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17405_Fisica1A_Aulas_1a12_modulo_1_Volume_01

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quer instante t do movimento. Isso significa que temos uma func¸a˜o que asso-
cia a cada instante t o valor ax da acelerac¸a˜o nesse instante, chamada func¸a˜o-
acelerac¸a˜o e a representamos por
..
fx:
ax =
..
fx (t) . (7.11)
Desse modo, a acelerac¸a˜o da partı´cula em um instante t e´ o valor da func¸a˜o-
acelerac¸a˜o nesse instante. De acordo com a definic¸a˜o (7.10), a func¸a˜o-acelerac¸a˜o
e´ dada pela derivada da func¸a˜o-velocidade:
..
fx (t) =
d
dt
.
fx (t) . (7.12)
141 CEDERJ
Acelerac¸a˜o no movimento retilı´neo
Exemplo 7.2
Consideremos os movimentos retilı´neos de duas partı´culas (1 e 2), cujas func¸o˜es-
movimento esta˜o escritas abaixo, e calculemos as suas respectivas func¸o˜es-acelerac¸a˜o:{
f1x : t �−→ x1 = 5t2
f2x : t �−→ x2 = 8t + 5t2 .
Como a func¸a˜o-acelerac¸a˜o e´ a derivada temporal da func¸a˜o-velocidade, de-
vemos inicialmente calcular as func¸o˜es-velocidade das partı´culas. Calculando
enta˜o as derivadas necessa´rias, temos:{
f˙1x : t �−→ v1x = 10t
f˙2x : t �−→ v2x = 8 + 10t .
De posse das func¸o˜es-velocidade, basta derivar uma vez mais para obtermos
as respectivas func¸o˜es-acelerac¸a˜o das partı´culas:{
f¨1x : t �−→ a1x = 10m/s2
f¨2x : t �−→ a2x = 10m/s2 .
Note que as func¸o˜es-acelerac¸a˜o das duas partı´culas sa˜o as mesmas, muito
embora suas func¸o˜es-movimento e suas func¸o˜es-velocidade sejam diferentes uma
da outra.
Exemplo 7.3
Consideremos nesse exemplo algumas func¸o˜es-movimento um pouco mais com-
plicadas, a saber (note que tais func¸o˜es ja´ foram consideradas na aula anterior,
num dos problemas propostos):

x1 = α e
−β t ;
x2 = α
[
1− e−β t] ;
x3 = α sen(2π/β t) ,
onde α e β sa˜o constantes. Calculemos, pois, as respectivas func¸o˜es de acele-
rac¸a˜o. Para isso, devemos derivar cada uma dessas func¸o˜es-movimento duas vezes
em relac¸a˜o ao tempo. Apo´s a primeira derivada, obtemos as respectivas func¸o˜es-
velocidade: 

v1 = −β α e−β t ;
v2 = +β α e
−β t ;
v3 =
2π
β
α cos(2π/β t) ,
CEDERJ 142
Acelerac¸a˜o no movimento retilı´neo
M ´ODULO 1 - AULA 7
Observe que esse e´ um bom momento para voceˆ verificar se fez correta-
mente o exercı´cio proposto na aula anteiror, pelo menos no que diz respeito ao
ca´lculo das derivadas.
Calculando enta˜o a derivada temporal das func¸o˜es-velocidade escritas acima,
obtemos finalmente as acelerac¸o˜es nos treˆs casos desejados:

a1 = +β
2 α e−β t ;
a2 = −β2 α e−β t ;
a3 = −
(
2π
β
)2
α sen(2π/β t) .
Na aula 4, vimos que a func¸a˜o-velocidade e´ obtida como a derivada da
func¸a˜o-movimento, e na aula 5, vimos que a func¸a˜o-movimento pode ser recu-
perada a partir da func¸a˜o-velocidade, se dispusermos de uma informac¸a˜o suple-
mentar: a posic¸a˜o da partı´cula em um instante particular. Para recuperar a func¸a˜o-
movimento, temos de integrar a func¸a˜o-velocidade, conforme o que foi visto na
equac¸a˜o (5.7). Agora que obtivemos a func¸a˜o-acelerac¸a˜o como a derivada da
func¸a˜o-velocidade, podemos perguntar: sera´ que podemos recuperar a func¸a˜o-
velocidade a partir da func¸a˜o de acelerac¸a˜o? A resposta e´ sim. Se soubermos a
func¸a˜o-acelerac¸a˜o e o valor da velocidade em algum instante fixo, podemos obter
a velocidade em um instante qualquer, isto e´, podemos obter a func¸a˜o-velocidade.
O me´todo para recuperar a func¸a˜o-velocidade a partir da func¸a˜o-acelerac¸a˜o e´ exa-
temente igual ao me´todo que desenvolvemos, na aula 5, para recuperar a func¸a˜o-
movimento a partir da func¸a˜o-velocidade. Por isso na˜o ha´ necessidade de repeti-lo
aqui, vamos apenas dar a resposta final:
dada a func¸a˜o-acelerac¸a˜o
..
fx e a velocidade vx0 da partı´cula em um
instante particular t0, a velocidade da partı´cula em um instante t
qualquer e´ dada por:
vx = vx0 +
∫ t
t0
..
fx (t
′) dt′ . (7.13)
Essa fo´rmula deve ser atentamente comparada com a fo´rmula (5.7).
Uma vez que a velocidade vx em um instante arbitra´rio t e´ dada pela func¸a˜o-
velocidade: vx =
.
fx (t), a equac¸a˜o (7.13) nos conduz a
.
fx (t) = vx0 +
∫ t
t0
..
fx (t
′) dt′ , (7.14)
que mostra a func¸a˜o-velocidade
.
fx obtida a partir da func¸a˜o-acelerac¸a˜o
..
fx.
143 CEDERJ
Acelerac¸a˜o no movimento retilı´neo
Nesse ponto, conve´m repetir que na˜o se espera que voceˆ seja um perito em
calcular derivadas e integrais; essa perı´cia voceˆ ira´ adquirir com a pra´tica e o
tempo. Esperamos que voceˆ entenda que existem operac¸o˜es matema´ticas para ob-
ter derivadas e integrais, que voceˆ entenda o significado ba´sico dessas operac¸o˜es,
tais como explicadas nas aulas 4 e 5, e que voceˆ saiba calcular algumas derivadas
e integrais muito simples. De fato, aquelas que ja´ foram dadas como exemplos e
problemas propostos. Com isso, voceˆ estara´ apto a lidar com os conceitos de mo-
vimento, velocidade e acelerac¸a˜o ao longo desse curso introduto´rio de mecaˆnica.
Exemplo 7.4
O objetivo desse exemplo e´ enfatizar uma vez mais que, conhecida a func¸a˜o-
acelerac¸a˜o de uma partı´cula e a sua velocidade em um u´nico instante, podemos
determinar univocamente a sua func¸a˜o-velocidade. Suponha enta˜o que a func¸a˜o-
acelerac¸a˜o de uma partı´cula seja dada por:
f¨x : t �−→ ax = 2t + 3t2
e que a sua velocidade no instante t = 2s seja igual a 20m/s. Calculemos a sua
velocidade num instante qualquer.
Para cumprir tal objetivo, basta integrar a func¸a˜o-acelerac¸a˜o escolhendo
adequadamente os limites de integrac¸a˜o:
vx − 20 =
∫ t
2
ax(t
′)dt′ ,
ou seja,
vx = 20 +
∫ t
2
(
2t′ + 3t′2
)
dt′ ,
= 20 +
{
t′2 + t′3
}t
2
,
= 20 +
{
t2 − 4 + t3 − 8} ,
= t2 + t3 + 8 .
Essa expressa˜o nos da´ a velocidade da partı´cula em qualquer instante de seu
movimento. Por exemplo, no instante inicial a sua velocidade e´ 8m/s, enquanto
no instante 1s ela vale 10m/s. A propo´sito, voceˆ saberia refazer esse exemplo
supondo conhecida na˜o velocidade no instante 2s, mas sim no instante inicial (ou
tambe´m no instante 1s)? Se voceˆ na˜o tem certeza de que e´ capaz de responder a
CEDERJ 144
Acelerac¸a˜o no movimento retilı´neo
M ´ODULO 1 - AULA 7
essa pergunta, mais um motivo para tentar fazer isso agora mesmo e conferir o seu
resultado com o obtido nesse exemplo.
Com a definic¸a˜o de func¸a˜o-acelerac¸a˜o, temos agora treˆs func¸o˜es para es-
tudar um movimento. A primeira e´ a func¸a˜o-movimento fx, que e´ a mais fun-
damental e especifica exatamente qual e´ o movimento. A segunda e´ a func¸a˜o-
velocidade, que e´ a derivada da func¸a˜o-movimento e que especifica a cada instante
a velocidade da partı´cula. A terceira e´ a func¸a˜o-acelerac¸a˜o, que e´ a derivada da
func¸a˜o-velocidade e que especifica a cada instante a acelerac¸a˜o da partı´cula. Va-
mos listar essas treˆs func¸o˜es usadas no estudo do movimento:

x = fx(t) ,
vx =
.
fx (t) ,
ax =
..
fx (t)
(7.15)
e escrever novamente as relac¸o˜es fundamentais que existem entre elas. Efetuando
derivadas, passamos da func¸a˜o-movimento para a de velocidade, e da func¸a˜o-
velocidade para a func¸a˜o-acelerac¸a˜o:
.
fx (t) =
d
dt
fx(t) ,
..
fx (t) =
d
dt
.
fx (t) . (7.16)
Naturalmente, essas equac¸o˜es tambe´m podem ser escritas na forma resu-
mida:
vx =
dx
dt
, ax =
dvx
dt
. (7.17)
Efetuando integrais, passamos da func¸a˜o-acelerac¸a˜o para a func¸a˜o-velocidade
e da func¸a˜o-velocidade para a func¸a˜o-movimento:
.
fx (t) = vx0 +
∫ t
t0
..
fx (t
′) dt′ , fx(t) = x0 +
∫ t
t0
.
fx (t
′) dt′ . (7.18)
Essas equac¸o˜es tambe´m podem ser escritas na forma resumida:
vx = vx0 +
∫ t
t0
ax dt
′ , x = x0 +
∫ t
t0
vx dt
′ . (7.19)
Exemplo 7.5
Consideremos as func¸o˜es-movimento, de velocidade e de acelerac¸a˜o de uma partı´cula,
dadas, respectivamente, por: