade em um u´nico instante, podemos determinar univocamente a sua func¸a˜o-velocidade. Suponha enta˜o que a func¸a˜o- acelerac¸a˜o de uma partı´cula seja dada por: f¨x : t �−→ ax = 2t + 3t2 e que a sua velocidade no instante t = 2s seja igual a 20m/s. Calculemos a sua velocidade num instante qualquer. Para cumprir tal objetivo, basta integrar a func¸a˜o-acelerac¸a˜o escolhendo adequadamente os limites de integrac¸a˜o: vx − 20 = ∫ t 2 ax(t ′)dt′ , ou seja, vx = 20 + ∫ t 2 ( 2t′ + 3t′2 ) dt′ , = 20 + { t′2 + t′3 }t 2 , = 20 + { t2 − 4 + t3 − 8} , = t2 + t3 + 8 . Essa expressa˜o nos da´ a velocidade da partı´cula em qualquer instante de seu movimento. Por exemplo, no instante inicial a sua velocidade e´ 8m/s, enquanto no instante 1s ela vale 10m/s. A propo´sito, voceˆ saberia refazer esse exemplo supondo conhecida na˜o velocidade no instante 2s, mas sim no instante inicial (ou tambe´m no instante 1s)? Se voceˆ na˜o tem certeza de que e´ capaz de responder a CEDERJ 144 Acelerac¸a˜o no movimento retilı´neo M ´ODULO 1 - AULA 7 essa pergunta, mais um motivo para tentar fazer isso agora mesmo e conferir o seu resultado com o obtido nesse exemplo. Com a definic¸a˜o de func¸a˜o-acelerac¸a˜o, temos agora treˆs func¸o˜es para es- tudar um movimento. A primeira e´ a func¸a˜o-movimento fx, que e´ a mais fun- damental e especifica exatamente qual e´ o movimento. A segunda e´ a func¸a˜o- velocidade, que e´ a derivada da func¸a˜o-movimento e que especifica a cada instante a velocidade da partı´cula. A terceira e´ a func¸a˜o-acelerac¸a˜o, que e´ a derivada da func¸a˜o-velocidade e que especifica a cada instante a acelerac¸a˜o da partı´cula. Va- mos listar essas treˆs func¸o˜es usadas no estudo do movimento: x = fx(t) , vx = . fx (t) , ax = .. fx (t) (7.15) e escrever novamente as relac¸o˜es fundamentais que existem entre elas. Efetuando derivadas, passamos da func¸a˜o-movimento para a de velocidade, e da func¸a˜o- velocidade para a func¸a˜o-acelerac¸a˜o: . fx (t) = d dt fx(t) , .. fx (t) = d dt . fx (t) . (7.16) Naturalmente, essas equac¸o˜es tambe´m podem ser escritas na forma resu- mida: vx = dx dt , ax = dvx dt . (7.17) Efetuando integrais, passamos da func¸a˜o-acelerac¸a˜o para a func¸a˜o-velocidade e da func¸a˜o-velocidade para a func¸a˜o-movimento: . fx (t) = vx0 + ∫ t t0 .. fx (t ′) dt′ , fx(t) = x0 + ∫ t t0 . fx (t ′) dt′ . (7.18) Essas equac¸o˜es tambe´m podem ser escritas na forma resumida: vx = vx0 + ∫ t t0 ax dt ′ , x = x0 + ∫ t t0 vx dt ′ . (7.19) Exemplo 7.5 Consideremos as func¸o˜es-movimento, de velocidade e de acelerac¸a˜o de uma partı´cula, dadas, respectivamente, por: