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o
movimento da partı´cula? Para chegar a ele, faremos a seguinte afirmac¸a˜o: co-
nhecemos o movimento de uma partı´cula se sabemos qual e´ sua posic¸a˜o em cada
instante do tempo no intervalo de interesse. Isso significa que em cada instante do
intervalo (ti, tf ) sabemos quais sa˜o as treˆs coordenadas x, y e z que da˜o a posic¸a˜o
da partı´cula. Portanto, o movimento fica completamente determinado se for dada
uma regra que especifique a cada instante t qual a coordenada x da partı´cula; uma
segunda regra que especifique a cada instante t qual a coordenada y; e uma terceira
regra que especifique qual a coordenada z a cada instante t. Em cada instante t, a
partı´cula so´ tem um valor para a coordenada x, caso contra´rio, a partı´cula estaria
nesse instante ocupando duas posic¸o˜es diferentes, o que e´ absurdo. Portanto, a
regra que da´ a coordenada x em cada instante t do intervalo (ti, tf) e´ o que, em
matema´tica, recebe o nome de func¸a˜o. Vamos representar essa func¸a˜o por fx. Em
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A descric¸a˜o matema´tica do movimento
sı´mbolos matema´ticos:
fx : (ti, tf ) −→ lR (2.1)
: t �−→ x .
Tambe´m sa˜o func¸o˜es as regras que determinam a cada instante t as coorde-
nadas y e z. Representaremos por fy a func¸a˜o que da´ a coordenada y em cada
instante t do intervalo (ti, tf) e por fz a func¸a˜o que da´ a coordenada z em cada
instante do mesmo intevalo:
fy : (ti, tf) −→ lR (2.2)
: t �−→ y
e
fz : (ti, tf) −→ lR (2.3)
: t �−→ z .
As treˆs func¸o˜es (2.1), (2.2) e (2.3) da˜o as treˆs coordenadas x, y e z da
partı´cula em cada instante do intervalo (ti, tf). Elas especificam, portanto, a
posic¸a˜o da partı´cula em cada instante do intervalo. As treˆs func¸o˜es fx, fy e fz
descrevem juntas o movimento da partı´cula no intevalo de tempo (ti, tf). Elas
sa˜o chamadas de func¸o˜es do movimento da partı´cula. Elas da˜o a informac¸a˜o
completa sobre o movimento da partı´cula.
As func¸o˜es-movimento sa˜o
chamadas comumente de
equac¸o˜es hora´rias. Elas sa˜o
dadas em geral por equac¸o˜es da
forma (2.4). Damos prefereˆncia
ao uso de um sı´mbolo x para
representar o valor da func¸a˜o fx
no instante t e um outro sı´mbolo,
fx, para representar a pro´pria
func¸a˜o . No entanto, e´ comum
usar a mesma letra para
representar a func¸a˜o e o valor da
func¸a˜o , escrevendo, por
exemplo, x = x(t) no lugar de
x = fx(t). Caso prefira, voceˆ
pode usar essa notac¸a˜o e escrever
no lugar de (2.4) as equac¸o˜es:
x = x(t), y = y(t) e z = z(t).
As func¸o˜es-movimento sa˜o o conceito matema´tico mais importante da me-
caˆnica. Encontrar as func¸o˜es-movimento para uma partı´cula em uma dada situac¸a˜o
e´ o problema fundamental da mecaˆnica. Toda a teoria desenvolvida nessa cieˆncia
tem por fim criar me´todos de obter as func¸o˜es-movimento desconhecidas e de tirar
informac¸o˜es daquelas que ja´ sa˜o conhecidas.
Para expressar o fato de que as func¸o˜es do movimento da˜o as coordenadas
x, y e z da partı´cula em cada instante t, tambe´m escrevemos:

x = fx(t) ,
y = fy(t) ,
z = fz(t) .
(2.4)
Note que nessas equac¸o˜es o tempo e´ expresso em segundos e as coorde-
nadas x, y e z em metros, a menos que explicitamente indique-se que alguma
outra unidade deve ser considerada. Finalizamos a discussa˜o dando a resposta a`
pergunta feita no comec¸o desta sec¸a˜o: o conceito matema´tico que descreve com
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A descric¸a˜o matema´tica do movimento
M ´ODULO 1 - AULA 2
perfeic¸a˜o, em todos os seus detalhes, um dado movimento e´ o conceito de func¸o˜es
do movimento.
´E comum expressar as func¸o˜es-movimento na forma das equac¸o˜es (2.4),
sem falar em domı´nio e contradomı´nio, como fizemos nas equac¸o˜es (2.1), (2.2)
e (2.3). O motivo e´ simples. O contradomı´nio na˜o precisa ser especificado, pois
e´ sempre lR . De fato, cada coordenada x, y ou z e´ sempre um nu´mero real. Ja´
o intervalo de tempo (ti, tf ), durante o qual estamos interessados em estudar o
movimento, fica em geral subentendido e, normalmente, na˜o e´ importante espe-
cifica´-lo. Algumas vezes estudamos movimentos supondo que eles sa˜o eternos,
isto e´, que o intervalo de tempo em que ocorrem e´ (−∞,+∞). ´E claro que isso e´
apenas uma idealizac¸a˜o extrema de situac¸o˜es em que o movimento dura, ou pode
durar, um longo intervalo de tempo, desde um passado remoto ate´ um futuro dis-
tante. Por exemplo, quando estudamos o movimento da Terra em torno do sol na˜o
ha´, normalmente, interesse em considerar se esse movimento tem comec¸o ou fim.
`A medida que o tempo corre, uma partı´cula em movimento vai passando por
diversos pontos do espac¸o. O conjunto desses pontos forma uma linha contı´nua.
Essa linha e´ chamada de trajeto´ria. Uma pedra, quando solta, tem por trajeto´ria
um segmento de reta, ate´ que ela atinja o cha˜o. A ponta da he´lice de um ventilador
caseiro tem, durante seu movimento, uma trajeto´ria circular. A figura 2.1 mostra
uma trajeto´ria mais gene´rica.
X
Z
Y
Partı´cula
Fig. 2.1: Trajeto´ria e´ a curva que a partı´cula trac¸a no espac¸o durante o movimento.
Vamos considerar a seguir alguns exemplos de func¸o˜es-movimento.
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A descric¸a˜o matema´tica do movimento
Exemplos de func¸o˜es-movimento.
Todos os movimentos da se´rie de exemplos desta sec¸a˜o sera˜o considerados
em relac¸a˜o a um referencial OXYZ . Nesses exemplos, todas as coordenadas sa˜o
expressas em metros e o tempo sempre em segundos. As unidades sera˜o escritas
apenas nos dados iniciais e nas repostas finais de exemplos concretos, mas na˜o
nas fo´rmulas intermedia´rias. Os valores das coordenadas, dos instantes do tempo
e demais quantidades sera˜o considerados como exatos, pois na˜o queremos nos
preocupar por ora com a questa˜o da precisa˜o com que sa˜o dadas essas grandezas.
Deve ficar claro que esse procedimento e´ proviso´rio, pois as questo˜es de precisa˜o
sa˜o muito importantes. Elas sera˜o consideradas posteriormente.
Exemplo 2.1
Sejam as func¸o˜es-movimento de uma partı´cula dadas por: fx(t) = 3 t, fy(t) = 0
e fz(t) = 0.
Nesse caso, a partı´cula esta´ em movimento retilı´neo ao longo do eixoOX e
sua coordenada x no instante t e´ dada por x = 3 t. Note ainda que essa coordenada
x cresce indefinidamente com o passar do tempo. A figura 2.2 mostra as posic¸o˜es
da partı´cula nos instantes −2, −1, 0, 1, 2 e 3 segundos. No instante t = −2
segundos, temos x = fx(−2) = 3 × (−2) = −6, ou seja, a posic¸a˜o da partı´cula
e´, nesse instante, igual a −6 metros. Ela se encontra no semi-eixo negativo a 6
metros da origem. Nos outros instantes, as posic¸o˜es da partı´cula sa˜o calculadas
de modo semelhante.
fx(1)
fx(0)
fx(−1) fx(−2)
X Y
Z
fx(2)
fx(3)
Fig. 2.2: Movimento com distaˆncias percorridas iguais em intervalos de tempo iguais.
Observe que as distaˆncias entre duas posic¸o˜es consecutivas quaisquer mar-
cadas na figura 2.2 sa˜o todas iguais.
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A descric¸a˜o matema´tica do movimento
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Escrevendo as func¸o˜es-movimento no formato das equac¸o˜es (2.4), obtemos:

x = 3 t ,
y = 0 ,
z = 0 .
(2.5)
Exemplo 2.2
Considere as seguintes func¸o˜es-movimento de uma partı´cula: fx(t) = 0, fy(t) =
4t− t2 e fz(t) = 0.
Como no exemplo anterior, a partı´cula tambe´m esta´ em movimento re-
tilı´neo, mas neste caso ao longo do eixo OY . A sua coordenada y no instante
t e´ dada por y = 4t − t2. Note que a partı´cula passa pela origem no instante
t = 0 segundo e retorna a ela no instante t = 4 segundos. A figura 2.3 mostra as
posic¸o˜es da partı´cula nos instantes −1, 0, 1, 2, 3, 4, e 5 segundos.
fy(0) = fy(4) = 0
fy(1) = fy(3) = 3
fy(2) = 4
X
Y
Z
fy(−1) = fy(5) = −5 ↘
Fig. 2.3: A partı´cula inverte o sentido de seu movimento em t = 2s.
Observe que as distaˆncias entre duas posic¸o˜es consecutivas quaisquer mar-
cadas na figura 2.3 na˜o sa˜o todas iguais, embora sejam