17405_Fisica1A_Aulas_1a12_modulo_1_Volume_01

que seguem e cujas demonstrac¸o˜es sera˜o
deixadas como exercı´cios para voceˆ fazer.
a = b+ c ⇐⇒ ax = bx + cx , ay = by + cy e az = bz + cz , (8.24)
isto e´,
cada componente da soma de dois vetores e´ igual a` soma das respec-
tivas componentes dos vetores.
a = λb ⇐⇒ ax = λ bx , ay = λ by e az = λ bz , (8.25)
isto e´,
cada componente do produto de um nu´mero por um vetor e´ igual ao
produto do nu´mero pela respectiva componente do vetor.
Devemos apreciar a importaˆncia do conceito de base. Existem infinitos ve-
tores, mas todos eles podem ser escritos em termos de apenas treˆs vetores, os
vetores da base. Para isso, basta saber como encontrar as componentes de um
vetor qualquer na base que se esta´ usando. Vamos aprender como fazer isso, no
caso de uma base ortonormal, na sec¸a˜o seguinte.
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Movimentos na˜o-retilı´neos e vetores
Projec¸o˜es e componentes de um vetor
Sejam a e b dois vetores diferentes de zero. Desenhando setas representati-
vas de a e b com a mesma origem, podemos determinar o aˆngulo θ entre as setas,
que satisfaz a condic¸a˜o 0 ≤ θ ≤ π. Esse aˆngulo e´ chamado de aˆngulo entre os
vetores a e b.
Seja a um vetor diferente de zero, u um vetor unita´rio e θ o aˆngulo entre
eles. Definimos projec¸a˜o do vetor a, ao longo do unita´rio u, como sendo o
nu´mero dado pelo produto do mo´dulo do vetor a pelo cosseno do aˆngulo entre os
vetores. Representando essa projec¸a˜o por projua, temos:
projua = |a| cos θ . (8.26)
No caso em que 0 ≤ θ < π/2, a projec¸a˜o de a, ao longo do unita´rio u, e´ um
nu´mero positivo e, no caso em que π/2 < θ ≤ π, um nu´mero negativo. Se a e´
perpendicular a u, a projec¸a˜o e´ nula; se a e´ paralelo a u a projec¸a˜o e´ |a| ou −|a|,
conforme a tenha o mesmo sentido de u ou sentido oposto a u, respectivamente.
A figura 8.18 ilustra um caso em que 0 < θ < π/2, com as setas de a e
u desenhadas a partir de uma origem comum, que chamamos O. Seja r a reta
suporte da seta representativa de u e P o ponto final da seta representativa de
a. Uma perpendicular a` reta r, baixada de P , encontra r em um ponto P ′, for-
mando um triaˆngulo retaˆngulo OPP ′. Esse triaˆngulo tem um cateto OP ′, cujo
comprimento sera´ representado por OP ′, e uma hipotenusa OP , cujo compri-
mento sera´ representado por OP ; o comprimento da hipotenusa e´ o mo´dulo de
a, isto e´, OP = |a|. Pela definic¸a˜o de cosseno, temos OP cos θ = OP ′, isto e´,
|a| cos θ = OP ′. Usando nessa igualdade a definic¸a˜o de projec¸a˜o (8.26), obtemos
projua = OP ′. Esse resultado e´ va´lido no caso 0 < θ < π/2, mas tambe´m pode
ser usado nos casos em que θ = 0 ou θ = π/2, como e´ facı´limo de se verificar. Ja´
nos caso em que π/2 < θ ≤ π, obtemos projua = −OP ′. Isto e´, a projec¸a˜o do
vetor a, ao longo do unita´rio u, e´ dada por:
projua =


+OP ′, se 0 ≤ θ ≤ π
2
−OP ′, se π
2
< θ < π
(8.27)
onde OP ′ e´ o comprimento do cateto obtido pela construc¸a˜o geome´trica que usa-
mos acima: e´ o segmento de reta com uma extremidade na origem comum das
setas representativas de a e u, e a outra extremidade no pe´ da perpendicular bai-
xada do ponto final da seta de a ate´ a reta suporte de u.
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Movimentos na˜o-retilı´neos e vetores
M ´ODULO 1 - AULA 8
O
Fig. 8.18: Vetor a, vetor unita´rio u e o aˆngulo θ entre eles.
Seja agora a seta
−→
OP ′, e chamemos de a′ o vetor a ela associado. A figura
8.19 mostra os vetores a, u e a′ no caso em que 0 < θ < π/2.
P
P ’
a′
r
a
u
Fig. 8.19: Os treˆs vetores desenhados com a mesma origem O: a, u e a′, ilustrando a projec¸a˜o de a ao longo de u.
Usando apenas a definic¸a˜o de produto de um nu´mero por um vetor, voceˆ
pode verificar que, no caso em que 0 ≤ θ ≤ π/2, temos a′ = OP ′ u. Ja´ no caso
em que π/2 < θ ≤ π, temos a′ = −OP ′ u. Enta˜o, de acordo com o resultado
(8.27), obtemos, em qualquer caso, a relac¸a˜o a′ = (projua) u. Substituindo nessa
igualdade a definic¸a˜o de projec¸a˜o (8.26), obtemos o resultado:
a′ = (|a| cos θ) u . (8.28)
Antes de continuarmos nosso raciocı´nio, e´ necessa´rio fazer uma observac¸a˜o.
Nas considerac¸o˜es anteriores, supusemos que o vetor gene´rico a na˜o fosse o vetor
nulo. Isso porque na˜o podemos definir o aˆngulo entre um vetor nulo e o unita´rio
u ao longo do qual fazemos a projec¸a˜o. Entretanto, podemos convencionar que a
projec¸a˜o do vetor nulo, ao longo de qualquer unita´rio u, e´ o nu´mero zero. Escreve-
mos: proju0 = 0. Com essa convenc¸a˜o, podemos estender as fo´rmulas anteriores
para abranger o caso em que a = 0, desde que fac¸amos, quando necessa´rio, res-
salvas ditadas pelo bom senso.
Vamos agora aplicar o resultado (8.28) aos vetores unita´rios ux, uy e uz,
que formam uma base ortonormal. Consideremos a figura 8.20, que mostra a
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Movimentos na˜o-retilı´neos e vetores
mesma situac¸a˜o da figura 8.17, mas exibe agora os aˆngulos θx, θy e θz entre a e,
respectivamente, ux, uy e uz.
Fig. 8.20: Vetor a, unita´rios ux, uy e uz e os aˆngulos θx, θy e θz .
Uma vez que Px e´ o pe´ da perpendicular baixada de P ate´ o eixoOX , pode-
mos usar o resultado (8.28) para concluir que a1 = (|a| cos θx) ux. Ale´m disso,
Py e Pz sa˜o os pe´s das perpendiculares baixadas de P ate´ os eixosOY e OZ , res-
pectivamente. Consequ¨entemente, usando (8.28), obtemos a2 = (|a| cos θy) uy e
a3 = (|a| cos θz) uz . Ou seja,
a1 = (|a| cos θx) ux , a2 = (|a| cos θy) uy e a3 = (|a| cos θz) uz .
(8.29)
Ja´ havı´amos concluı´do em (8.15) que a = a1 + a2 + a3. Usando nessa equac¸a˜o
os resultados (8.29), chegamos a
a = (|a| cos θx) ux + (|a| cos θy) uy + (|a| cos θz) uz . (8.30)
Comparando essa expressa˜o com (8.17), obtemos
ax = |a| cos θx , ay = |a| cos θy e az = |a| cos θz , (8.31)
ou seja,
a componente de um vetor ao longo de um unita´rio de uma base or-
tonormal e´ a projec¸a˜o do vetor ao longo do unita´rio.
De acordo com (8.24), temos a = b+ c⇒ ax = bx + cx, isto e´, a projec¸a˜o
da soma de dois vetores, ao longo do unita´rio ux, e´ igual a` soma das projec¸o˜es
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Movimentos na˜o-retilı´neos e vetores
M ´ODULO 1 - AULA 8
dos vetores ao longo do mesmo unita´rio. ´E claro que propriedades ana´logas sa˜o
va´lidas para as projec¸o˜es ao longo dos unita´rios uy e uz. Na verdade, dado um
unita´rio u qualquer, e´ sempre possı´vel escolher um sistema de eixos que tenha
o eixo OX na direc¸a˜o e sentido de u, de modo que tenhamos ux = u. Desse
modo, a propriedade enunciada acima para o unita´rio ux se mostra como uma
propriedade de qualquer unita´rio u.
A projec¸a˜o da soma de dois vetores, ao longo de um unita´rio u, e´
igual a` soma das projec¸o˜es dos vetores ao longo do mesmo unita´rio:
proju(b+ c) = projub+ projuc . (8.32)
De acordo com (8.25), temos a = λb ⇒ ax = λbx, isto e´, a projec¸a˜o do
produto de um nu´mero por um vetor, ao longo do unita´rio ux, e´ igual ao produto
no nu´mero pela projec¸a˜o do vetor ao longo do mesmo unita´rio. Tambe´m nesse
caso na˜o ha´ nada de especial no unita´rio ux. Podemos estender essa propriedade
para qualquer unita´rio u.
A projec¸a˜o do produto de um nu´mero por um vetor, ao longo de um
unita´rio u, e´ igual ao produto do nu´mero pela projec¸a˜o do vetor ao
longo do mesmo unita´rio:
proju(λb) = λ projub. (8.33)
´E muito comum a situac¸a˜o na qual todos os vetores de um problema esta˜o
em um mesmo plano. Podemos enta˜o escolher dois dos eixos coordenadosOXYZ
nesse plano, por exemplo, os eixosOX eOY . Nesse caso, o eixoOZ e´ perpendi-
cular ao plano no qual esta˜o os vetores do problema e, consequ¨entemente, nenhum
deles tem componente ao longo do unita´rio uz. Qualquer vetor a do plano pode
enta˜o ser escrito como
a = axux + ayuy , (8.34)
com as componentes dadas por
ax = |a| cos θx e ay = |a| cos θy , (8.35)
onde os aˆngulos θx e θy esta˜o indicados na figura 8.21.
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Movimentos na˜o-retilı´neos