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17405_Fisica1A_Aulas_1a12_modulo_1_Volume_01

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Portanto, essa u´nica func¸a˜o f desempenha o mesmo papel
que as treˆs func¸o˜es-movimento fx, fy e fz. Chamamos f de func¸a˜o-movimento
vetorial. Ela e´ chamada de vetorial porque o seu valor, em cada instante t, e´ um
vetor, o vetor r. Ja´ os valores das func¸o˜es fx, fy e fz, em cada instante t, sa˜o
nu´meros e na˜o vetores. Podemos dizer que as func¸o˜es fx, fy e fz sa˜o nume´ricas,
enquanto a func¸a˜o f e´ vetorial. `A medida que o tempo passa, a func¸a˜o-movimento
vai assumindo os seus valores, que sa˜o as posic¸o˜es pelas quais a partı´cula vai
passando durante o seu movimento. Nesse processo, se o ponto inicial do vetor
posic¸a˜o permanece fixo na origem do sistema de eixos coordenados, o ponto final
vai trac¸ando uma curva, denominada trajeto´ria da partı´cula.
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A Figura 9.2 mostra os vetores posic¸o˜es de uma partı´cula em treˆs instantes
diferentes. Essa figura tambe´m mostra a trajeto´ria da partı´cula em movimento.
O
X
Y
Z
r1 = f(t1)
r2 = f(t2)
r3 = f(t3)
Fig. 9.2: Treˆs valores da func¸a˜o-movimento f , nos instantes t1, t2 e t3.
Agora e´ um bom momento para voceˆ aprender algo importante sobre os
conceitos fı´sicos. Alguns conceitos sa˜o bons para descrever situac¸o˜es bem con-
cretas e resolver problemas especı´ficos de Fı´sica, como os problemas propostos
nos finais de nossas aulas. Em contrapartida, esses conceitos podem na˜o ser apro-
priados para discutir as ide´ias mais ba´sicas da Fı´sica, aquelas ide´ias com as quais
voceˆ vai desenvolvendo as teorias. Existem tambe´m outros conceitos que sa˜o
bons exatamente para discutir tais ide´ias, mas podem na˜o ser apropriados para re-
solver problemas especı´ficos. Pois bem, o conceito de func¸a˜o-movimento vetorial
e´ desse segundo tipo. Ele e´ util para desenvolver a teoria sobre o movimento espa-
cial de uma partı´cula, mas dificilmente voceˆ ira´ usa´-lo na soluc¸a˜o de um problema.
Na hora de resolver problemas, ou dar exemplos de movimentos, como fizemos
na aula 2, usaremos frequ¨entemente as func¸o˜es-movimento fx, fy e fz escritas
em (69), e na˜o a func¸a˜o-movimento vetorial (9.5). Portanto, na˜o se preocupe em
como utilizar a func¸a˜o-movimento vetorial em problemas. Apenas entenda que
ela e´ a func¸a˜o que especifica o movimento e aproveite essa ide´ia para entender o
resto da teoria.
Consideremos agora uma partı´cula que em seu movimento passe por um
ponto P1 e por um ponto P2, como exemplificado na Figura 9.3. O vetor desloca-
mento da partı´cula, de P1 ate´ P2, e´ o vetor definido pela seta com ponto inicial P1 e
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ponto final P2. Esse vetor tambe´m e´ chamado deslocamento vetorial da partı´cula.
Seja r1 o vetor posic¸a˜o da partı´cula quando ela esta´ em P1, r2 o vetor posic¸a˜o da
partı´cula quando ela esta´ em P2 e d o vetor deslocamento da partı´cula ao passar
de P1 para P2. ´E claro pela Figura 9.3 que o vetor deslocamento da partı´cula de
uma posic¸a˜o a outra e´ igual a` diferenc¸a entre o vetor posic¸a˜o na posic¸a˜o final e o
vetor posic¸a˜o na posic¸a˜o inicial: d = r2 − r1. Dito de outro modo:
o vetor deslocamento de uma partı´cula de um ponto a outro e´ igual a`
variac¸a˜o do vetor posic¸a˜o entre esses dois pontos.
Fig. 9.3: Vetor deslocamento de P1 para P2.
Devido a essa propriedade, e´ comum representar o vetor deslocamento de
uma partı´cula pelo sı´mbolo ∆r, indicando ser o vetor deslocamento uma variac¸a˜o
do vetor posic¸a˜o. Desse modo, em uma fo´rmula como:
∆r = r2 − r1 , (9.6)
entendemos que ∆r como sendo deslocamento vetorial que a partı´cula sofre ao
passar da posic¸a˜o r1 para a posic¸a˜o r2.
Note que o deslocamento vetorial de um ponto P1 ate´ um ponto P2 e´ uma
informac¸a˜o geralmente muito pobre sobre o movimento da partı´cula entre esse
dois pontos. De fato, qualquer que tenha sido a trajeto´ria seguida pela partı´cula,
o seu deslocamento entre essas duas posic¸o˜es tera´ sido sempre o mesmo. No
entanto, o conceito de deslocamento e´ u´til pelas informac¸o˜es que da´ sobre o mo-
vimento e, principalmente, porque a partir dele chegamos a conceitos mais apro-
priados e convenientes para a descric¸a˜o do movimento.
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Suponhamos que uma partı´cula passe por um ponto P1 em um instante t1,
e por um ponto P2 em um instante t2. O deslocamento vetorial da partı´cula de
P1 ate´ P2 tambe´m e´ chamado deslocamento vetorial no intervalo de tempo [t1, t2]
e e´ representado por ∆r[t1, t2]. Se conhecemos o movimento da partı´cula, po-
demos determinar o seu deslocamento vetorial em qualquer intervalo de tempo.
Suponhamos que tal movimento seja dado por uma func¸a˜o-movimento vetorial f ,
como na equac¸a˜o (9.5). Se no instante t1 a partı´cula tem a posic¸a˜o r1, dada por
r1 = f(t1), e no instante t2 ela tem a posic¸a˜o r2, dada por r2 = f(t2), enta˜o o
deslocamento vetorial da partı´cula no intervalo de tempo [t1, t2] e´ dado por
∆r[t1, t2] = r2 − r1 = f(t2)− f(t1) . (9.7)
O deslocamento vetorial ∆r[t1, t2] pode ser representado simplesmente por ∆r,
se estiver claro pelo contexto qual e´ o intervalo de tempo em que ele esta´ sendo
considerado.
Sejam agora dois vetores posic¸o˜es dados por
r1 = x1 ux + y1 uy + z1 uz e r2 = x2 ux + y2 uy + z2 uz . (9.8)
O vetor deslocamento da partı´cula ao passar da posic¸a˜o r1 para a posic¸a˜o r2 e´
dado por:
∆r = r2 − r1
= (x2 ux + y2 uy + z2 uz)− (x1 ux + y1 uy + z1 uz)
= (x2 − x1)ux + (y2 − y1)uy + (z2 − z1)uz . (9.9)
As componentes do vetor deslocamento sa˜o dadas pelas seguintes variac¸o˜es de
coordenadas:
∆x = x2 − x1 , ∆y = y2 − y1 e ∆z = z2 − z1 . (9.10)
Podemos enta˜o escrever o resultado (9.9) como:
∆r = ∆xux + ∆y uy + ∆z uz . (9.11)
Se a partı´cula estivesse em movimento retilı´neo ao longo do eixo OX , a sua
posic¸a˜o seria dada pela coordenada x e a variac¸a˜o da coordenada x, de um valor
x1 para um valor x2, seria o deslocamento ∆x = x2 − x1 da partı´cula, conforme
estudamos na aula 3. Entretanto, estamos agora estudando um movimento que
na˜o e´ necessariamente retilı´neo, e ∆x = x2 − x1 na˜o e´ mais o deslocamento da
partı´cula, mas apenas a componente do vetor deslocamento na direc¸a˜o do eixo
OX . Do mesmo modo, ∆y = y2 − y1 e ∆z = z2 − z1 sa˜o as componentes do
vetor deslocamento nas direc¸o˜es dos eixos OY e OZ , respectivamente. A Figura
9.4 mostra um deslocamento vetorial ∆r e suas componentes ∆x, ∆y e ∆z.
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Fig. 9.4: Vetor deslocamento ∆r e suas componentes ∆x, ∆y e ∆z.
Note que o deslocamento ∆r em (9.10) e´ a soma dos treˆs vetores ∆xux,
∆y uy e ∆z uz. Dizemos que o vetor ∆xux e´ o deslocamento da partı´cula na
direc¸a˜o do eixo OX . Analogamente, dizemos que ∆y uy e ∆z uz sa˜o os deslo-
camentos da partı´cula nas direc¸o˜es de OY e OZ , respectivamente. Usando essa
linguagem, podemos descrever a equac¸a˜o (9.10) da seguinte maneira: o vetor des-
locamento de uma partı´cula e´ igual a` soma vetorial de seus deslocamentos nas
direc¸o˜es dos eixos OX , OY e OZ .
Exemplo 9.1
Para ilustrar o conceito de deslocamento, suponha que uma partı´cula em movi-
mento passe no instante t1 pelo ponto P1(−3, 0, 0) e num instante posterior t2,
pelo ponto P2(0, 4, 0). Para determinarmos o deslocamento da partı´cula no inter-
valo [t1, t2], basta calcular ∆r = r2 − r1. Lembrando que as componentes do
vetor posic¸a˜o sa˜o dadas simplesmente pelas coordenadas da partı´cula, temos:
∆r = 4uy − (−3ux) = 3ux + 4uy .
A expressa˜o anterior conte´m todas as informac¸o˜es do deslocamento sofrido pela
partı´cula nesse intervalo. Podemos obter, se desejarmos, os dados que caracteri-
zam geometricamente esse deslocamento, a saber, seu mo´dulo, sua direc¸a˜o e seu
sentido. Por exemplo, seu mo´dulo e´ dado por:
|∆r| =
√
(∆x)2 + (∆y)2 + (∆z)2 =
√
32 + 42 = 5m .
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