Apostila Cálculo III

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Cálculo Diferencial Integral III
I) Funções de Mais de Uma Variável
1) Funções de Mais de Uma Variável
Seja A um conjunto do espaço n-dimensional 
, isto é, os elementos de A são n-uplas ordenadas 
 de números reais. Se a cada ponto P do conjunto A associamos um único elemento 
, temos uma função 
. Essa função é chamada de função de n-variáveis reais. E denotamos por:
 ou 
.
A partir dessa definição, tem-se que o domínio de uma função de n variáveis é um conjunto de pontos em 
 e que a imagem é um conjunto de números reais ou, equivalentemente, um conjunto de pontos em 
.
Exemplos de Funções de Várias Variáveis
 (volume de um cilindro)
 (equação de estado de um gás ideal)
 (montante de um capital)
2) Estudo do Domínio e da Imagem de Funções de Várias Variáveis
Como já foi dito anteriormente, o domínio de uma função de n variáveis é um conjunto de pontos em 
 e a imagem é um conjunto de pontos em 
. É de extrema importância sabermos analisar bem estes conjuntos.
Exemplos:
1 ) Determine o domínio e a imagem da função 
.
Solução:
 
 
Temos pois : x² + y² 
 8² (círculo) logo, 
ou Imf = [ 0; 8 ].
	 Centro (0,0)
	 e raio 
 8 
 	x
	z
 8
	
 -8	 y
	y	 -8 
 8 
	x		 - 8
 	
2 ) Determine o Domínio para 
, e esboce o gráfico do domínio.
Solução:
 
Gráfico do Domínio:
 z
	
 
 
	y	 
 	
	
 x 
3 ) Ache o domínio de 
		
Solução : x + y > 0 e x – y > 0 (A)
 x² - y² > 0 
( x + y ).( x – y ) > 0 
 ou
 	 x + y < 0 e x – y < 0 (B)
Logo : D(w) =
 
Gráfico do Domínio:
	 y = - x y = x
	(B)	(A)
	x + y < 0	 x + y > 0
	y
	x - y < 0 x - y > 0
4 ) Ache o domínio da função w =
 R.
Solução:
Para w pertencente a R temos x1 + x2 + x3 + x4 + x5 
0, logo :
Dw = { (x1 , x2 , x3 , x4 , x5) 
R5 | x1 + x2 + x3 + x4 + x5 
0 }.
Exercícios:
1) Encontre uma função de várias variáveis que nos dê:
A quantidade em metros quadrados, de papel de parede necessária para revestir as paredes laterais de um quarto retangular de x metros de largura e y metros de comprimento, se a altura do quarto é z metros.
O volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões x, y e z.
A distância entre dois pontos P(x, y, z) e Q(u, v, w).
2) Determine o domínio das seguintes funções:
�
 a ) z = xy
 b) 
 c ) w = 
 d) z = 
 e ) z = 
 f ) z = 
 g) z = ln ( 
 )
 h ) z = e
 i ) y = 
 j ) w = 
 l )z = ln 
�
3) Determine o domínio e faça uma representação gráfica do domínio das seguintes funções:
4) Dada a função 
, encontrar:
a imagem de 
o domínio de f(x, y)
3) Representação Gráfica de Funções de Várias Variáveis
Se f for uma função de duas variáveis, então o gráfico de f será o conjunto de todos os pontos 
 em 
 para os quais 
 é um ponto no domínio de f e 
. Logo, o gráfico de uma função f de duas variáveis é uma superfície que representa o conjunto de todos os pontos no espaço tridimensional cujas coordenadas cartesianas são dadas por triplas ordenadas de números reais 
.
Exemplo: Faça um esboço do gráfico das funções abaixo:
Comentário: No caso das funções de uma variável, uma maneira de obter seu gráfico é elaborar uma tabela determinando os valores da função para uma série de pontos de seu domínio. Esse método rudimentar, embora não muito eficiente, constitui uma ferramenta importante. Entretanto, para esboçar o gráfico de uma forma mais precisa, vários outros recursos são utilizados, tais como determinação de raízes, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de máximos e mínimos, etc. Para uma função de duas variáveis, é praticamente impossível obter um esboço do gráfico apenas criando uma tabela com os valores da função em diversos pontos do seu domínio. Para contornar essa dificuldade, vários procedimentos podem ser utilizados. O principal deles, muito usado pelos cartógrafos na elaboração de mapas de relevo, consiste em determinar os conjuntos de pontos do domínio da função, em que esta permanece constante. Esses conjuntos de pontos são chamados curvas de nível da função e que veremos mais adiante. Outra forma é utilizar programas computacionais para gerar superfícies que seria difícil ou impossível desenhar. Para ilustrar a utilização desses programas, mostramos abaixo algumas superfície geradas com o software Maple V Release 5.
 
 Figura 1: z = sen (x + y) Figura 2: z = cos x + sen y
	
 Figura 3: z = x2 + y2 Figura 4: z = 
 Figura 5: z = ln (x2 + y2) Figura 6: z = 2x2 + y2 – x2 – 2y
4) Curvas de Nível
Seja k um número real. Uma curva de nível, 
, de uma função 
 é o conjunto de todos os pontos 
, tais que 
. Simbolicamente, escrevemos:
.
Exemplo: Trace as curvas de nível das funções abaixo, para os valores de k fornecidos em cada item.
, para k = 1, 4, e 9
, para k = 1, 4, e 9
Observando as figuras dos exemplos (a) e (b), vemos que as curvas de nível de ambas as funções 
 e 
 são circunferências de centro na origem. Assim, utilizando somente as curvas de nível, podemos ter dificuldade em esboçar o gráfico corretamente. Outro recurso muito útil para visualizar a forma do gráfico consiste em determinar a interseção deste com os planos yz e xz.
 , para k = 0,
1, 
2, 
3.
, para k = 2, 4, 6, 8 e10
OBS: Em particular quando f é uma função de três variáveis, temos as superfícies de níveis.
 II) Derivadas Parciais
1) Definição
A discussão sobre derivação de uma função de n variáveis com valores reais reduz-se ao caso unidimensional, se tratarmos uma função de n variáveis como uma função de uma variável de cada vez, mantendo fixas as demais variáveis. Isso nos leva ao conceito de derivada parcial.
Seja f uma função de duas variáveis, x e y. A derivada parcial de f em relação a x é aquela função, denotada por 
, tal que seus valores funcionais em qualquer ponto 
 no domínio de f sejam dados por
se o limite existir. Da mesma forma, a derivada parcial de f em relação a y é aquela função, denotada por 
, tal que seus valores funcionais em qualquer ponto 
 no domínio de f sejam dados por
se o limite existir.
Exemplo: Usando a definição acima, determine 
 e 
 da função 
.
OBS: Existem outras notações para 
, ou seja, 
, 
 e 
, assim como para 
 temos, 
, 
 e 
.
Não precisamos necessariamente utilizar a definição para encontramos as derivadas parciais de uma função com duas variáveis. Podemos obter essas derivadas mais facilmente, se aplicarmos os teoremas para a derivação ordinária, considerando y constante ao calcularmos 
 e considerando x constante, ao calcularmos 
. Isso pode ser aplicado também a funções de mais de duas variáveis.
Exemplos:
1 ) Calcule 
 e 
 para a função z = 3x – x²y² + 2x³y.Solução:
 = 3-2xy² + 6x²y 
 = - 2x² y+ 2x³
2 ) Idem para g(x,y) = 
Solução:
 = 
 
 = 
3 ) Idem para z = sen ( 2x + y )
Solução:
 = cos ( 2x + y ) . 2 = 2.cos ( 2x + y ) 
 = cos ( 2x + y ) . 1 = cos ( 2x + y ) 
4 ) Idem para f(x,y) = 2x²y + 3xy² - 4x
Solução:
 = 4xy + 3y² - 4
 = 2x² + 6xy
5) Dada a função 
, determine 
 e 
.
6) Dada a função 
, determine 
.
Exercícios:
1) Determine as derivadas parciais indicadas:
 Lembrete: 
2) Sabendo-se que 
, determine:
3) Dada a função 
, mostre que 
.
4) Se S for a área da superfície, em metros quadrados, do corpo de uma pessoa, então a fórmula que dá um valor aproximado para S será 
, onde Wkg e Hm são o peso e a altura da pessoa. Se W = 70kg e H = 1,8m, determine 
 e 
 e interprete os resultados.
2) Aplicação de Derivadas Parciais na Economia
Uma aplicação de funções de duas variáveis em economia/administração é a função demanda. Considere duas mercadorias relacionadas para as quais p é o preço unitário quando x unidades da mercadoria A são demandadas e q o preço unitário da mercadoria B quando y unidades são demandadas. Assim, as funções demandas serão:
x = f(p, q) e y = g(p, q)
2.1) Representação gráfica:
A função de uma variável y = f(x) é uma curva em R2, pois o domínio tem dimensão 1 e a imagem tem dimensão 1, logo esta função precisa de um espaço de bidimensional para ser representada. Portanto, o gráfico de uma função com domínio em R2 é uma superfície em R3, pois o domínio tem dimensão 2 e a imagem tem dimensão 1. No caso da função demanda, a representação gráfica recebe o nome de superfícies de demanda. Através da análise dessa superfície duas mercadorias podem ser classificadas em concorrentes ou complementares.
a) concorrentes: para q constante, se p cresce (x decresce), y cresce;
b) complementares: para q constante, se p cresce (x decresce), y decresce.
Exemplo: Suponha que x unidades da mercadoria A e y unidades da mercadoria B sejam demandadas quando os preços por unidades são p e q, respectivamente, e as equações de demanda são:
x = –2p + 3q + 12 e y = – 4q + p + 8
Determine se as mercadorias são concorrentes ou complementares.
 e 
Ou seja, quando p cresce 1 unidade, x decresce 2 unidades e y cresce 2 unidades, sendo assim as mercadorias são concorrentes.
2.2) Interpretação econômica:
Exemplo: Suponha que o custo de produção (Z) de certa mercadoria dependa apenas de duas variáveis.
x – custo da mão de obra por hora
y – custo da matéria-prima por quilo.
Z = 600 + 30x + 8y
= 30. Quando o custo da matéria-prima (y) permanece fixo, um aumento de R$ 1,00 no custo por hora da mão de obra (x) resulta em um aumento de R$ 30,00 no custo da produção (Z)
= 8. Quando o custo da mão de obra (x) permanece fixo, um aumento de R$ 1,00 no custo da matéria-prima (y) resulta em um aumento de R$ 8,00 no custo da produção (Z)
Exercícios Resolvidos:
1) A empresa ETC & TAL produz pneus. O gerente de produção realizou um estudo sobre o número de pneus do tipo I produzidos por dia em seu pátio fabril. Neste estudo, o gerente concluiu que a produção P depende do número de operários envolvidos na produção (x) e da quantidade de máquinas ligadas (y). A equação que relaciona essas variáveis é dada por:
P(x,y) = 30x + 40y .
Determine 
 
Resp: 
 
Dê a interpretação econômica para o item anterior
Resp: 
. Quando a quantidade de máquinas ligadas (y) permanece fixo, um aumento de 1 operário resulta em um aumento de 30 unidades na produção.
. Quando o número de operários permanece fixo, um aumento de 1 máquina ligada resulta em um aumento de 40 unidades na produção.
c) A produção é mais sensível a uma variação absoluta no número de operários ou no número de máquinas? Justifique.
Resp: Números de máquinas, pois resulta em um aumento maior na produção.
d) Se uma das 5 máquinas utilizadas na produção tiver que ser desligada para manutenção corretiva durante dois dias, qual será, aproximadamente a queda no número de unidades produzidas neste intervalo.
Resp: 1 máquina desligada
 queda de 40 unidades na produção por dia, em 2 dias 80 unidades.
2) Para um certo mercado varejista está determinado que se x for o número diário de comerciais na televisão, y for o número de minutos de duração de cada comercial, o número de unidades vendidas diariamente (Z) será dado pela expressão:
Z = 2xy2 + x2 + 9000
Suponha que existam 12 comerciais, cada um com 1 minuto de duração.
a) encontre a taxa de variação instantânea de Z por unidade de variação em x se y permanecer fixo em 1.
Resp:
= 2.1+ 2 .12 = 26
b) use o item (a) para encontrar a variação (aproximada) nas vendas diárias, se o número de comerciais com 1 minuto for aumentado em 25%.
= 2.1+ 2 .15 = 32
encontre a taxa de variação instantânea de Z por unidade de variação em y se x permanecer fixo em 12.
d) use o item (c) para encontrar a variação (aproximada) nas vendas diárias, se a duração de cada um dos 12 comerciais for aumentada em 25%.
Exercícios:
1) Sejam duas mercadorias A e B. Se X é a quantidade demandada da mercadoria A quando seu preço unitário é p e o preço unitário de B é q e Y a quantidade demandada da mercadoria B quando seu preço unitário é q e o de A é p, tal que:
X = -2p + 3q + 12 e Y = -4q + p + 8
a) determine as demandas marginais parciais
b) interprete o item anterior
c) conclua se as mercadorias A e B são concorrentes ou complementares.
2) Suponha que x unidades da mercadoria 1 e y unidades da mercadoria 2 sejam demandadas mensalmente num dado comércio regional do Brasil quando os preços unitários de 1 e 2 são p e q, respectivamente. As equações de demanda para essas mercadorias são:
X = 5q2 – 3pq e Y = 4p2 – 4pq
Suponha que no mês de novembro p = R$ 120,00 e q = R$ 100,00.
a) Encontre as quantidades demandadas de cada mercadoria no mês de novembro;
b) Encontre as quatro demandas marginais parciais;
c) Use o item (b) para determinar como as quantidades demandadas de cada uma das mercadorias são afetadas quando o preço de 1 é aumentado de R$ 120,00 para R$ 121,00 e o preço de 2 fica fixo em R$ 100,00;
d) Use o item (b) para determinar como as quantidades demandadas de cada uma das mercadorias são afetadas quando o preço de 2 é diminuído de R$ 100,00 para R$ 98,00 e o preço de 1 fica fixo em R$ 120,00.
3) No mercado de “Big Field” existem dois bens A e B que foram estudados pelos universitários da Universidade Letradinhos. Nestes estudos, as equações das demandas um dos produtos foram determinadas.
 Bem A x = 120 – 5p – 2q 
 Bem B y = 80 – 3p – 4q
Onde x e y representam as quantidades demandas dos bens A e B, respectivamente e p e q os preços unitários dos bens A e B respectivamente. Determine, justificando através dos cálculos e sua interpretação econômica, se as mercadorias são complementares ou concorrentes. 
4) Seja x o valor do estoque de uma loja, y o número de empregados e L o lucro diário desta loja. 
L(x,y) = 3xy2 + x2 + 4000 
No momento, o estoque é de R$10,00 e há 2 empregados.
a) Encontre a taxa de variação instantânea de L por unidade de variação em x se y for mantido fixo em 2;
b) Use o resultado do item (a) para achar a variação aproximada no lucro semanal se o estoque variar de R$10,00 para R$11,00 e o número de empregados permanecer fixo em 2;
c) Encontre a taxa de variação instantânea de L por unidade de variação em y se x for mantido fixo em R$ 10,00;
d) Utilize o item (c) para encontrar a variação aproximada no lucro semanal se o número de empregados for aumentado de 2 para 4, com o estoque fixo em R$ 10,00.3) Diferencial Total
Se f for uma função de n variáveis 
 e f for diferenciável em um ponto P, então a diferencial total de f será a função df tendo valores funcionais dados por
Sendo 
, definindo 
, 
, ..., 
 e usando a notação 
 em vez de 
, podemos escrever a igualdade acima como
4) Diferencial de uma função em um ponto
Seja 
 em 
. A diferencial de f no ponto 
 é definida pela função ou transformação linear:
	Na notação clássica, temos que a diferencial de f é dada por:
Exercícios:
1) Sabendo-se que 
, determine 
.
2) Se 
, determine 
.
3) Se 
, determine 
.
4) Se 
, no ponto (1, 2, 
).
5) Nos itens abaixo, determine a diferencial total dw.
5) Plano Tangente
Seja 
 diferenciável no ponto 
. Chamamos plano tangente ao gráfico de f no ponto 
 ao plano dado pela equação:
Exemplo: Determinar o plano tangente ao gráfico da função 
 no ponto (1, 1, 
)
Exercícios:
1) Determinar o plano tangente ao gráfico das funções:
a) 
, no ponto 
b) 
 , no ponto 
6) Vetor Gradiente
Seja 
 uma função que admite derivadas parciais de 1ª ordem no ponto 
. O Gradiente de f no ponto 
, denotado por:
grad f 
 ou 
é um vetor cujas componentes são as derivadas de 1ª ordem de f nesse ponto. Ou seja:
= 
Geometricamente, interpretamos 
 como um vetor aplicado no ponto 
, isto é, transladado paralelamente da origem para o ponto 
.
Se trabalharmos com um ponto genérico (x, y), representaremos o vetor gradiente como:
OBS: Uma das mais importantes propriedades do vetor gradiente é que ele é perpendicular às curvas de nível de f.
Exercício: Determine o gradiente das funções dadas:
7) A Regra da Cadeia
Se u for uma função diferenciável de x e y, definida por 
, onde 
, 
 e 
, 
, 
 e 
 todas existirem, então u será uma função de r e s e ainda
Exemplo: Dadas as funções 
, 
, 
, determine 
 e 
.
8) A Regra da Cadeia Generalizada
Suponha que u seja uma função diferenciável de n variáveis, 
 e cada uma dessas variáveis por sua vez seja uma função de m variáveis 
. Suponha ainda que cada uma das derivadas parciais 
 exista. Então u será uma função de 
 e
Exemplo: Dadas as funções 
, 
, 
, 
, 
 e 
.
Exercício: Dadas as funções abaixo, determine as derivadas parciais indicadas, usando a regra da cadeia:
9) Derivadas Parciais de Ordem Superior
Se f for uma função de duas variáveis, então em geral 
 e 
 também serão funções de duas variáveis. E se as derivadas parciais dessas funções existirem, elas serão chamadas de derivadas parciais segundas de f ou derivadas de segunda ordem de f. Em contraste, 
 e 
 são chamadas de derivadas parciais primeiras de f ou ainda derivadas de primeira ordem de f. Existem quatro derivadas parciais de segunda ordem de uma função de duas variáveis. Se f for uma função de duas variáveis x e y, as notações:
todas denotarão a derivada segunda de f, obtida com o cálculo da derivada parcial primeira de f em relação a x e então derivando parcialmente o resultado em relação a y. Essa derivada parcial segunda é definida por
se esse limite existir. As notações
todas denotam a derivada parcial segunda de f, obtida ao derivarmos parcialmente duas vezes em relação a x. Temos a definição 
se esse limite existir. As duas outras derivadas parciais segundas são definidas de forma análoga:
se esses limites existirem.
As definições de derivadas parciais de ordem superior são similares. Novamente, existem várias notações para uma derivada específica. Por exemplo,
todas representam a derivada parcial terceira de f, obtida ao derivarmos parcialmente duas vezes em relação a x e então, uma vez em relação a y.
Comentário: Na notação com subíndice, a ordem da diferenciação parcial é da esquerda para a direita, enquanto que na notação 
, a ordem é da direita para a esquerda.
Exemplo 1: Dada a função 
, determine:
Exemplo 2: Determine 
, sabendo-se que 
.
Exercícios:
1) Calcule as derivadas parciais de segunda ordem de:	
	a) 
	b) 
	c) 
	d) 
	e) 
	f) 
2) Dadas as funções abaixo, determine 
, 
 e mostre que 
.
3) Determine as derivadas parciais indicadas.
 III) Derivadas Direcionais e Gradientes
1) Introdução
As derivadas parciais 
 e 
, medem as taxas de variação dos valores funcionais f(x, y) na direção dos eixos x e y, respectivamente. As derivadas direcionais, introduzidas nesse capítulo, dão as taxas de variação dessas funções em qualquer direção. O gradiente, também introduzido nesse capítulo, dá a direção e o sentido em que a função tem a sua maior taxa de variação. Esses conceitos são aplicados em nossa discussão sobre planos tangentes e normais a superfícies.
Assim como usamos as derivadas primeira e segunda para determinar os extremos de funções de uma única variável, mostraremos adiante de que modo as derivadas direcionais podem ser aplicadas para encontramos valores extremos de funções de duas variáveis.
2) Derivadas Direcionais
No capítulo anterior, vimos que as derivadas parciais 
 e 
 representam,
respectivamente, a taxa de variação de f quando mantemos y constante e variamos x e a taxa de
variação de f quando mantemos x constante e variamos y. Contudo, poderíamos perguntar: por que manter uma variável constante e aumentar a outra? Afinal, esta não é a única estratégia possível!
Por exemplo, não seria mais produtivo aumentar as duas variáveis ao mesmo tempo em uma certa proporção? A resposta é que, de fato, existe uma estratégia mais produtiva do que aquela sugerida pelas derivadas parciais, descritas no capítulo anterior.
Vamos generalizar a definição de uma derivada parcial, a fim de obter a taxa de variação de uma função em relação a qualquer direção e sentido. Isso nos leva ao conceito de derivada
direcional.
A derivada direcional dá a taxa de variação dos valores funcionais f(x, y) em relação à
direção e sentido do vetor unitário u:
Exemplo: Dada a função 
, determine a taxa de variação de 
 na direção do vetor 
 e no ponto 
.
Comentário: Em resumo, a estratégia de se mudar uma variável de cada vez corresponde, geometricamente, ao fato de que estamos caminhando por uma reta passando pelo ponto 
 e paralela a um dos eixos coordenados, isto é, estamos caminhando por uma reta passando pelo ponto 
 cujo vetor diretor é da forma 
 ou 
 (estes vetores são denominados vetores da base canônica de 
). Fica claro como podemos obter outras estratégias: basta tomar retas passando por 
 mas com uma direção arbitrária. Mais especificamente, queremos caminhar no domínio D da função por uma reta passando pelo ponto 
, cuja direção é dada por um vetor diretor 
, pré-estabelecido e analisar o comportamento de f sobre esta reta.
Comentário: 	Como vimos o gradiente de f, denotado por 
, é definido por:
Assim sendo, qualquer derivada direcional de uma função diferenciável pode ser obtida se multiplicarmos escalarmente o gradiente pelo vetor unitário na direção e sentidos desejados:
.
A derivada direcional 
 será máxima quando o vetor unitário u estiver na direção e sentido de 
; e nesse caso 
. Assim sendo, o gradiente de uma função está na direção e sentido em que a função tem a taxa máxima de variação. Veja o teorema abaixo:
Teorema (Adaptado de Bortolossi (2002)). Considere f uma função de duas variáveis x e y, diferenciável e p for um ponto interior de D. Se 
, então a direção de maior crescimento de em p é dada por 
 (com uma taxa de crescimento máxima igual a 
) e a direção de maior decrescimento de em p é dada por 
 (com uma taxa de decrescimento máxima igual a 
).
Comentário: Podemos estender todos estes conceitos descritos acima para uma função de trêsvariáveis ou mais.
Exemplo: Dada a função 
, ache o valor máximo de 
, no ponto 
.
Exercícios:
1) Determine a derivada direcional da função, em cada caso, na direção e sentido do vetor unitário u dado:
.
.
.
.
2) Determine o valor da derivada direcional no ponto P0 para cada função dada na direção e sentido do vetor unitário u:
3) Determine Duf no ponto P dado, onde u é o vetor unitário na direção e sentido de 
. Também em P, determine Duf, se u for um vetor unitário para o qual Duf é máximo.
4) Determine a direção na qual a função 
 cresce mais rapidamente no ponto 
.
5) A altura do vulcão havaiano Mauna Loa é (de maneira aproximada ) descrita pela função 
, onde h é a altura acima do nível do mar em milhas e x e y medem as distâncias leste-oeste e norte-sul em milhas com relação ao topo da montanha. No ponto 
:
O quão rapidamente cresce a altura na direção 
 (isto é, na direção nordeste)?
Em qual direção a altura cresce mais rapidamente?
Em qual direção a altura decresce mais rapidamente?
Se você caminhasse na direção sul, você estaria subindo ou descendo? A que taxa?
Se você caminhasse na direção noroeste, você estaria subindo ou descendo? A que taxa?
6) Suponha que uma montanha tenha o formato de um parabolóide elíptico 
, onde a, b e c são constantes positivas, x e y são as coordenadas leste-oeste e norte-sul no mapa e z é a altitude acima do nível do mar (x, y e z são todas medidas em metros). No ponto 
 qual é a direção em que a altitude cresce mais rapidamente? Se você larga uma pedra em 
 em qual direção ela deverá começar a rolar?
IV) Integral Dupla
1) Definição
Seja uma função Z = f(x, y) definida numa região fechada e limitada do plano xy, como mostra a figura abaixo:
Traçando paralelas aos eixos x e y, respectivamente, recobriremos a região R por pequenos retângulos. Em cada retângulo Rk escolhemos um ponto (xk, yk) e formamos a soma
 , onde 
 é a área de Rk .
Traçando pararelas tornando os retângulos cada vez menores, teremos:
esse limite é chamado de Integral Dupla de f(x, y) sobre a região R.
Denotamos:
 ou 
R é a região de Integração
A soma é Riemann
Quando Z = f(x, y) é maior ou igual a zero sobre R. Observando a figura, vemos que o produto f(xk, yk).
, representa o volume de um prisma reto, cuja base é o retângulo Rk e cuja altura é f(xk, yk).
 
A Soma de Riemann 
, representa uma aproximação do volume da porção do espaço compreendida abaixo do gráfico de Z = f(x, y) e acima da região R do plano xy.
Assim, quando f(x, y)
 0 a 
 nos dá o volume do sólido delimitado superiormente pelo gráfico de Z = f(x, y), inferiormente pela região R e lateralmente pelo “cilindro” vertical cuja base é o contorno de R.
Exemplo: O volume do sólido que está acima do quadrado R = [0,2] x [0,2] e abaixo do parabolóide elíptico Z = 16 – x2 – 2y2 pode ser aproximado pela subdivisão de R em quatro quadrados iguais e a escolha do ponto amostra como o canto superior de cada quadrado Rij.
Solução: Os quadrados estão ilustrados na figura acima e a área de cada um vale 1. O parabolóide é o gráfico de f(x, y) = 16 – x2 – 2y2. Aproximando o volume pela soma de Riemann com m = n = 2, temos:
= f(1,1)(A + f(1,2) (A + f(2,1) (A + f(2,2) (A
			 = 13(1) + 7(1) + 10(1) + 4(1) = 34
Esse é o volume das caixas aproximadoras, como mostra a figura abaixo:
Obtemos melhor aproximação do volume quando aumentamos o número de quadrados. A figura abaixo mostra como as figuras começam a parecer mais com o sólido verdadeiro e as aproximações correspondentes vão se tornando mais precisas quando usamos 16, 64 e 256 quadrados.
2) Propriedades da Integral Dupla
    
1) 
 , para todo k real.
2) 
3) Se f(x, y) 
 g(x, y) , para todo (x, y) pertencente à região R, então
.
4) Se f(x, y) 
 0 , para todo (x, y) pertencente à região R, então 
.
5) Se a região R é composta por duas sub-regiões R1 e R2 que não têm pontos em comum, exceto os pontos de suas fronteiras, então:
3) Cálculo das Integrais Duplas
 Temos dois tipos de Região de Integração:
Tipo I) 
Com 
e 
contínuas em [a, b].
 f2(x)
 R 
 f1(x)
 
 a b
Nesse caso a integral 
 é calculada através da seguinte integral, dita iterada:
Tipo II) 
Com 
e 
contínuas em [c, d].
 
 d
 R
 c
 
 
Nesse caso a integral será:
4) Aplicações: Massa E Centro De Massa De Uma Lâmina
Suponha uma lâmina colocada em uma região R do plano xy e cuja densidade (em unidades de massa por unidade de área) no ponto (x, y) em R é dada por ((x,y), onde ( é uma função contínua sobre R. Então a massa total m da lâmina é dada por:
Além disso, o centro de massa dessa lâmina é o ponto (X, Y), onde 
 e 
, sendo 
 e 
os momentos em relação aos eixos x e y, respectivamente.
Exemplo: Determine a massa e o centro de massa de uma lâmina triangular com vértices (0,0), (1,0) e (0,2), se a função densidade é ((x, y) = 1 + 3x + y.
Solução: 
O triângulo R está limitado pelas retas x = 0, 
y = 0 e y = 2 – 2x.. Podemos expressar R por:
R = { (x,y) | 0 ( x ( 1, 0 ( y ( 2 – 2x }
A massa da lâmina é:
Portanto:
Os momentos são:
Assim:
 , 
Logo, o centro de massa da lâmina é o ponto (3/8,11/16), indicado na figura:
5) Mudança de Variáveis em Integral Dupla
Coordenadas Polares
As equações:
 e 
que nos dão as coordenadas cartesianas de um dado ponto em termos de suas coordenadas polares, podem ser vistas como uma transformação que leva pontos 
do plano 
 a pontos 
 do plano xy. Assim:
Para o cálculo das integrais, podemos considerar:
 e 
ou
 e 
Exemplo 1: Calcular I = 
, sendo R o círculo de centro na origem e raio 2.
Exemplo 2: Calcular I = 
, onde R é a região delimitada pela circunferência 
. Observe que temos que transformar a região dada em uma circunferência com centro na origem.
Fazemos x – 2 = u e y –2 = v . Então: du =1 e dv = 1
Assim: x = u + 2 e y = v +2 e podemos escrever 
Agora podemos resolver essa integral utilizando coordenadas polares.
Exemplos:
1) Calcular o volume do sólido delimitado superiormente pelo gráfico de Z = 4 – x – y , inferiormente pela região R delimitada por x = 0, x = 2, y = 0 e 
 e lateralmente pelo cilindro vertical cuja base é o contorno de R.
2) Calcular a integral I = 
, onde R é a região limitada por 
 e y = 2x.
3) Calcular I =
, onde R é o retângulo de vértices 
, 
, 
, 
.
4) Calcular a integral 
.
5) Calcular 
, onde R é a região limitada por x = 0, y = 
 e x = 
.
6) Descrever a região de integração da integral 
; e inverter a ordem de integração.
7) Determine o volume do sólido S que é delimitado pelo parabolóide elíptico 
, os planos x = 2 e y = 2, e os três planos coordenados.
8) Calcule 
, onde R é a região limitada pelas parábolas 
 e 
.
9) Calcular a integral 
.
10) Calcule a integral 
, onde R é a região limitada pela circunferência 
.
Exercícios:
1) Calcular 
, onde: 
a) 
 R é o retângulo 
 e 
b) 
 R é o retângulo 
 e 
c) 
 R é o retângulo 
 e 
d) 
 R é o retângulo 
 e 
e) 
 R é o retângulo 
 e 
2) Esboçar a região de integração e calcular as seguintes integrais:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
3) Inverta a ordem de integração:
a) 
b) 
4) Calcular 
, onde R é a região limitada por 
 ey = 4. Faça o gráfico da região de integração.
5) Calcular 
, onde R é a região limitada por y = 0, x = 
 e y = 
. 
6) Calcular a integral 
.
7) Calcular 
, onde R é a região limitada por 
; 
; x = 
 1 e 
x = 1. Faça o gráfico da região de integração.
8) Calcular 
, onde R é a região limitada por 
 e y = 4x e y = 
. Faça o gráfico da região de integração.
10) Calcular 
, onde R é a região descrita na figura abaixo: 
11) Calcular 
, onde R é a região descrita na figura abaixo:
 
12) Calcular o volume do sólido no primeiro octante, delimitado pelos cilindros 
 e 
.
13) Ache, por integração dupla, a área da região do plano xy , limitada pelas curvas 
 e 
.
14) Usando Coordenada Polar. Calcular o volume do sólido acima do plano xy delimitado por 
.
15) Calcular 
, onde R é a região delimitada por 
16) Calcular 
, onde R é a região do primeiro quadrante delimitada por 
, 
; y = x e y = 0
17) Usando Coordenada Polar. Calcular 
, onde R é a região do plano xy delimitada por 
 e 
.
18) Usando Coordenada Polar. Calcular 
, onde R é a região do plano xy delimitada por 
 e 
.
V) Integral Tripla
Em construção!!!
Gráfico da função.
Gráfico do 
Domínio da 
função.
8
HEMISFÉRIO SUPERIOR
8
8
4
 Observe que o gráfico da função seria quadridimensional, não podendo, portanto, ser esboçado.
4
4
y = - x
2
2
1
1
0
x
y
(1,1)
(2,2)
(2,1)
(1,2)
R11
R22
R21
R12
(0,2)
R
y = 2 – 2x
(1,0)
(0,0)
(0,2)
y = 2 – 2x
(3/8,11/16)
(
R
(1,0)
(0,0)
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