AD1_2012 2

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
1a Avaliac¸a˜o a Distaˆncia de Me´todos Determin´ısticos II
2o Semestre de 2012
Resoluc¸a˜o
Questa˜o 1: (2,0pts) Considere as func¸o˜es reais f e g cujas lei de formac¸a˜o sa˜o f(x) = 2x+1
x−1 e
g(x) = x+1
x−2
a) Determine (g ◦ f)(x).
b) Mostre que (f ◦ g)(x) = x.
Soluc¸a˜o: a) (Se acertou as contas vale 1pt)
(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = f(x) + 1
f(x)− 2 =
2x+1
x−1 + 1
2x+1
x−1 − 2
= x.
b) (Se acertou as contas vale 1pt)
(f ◦ g)(x) = f(g(x)) = 2g(x) + 1
g(x)− 1 =
2(x+1)
x−2 + 1
x+1
x−2 − 1
= x.
Questa˜o 2: (2,0pts) Determine o “maior” conjunto A tal que Im(f) ⊂ D(g); em seguida, construa
a composta h(x) = (g ◦ f)(x).
A) g(x) =
√
x− 1 e f : A→ R, f(x) = 2x+1
x−3 ;
B) g(x) =
√
x2 − 1 e f : A→ R, f(x) = x2 − 2.
Soluc¸a˜o: Cada um dos itens vale 1pt. O ponto de cada item deve ser dado sendo 0, 3pt se acertar o
D(g) e 0, 5pt se acertar o conjunto A e 0, 2pt se acertar h(x). A) Precisamos determinar oD(g), mas isto
significa encontrar os x ∈ R tais que fac¸a sentido calcular g(x) = √x− 1, ou seja, x− 1 ≥ 0⇔ x ≥ 1.
Logo
D(g) = {x ∈ R : x ≥ 1} .
Para determinar o conjunto A considere
2x+ 1
x− 3 ≥ 1⇔
2x+ 1
x− 3 − 1 =
x+ 4
x− 3 ≥ 0.
Fazendo a ana´lise do sinal de x+4
x−3 obtemos
1
x+ 4 −4
−4
−4
x− 3
x+4
x−3
3
3
3
− + +
− − +
+ − +
Portanto, A = {x ∈ R : x ≤ −4 ou x > 3}.
E por fim, h(x) = (g ◦ f)(x) =
√
f(x)− 1 =
√
x+4
x−3 .
B) Para determinar o domı´nio de g(x), lembre que x2 − 1 = (x− 1)(x+ 1) e´ uma para´bola com boca
voltada para cima. As ra´ızes desta para´bola sa˜o x = −1 e x = 1, logo
D(g) = {x ∈ R : x ≤ −1 ou x ≥ 1} .
Para determinar o conjunto A precisamos determinar os x ∈ R tais que: 1a x2−2 ≤ −1⇔ x2−1 ≤ 0
ou 2a x2 − 2 ≥ 1⇔ x2 − 3 ≥ 0.
Para a 1a condic¸a˜o ja´ sabemos que −1 ≤ x ≤ 1. Para a 2a condic¸a˜o, como x2−3 = (x+√3)(x−√3)
e´ uma para´bola com a boca voltada para cima, segue que x ≤ −√3 ou x ≥ √3.
Portanto,
A =
{
x ∈ R : x ≤ −
√
3 ou − 1 ≤ x ≤ 1 ou x ≥
√
3
}
.
E h(x) = (g ◦ f)(x) =
√
(f(x))2 − 1 = √x4 − 4x2 + 3.
Questa˜o 3: (3,0pts) Considere a func¸a˜o Real f(x) = 2+5k(x−2), onde k ainda precisa ser determinado.
i) Determine o valor de k sabendo que f(4) = 7;
ii) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f ;
iii) Determine a imagem de f ;
iv) Determine a inversa de f , explicitando o seu domı´nio;
Soluc¸a˜o: Os itens i) e iii) valem 0, 5pt cada, e os itens ii) e iv) valem um ponto cada.
i) Queremos determinar k, para isto observe que
f(4) = 2 + 5k(4−2) = 2 + 52k = 7⇔ 52k = 5⇔ k = 1
2
.
ii) O esboc¸o do gra´fico se inicia com o esboc¸o de 5x, seguido por 5
1
2
x, depois 5
1
2
(x−2) e por fim f(x).
Veja os esboc¸os abaixo:
E por fim,
iii) Observe que 5x tem como imagem y ∈ R : y > 0, logo 5 12 (x−2) tem a mesma image. E por fim
Im(f) = {y ∈ R : y > 2}
iv) Para encontrar a inversa da func¸a˜o, usamos o artif´ıcio de chamar x de y, igualar a func¸a˜o a x e,
por fim, tentar isolar y
2
Figure 1: Gra´fico de 5x Figure 2: Gra´fico de 5x e 5
1
2
x
Figure 3: Gra´fico de 5
1
2
x e 5
1
2
(x−2) Figure 4: Gra´fico de 5
1
2
(x−2) e 2+5
1
2
(x−2)
x = 2 + 5
1
2
(y−2) ⇔ x− 2 = 5 12 (y−2) ⇔ 2 log5(x− 2) + 2 = y.
Portanto f−1 : (2,+∞)→ R e e´ dado pela expressa˜o f−1(x) = 2 + 2 log5(x− 2).
Questa˜o 4: (3,0pts) Calcule os seguintes limites:
I) lim
x→1
(3− x3)4 − 16
x3 − 1
II) lim
x→7
√
x−√7√
x+ 7−√14
III) lim
x→−1
x3 + 1
x2 + 4x+ 3
Soluc¸a˜o: Cada item vale 1, 0pt.
I) Para calcular o lim
x→1
(3− x3)4 − 16
x3 − 1 , chama de u = 3 − x
3, logo quando x → 1 temos que u → 2.
Ale´m disso,
lim
x→1
(3− x3)4 − 16
x3 − 1 = limu→2
u4 − 16
2− u = limu→2
(u− 2)(u+ 2)(u2 + 4)
2− u = − limu→2(u+ 2)(u
2 + 4) = −32.
3
II) Para calcularmos lim
x→7
√
x−√7√
x+ 7−√14, como ao substituir x = 7 tanto o numerador como o denom-
inador se anula, precisamos multiplicar pelo seu conjugado, isto e´,
lim
x→7
√
x−√7√
x+ 7−√14 ·
√
x+
√
7√
x+
√
7
·
√
x+ 7 +
√
14√
x+ 7 +
√
14
Simplificando obtemos
lim
x→7
x− 7
x+ 7− 14 ·
√
x+ 7 +
√
14√
x+
√
7
=
2
√
14
2
√
7
=
√
2.
III) Como −1 e´ raiz de x3 + 1 e de x2 + 4x+ 3, estes polinoˆmios sa˜o divis´ıveis por x+ 1:
x3 + 1 = (x+ 1)(x2 − x+ 1) e x2 + 4x+ 3 = (x+ 1)(x+ 3).
Assim,
lim
x→−1
x3 + 1
x2 + 4x+ 3
= lim
x→−1
x2 − x+ 1
x+ 3
=
3
2
.
4