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17405_Fisica1A_Aulas_1a12_modulo_1_Volume_01

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a movimentar-
se a partir de t = 0 segundo, mas agora com as seguintes func¸o˜es-movimento:

xA = 4t ,
yA = t ,
zA = 0 ;
e


xB = 40 ,
yB = Ct ,
zB = 0 .
,
onde C e´ uma constante real.
(a) Trace as trajeto´rias das partı´culas e determine o ponto em que elas se
interceptam (note que as coordenadas desse ponto na˜o dependem do
valor de C).
(b) Qual deve ser a condic¸a˜o sobre os valores de C para que as partı´culas
passem ao mesmo tempo pelo ponto de intersec¸a˜o das trajeto´rias?
(c) Para que valores de C a partı´cula B passa pelo ponto de intersec¸a˜o
antes que a partı´cula A?
7. As func¸o˜es-movimento de uma partı´cula sa˜o dadas por:

x = 2 cos(2t) ,
y = 4 sen(2t) ,
z = 0 .
(a) Eliminando t das equac¸o˜es anteriores, encontre a relac¸a˜o entre as coor-
denadas x e y que, juntamente com a condic¸a˜o z = 0 metro,
da´ a trajeto´ria da partı´cula. Qual o nome da curva constituı´da por
essa trajeto´ria?
(b) Fac¸a um desenho da trajeto´ria no plano OXY e marque as posic¸o˜es
da partı´cula em intervalos de tempo de 0, 5 segundo, desde o instante
t = 0 segundo ate´ o instante t = 3 segundos.
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A descric¸a˜o matema´tica do movimento
Auto-avaliac¸a˜o
Voceˆ deve ser capaz de responder a todo o questiona´rio. Ale´m disso, voceˆ
deve saber o caminho para resolver todos os problemas propostos, embora possa
na˜o conseguir termina´-los por dificuldades matema´ticas ou por lhe escapar algum
detalhe importante para prosseguir na soluc¸a˜o. Observe que os problemas propos-
tos aparecem em ordem crescente de dificuldade.
CEDERJ 36
Deslocamento e velocidade me´dia no movimento retilı´neo
M ´ODULO 1 - AULA 3
Aula 3 – Deslocamento e velocidade me´dia no
movimento retilı´neo
Objetivos
• Entender os conceitos de deslocamento e velocidade me´dia no movimento
retilı´neo.
• Saber calcular deslocamentos e velocidades me´dias em movimentos dados
e, em particular, no caso do movimento retilı´neo uniforme.
Introduc¸a˜o
Na aula anterior, voceˆ aprendeu o conceito de func¸o˜es-movimento de uma
partı´cula. Tambe´m foi dito que o problema fundamental da mecaˆnica cla´ssica
consiste em encontrar as func¸o˜es-movimento de uma partı´cula em cada situac¸a˜o
apresentada. Para resolver esse problema, e´ nessa´rio estudar certas caracterı´sticas
fundamentais do movimento, tais como velocidade e acelerac¸a˜o.
Nesta aula e nas pro´ximas, vamos considerar o caso particular de movimen-
tos retilı´neos. Entendendo bem os conceitos fundamentais do movimento nesse
caso, torna-se mais fa´cil entendeˆ-los depois no caso de movimentos gerais. Note
que os movimentos discutidos nos treˆs primeiros exemplos da aula anterior sa˜o
movimentos retilı´neos. Na presente aula, vamos estudar os conceitos de deslo-
camento e velocidade me´dia, que nos preparam para o estudo de velocidade e
acelerac¸a˜o, to´picos das aulas seguintes.
Deslocamento
Consideremos uma partı´cula que pode mover-se apenas ao longo de uma
reta. Tal movimento e´ dito retilı´neo ou unidimensional. Vamos escolher o eixo
OX de nosso referencial ao longo dessa reta. Nesse caso, as coordenadas y e z da
partı´cula sera˜o sempre nulas e a posic¸a˜o da partı´cula fica determinada apenas por
sua coordenada x. Por isso, muitas vezes chamamos a coordenada x de posic¸a˜o da
partı´cula. As func¸o˜es-movimento que da˜o as coordenadas y e z sa˜o, obviamente,
37 CEDERJ
Deslocamento e velocidade me´dia no movimento retilı´neo
as func¸o˜es nulas: fy(t) = 0, fz(t) = 0. Para estudar um movimento, basta
concentrarmo-nos na func¸a˜o fx que da´ a posic¸a˜o x em qualquer instante t durante
o movimento:
x = fx(t) . (3.1)
Vamos supor que a partı´cula execute um movimento retilı´neo descrito por
uma dada func¸a˜o fx, de acordo com (3.1). Vamos considerar um intervalo de
tempo [t1, t2], desde um instante t1 ate´ um instante t2, durante o movimento da
partı´cula.
Note que o intervalo em questa˜o,
[t1, t2] =
{t ∈ lR |t1 ≤ t ≤ t2}, e´
fechado, isto e´, conte´m os
extremos t1 e t2. No contexto
em que estamos, e´ bom usar o
intervalo fechado para termos a
liberdade de considerar ou na˜o a
situac¸a˜o particular em que
t2 = t1. Nessa situac¸a˜o , o
intervalo se reduz a um u´nico
instante, isto e´: [t1, t2] = {t1}.
Seja x1 a posic¸a˜o da partı´cula no instante t1 e x2 a sua posic¸a˜o no instante
t2. A variac¸a˜o de posic¸a˜o da partı´cula, do instante t1 ao instante t2, e´ a diferenc¸a
x2 − x1. Essa variac¸a˜o e´ chamada de deslocamento da partı´cula do instante t1 ao
instante t2, ou de deslocamento da partı´cula no intervalo [t1, t2]. Para representar o
deslocamento da partı´cula no intervalo [t1, t2], podemos usar o sı´mbolo ∆x[t1, t2],
isto e´:
∆x[t1, t2] = x2 − x1 . (3.2)
O sı´mbolo ∆ significa variac¸a˜o da grandeza que esta´ escrita logo apo´s esse
sı´mbolo. Por exemplo, no caso da fo´rmula anterior, ∆x[t1, t2] significa variac¸a˜o
da posic¸a˜o x (lembre-se de que o deslocamento e´ uma variac¸a˜o de posic¸a˜o), e o
intervalo [t1, t2] indica que a variac¸a˜o da posic¸a˜o x em questa˜o e´ a que acontece
durante o intervalo de tempo de t1 a t2. Esse e´ um sı´mbolo muito complicado e e´
conveniente utiliza´-lo somente por enquanto, pois acabamos de definir o conceito
de deslocamento e queremos que o seu sı´mbolo mostre tudo o que e´ importante
no conceito. Na pra´tica, se o conceito ja´ esta´ claro, voceˆ pode trocar o sı´mbolo
∆x[t1, t2] por algo mais simples como, por exemplo, ∆x, deixando implı´cito o
intervalo de tempo no qual estamos considerando o deslocamento.
A unidade de deslocamento e´, naturalmente, a mesma da posic¸a˜o. Se expri-
mirmos as posic¸o˜es em metros, os deslocamentos sera˜o dados tambe´m em metros.
O deslocamento de uma partı´cula em um intervalo de tempo, assim como
quaisquer outras informac¸o˜es sobre o movimento, e´ fornecido pela func¸a˜o-movimento:
∆x[t1, t2] = x2 − x1 = fx(t2)− fx(t1) . (3.3)
Um deslocamento e´ positivo se, e somente se, x2 > x1. Isso indica que
o sentido da posic¸a˜o inicial x1 para a final x2 e´ o sentido positivo do eixo OX ,
conforme mostra a figura 3.1. Nesse caso, dizemos que o deslocamento ocorre no
sentido positivo do eixo OX .
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Deslocamento e velocidade me´dia no movimento retilı´neo
M ´ODULO 1 - AULA 3
x2 > x1
O x1 x2 X
Fig. 3.1: Deslocamento positivo no eixo OX .
Um deslocamento e´ negativo se, e somente se, x2 < x1. Isso indica que
o sentido da posic¸a˜o inicial x1 para a final x2 e´ o sentido negativo do eixo OX ,
conforme mostra a figura 3.2. Nesse caso, dizemos que o deslocamento ocorre no
sentido negativo do eixo OX .
x2 < x1
O x2 x1 X
Fig. 3.2: Deslocamento negativo no eixo OX .
Durante um movimento qualquer, podem ocorrer deslocamentos no sentido
positivo ou negativo do eixo OX . No movimento de uma partı´cula,
durante uma parte do tempo, tambe´m pode ocorrer que todos os deslocamentos
sejam positivos, em qualquer intervalo de tempo que se considere dentro dessa
parte. Nesse caso, dizemos que durante essa parte do tempo o movimento tem
o sentido positivo do eixo dos OX . Se, por outro lado, durante parte do tempo
todos os deslocamentos sa˜o negativos, em qualquer intervalo de tempo que se
considere dentro dessa parte, dizemos que o movimento tem o sentido negativo
do eixo dos OX . Pode ocorrer tambe´m que durante uma parte do tempo ocorram
deslocamentos positivos e negativos. A figura 3.3 mostra as posic¸o˜es da partı´cula
em quatro instantes consecutivos t1, t′, t′′ e t2 (t1 < t′ < t′′ < t2).
O x1 x2x′′ x′ X
Fig. 3.3: Posic¸o˜es de uma partı´cula em uma sequ¨eˆncia de quatro instantes.
No instante t1, a partı´cula passa por x1; no instante t′, chega em x′, onde
39 CEDERJ
Deslocamento e velocidade me´dia no movimento retilı´neo
pa´ra e volta ate´ a posic¸a˜o x′′, onde chega no instante t′′. De x′′ a partı´cula vai
ate´ x2, onde