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17405_Fisica1A_Aulas_13a20_modulo_2_Volume_01

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V tem mo´dulo:
|V| = 2πA
2π/ω
= ωA =⇒ V = ωAux .
Temos, enta˜o,
R = Auy + ωAtux . (13.17)
Substituindo as equac¸o˜es (13.17) e (13.14) em (13.16), obtemos
r ′ = A [ωt− sen(ωt)]ux + A [1− cos(ωt)]uy − (Auy + ωAtux)
= −A
[
sen(ωt)u ′x + cos(ωt)u
′
y
]
, (13.18)
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Partı´cula isolada, referencial inercial e forc¸as
M ´ODULO 2 - AULA 13
onde, na u´ltima igualdade, usamos o fato de queux = u ′x e uy = u ′y. Da expressa˜o
anterior, fica claro que o movimento do gra˜o em relac¸a˜o a R ′ e´ circular, pois
x ′2 + y ′2 = A2
[
sen2(ωt) + cos2(ωt)
]
= A2 . (13.19)
A velocidade do gra˜o em relac¸a˜o a R ′, num instante gene´rico, e´ dada por:
v ′ =
dr ′
dt
= −ωA
[
cos(ωt)u ′x − sen(ωt)u ′y
]
. (13.20)
A partir da equac¸a˜o anterior, podemos calcular o mo´dulo de v ′:
|v ′|2 = v ′x2 + v ′y2 = (ωA)2
[
cos2(ωt) + sen2(ωt)
]
= (ωA)2 . (13.21)
v = ωA(ux + uy)
a1 = ω2Aux
(a)
(b)
v = 2ωAux
a2 = −ω2Auy
a3 = −ω2Aux v = ωA(ux − uy)
Y
O X
X ′
v′ = ωAu′y
v′ = ωAu′x
v′ = −ωAu′y
a3
a2
Aa1
O′
Y ′
Fig. 13.9: Trajeto´rias do gra˜o com velocidades e acelerac¸o˜es marcadas em alguns instantes: (a) no referencial R; (b) no
referencial R ′.
As equac¸o˜es (13.19) e (13.21) mostram que, para um observador em R ′,
o movimento do gra˜o e´ circular, de raio A e centro em O ′, e uniforme. Para
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Partı´cula isolada, referencial inercial e forc¸as
descobrirmos o sentido do movimento, podemos analisar tanto a equac¸a˜o (13.18)
quanto a equac¸a˜o (13.20). Por exemplo, substituindo t = 0s em (13.20), obtemos
v ′0 = −ωAu ′x, resultado que indica ser hora´rio o sentido do movimento visto a
partir de um ponto no semi-eixo positivoO ′Z ′.
Na Figura 13.9, esta˜o desenhadas as trajeto´rias do gra˜o nos dois referenciais.
Enquanto no referencialR ′ ela e´ circular de raio A e centro emO ′, como ilustrado
na Figura 13.9(b), no referencial R ela e´ uma ciclo´ide de cı´rculo geratriz de raio
A, como ilustrado na Figura 13.9(a). Nessas figuras, esta˜o indicadas, ainda, as
velocidades e acelerac¸o˜es do gra˜o em alguns instantes do movimento observadas
por cada um dos referenciais. Vale enfatizar que, embora v ′ �= v, as acelerac¸o˜es
do gra˜o observadas nos dois referenciais sa˜o ideˆnticas, isto e´, a ′ = a, como era de
se esperar, uma vez que R ′ se move em MRU relativamente a R (comparando as
Figuras 13.9(a) e 13.9(b), verifique o que foi afirmado neste u´ltimo comenta´rio).
Uma vez que o movimento do gra˜o em relac¸a˜o aR ′ e´ circular e, por sua vez,
esse referencial se translada com um movimento retilı´neo em relac¸a˜o a R, pode-
mos concluir que o movimento cicloidal pode ser pensado como uma composic¸a˜o
apropriada de um movimento retilı´neo com um circular.
A Figura 13.10 ilustra o movimento do gra˜o e o movimento dos eixos deR ′
em relac¸a˜o a R. Nela, esta˜o marcadas as posic¸o˜es do gra˜o e dos eixos de R ′ nos
instantes t0 = 0, t1 = π/2ω, t2 = π/ω, t3 = 3π/2ω e t4 = 2π/ω. Escolhemos
deliberadamente esses instantes, pois durante um intervalo de tempo igual a π/2ω
o pneu gira de um aˆngulo igual a π/2 radianos, fazendo com que tais pontos sejam
bastante ilustrativos do movimento do gra˜o.
Y ′
2A
Y
Y ′ Y ′Y ′ Y ′
O ′ O′ O′
O
O′ O′X ′ X ′ X ′ X ′ X ′
t0 t1
t2
t3
t4
X2πA3πA
2
πAπA
2
• •
Fig. 13.10: Referenciais R eR ′ e posic¸o˜es do gra˜o em va´rios instantes.
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Partı´cula isolada, referencial inercial e forc¸as
M ´ODULO 2 - AULA 13
A partir dessa figura, podemos ainda, se bem que com algum esforc¸o, visu-
alizar o movimento do gra˜o em relac¸a˜o a R ′. Note, por exemplo, que no instante
t = 0s, o gra˜o esta´ no semi-eixo negativo O ′Y ′; no instante t = π/2ω, o gra˜o
esta´ no semi-eixo negativoO ′X ′; em t = π/ω, o gra˜o esta´ no semi-eixo positivo
O ′Y ′ e assim por diante, de modo que o gra˜o esta´ circulando em torno de O ′ no
sentido hora´rio, como ja´ havı´amos comentado anteriormente.
Primeira lei de Newton
Definimos partı´cula isolada e usamos esse conceito para definir referencial
inercial. Sabemos que referenciais podem ou na˜o ser inerciais e temos dois exem-
plos de referenciais que consideramos inerciais. O referencial copernicano e´ um
exemplo de referencial inercial e os referenciais terrestes tambe´m podem, com
boa aproximac¸a˜o, ser considerados inerciais na maioria dos problemas que vamos
estudar. Agora vamos enunciar, na forma de uma lei, os resultados obtidos apo´s
um enorme conjunto de observac¸o˜es e medic¸o˜es.
Em primeiro lugar, percebemos a existeˆncia de referenciais inerciais, o que
depende de outra observac¸a˜o: a de que existem partı´culas que podem ser conside-
radas isoladas. Agora, observamos tambe´m outro fenoˆmeno de suma importaˆncia,
que enunciamos da seguinte forma:
em relac¸a˜o a qualquer referencial inercial, qualquer partı´cula iso-
lada esta´ em repouso ou em MRU.
Para verificar se um referencial e´ inercial, usamos treˆs partı´culas isoladas
na˜o-colineares e concluı´mos que o referencial e´ inercial se, em relac¸a˜o a ele, as
treˆs partı´culas esta˜o em repouso ou em MRU. O fato de que essas treˆs partı´culas
esta˜o em repouso ou em MRU em relac¸a˜o ao referencial inercial e´ apenas uma
decorreˆncia da verificac¸a˜o de que o referencial e´ inercial. E quanto a`s outras
partı´culas isoladas do universo, ale´m das treˆs mencionadas? O que a lei enunci-
ada anteriormente afirma e´ que todas essas outras partı´culas isoladas do universo
esta˜o em repouso ou em MRU em relac¸a˜o ao referencial inercial. Essa e´ uma
afirmac¸a˜o que na˜o decorre apenas da definic¸a˜o de referencial inercial. ´E uma lei
fı´sica confirmada por uma imensa quantidade de dados experimentais. Essa lei
e´ uma forma preliminar e parcial da primeira lei de Newton, que enunciaremos
mais adiante.
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Partı´cula isolada, referencial inercial e forc¸as
Lembre-se de nossa motivac¸a˜o para definir partı´cula isolada como uma partı´-
cula infinitamente afastada de todos os demais corpos do universo. Querı´amos
garantir, com isso, que ela na˜o sofresse influeˆncia alguma dos outros corpos do
universo, exatamente por estar infinitamente afastada de todos eles. Uma vez acei-
tando que uma partı´cula isolada na˜o sofra influeˆncia de nenhum outro corpo do
universo, podemos perguntar qual o seu movimento em relac¸a˜o aos diversos re-
ferenciais. Em relac¸a˜o aos referencias inerciais, a resposta e´ dada pela lei que ja´
enunciamos: tal partı´cula tem o mais simples dos movimentos, o movimento de
acelerac¸a˜o nula, isto e´, ela esta´ em repouso ou em MRU.
Ja´ em relac¸a˜o aos referenciais na˜o-inerciais, e´ possı´vel verificar que essa
partı´cula, que julgamos na˜o sofrer nenhuma influeˆncia de qualquer outro corpo do
universo, pode ter qualquer tipo de movimento acelerado, movimentos ta˜o com-
plicados quanto quisermos imaginar. Vemos enta˜o que, pelo menos para estudar
o movimento de partı´culas isoladas, os referenciais inerciais sa˜o os mais conve-
nientes porque, em relac¸a˜o a eles, os movimentos observados sa˜o os mais sim-
ples possı´veis. Veremos mais adiante que tambe´m no estudo dos movimentos de
partı´culas que na˜o sa˜o isoladas, os referenciais inerciais sa˜o os mais convenien-
tes. Em relac¸a˜o a eles, os fenoˆmenos da Natureza aparecem em suas formas mais
simples de se compreender. Por esse motivo, sempre supomos que os referenciais
utilizados no estudo de qualquer movimento sa˜o inerciais, a menos que se afirme
explicitamente o contra´rio. Desse modo, e´ costume na˜o afirmar que estamos
usando um referencial inercial, ficando subentendida esta informac¸a˜o. Seguindo
esse procedimento, a lei que enunciamos anteriormente pode ter a seguinte
forma resumida:
qualquer partı´cula isolada permanece em repouso ou em MRU.
Ja´ sabemos que tal lei so´ e´ va´lida se o referencial usado e´