A maior rede de estudos do Brasil

Grátis
205 pág.
17405_Fisica1A_Aulas_13a20_modulo_2_Volume_01

Pré-visualização | Página 3 de 50

como o considerado no exemplo dado anterior-
mente, pode ser chamado referencial terrestre. Os referenciais terrestres sa˜o im-
portantes, porque sa˜o normalmente fixados em nossos laborato´rios e instrumentos
de medic¸a˜o. Os movimentos dos planetas, por exemplo, sa˜o descritos na pra´tica
por vetores-posic¸a˜o em relac¸a˜o a um referencial terrestre. Estes vetores sa˜o indi-
cados por telesco´pios e demais instrumentos astronoˆmicos fixos na superfı´cie da
Terra. Em relac¸a˜o aos referenciais terrestres, os movimentos planeta´rios se mos-
tram muito mais complicados do que em relac¸a˜o ao referencial copernicano. Um
defeito ainda mais grave dos referenciais terrestres e´ que eles na˜o sa˜o inerciais,
como ja´ vimos. De fato, devido ao movimento da Terra em relac¸a˜o a`s estrelas
fixas, principalmente o seu movimento de rotac¸a˜o em torno do seu eixo polar, ob-
servamos as estrelas em movimento circular em relac¸a˜o a referenciais terrestres,
como ilustrado na Figura 13.3.
Como afirmamos na Introduc¸a˜o, as leis dinaˆmicas do movimento teˆm sua
forma mais simples quando o movimento e´ considerado em relac¸a˜o a referenciais
inerciais. Com isso, os movimentos em relac¸a˜o aos nossos referenciais terrestres,
que somos constantemente obrigados a usar, na˜o poderiam ser estudados usando
as leis da dinaˆmica em sua forma mais simples. A situac¸a˜o na˜o e´ assim ta˜o ca-
tastro´fica quanto parece, por um motivo que explicaremos agora. Acontece que
o movimento circular das estrelas, em relac¸a˜o a um referencial terrestre, e´ extre-
mamente lento nos intervalos de tempo em que ocorre uma grande variedade de
fenoˆmenos. Durante esses intervalos de tempo, as estrelas sa˜o observadas, em
relac¸a˜o a referenciais terrestres e dentro das preciso˜es exigidas, em repouso ou,
no ma´ximo, em um MRU. Nesses intervalos de tempo, os referenciais terrestres
podem enta˜o ser considerados, com boa aproximac¸a˜o, inerciais. Ha´ fenoˆmenos de
grande durac¸a˜o ou extrema delicadeza, para os quais na˜o e´ possı´vel usar um re-
ferencial terrestre como se fosse inercial. Esses fenoˆmenos sa˜o estudados a` parte
e requerem um tratamento especial. De um modo geral, estudaremos fenoˆmenos
para os quais e´ possı´vel considerar os referenciais terrestres como inerciais. Va-
mos estabelecer a convenc¸a˜o a seguir.
Sempre que usarmos um referencial terrestre, estara´ implı´cito que ele
pode ser considerado inercial, a menos que seja explicitamente dito
o contra´rio.
Note que na˜o ha´ nada de estranho em usar referenciais aproximadamente
inerciais, como os referenciais terrestres, como se fossem inerciais. Na verdade,
na˜o podemos afirmar que um certo referencial e´ perfeitamente inercial. De fato,
para comec¸ar, as partı´culas isoladas que usamos para verificar se um referencial
CEDERJ 14
Partı´cula isolada, referencial inercial e forc¸as
M ´ODULO 2 - AULA 13
e´ inercial na˜o sa˜o perfeitamente isoladas, pois na˜o se encontram a distaˆncias in-
finitas dos demais corpos do universo, como ja´ discutimos. Ale´m disso, quando
dizemos que as acelerac¸o˜es de partı´culas isoladas sa˜o nulas em relac¸a˜o a um certo
referencial, na˜o entendemos que sejam exatamente nulas, pois na˜o e´ possı´vel me-
dir uma acelerac¸a˜o, ou qualquer outra grandeza, com precisa˜o absoluta.
Podemos dizer que as acelerac¸o˜es sa˜o nulas dentro de uma certa margem
de erro e, consequ¨entemente, concluir que um certo referencial e´ inercial dentro
de uma certa aproximac¸a˜o. O pro´prio referencial copernicano, que usamos como
exemplo de referencial inercial, na˜o pode ser considerado perfeitamente inercial.
Ele talvez seja o referencial que mais se aproxime da definic¸a˜o idealizada de um
referencial inercial. Ja´ havı´amos comentado sobre este aspecto da Fı´sica, que usa
conceitos idealizados na formulac¸a˜o da teoria, mas lida com objetos e fenoˆmenos
que exemplificam esses conceitos apenas de maneira aproximada. Talvez deva-
mos, a partir desse momento, na˜o preveni-lo mais sobre este aspecto da Fı´sica.
Nos pro´ximos conceitos que apresentarmos, voceˆ mesmo sabera´ distinguir o as-
pecto idealizado de suas realizac¸o˜es concretas imperfeitas e aproximadas.
Antes, pore´m, de passarmos para a pro´xima sec¸a˜o e discutirmos a chamada
Primeira Lei de Newton, vamos finalizar esta sec¸a˜o mostrando um resultado muito
importante, a saber: dado um referencial inercial, ha´ uma infinidade de outros
referenciais inerciais.
Com esse objetivo, vamos considerar o referencial R, com eixos OXYZ ,
e o referencial R ′, com eixos O ′X ′Y ′Z ′ que, por hipo´tese, movimenta-se em
relac¸a˜o a R de tal modo que os eixos O ′X ′, O ′Y ′ e O ′Z ′ permanec¸am sem-
pre paralelos aos eixos OX , OY e OZ , respectivamente. Ale´m disso, vamos
supor que o movimento da origem O ′, quando observado do referencial R, seja
um MRU de velocidade V. Vale ressaltar nesse momento que, devido ao parale-
lismo entre os eixos dos referenciais R e R ′, os unita´rios (u′x,u′y,u′z) dos eixos
O ′X ′Y ′Z ′ coincidem com os unita´rios (ux,uy,uz) dos eixos OXYZ . Quando se diz que um corpo tem
uma certa velocidade, deve-se
entender que todas as suas
partı´culas esta˜o com essa mesma
velocidade. Nesse caso tambe´m
se diz que o corpo esta´ em
movimento de translac¸a˜o. ´E com
essas ide´ias que dizemos que um
referencial tem uma certa
velocidade em relac¸a˜o a outro.
Consideremos, enta˜o, o movimento de uma partı´cula em relac¸a˜o a R e esse
mesmo movimento em relac¸a˜o a R ′. Vejamos como relacionar suas posic¸o˜es,
velocidades e acelerac¸o˜es observadas num desses referenciais com suas posic¸o˜es,
velocidades e acelerac¸o˜es observadas no outro. Num dado instante de tempo, seja
r o seu vetor-posic¸a˜o no referencial R, r ′ o seu vetor-posic¸a˜o no referencial R ′ e
R o vetor-posic¸a˜o da origemO ′ em relac¸a˜o aR. Esses vetores podem ser escritos
em termos de suas componentes cartesianas como:
r = xux+yuy+zuz ; r
′ = x ′u ′x+y
′u ′y+z
′u ′z ; R = Xux+Y uy +Zuz .
15 CEDERJ
Partı´cula isolada, referencial inercial e forc¸as
A Figura 13.5 ilustra essa situac¸a˜o (o desenho mostra apenas dois dos eixos para
cada referencial, a fim de na˜o sobrecarregar a figura).
X
X ′
O
Y
O′
R
Y ′
r r′
Fig. 13.5: Posic¸o˜es de uma partı´cula em movimento em relac¸a˜o aos referenciais R e R ′, comR ′ em MRU em relac¸a˜o a
R.
A partir da Figura 13.5, obte´m-se, de imediato,
r = r ′ +R . (13.1)
Escrevendo a equac¸a˜o anterior, em termos de suas respectivas componentes car-
tesianas, temos: 

x = x′ + X
y = y′ + Y
z = z′ + Z .
(13.2)
Derivando as expresso˜es anteriores em relac¸a˜o ao tempo, obtemos:

vx = v
′
x + Vx
vy = v
′
y + Vy
vz = v
′
z + Vz ,
(13.3)
onde, na primeira equac¸a˜o, identificamos vx=dx/dt, v ′x=dx′/dt e Vx=dX/dt, en-
quanto, nas duas outras equac¸o˜es, identificamos expresso˜es ana´logas.
As equac¸o˜es escritas em (13.3) podem ser agrupadas numa forma vetorial
compacta, como
v = v ′ +V , (13.4)
onde, por definic¸a˜o, temos
v = vxux+vyuy+vzuz , v
′ = v ′xu
′
x+v
′
yu
′
y+v
′
zu
′
z , V = Vxux+Vyuy+Vzuz .
CEDERJ 16
Partı´cula isolada, referencial inercial e forc¸as
M ´ODULO 2 - AULA 13
A equac¸a˜o (13.4), conhecida como transformac¸a˜o de Galileu para as velocida-
des, informa-nos que a velocidade da partı´cula em relac¸a˜o a R e´ igual a` soma
vetorial de sua velocidade em relac¸a˜o a R ′ com a velocidade da origem O ′ em
relac¸a˜o a R.
Derivando as equac¸o˜es escritas em (13.3) em relac¸a˜o ao tempo, obtemos

ax = a
′
x
ay = a
′
y
az = a
′
z ,
(13.5)
onde, na primeira equac¸a˜o, identificamos ax = dvx/dt, a ′x = dv′x/dt, enquanto
nas duas outras equac¸o˜es identificamos expresso˜es ana´logas. Note que as deriva-
das em relac¸a˜o ao tempo de Vx, Vy e Vz na˜o aparecem nas equac¸o˜es anteriores por
serem todas nulas.