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17405_Fisica1A_Aulas_1a12_modulo_1_Volume_01

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A sua direc¸a˜o pode ser dada pelo aˆngulo θ formado entre ∆r e o vetor unita´rio ao
longo do eixo OX , isto e´, ux. Esse aˆngulo e´ dado por:
tanθ =
∆y
∆x
=
4
3
−→ θ = arctan(4/3) .
E o seu sentido, uma vez que as componentes ∆x e ∆y sa˜o ambas positivas, e´
para a direita e para cima, tomando a folha de papel como o planoOXY . Vale en-
fatizar que o conhecimento de ∆r[t1, t2] na˜o traz nenhuma informac¸a˜o a respeito
do movimento durante o intervalo, de como a partı´cula seguiu de P1 ate´ P2.
Conceitos vetoriais de velocidade me´dia e instantaˆnea
Suponhamos que uma partı´cula em um instante t1 tenha posic¸a˜o r1 e em
um instante diferente t2 tenha posic¸a˜o r2. Seu deslocamento vetorial no intervalo
de tempo [t1, t2] e´ ∆r[t1.t2] = r2 − r1 e o tempo que ela gasta para realizar tal
deslocamento e´ t2 − t1. A raza˜o entre o deslocamento vetorial e o tempo gasto
para realiza´-lo e´ chamada velocidade vetorial me´dia da partı´cula no intervalo
de tempo em que ocorreu o deslocamento. Representando a velocidade vetorial
me´dia no intervalo de tempo [t1, t2] pelo sı´mbolo 〈v〉[t1, t2], temos:
〈v〉[t1, t2] = r2 − r1
t2 − t1 (t2 �= t1) . (9.12)
Tal velocidade tambe´m e´ representada simplesmente por 〈v〉, quando esta´ claro o
intervalo de tempo no qual tal velocidade me´dia esta´ sendo considerada. Tambe´m
podemos representar o deslocamento por ∆r e o intervalo de tempo por ∆t, isto
e´, escrever ∆r = r2− r1 e ∆t = t2− t1. Usando essas expresso˜es, a definic¸a˜o de
velocidade me´dia (9.12) toma a forma mais compacta:
〈v〉 = ∆r
∆t
(∆t �= 0) . (9.13)
Note que a velocidade me´dia e´ o produto do nu´mero positivo 1/∆t pelo vetor des-
locamento ∆r. O resultado ∆r/∆t, que e´ a velocidade me´dia 〈v〉, e´ um vetor com
a mesma direc¸a˜o e sentido que o deslocamento ∆r. Ou seja, a velocidade vetorial
me´dia, em um certo intervalo de tempo, tem a mesma direc¸a˜o e o mesmo sentido
que o deslocamento nesse mesmo intervalo. A direc¸a˜o da velocidade me´dia e´ a da
reta suporte do vetor deslocamento, isto e´, da reta secante a` trajeto´ria que passa
pelos pontos inicial e final do deslocamento. O mo´dulo da velocidade me´dia da´ a
rapidez com que a partı´cula mudou sua posic¸a˜o no intervalo de tempo. Note que
a velocidade vetorial me´dia em um intervalo de tempo da´ apenas uma informac¸a˜o
global sobre a maneira com que a partı´cula se move no intervalo.
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Cinema´tica vetorial
M ´ODULO 1 - AULA 9
Consideremos agora um movimento descrito por uma func¸a˜o-movimento
vetorial f . Sejam t e t+∆t dois instantes do movimento, com ∆t �= 0. Suponha-
mos que no instante t a partı´cula passe pelo ponto P de sua trajeto´ria e seu vetor
posic¸a˜o seja r, e que no instante t+∆t ela passe pelo ponto P ′ e seu vetor posic¸a˜o
seja r′. Temos enta˜o r = f(t) e r′ = f(t + ∆t). O deslocamento da partı´cula no
intervalo de t a t + ∆t e´ dado por ∆r = r′ − r = f(t + ∆t) − f(t), conforme
ilustrado na Figura 9.5.
O
X
Z
Y
P
P ′
r = f(t) ∆r
tangente
secante
r′ = f(t + ∆t)
Fig. 9.5: Posic¸o˜es de uma partı´cula em dois instantes de um movimento descrito por uma func¸a˜o-movimento vetorial f .
A velocidade vetorial me´dia da partı´cula, no intervalo de tempo [t, t+∆t], e´ dada
por:
∆r
∆t
=
f(t + ∆t)− f(t)
∆t
(∆t �= 0) . (9.14)
Exemplo 9.2
Considere novamente o exemplo 9.1. Com o intuito de calcular uma velocidade
me´dia, suponha, nesse exemplo, que t1 = 3s e t2 = 8s. A velocidade me´dia nesse
caso e´ dada enta˜o por:
〈v〉[3, 8] = ∆r
∆t
=
3ux + 4uy
5
= 0, 6ux + 0, 8uy . (9.15)
O mo´dulo dessa velocidade me´dia segue imediatamente da fo´mula anterior:
|〈v〉| =
√
(0, 6)2 + (0, 8)2 = 1m/s .
Por simplicidade de notac¸a˜o, omitimos, nessa fo´rmula, o intervalo de tempo no
qual estamos calculando a velocidade me´dia. Assim como no exemplo 9.1, tam-
pouco a velocidade me´dia traz informac¸o˜es sobre o movimento da partı´cula du-
rante o intervalo considerado. A velocidade me´dia calculada em (9.15) apenas
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Cinema´tica vetorial
nos informa que se a partı´cula tiver deixado o ponto P1(−3, 0, 0) em t1 = 3s e
atingido o ponto P2(0, 4, 0) em t2 = 8s descrevendo um MRU, a sua velocidade
tera´ sido obrigatoriamente igual a essa velocidade me´dia.
Definimos velocidade vetorial instantaˆnea da partı´cula, no instante t, como
sendo o limite dessa raza˜o quando ∆t tende a zero. Representando essa veloci-
dade por v, temos enta˜o:
v = lim
∆t→0
∆r
∆t
= lim
∆t→0
f(t + ∆t)− f(t)
∆t
. (9.16)
A velocidade vetorial instantaˆnea costuma ser chamada simplesmente de veloci-
dade vetorial e, algumas vezes, ainda mais abreviadamente, de velocidade.
No limite em que ∆t → 0, o deslocamento ∆r tende ao vetor nulo 0, pois
∆r = f(t + ∆t) − f(t). No entanto, quando ∆r tende ao vetor nulo 0, a Figura
9.5 nos mostra que o ponto P ′ tende para o ponto P . Nesse limite, a reta secante
que passa por P e P ′ tende para a reta tangente a` trajeto´ria no ponto P . Sabemos
que ∆r/∆t tem a direc¸a˜o e o sentido da reta secante que passa por P e P ′ e,
portanto, o limite de ∆r/∆t, quando ∆t → 0, tem a direc¸a˜o da reta tangente
a` trajeto´ria no ponto P . Como esse limite, pela definic¸a˜o (9.16), e´ a velocidade
vetorial instantaˆnea, concluimos que:
a velocidade vetorial instantaˆnea da partı´cula, em cada instante, tem
a direc¸a˜o da reta tangente a` trajeto´ria no ponto onde se encontra a
partı´cula nesse instante.
Dito de um modo mais sucinto: a velocidade vetorial instantaˆnea e´ sempre tan-
gente a` trajeto´ria no ponto em que esta´ a partı´cula. Ou seja, dizemos que a direc¸a˜o
da trajeto´ria de uma partı´cula, num dado ponto de sua trajeto´ria, e´ a direc¸a˜o da
reta tangente a ela, passando por esse ponto.
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Cinema´tica vetorial
M ´ODULO 1 - AULA 9
A definic¸a˜o (9.16) tambe´m mostra que
o sentido da velocidade vetorial instantaˆnea da partı´cula em um ponto
da trajeto´ria e´ o sentido em que a partı´cula se move nesse ponto.
Sendo um limite de velocidades me´dias, em intervalos de tempo que di-
minuem indefinidamente, a velocidade instantaˆnea tem o significado de rapidez.
Rapidez com que a partı´cula se move. Enquanto a velocidade me´dia da´ a rapidez
com que a partı´cula se move em um intervalo de tempo, a velocidade instantaˆnea
da´ a rapidez com que a partı´cula se move no instante em que ela e´ definida.
A Figura 9.6 mostra um exemplo de movimento no qual esta´ indicada a
velocidade instantaˆnea com que a partı´cula passa por va´rios pontos da trajeto´ria.
Fig. 9.6: Velocidades vetoriais instantaˆneas em diversos instantes durante o movimento.
A fo´rmula da velocidade vetorial instantaˆnea v, dada na definic¸a˜o (9.16),
na˜o e´ usada diretamente em ca´lculos. Ela e´ u´til no desenvolvimento da teoria,
mas na hora de fazer ca´lculos vamos utilizar outras fo´rmulas. Para chegar a elas,
comecemos por substituir a expressa˜o (9.11) para o deslocamento ∆r na definic¸a˜o
(9.16) de velocidade vetorial v. Obtemos:
v = lim
∆t→0
∆r
∆t
= lim
∆t→0
(
∆x
∆t
ux +
∆y
∆t
uy +
∆z
∆t
uz
)
. (9.17)
Os vetores unita´rios ux, uy e uz sa˜o constantes e, portanto, na˜o sa˜o afetados pelo
limite, de modo que:
v = lim
∆t→0
∆x
∆t
ux + lim
∆t→0
∆y
∆t
uy + lim
∆t→0
∆z
∆t
uz . (9.18)
Conforme aprendemos nas aulas 4 e 5, em especial na sec¸a˜o Derivadas e inte-
grais da aula 5, o limite de ∆x/∆t, quando ∆t tende a zero, e´ a derivada dx/dt
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da coordenada x em relac¸a˜o ao tempo. Na aula 4, essa derivada tem o signifi-
cado de velocidade de uma partı´cula em movimento retilı´neo no eixo OX . Ja´ na
fo´rmula (9.18), ela e´ uma das componentes da velocidade vetorial v, a compo-
nente na direc¸a˜o de OX . De modo ana´logo, os limites de ∆y/∆t e ∆z/∆t sa˜o,
respectivamente, as derivadas: dy/dt e dz/dt.